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文档简介

第二章数列极限第一节数列极限的概念第二节收敛数列的性质第三节数列极限存在的条件数理学院肖建中陆盈第一节、数列极限的概念例如一、数列的定义注意数列极限来自实践，它有丰富的实际背景.我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念。

例1

战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示,二、数列的极限,随着n无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零。

其长度组成的数列为

024681000.20.40.60.81数列极限的演示数列极限的演示数列极限的演示●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的演示数列极限的描述分析数列极限的精确定义注意：几何解释:极限定义的简记形式

数列极限的等价定义:

●●●●●●●●●数列极限的演示n>N●●●●●●●●●三、按定义证明数列极限例1例2例3例4例5例6由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤：四、收敛的否定:五、无穷小数列:第二节、收敛数列的性质1、唯一性2、有界性3、保号性4、保不等式性5、四则运算6、迫敛性7、子数列的收敛性1、唯一性定理2.2每个收敛的数列只有一个极限.2、有界性定理2.3收敛的数列必定有界.推论无界数列必定发散.例13、保序性4、保号性5、迫敛性(双逼原理)例26、绝对值收敛性:7、数列极限的四则运算法则例3例4例58、子数列的收敛性定理7

收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．例6第三节、数列极限存在的条件1.数列收敛的一个充分条件

——单调有界原理2.数列收敛的充要条件

——Cauchy收敛准则3.关于极限4.数列一、单调有界原理定理1(单调有界定理)

单调有界数列必有极限

例1例2例3例4二、数列收敛的充要条件——Cauchy收敛准则数列极限存在的条件定理的几何解释

柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.x1

x2

x3

x4

x5

例5例6例7三、关于极限例8例9例10=+1nnyy

=÷øöçèæ++÷øöçèæ+++2111111nnnn1111111111+÷÷÷÷øöççççèæ+++++nnnn12221221+÷÷øöççèæ+++++=nnnnnnn

÷øöçèæ+++++³÷øöçèæ++++=+nnnnnnnnnn2112121121212

nynnnnnn

,1441442323Þ>+++++=↘.

显然有

,

.nyxnn"Þ<

有

.41=££<yyxnnL

即数列{ny}有上界.

小结

(1),唯一性;

(2),有界性;

(3),保号性;

(4),四则运算法则;

(5),不等式性;

(6),收敛数列与其子列的关系.小结

(1),数列极限的定义;

(2),数列极限的几何意义;

(3),应用数列极限的定义证明

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