2024年北京市西城区高三一模数学试卷及答案

西城区高三统一测试试卷

数学2024.4

本试卷共6页，150分.考试时长120分仲.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷

上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一•并交回晨

第一部分(选择题共40分)

一'选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

(I)已知全集。=1<,集合4={x|x<3},B={x\-2^x^2},则力“心二

(A)(2,3)(B)(一8,一2)U(2,3)

(C)[2,3)(D)(-<»,-2]U[2,3)

(2)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增的是

(A)y=x2+x(B)y=cosx

x

(C)y=2(D)y=log21x|

7

(3)在(X-彳)6的展开式中，常数项为

X

(A)60(B)15

(C)-60(D)-15

(4)已知抛物线C与抛物线V=4x关于直线y=x对称，则C的准线方程是

(A)x=-l(B)x=-2

(C)y=-\(D)y=-2

(5)设"=/_；,〃=/+:,c=/(2+/),其中T</<0,贝I」

(A)b<a<c(B)c<a<b

(C)b<c<a(D)c<b<a

西城区高三统一测试试卷数学2024.4第1页(共6页)

（6）已知向量明儿c在正方形网格中的位置如图所示•若网格纸

上小正方形的边长为1，则C,（G-力）=

（A）-1（B）1

（C）-7（D）7

-2<X<0,若/（X）存在最小值，则C的最大值为

(7)已知函数/（'）=

一瓜,0Wx<c.

（A）

七（B）i

(8)在等比数列｛%｝中,%,>0.则”代>勺。+1"是"%+1>%3”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

(9)关于函数/（乃=5皿工+8$2%，给出下列三个命题:

①/（X）是周期函数;

②曲线V=/（x）关于直线》=四对称；

2

③在区间［0,2兀）上恰有3个零点.

其中真命题的个数为

(A)0(B)1

(C)2(D)3

(10)德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据

实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率V随时间，（小时）变化的

趋势可由函数丁=1-0.6/°"近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为

（参考数据：1g2x0,30,lg3«0.48）

（A）2小时（B）0.8小时

（C）0.5小时（D）0.2小时

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第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)若复数z湖足Q+2i),z=3+i,则|z|=.

(12)已知a,/?G(0㈤.使tan(a+夕)<tan(a-4)成立的一组a,Z7的值为a=，

P-............，

(13)双曲线一q=i的渐近线方程为；若M与圆。:/+,=/(「>0)交

于用8,C,。四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则尸=.

(14)在数列｛/｝中，/=2,%=-3.数列｛〃｝满足々=。用一4(〃eN').若｛"｝是公差

为1的等差数列，则｛4｝的通项公式为6“=,4的最小值为

(15)如图，正方形相8和矩形血印所在的平面互相垂直.点尸在正方形4B8及其

内部运动，点。在矩形4BM及其内部运动.设48=2,4F=1,给出下列四个结论:

①存在点尸,。，使？。=3；

②存在点尸,。，使CQ//EP；

③到直线和E尸的距离相等的点尸有无数个；

④若PAJLPE,则四面体以以体积的最大值为;.

其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题14分)

如图，在三棱柱/次?-/田G中，侧面41CG为正方形，ABJLAC,AB=AC=2,

。为8C的中点.

(I)求证：平面/8Q;

(II)若4。，AB,求二面角D-ABX-4的余弦值.

(17)(本小题13分)

在△A3C中，atanB=2bsinA.

(I)求N3的大小；

(口)若4=8,再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△4BC存在，求△48C的面积.

条件①：边上中线的长为历；

2

条件②：cosA=—；

3

条件③：b=7.

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件

分别解答，按第一个解答计分.

（18）（本小题13分）

10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿

射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛,三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：

环数6环7环8环9环10环

甲的射击频数11102424

乙的射击频数32103015

丙的射击频数24101826

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.

（I）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；

（II）若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率;

（皿）甲、乙、丙各射击10次，用乂（i=1,2,3）分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于。

环的次数，其中ae{6,7,8,9}.写出一个a的值,使。（工）>。（苞）>。（乂）♦

（结论不要求证明）

（19）（本小题15分）

已知椭圆G:W+《=l（a>b>0）的一个顶点为4-2,0）,离心率为L

ab2

（I）求椭圆G的方程；

（II）设。为原点.直线/与椭圆G交于C,。两点（C,。不是椭圆的顶点），/与直线x=2

交于点E,直线工。,4。分别与直线OE交于点M,N.求证：|OM|=|ON|.

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(20)(本小题15分)

已知函数/(x)=x+ln3)+：xe*.

(I)当。=1时，求曲线夕=/(刈在点(1,/⑴)处切线的斜率;

(II)当°=-1时，讨论/(x)的单调性；

(III)若集合有且只有一个元素，求。的值.

(21)(本小题15分)

对正整数加23,”26,设数列4玛,生,…吗，ate{0,1}(z=1,2,•••,??).3是加行〃列

的数阵，马表示8中第i行第，列的数，Z>,7e{0,l}==且8同时满

足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同.

记集合{/1叫+a2bi2+•­•+a也=0或3,i=1,2,…,加}中元素的个数为K.

’111000、

(I)若4:1,1,1,0,0,0,5=101100,求K的值；

、000111,

(U)若对任意夕Me{l,2,…，力(p<q),8中都恰有r行满足第p列和第q列的数均为1.

(i)5能否满足加=3r?说明理由；

(ii)证明：

(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)

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西城区高三统一测试试卷

数学答案及评分参考2024.4

一'选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(1)B(2)D(3)A(4)C(5)C

(6)A(7)A(8)B(9)D(10)C

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(II)x/2(12)yy(答案不唯一)

(13)y=土百x6(14)n—6—13

(15)①③④

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(共14分)

解：(I)连接43,设43nAB1=E,连接。E.1分

因为在三棱柱431G中，四边形4犯用是平行四边形,

所以E为43的中点.2分

因为。为的中点，

所以DE〃4c.•3分

又因为4。二平面OEu平面4BQ,

所以4。〃平面ZBQ.,5分

(II)因为Z8_L4C,ABLAC,

所以.平面4/CG.......6分

所以4B144-

又阴JL/C,所以力两两相互垂直•

如图建立空间直角坐标系4-xyz.......7分

则4(0,0,0),4(2,0,2),D(l,l,0),C(0,2,0).

所以离=(2,0,2),而=(1,1,0).

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n»•AB.=0.2x+2s=0,

设平而彳BQ的法向砒为加=（x,y,2），Wi|而°即匕+八。,

令x=-[,则.p=1,2=1.J'W:w=（-!,1,1）............10分

因为/CJ.平而

所以抚=（0、2.0）他平匍4IB々的一个法向Hl............”分

所以cos⑴四产坐......T3分

I^H/fCl3

由时设，二:而角D-AJix-4的平而角为钝角,

所以二面角D-AB{-4的余弦值为一半.......14分

（17）（共13分）

解：（I）由atanB=25sinN,得asinB=26sinJcosB............1分

在△NBC中，由正弦定理得sin4sin5=2sin?lsinBcosB............3分

因为sin/>0,sinB>0,

所以cosB=1............4分

2

又0<NB<n,......5分

所以NB=2............6分

3

（II）选条件①：5c边上中线的长为......7分

设6c边中点为“，连接aW,贝=BM=4.

在△45M中，由余弦定理得NA/?=432+8川2-213・8”通058,...........9分

即21=462+16-846cos3.

3

整理得482-448-5=0.

解得/6=5或力〃=-1（舍）.......11分

所以&ABC的面积为SA..=J,4C,sin8=10百.......13分

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选条件③：6=7......7分

在△/8C中，由余弦定理御川=/+c'-2acco,A,.....9分

即7'=8'+/-16<?9£个•

整理得c'-&+1$»>0，

解褥C=3或CH5.....TI分

当c=3时，ZX/RC的而枳为金械、=g〃c9in〃=6jS,

当c=5时，△/BC的面积为SAM=："$访〃=106......13分

（1$）（共13分）

解：（1）甲进入决赛，理由如下：

丙射击成绩的总环数为2x6+4x7+10x8+18x9+26x10=542,

甲射击成绩的总环数为1x6+1x7+10x8+24x9+24x10=549.

因为549>542,所以甲进入决赛......3分

（II）根据题中数据，“甲命中9环”的概率可估计为2幺4=工2；

605

242

“甲命中10环”的概率可估计为右=二；

605

301

“乙命中9环”的概率可估计为九二彳；

602

“乙命中10环”的概率可估计为善=：.......5分

604

所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：

卓吟fc号端4）端………I。分

（JII）〃=7和8.（写出一个即可）......13分

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<19)(共15分)

。=2、

3分

解：（I）由题设，，£=；,

（72

,-I）1=C’，

解得"=4、〃=3.

所以椭圆G的方程为工+?=1.

43

<n）由题设,直线/的斜率存在，设其方程为），=丘+〃>

则£（2,2k+〃。,直线0E的方程为），=（%+y）x.

由、j,"+〃?，得（4d+3*+8ATHX+47n2-12=0.

31+4y2=12,

由』=48（4/一m2+3）>。，得m2<4^+3.

8^2247M2—\2

设C（X”弘），。（工2，%），则3=y相

T'/C।3•»*,।

直线AC的方程为y=」-(x+2).............9分

x,+2

联立直线2C和。E得二^(x+2)=(k+-)x.

Xi+22

解得“二——孙——二气二姐舞...........11分

/zm\f.wx.znx.+4k

(左+5)(芭+2)-％11

同理可得4=随让黑

mx2+4k

(fog+加)(啊+4k)+(姐+加)(啊+4%)

所以+4=4x............12分

(叫+4左)(吗+妹)

因为(如+w)(wx2+44)+(fcc2+ni)[mxx+4%)

2

=2kmxlx2+(4/+nj)(X1+x2)+8km

2配(4/-12)8M(4*+/)8袖(4/+3)

4k2+34炉+34/+3

=0,

所以X”+XN=0,即点M和点N关于原点。对称.

所以|O〃|=|ON|.15分

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C20)(共15分)

解：(I)当。=1时，/(x)=x+lnx+xc'，

所以/Xv)=1+g+。+x)c'............2分

所以"l)=2e+2.

所以曲线)，=〃、)在点(1、/⑴)处切”的斜率为2c+2............4分

(II)当。=-1时,f(x)=x+1n(r)-xc、，/(x)的定义域为(-s,0)•

=1+--(I+V)e'=(1+.v)(-^-cT).,”"..”6分

因为c"v0,

X

所以、£(-8,-1)时，/'(\)>0;1€(-1,0)时，f'(X)<0.

所以〃*)的单调递增区间为(-8,-1)；单调递减区间为(-1,0)...........9分

1px

(皿)/'(x)=(l+xX-+y).

当。>0时，“X)的定义域为(0,+8).

所以/'(x)>0,〃x)在(0,+8)上单调递增.

因为/(3>0,所以。>0不合题意・.....11分

a

当。<0时，〃x)的定义域为(-8,0).

因为X€(-8,_1)时，f'(x)>Q;xe(-1,0)时，r(x)<0.

所以/(X)的单调递增区间为(-8,-1);单调递减区间为(-1,0)・

所以/(X)皿=/(-l)=-l+ln(-a)--^-•...........13分

C

111Ay-L1

设g(x)=T+ln(-x)------,则g'(x)=-+-=——,

exxexrex

因为xe(-8,-1)时，g'(x)<0；xw(-1,0)时，g'(x)>0,

ee

所以g(X)的单调递减区间为(-8,-I);单调递增区间为(-1,0)•

ce

所以gWU.=g(-1)=-l-

所以集合｛x|〃x)dT｝有且只有一个元素时a=-1...........15分

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(21)(共15分)

解：(1)记乙=哂+。乩+…+”也.

因为，।=3、，,=2,八=0,