2024届天津高三第六次模拟考试数学试卷含解析

2024届天津南开中学高三第六次模拟考试数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设广(九)函数/(x)(x>0)的导函数，且满足广⑺〉宜［0,若在AASC中，NA=/，则()

A./(sinA)sin2B<f(sinsin2AB./(sinC)sin2B</(sinB)sin2C

C.f(cosA)sin2B>f(sincos2AD.J「(cosC)sin2B>f(sinB)cos2C

•且4^/^5=(a+Z?)2,贝(|sin[c+—J:

2.在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若AABC的面为S,

()

A.1B.—Ca-血D戈+亚

244

3.已知i是虚数单位，若三:=i,贝！]|z|=()

l-l

A.72B.2C.73D.3

4.函数/(x)=[x-，]cosx

(—万VxV»且x/0)的图象可能为()

-AIZL

二甲；X

JL

D.J

rq/\；X

5.在区间［-1,1］上随机取一个数左，使直线y=©x+3）与圆Y+y2=i相交的概率为（）

11J2J2

A.-B.-C.—D.—

2343

6.抛物线方程为丁=4%,一直线与抛物线交于AB两点，其弦的中点坐标为（U）,则直线的方程为（）

A.2x-y-l=0B.2x+y-l=OC.2x-y+l=0D.一2%一丁一1=0

(iy

12

7.-+TWC的展开式中X5的系数是-10,则实数加=（)

A.2B.1C.-1D.-2

8.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我

们称形如以下形式的等式具有“穿墙术"：*=后’=4右=/耳，5^=J耳，则按照以

上规律，若iojW10W具有，，穿墙术”，贝!|〃=（）

Vnn

A.48B.63C.99D.120

9.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

/^^S/

［结束)

A.16B.48C.96D.128

10.已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（）

-*-2/2-0,

△

A.272B.2A/3C.4D.276

11.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）

A.

2222/T

12.已知a>b>0,椭圆G的方程「+与=1,双曲线。，的方程为三-与=1,G和C,的离心率之积为中,

a2b2a2b“2

则C2的渐近线方程为（）

A.x±V2y=0B.缶土y=0C.x±2y=0D.2x土y=0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知打的终边过点（3根,一2）,若tan（/r+a）=],贝！）m=.

3

rx--,x..o

2

14.已知函数/（%）=<若/（3加—1）>/（2—加），则实数机的取值范围为

3

2x--,x<0

2

15.AABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知26cosA=2c+Ga，则/B=.

16.若直线区-y-k+2=。与直线x+6一2k—3=0交于点p,则。尸长度的最大值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在数列｛《,｝中，已知q=l,且mi』=（〃+1）。"+3〃（〃+1）,n&N*■

（1）求数列｛4｝的通项公式；

,n（n+l），、11

⑵设—L,数列也的前〃项和为7“，证明：一<<<一.

44+143

20

18.（12分）已知矩阵加=]],求矩阵〃的特征值及其相应的特征向量.

19.（12分）已知四棱锥P—ABC。中，底面ABC。为等腰梯形，AD\BC,PA=AD^AB^CD=2,BC=4,

B4_L底面ABCD.

p

(1)证明：平面？AC，平面上钻；

(2)过"的平面交于点E,若平面D4E把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，求二面角A-PE-5的

余弦值.

20.(12分)如图，四棱锥尸-A3CD中，侧面B钻为等腰直角三角形，3CJ_平面

PAB,PA=PB,AB=BC=2,AD=BD=45.

(1)求证：？4，平面「3。；

(2)求直线PC与平面R4D所成的角的正弦值.

21.(12分)如图，在三棱柱ABC—AgG中，已知四边形A&GC为矩形，44=6,AB=AC=4,

ZBAC=ZBAAl=60°,N^AC的角平分线交CQ于。.

(1)求证:平面平面A41GC；

(2)求二面角A-AG-a的余弦值・

22.(10分)已知椭圆C:「+与=1(a>b>0)的两个焦点分别为Fi(一应，0)、F2(&,0).点M(1,0)

ab

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(mr3).过点M任作直线1与椭圆C相交于A、B两点，

设直线AN、NP、BN的斜率分别为ki、k2>k3,若ki+k3=2k2,试求m,n满足的关系式.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据广⑶〉生工的结构形式，设8(司=绅，求导g[x)=x"(x)~(x)，则g'(x)>0,g(x)在

XXX

TTTT

(0,+8)上是增函数，再根据在AABC中，ZA=y,得到0</B<i，0<ZC<-,利用余弦函数的单调性，得

到cosZC>sinAB,再利用g(x)的单调性求解.

【详解】

设g(x)="^，

..,/、xf'-2f

所以g'(X)=---3------>

因为当了>0时，尸(同〉也立，

X

所以g'(x)>0,g(x)在(0,+。)上是增函数，

37r7T7T

在AABC中，因为NA=—,所以0<NB<—,0<ZC<-,

444

(77\rrIT

因为cos/C=sin—+ZB,K0<ZB<—+ZB<—,

14)42

所以sinZB<sin+ZBj,

即cosZC>sinZB，

所以"cosC)〉"sin8),

cos2Csin'B

即/(cosC)sin2B>/(sinB)cos2C

故选：D

【点睛】

本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2、D

【解析】

根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可.

【详解】

解：由40S=（a+〃）2—

2

得4V5xgaZ?sinC=〃2+/-c+2ab,

V/+62_c2=2abcosC，

•••26absinC=labcosC+lab，

即A/3sinC-cosC=1

即2sin.?]=l,

则sin.?（；,

,:0<C<7l9

7171STI

：.——<c——<—,

666

TTTTTT

：.c--=-,即。=上，

663

r,，一（八万、.（n兀、.兀兀万."也无

则sinC-\——sin—1——sin—cos—cos—sin———x--

14）U4）343422224

故选D.

【点睛】

本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计

算是解决本题的关键.

3、A

【解析】

直接将三=i两边同时乘以・求出复数z,再求其模即可.

【详解】

解：将9=i两边同时乘以1-3得

1—1

z=z(l-z)=l+z

|z|=V2

故选：A

【点睛】

考查复数的运算及其模的求法，是基础题.

4、D

【解析】

因为/(—x)=(—x+^)cosx=—(x—L)cosx=—/(x),故函数是奇函数，所以排除A,B；取X=%，贝!J

XX

/(7T)=(^--—)COS7T=-{TV--)<0,故选D.

7171

考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.

5、C

【解析】

根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.

【详解】

因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交，所以

134|5解得一字,心字

J1+42

也

所以相交的概率p=T=VI，故选c

一方一彳

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.

6、A

【解析】

设4（%,%）,5（%2，%），利用点差法得到=3=2,所以直线A5的斜率为2,又过点（U）,再利用点斜式

即可得到直线A5的方程.

【详解】

解:设4（和%）,5（1，%），,比+%=2,

又|,「©I,两式相减得：力一£=4（七一9）,

[%=4々

；•（%+%）（X—%）=4（%一%），

1=3=2

,,玉-42，

直线AB的斜率为2,又.•.过点（1,1）,

二直线的方程为：y-l=2（x-l）,即2尤—y—1=0,

故选：A.

【点睛】

本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可

把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系.

7、C

【解析】

利用通项公式找到V的系数，令其等于-10即可.

【详解】

_155.55

二项式展开式的通项为=成（『5广’（/总2丫=加成/”。令5r-5=5'得厂=3，

则看=疗C；》5=—10%5,所以加3。；=-10,解得“=—i.

故选：C

【点睛】

本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

8、C

【解析】

观察规律得根号内分母为分子的平方减1,从而求出n.

【详解】

解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1

所以“=IO?-1=99

故选：C.

【点睛】

本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.

9、B

【解析】

列出每一次循环，直到计数变量i满足3退出循环.

【详解】

第一次循环：S=2i(l+l)=4,i=2；第二次循环：5=4+22(1+2)=16,1=3；

第三次循环：5=16+23(1+3)=48,7=4,退出循环，输出的S为48.

故选:B.

【点睛】

本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.

10、B

【解析】

由三视图可知，该三棱锥如图，其中底面ABC是等腰直角三角形，PC，平面ABC,结合三视图求出每个面的面积即

可.

【详解】

由三视图可知，该三棱锥如图所示：

其中底面ABC是等腰直角三角形，PC，平面ABC,

由三视图知，PC=2,AB=2y[2,

因为PC，8C,PC，AC,AC=3C,AC，CB,

所以AC=BC=2,PA=PB=AB=2A/2,

所以SAPAC=S"CB=^AACB=-X2X2=2,

因为ARAB为等边三角形，

所以SAFAS=4432=孝义已④了=2百,

所以该三棱锥的四个面中，最大面积为.

故选：B

【点睛】

本题考查三视图还原几何体并求其面积；考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关

键;属于中档题、常考题型.

11,C

【解析】

根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.

【详解】

由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.

12、A

【解析】

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合G和的离心率之积为走，即可得。力的关系，进而得双曲线的离心率

2

方程.

【详解】

2222

椭圆G的方程》+a=1，双曲线G的方程为会-2=1，

则椭圆离心率G='"2一"，双曲线的离心率e,=

aa

由G和。2的离心率之积为—，

一2

gn7«2-b2yja2+Z?2A/3

叩句⑦=----------x-------------=—，

aa2

解得2=±也,

a2

所以渐近线方程为y=±Y2x，

2

化简可得％±岳=0,

故选：A.

【点睛】

本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-2

【解析】

7由题意利用任意角的三角函数的定义，求得机的值.

【详解】

；&的终边过点(3根,一2),若tan(〃+a)=g,

/、-21-

tan(yr+(z)=tana=——=-,:.m=-2..

V73m3

即答案为-2.

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.

【解析】

画图分析可得函数是偶函数，且在(0,+8)上单调递减，利用偶函数性质/(%)=/(W)和单调性可解.

【详解】

作出函数/(%)的图如下所示，

观察可知，函数/（x）为偶函数，且在（-8,0）上单调递增，

在（0,+8）上单调递减，故/（3机—1）>/（2—机）o|3加—11v2—机|o

,13

8w-2m-3<00——<m<—,

24

13

故实数机的取值范围为（-于/.

13

故答案为：

24

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式.函数奇偶性的常用结论：

⑴如果函数7（%）是偶函数，那么/（%）=/（忖）.

⑵奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

15、150°

【解析】

利用正弦定理边化角可得2sinAcosB+百sinA=0,从而可得cos3=-且，进而求解.

2

【详解】

由26cosA=2c+®a，

由正弦定理可得2sin3cosA=2sinC+^3sinA,

即251113（：0574=25111（74+3）+百sinA,

整理可得2sinAcosB+V^sinAuO，

又因为sinA/O,所以cosB=—且，

2

因为0<5<180，

所以8=150，

故答案为：150°

【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.

16、272+1

【解析】

根据题意可知，直线次-丁-左+2=0与直线工+6一2左—3=0分别］过定点A,3，且这两条直线互相垂直，由此可知，其交

点P在以为直径的圆上，结合图形求出线段OP的最大值即可.

【详解】

由题可知,直线依一y_左+2=0可化为左(x_l)+2_y=0,

所以其过定点4(1,2),

直线无+B一2k—3=。可化为x—3+左(y—2)=。，

所以其过定点8(3,2)，且满足k-l+(—1)・左=0,

所以直线依一y—左+2=。与直线工+外一2左一3=0互相垂直，

结合图形可知，线段O尸的最大值为+1,

因为C为线段的中点，

所以由中点坐标公式可得C(2,2),

所以线段OP的最大值为20+1.

故答案为：2应+1

【点睛】

本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定

义得到交点尸在以A3为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)an=3n—2n；(2)见解析.

【解析】

(1)由已知变形得到4!-2=3,从而｛%｝是等差数列，然后利用等差数列的通项公式计算即可；

n+1nn

(2)先求出数列｛〃｝的通项，再利用裂项相消法求出7“即可.

【详解】

(1)由已知，"=&+3,即乌&—%=3,又幺=1,则数列｛%｝是以1为首项3

n+1nn+1n1n

为公差的等差数列，所以%=1+5—l)x3=3〃—2,即a,=3/?—2”.

n

(2)因为4=”(3〃—2),则bn=+，

cinan+i(3n-2)(3n+l)33n-23n+l

所以+(——七)]=1=:(1——)<\又

34473n—23n+133n+l3

｛1—不二｝是递增数列，所以7；27；=，，综上，-<Tn<-.

3n+l443

【点睛】

本题考查由递推公式求数列通项公式、裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道基础题.

「0[「11

18、矩阵M属于特征值1的一个特征向量为],矩阵"属于特征值2的一个特征向量为]

【解析】

先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令/(丸)=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特

征向量.

【详解】

2

由题意，矩阵M的特征多项式为了(4)=114=2-32+2,

令/“)=0,解得4=1，4=2,

(2-2),冗+0.y=0

将4=1代入二元一次方程组'」.八，解得x=o,

0

所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为］;

T

同理，矩阵〃属于特征值2的一个特征向量为］v

【点睛】

本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键,

着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4

19、(1)见证明；(2)-

7

【解析】

(1)先证明等腰梯形ABC。中AC，A3,然后证明即可得到平面从而可证明平面PAC

_L平面B43；(2)由电棱锥P-4BE=%棱锥尸—ABCD，可得至U^AABE=S梯形AECD，列出式子可求出3E,然后建立如图的空

/-\1^1

间坐标系，求出平面B4E的法向量为〃］,平面PBE的法向量为%,由可得到答案.

【详解】

(1)证明：在等腰梯形ABC。，ADBC,AD=AB=CD=2,

易得NA5c=60°

在AABC中，AC2-AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+16-8=12,

则有Afi2+Ac2=§。2,故AC,

又PA_L平面ABCD,4。匚平面48。。，，/%_174。，

AC±AB

即平面必13，故平面PAC_L平面

ACVPA

(2)在梯形ABC。中，设BE=a,

一匕棱锥P-ABE=%棱锥P-ABCD，…SAABE=S梯形AEC»，

j-xBAxBEsinZABE=叱+:办'，而/z=722-12=上，

即、2xax3=(”"+2)义君,.43.

222

以点A为坐标原点，A3所在直线为x轴，AC所在直线为V轴，AP所在直线为z轴，建立如图的空间坐标系，则

3回、

4(0,0,0),P(0,0,2),5(2,0,0),E—,0,

22J

设平面PAE的法向量为々=(X,y,z),AE-,^-,0加=(0,0,2),

22J

13^/3

n,±AE—XH------V=0n

由＜4得22-

n^LAP

2z=0

/且o]

取X=l,得y=Z=0，-19吁

-9

同理可求得平面。5石的法向量为〃2=

IJJ

设二面角A-PE-B的平面角为6,

7

【点睛】

本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能

力及计算能力，属于中档题.

20、(1)见解析(2)逅

9

【解析】

(1)根据BC_L平面利用线面垂直的定义可得5CLK4,再由根据线面垂直的判定定理即可证

出.

（2）取AB的中点。，连接。ROD,以。为坐标原点，8,OP分别为％%z正半轴建立空间直角坐标系

O-xyz,求出平面PAD的一个法向量，利用空间向量法即可求解.

【详解】

（1）因为3C_L平面平面RLB,

所以5CLB4

由AR4B为等腰直角三角形，

所以

又PBcBC=B,故PAL平面P4B.

（2）取A5的中点。，连接。ROD,

因为PA—PB,AD=BD,

所以P0_LAB,O0，AB,

因为平面R45,

所以平面ABCD,

所以尸0，平面ABCD,PO10D,

如图，以。为坐标原点，OD,O&OP分别为苍y*正半轴建立空间直角坐标系o-孙z,

则AO=BO—PO=1>DO=AD2—AO2=2,

又BCLAB,DOLPA,

所以OD//BC且。。=BC,于是

P（0,0,l）,A（0,-l,0）,D（2,0,0）,C（2,l,0）

PC=（2,l,-l）,AP=（0,l,l）,AD=（2,l,0）,

设平面PAD的法向量为"=（尤,y,z）,贝！|

n-AP=y+z=O

<

n-AD=2x+y=Q

令x=1得平面PAD的一个法向量〃=（1,-2,2）

设直线PC与平面上4。所成的角为a,

【点睛】

本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角，属于中档题.

21、(1)见解析；(2)3叵

17

【解析】

(1)过点。作DE//AC交A&于E,连接CE,BE,设ADCE=O,连接80,由角平分线的性质，正方形的性

质，三角形的全等，证得CE±AD,由线面垂直的判断定理证得CE_L平面氏4。，再由面面垂直的判

断得证.

(2)平面几何知识和线面的关系可证得50,平面MGC,建立空间直角坐标系。-孙z,求得两个平面的法向量,

根据二面角的向量计算公式可求得其值.

【详解】

(1)如图，过点。作DE//AC交AA于E,连接设CE=。，连接80,ACIA^,.-.DELAE,

又AO为NAAC的角平分线，，四边形AEOC为正方形，.•.CELAD,

又AC=AE,ZBAC=ZBAE,BA=BA,:.NBAC=/^BAE,:.BC=BE,又〔。为CE的中点，:.CEVBO

又AD,3Ou平面氏4£>,AD30=0,平面区4。，

又CEu平面A40C，.•.平面R4D，平面441G。，

(2)在AABC中，AB=AC=4,Za4c=60。，..5。=4,在RtAfiOC中，CO=；CE=2也，BO=2^，

又AB=4,AO=-AD=2^2,BO2+AO2=AB2,：.BO±AD,

2.

又BO工CE,ADCE=O,AD,CEu平面A41GC,.•.30,平面A41clC,

故建立如图空间直角坐标系o—孙Z,则A（2,-2,0）,4（2,4,0）,G（-2,4,0）,

(0,6,2忘)，.•.G4=(2,2,2及)，AQ=(-4,6,0),G、=(4,0,0),

,-m±C.B.[-4X1+6%=0

设平面A4a的一个法向量为加=(%,如4),贝！I'\一一5n

mAC1[2石+2%+2«2Z]=0

令石=6,得加=(6,4,-50),

n±CB

设平面a用G的一个法向量为〃=（w，%，Z?），贝小ll

nl.GA

4x—0

任2=。’令E得〃=©五7

m-n9yfl3后

COS<771,〃>="；—i—ir=—.-----产下一，由图示可知二面角A-B