高考数学真题复习 等比数列及其前n项和 高考数学知识点总结

§6.3等比数列及其前n项和

【2014高考会这样考】1.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；2.运用

基本量法求解等比数列问题；3.考查等比数列的应用问题.

【复习备考要这样做】1.注意方程思想在解题中的应用；2.使用公式要注意公比q=l的情况;

3.结合等比数列的定义、公式，掌握通性通法.

基础知识•自主学习

I要点梳理I

1.等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母_g_表示.

2.等比数列的通项公式

设等比数列｛髭｝的首项为%,公比为q,则它的通项-1.

3.等比中项

若G2=a-b(abWO),那么G叫做a与b的等比中项.

4.等比数列的常用性质

⑴通项公式的推广：=(m机GN*).

(2)若｛aj为等比数列，且左+/=wi+w(左，I,m,”GN*),贝U

(3)若｛<｝,｛々｝(项数相同)是等比数列，贝。｛加JQWO),｛a»｛a鸿｝，树仍是等

比数列.

5.等比数列的前〃项和公式

等比数列｛%｝的公比为q(qWO),其前n项和为S“,

当g=l时，S=na-,

n1

当qWl时,

«1—q1—q'

6.等比数列前"项和的性质

公比不为一1的等比数列｛an｝的前w项和为Sn,则Sn,S2,n—Sn,S5,n一S2n,仍成等比数列,

其公比为乎.

［难点正本疑点清源］

1.等比数列的特征

从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数.

2.等比数列中的函数观点

利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系.在借用指数

函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小.

3.两个防范

⑴由a,1.“，户。并不能立即断言⑷为等比数列，还要验证

(2)在运用等比数列的前”项和公式时，必须注意对q=1与qWl分类讨论，防止因忽略

4=1这一特殊情形导致解题失误.

I基础自测I

1.(2012•辽宁)已知等比数列｛”｝为递增数列，且a|=aio,2(a+a!+2)=5ai+f则数列｛aj

的通项公式an=.

答案2"

解析先判断数列的项是正数，再求出公比和首项.

哙=*>0,根据已知条件得2。+J=5,解得q=2.

所以华8=。在)，所以4=2,所以a=2„.

2.在等比数列｛”“｝中，各项均为正值，且3a5=41a4as=5,则。4+°8=

答案痂

解析由V10+4%=41及V10=i'a3a5=a4'

得〃2+〃2=41.因为a〃=5,

4848

所以（。+〃）2=。2+2〃〃+12=41+2X5=51.

4874488

又\>0,所以

3.已知a,b,c成等比数列，如果a,x,b和6,y,c都成等差数列，则:+；=-

答案2

解析令〃=l,/?=3,c=9,则由题意，有x=2,y=6.

此时4+©=l+9=2.

xy26

4.（2011•广东）已知｛4｝是递增等比数列，a=2,%—4=4，则此数列的公比4=

答案2

a-2,

解析由a、=2,a-a=4,得方程组<-

2

一a2q'«2（?=4,

q2-q-2-0,

解得q=2或q=-1.又｛a“｝是递增等比数列，故q=2.

5.（2012.课标全国）已知｛aj为等比数列，«4+a7=2,a5a6=-8,则%+a］。等于（

A.7B.5C.-5D.-7

答案D

a+。=aq3+aq6=2,

解析方法一由题意得47'1

%q4xa"=9=

a5a6=竿-8,

q3=-2,q3='2

L=1或；•4+”:中+⑻=-7.

a=-8,

a+Q=2,aC二一21=4,

u474/

方法二由1解得或,

4a6=?7=_8%=4%=-2.

q3=-2,

或，4；•4+”:中+⑻=-7.

d=l

a=-8,

题型分类•深度剖析

题型一等比数列的基本量的计算

【例1】等比数列仅｝的前W项和为S.已知S,,S,S,成等差数歹!].

nn132

(1)求｛%｝的公比q；

(2)若见一见=3,求S.

13n

思维启迪：(1)由S3,S,成等差数列，列方程求出必

⑵由a-a=3求出a,再由通项和公式求出S.

''j131n

解(1)依题意有4+(4+a⑼=2(4++a/).

由于,故2q2+q=0.

又q手。,从而4=-

⑵由已知可得412=3.故4-4.

4[1-

从而S=—和

n2)

1-4

探究提高等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量4,

n,q,an，S”,一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.

变式训练1等比数列储｝满足：ax+a=n,a3-a4=y,且公比产(0,1).

(1)求数列｛£｝的通项公式；

⑵若该数列前n项和S=21,求n的值.

32

解⑴•・・4・%又。］+。6=11，

故q,〃可看作方程及-11%+芋=0的两根，

I69

又H(O，1)，二¥，〃二！，

1563

/.Z75=^6=—,・二q二1，

q

ax32/2

⑵由⑴知旷算1-4)=21,解得"=6.

题型二等比数列的性质及应用

【例2】在等比数列｛矗｝中，

(1)若已知〃2=4，〃5=一；求。〃；

(2)若已知43a/5=8，求的值.

思维启迪：注意巧用性质，减少计算.如：对于等比数列巴｝,若加+〃=p+q(小几、

p、qGN*)，则〃•〃=a-a；右根+〃=2PMt，几，p£N*)，则〃-a-a2.

mnPQmnp

解⑴设公比为q,则2=0,即分=］，

(2)V=8，又4a5=「=S,a=2.

WS44

.•.wm=a5=25=32.

探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性

质“若7"+〃=p+q,则“.=a-a”，可以减少运算量，提高解题速度.

ma11Pq

变式训练2(1)已知各项均为正数的等比数列｛,｝中，°产2a3=5，a7a8。9=1°，则04a5综

等于()

A.5啦B.7C.6D.46

(2)已知S“为等比数列｛与｝的前w项和，且$3=8,56=7,则3+%+…+°9=-

7

答案(1)A(2)—

解析(1)把a]4%,"4"5“6''唳'看成一个整体,则由题意,知它们分别是一个等比数

列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项,因为

(2)根据等比数歹I」的性质，知名，S-SS-S成等比数歹I」，即8,7-8,S-7成等比数

歹U,所以(-1)2=8(\-7).解得$9=7：.所以%+%+…+。9=$9-$3=7；-8=-

题型三等比数列的判定“崛81一£题I

【例3】已知数列｛a｝的前"项和为S,数列｛6｝中,b=a,6=a一二一(心2),且a+S

nnnlinnninn

=n.

⑴设C“=%—1,求证：｛c“｝是等比数列；

(2)求数列｛6J的通项公式.

思维启迪：(1)由a+S=〃及a+S="+1转化成。与a的递推关系，再构造数

列｛a-1｝.

n

(2)由c求。再求b.

⑴证明•；a+S=",①

nn

「+S—n+1.②

n+1n+1

②-①得a+—+°+「1

n+Inn+1

：.2a-a+1,2(a-l)=a-1,

n+1nn+1n

a-1i

.•.噎/.{«-i}是等比数列.

a-12”

n

又。+a=1,=1

iii2

,:首项q二4t,\=-21公比q二;.

又。~a-\,

nn

｛c｝是以-1为首项，1为公比的等比数列•

n22

又b=a=I代入上式也符合,：.b

11zn\2J

探究提高注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证〃=1时是

否符合时的通项公式，能合并的必须合并.

变式训练3已知数列｛0｝的前”项和s=24+1,求证：｛a｝是等比数列，并求出通项

nnnn

公式.

证明VS=2a+1,'S-la+1.

nnn+in+1

,\a=S-S=(2a+1)-(2a+l)=2a-2a.

n+1n+1nn+1nn+1n

：.a=2a，又-la+\-a,

n+1n111

：.a~TWO.又由a=2〃知〃#o

1n+1nn

a

•••亡皿二二二匕｝是以一i为首项，2为公比的等比数列.

n

：.a=TX2N-I=-2”一i.

n

答题模板系列9

等差与等比数列综合性问题的求解

典例：(14分)(2011・湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、

13后成为等比数列｛々J中的％、与、b5.

(1)求数列｛々｝的通项公式；

⑵数列也,｝的前，项和为S“，求证：数列是等比数列.

审题视角设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列应,｝

的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问.

规范解答

⑴解设成等差数列的三个正数分别为a-d,a.a+d.

依题意，得a-d+〃+〃+d=15,解得a=5.[2分]

所以｛幺｝中的%々.依次为7-41。18+d.

依题意，有(7-<7)(18+d)=100,

解得公2或公-13(舍去).[4分]

故论｝的第3项为5,公比为2.

由仆=122，即5=.22,解得4=：.

所以｛4｝是以制首项，2为公比的等比数列，其通项公式为2,=Q—=5-2„-3,[7分]

4（!-2"）55

⑵证明数列仍｝的前〃项和S=-=52一2-＞即S+广52一2.[9分]

nn1-24

5-2«-i

所以『常--------=2.

+52-2

sn4!

因此卜“+》是以:为首项，2为公比的等比数列.[14分]

答题模板

求解等差和等比数列综合性问题的一般步骤：

第一步：设等比数列、等差数列的基本量；

第二步：根据条件列方程，解出基本量；

第三步：根据公式求通项或前n项和；

第四步：根据定义证明等差、等比数列；对于等比数列，一定要说明首项非零.

温馨提醒关于等差（比）数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算,

灵活处理已知条件.容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用

因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差（比）数

列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量.

思想方法•感悟提高

方法与技巧

1.等比数列的判定方法有以下几种：

⑴定义：—=q（q是不为零的常数，"eN*）=｛a｝是等比数列.

Clnn

⑵通项公式：a=cqn-1（Cvq均是不为零的常数，〃GN*）O｛%｝是等比数列.

⑶等比中项法：拌=。-a+（a-a+-a+7^0,”GN*）o｛a｝是等比数列.

2.方程观点以及基本量（首项和公比4,4）思想仍然是求解等比数列问题的基本方法:在力，

q,n,a，S五个量中，知三求二.

1nn

3.在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意性质的应

用，以减少运算量而提高解题速度.

失误与防范

1.特别注意夕=1时，S=吗这一特殊情况.

n1

2.由a~qaIqNO,并不能立即断言｛〃｝为等比数列，还要验证

n+1nn1

3.在运用等比数列的前，项和公式时，必须注意对q=l与户1分类讨论，防止因忽略q

=1这一特殊情形而导致解题失误.

练出高分

A组专项基础训练

（时间：35分钟，满分:57分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.（2011・辽宁）若等比数列｛3｝满足盘与+=16",则公比为（）

A.2B.4C.8D.16

答案B

=

解析由a。,,16”,知a,心=16,aa=I62,

nn+11223

后式除以前式得衣=16,4=±4.

=a

Va1a2^q=16>0,q>0,.\q=4.

2.等比数列｛%｝中，kzj=l,a=-Sa.a>a则〃等于（）

n152529n

A.（一2）〃-1B.

C.（一2）〃D.-（-2）«

答案A

解析・・・|%l=l,・・.4=1或4=-I.

・.・〃5=-8a^=a^.q3,:q=-8,:・q=-2.

又a>a,gpaqi>a,：.a<0.而a=aq-a-（-2）<0,：.a=1.故a=a-2）"-1=（-

522^222P1v7'\n1v7

2）〃-L

3.在等比数列｛aj中，％=2,前w项和为S“，若数歹（］｛a“+l｝也是等比数列，则S"等于（）

A.2"+i-2B.3〃

C.2nD.3«—1

答案C

解析由已知得数列｛4｝的前三项分别为2,2q,2q2又Qq+1）2=3（2伏+1）,整理得2-

4q+2=0,解得q=l,S,：2〃.

4.在等比数列｛%｝中，％=7，前3项之和邑=21，则公比q的值为（）

A.1B.—2

C.1或一5D.-1或:

答案c

%q2=7,\+q+q2

解析根据已知条件得=3.

、4+a、q+%乎=21.1

整理得2q2-q-1=0,解得q=1或4=-1.

二、填空题(每小题5分，共15分)

5.在等比数列｛%｝中，4+4=3°，％+°4=6。，则。7+嘎=_

答案240

解析•."+4=4(1+4)=30,%+04="1斗(1+4)=60,

：.q2=2,：.a^+a^=a^｝+q)=[al+q]-(^2)3

=30X8=240.

6.在数列｛a｝中，已知a,=l,a=2(a+aH-----Fa+a)(H^2,n^N*),这个数列的

1nJ1nn-1n-221

通项公式是.

1,n=l

答案

an=

2X3"-2,n22

解析由已知G2时，a=2S①

nn-1

当九23时，。=2S②

①-②整理得乌-=3(〃23),

1,n-\,

一

・•・〃-V

"[2X3"-2,

7.设等比数列｛aj的公比为q,前"项和为S“，若S〃+1,Sn，*+?成等差数列，则4的值为

答案一2

解析由已知条件得2S=S+S

nn+1n+2

即2s=2S+2a+a,即5=-2.

nnn+1n+2〃

n+1

三、解答题(共22分)

8.(10分)已知等差数列｛a“｝满足。。=2,05=8.

(1)求｛,｝的通项公式；

(2)各项均为正数的等比数列｛々｝中，b=l,么+%=%，求｛々｝的前w项和9

解⑴设等差数列｛%｝的公差为d,

a+d-2

贝岫已知得「,：.a=0,d=2.

%+4d=81

：.a-a+(〃T)d=2〃-2.

n1

(2)设等比数歹的公比为q,贝！I由已知得q+q2=〃4，

,.,<24=6,；应=2或4=-3.

;等比数列仍“｝的各项均为正数，，q=2.

b(1-1X(1-2«)

•,•｛幺｝的前”项和T=i]q=]2=2"-1.

9.(12分)已知数列｛%,｝的各项均为正数，且前n项和S“满足S“=%a“+l)3"+2).若％，

豆，%成等比数列，求数列｛4｝的通项公式.

解因为S=[(。+1)(。+2)，①

所以当"=1时，有S]=%=：(%+1)(%+2),

解得a=1或a=2；

11

当心2时，有S=Ka+D3+2).②

n-1O«-1n-1

①-②并整理，得m+a,)(a-«,-3)=0(G2).

nn-lnn-1

因为数列｛q｝的各项均为正数，所以%-=3(w22).

当〃=1时，〃=1+3（n-1）=3几-2,止匕时02=a成立.

1n429

当〃=2时，〃=2+3（n-1）=3M-1,此时（n=aa不成立.

1n429

所以a=2舍去.故〃=3n-2.

1n

B组专项能力提升

（时间：25分钟，满分：43分）

一、选择题（每小题5分，共15分）

1.已知网,｝是首项为1的等比数列，若可是｛aj的前"项和，且2853=%,则数列的前

4项和为（）

A.标或4B.骂或4C.骂D.午

答案C

解析设数列｛髭｝的公比为外

当q=1时，由a=1,得28s=28X3=84.

13

而S=6,两者不相等，因此不合题意.

6

当产1时，由28s=S及首项为1,得遇上“）=1-"解得3.所以数列｛0｝的通项

36l-q1-q"

公式为a=3«-1.

n

所以数列仁）的前4项和为1+；+；+］啰

m

2.已知方程（承一“工+2）（*—依+2）=0的四个根组成以;1为首项的等比数列，则,等于（）

332

A，2B.］或］

2

C.gD.以上都不对

答案B

解析设a,6,c,d是方程(/-mx+2)(x2-wx+2)=°的四个根，不妨设a<c<d<b，则

=od=2,a=：,故6=4,根据等比数歹ll的性质，得至I」：c=1,1=2,贝U加=a+b

=9,n=c+d=3^,m=c+d=3,n=a+b=-,贝！］更=?或=-

22n2ny

3.设｛,｝是任意等比数列，它的前〃项和、前2”项和与前3〃项和分别为X,y,Z,则下

列等式中恒成立的是()

A.X+Z=1YB.Y(Y~X)=Z(Z~Y)

c.Y2=xzD.y(y—x)=x(z—x)

答案D

解析对于含有较多字母的选择题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能

排除三个选项，则剩下的唯一选项就一定正确；若不能完全排除，则可以取其他数字继

续验证排除.

取等比数列为1,22.23,24，…，令〃=1,得x=1,y=3,Z=7.代入验算，只有选项D

成立.

二、填空题(每小题5分，共15分)

4.已知等比数列｛”“｝满足%+&+〃4=28，a“书>”“，且％+2是%与之的等差中项，则数

列｛aJ的通项公式是.

答案

an=2"

解析因为4+2是晨与％的等差中项'

所以2(〃+2)=a+a

324,

因为a+a+a=28,所以2(a+2)+a=28.

23433

所以a=8,a+a=20.

324

设数列｛t｝的公比为q,

%二32,

贝,i_解得，1或<

1

因为数列｛〃｝满足〃>a，所以。=2tq=2.

nn+In1

所以数列｛a｝的通项公式为a=2”.

nn

a=fe

5.在等比数列｛%｝中，若%+/o=a(a#0),«19+20>则％9+%00