2024届河南省周口市高三二模数学试题（含答案解析）

2024届河南省周口市高三二模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。={x|-l<x<5},集合A满足电A={x|O4无<3},则（）

A.OeAB.l^A

C.2e4D.3^A

2.数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位数为（）

A.8.5B.8.6C.8.7D.8.8

3.已知数列{%}为等比数列，且4=1,%=16,设等差数列也}的前〃项和为S“，若

05="5,则Sg=()

A.—36或36B.-36C.36D.18

4.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设。，6,加（加>0）

为整数，若。和6被加除得的余数相同，则称。和6对模优同余，记为。三b（mod〃z）.

若a=4-2+C；°"+...+C宾"0,a=6（modl0）,则6的值可以是（）

A.2018B.2020C.2022D.2024

5.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数

y=Asin女，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复

合音.若一个复合音的数学模型是函数〃x）=sin尤+gsin2x（xeR）,则下列说法正确的

是（）

A.的一个周期为兀B.〃x）的最大值为万

C.“X）的图象关于点g,0卜寸称D.〃x）在区间［0,可上有2个零点

6.在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三

人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级

的条件下，乙达到优秀等级的概率为（）

,5「7-9-20

A.—B.-C.—D.—

882929

7.在平面直角坐标系xOy中，设42,4）,动点P满足PO.PA=-1,则

tan/PBO的最大值为（）

A2V2TR4晒「2历nV2

A.--------D.----------C.---------D.---

2129412

22

8.已知双曲线C：♦-斗=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳、B，双曲线C的离

ab

心率为e,在第一象限存在点尸，满足e-sinNPF；8=l,且5耳时=4/,则双曲线C的

渐近线方程为（）

A.2x±y=0B.x±2y=0

C.3x土y=0D.九±3y=0

二、多选题

9.在复平面内，复数z=工-立i对应的点为A,复数Z?=4-1对应的点为3,下列说

22

法正确的是（）

A.闾=闾=1B.z/Z2=|z/

C.向量AB对应的复数是1D.|4B|=|Z]-Z2|

10.如图，在矩形A叫A中，M=1,AB=4,点C,2E与点£，2,用分别是线段A3与

A耳的四等分点.若把矩形ABB,A卷成以AA,为母线的圆柱的侧面，使线段AA,与BB,重

合，则以下说法正确的是（）

fCQi8勺

ACDEB

A.直线AG与。耳异面B.AE〃平面A。。

c.直线。耳与平面AER垂直D.点G到平面的距离为述

71

11.己知函数/（无）的定义域为R,且/（x+y）"x-y）=[/（x）T-[/（y）T，

/⑴=l"（2x+l）为偶函数,则（）

A.f（0）=0B.为偶函数

2024

c.f（2+x）=-f（2-x）D.£f（k）=o

k=l

三、填空题

12.抛物线无2=工>的准线方程为y=i,则实数。的值为.

a

试卷第2页，共4页

13.在ABC中，A,3,C的对边分别为a,6,c,已知"血,6=4,ccosB+a=0,则

边。=_____，点。在线段A8上，且/CD4=—,则CD=_____.

4

1h

14.已知不等式Jb一2办26对任意的实数x恒成立，则:的最大值为.

四、解答题

15.荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史

原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中

每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，

乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待

上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为g,各局比赛的结果相互独立.

⑴求前3局比赛甲都取胜的概率；

(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

16.已知函数-lnx)+(l-2a2)x(aN。).

⑴若x=l是函数y=/(x)的极值点，求。的值；

⑵求函数y=y(x)的单调区间.

17.如图，在多面体D48CE中，ASC是等边三角形，AB=AD=2,

(1)求证：BCLAE；

(2)若二面角A-3C-E为30。，求直线OE与平面AC。所成角的正弦值.

18.已知椭圆E：A+多=l(a>6>0)过点(0,1),且焦距为2VL

ab

⑴求椭圆E的标准方程；

(2)过点5(1,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为N.

①证明：直线必过定点；

②若弦AB,CD的斜率均存在，求肱VS面积的最大值.

19.已知数列｛%｝为有穷数歹!J,且凡eN*,若数列｛%｝满足如下两个性质，则称数列｛风｝

为根的上增数列：①％+。2+/+…+4,=加；②对于,使得的正整数

对(仃)有4个.

⑴写出所有4的1增数列；

(2)当九=5时，若存在机的6增数列，求机的最小值；

(3)若存在100的左增数列，求k的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据全集和集合A在全集中的补集易得集合A,逐一判断选项即可.

【详解】由。=料一1<无<5},^A={x|0<x<3},可得A={x|-L<x<0或3V无<5}

则0史4,UA,2eA,3GA,故B项正确，A,C,D项均是错误的.

故选：B.

2.D

【分析】根据百分位数计算规则计算可得.

【详解】因为8x75%=6,

Q7-LRQ

所以这组数据的第75百分位数为从小到大排列的第6、7两数的平均数，即为2=8.第

故选：D

3.C

【分析】根据等比数列的通项公式求得r=4,继而求得々=生的值，利用等差数列前〃项

和公式进行计算即可.

【详解】数列{%}为等比数列，设公比为q,且4=1,%=16,

贝！］2=相=16,则/=4,

贝b5==aq*=4,

则品=色?9=9仇.，

故选：C.

4.B

【分析】依题意可得a+l=CC+CC,2+C；o"+...+cC-22。,利用二项式定理说明。被10除

得的余数为0,即可判断.

【详解】因为a=CC，2+Co"++C今220,

所以a+l=C；o+C；o-2+C；o"+..+C*"。

201010lo9

=(1+2)*=3=9=(10-1)=C®oxlO-C；oxlO+...-CiOxlO+l,

所以a=C：oXl(y°—C；oX109+.—C：oX10=10(C；oX109—C；oX108+...—C：o),

答案第1页，共15页

即。被10除得的余数为0，结合选项可知只有2020被10除得的余数为0.

故选：B

5.D

【分析】对于A,考查函数y=sinx与y=gsin2x的周期即可；对于B,考查函数'=$111X与

y=gsin2x的最大值，验证同时取最大值时的条件即可判断；对于C,利用中心对称的条件

进行验证即可；对于D,令〃x)=0,解方程即可.

【详解】对于A,因为y=sinx的周期为2兀，y=gsin2x的周期为兀，所以

〃x)=sinx+gsin2x的周期为2无，故A错误；

对于B,因为函数、=sinx的最大值为l,y=：sin2x的最大值为:，

□

故两个函数同时取最大值时，/(X)的最大值为5，

JTJT

此时需满足％=—+2fai,Z£Z且2x=—+2E,左eZ,不能同时成立,

22

□

故最大值不能同时取到，故/(%)的最大值不为;，则B错误；

对于/（兀-）（兀一）；（兀一%）]=；

C,x=sin%+sin[2sin%—sin2x则

/（x）+/（7i-x）=2sinx^0,

故的图象不关于点，，。卜寸称，c错误;

对于D,因为/'（无）=sinx+gsin2x=sin尤（l+cosx）=0时,sin尤=0,又xe[0,兀],

所以x=0或者》=兀；或者l+cosx=0,此时cosx=-l,又了€［0,兀］,

所以X=7C,综上可知，“X)在区间［0,可上有2个零点，故D正确,

故选：D.

6.C

【分析】根据独立事件乘法公式和条件概率公式可得.

【详解】分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件A民C,

记甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件。，

记乙达到优秀等级为事件E.

答案第2页，共15页

由题知，P（A）=0.5,P（B）=0.6,^（C）=0.7,

所以P（£＞）=P（4C）+P（社0+P（湿C）

=0.5x0.4x0.3+0.5x0.6x0.3+0.5x0.4x0.7=0.29，

P（E）=P（ABC）=0.5x0.6x0.3=0.09.

所以「（©0=理9

''0.2929

故选：C

7.C

【分析】设出点尸（％y）,利用数量积的坐标表示得到点P的轨迹，结合直线与圆的关系进

行求解即可.

【详解】设P（x,y）,则PO=（T,-y）,PA=（2-xA-y）,

贝°POPA=-x（2-x）-y^-y^=-\,BPx2-2x+-4^+1=0,

化为（x-iy+（y-2）2=4,则点尸的轨迹为以。（1,2）为圆心，半径为2的圆,

显然当直线尸3与此圆相切时，tan/PB?的值最大.

又BD=4¥+G=3区PD=2,

贝!J尸8=ylBD2-PD2=J45—4=屈,

PD22a

贝！ItanNPBO=—=-==

PBV41A/41

故选：C.

8.A

答案第3页，共15页

【分析】由题意设归耳|=二，则|尸阊=/一24,而sin/P/但=J=g|4阊=2c,由三角形

面积公式可得|P耳|=4。，从而Pg=2a,在笆中，运用余弦定理可得2=2,由此即可

a

得解.

【详解】

产2X

设阀|=£,则俨引=/一2°,而e-sinNP>以=1,所以sin/P耳骂=>=@,

ec

所以点尸到片耳的距离为|尸用sin/3乙=汽，

C

又闺段=2c,所以S4法=:2。n=4/,

解得f=4a,即|P周=4%从而归国=2”，

又因为sin/尸耳&=工=q,

ec

所以cos/尸耳为=

在APF匹中，由余弦定理有cosZPER=-=（41+（2。）-一（2。）一,

12c2.4Q.2c

b24b

所以4ab=4a2+c2—a2=b2+4a2，BP--------F4=0,

aa

b

解得2二2,双曲线。的渐近线方程为2x±y=0.

故选：A.

9.AD

【分析】根据复数的模、复数的几何意义逐一分析即可.

【详解】因为Z=L-3i,所以Z?=-L-走i，

所以A

答案第4页，共15页

B错误;

由上可得AB=(-1,0),对应复数为—1,C错误;

|z「Z2|=g_gi-----1-y-i=1,\AB\=1,D正确.

故选：AD

10.ABD

【分析】由A。是平面AOG内不过。的直线，可判断A；通过判断AE//C。可判断B；由

长方形。26E的邻边。EwDR,可判断C；根据圆。的周长求半径，然后可得GA，即

可判断D.

【详解】A选项：由图可知，Dgc平面A£>G=D，4G是平面ADJ内不过。的直线，

所以，直线AG与。&异面，A正确;

B选项：由题知，AQCE是底面圆的直径，且ADLCE,

所以四边形ACDE为正方形，所以AE〃C。，

又CDu平面AC£»,AEa平面AC。，

所以AE〃平面AC£>,B正确;

答案第5页，共15页

C选项：由题知，劣弧£）E的长为1,DDV=1,

所以DEwDR,所以长方形DDXEXE的对角线。0RE不垂直,

所以直线。片与平面AEQ不垂直，C错误；

D选项：同上可得AGRg为正方向，所以

由圆柱性质可知，DDX1QP,,

又DD[cDE=D,DDt,D、E\U平面OREQ,

所以Ca，平面ORE",

所以GA即为点G到平面DDE的距离，

记圆。i的半径为"，则2口=4,得r=4,

兀

所以+/=1=¥,D正确.

故选：ABD

11.ACD

【分析】令尤=y=0,可判断A；令x=0,可判断B；由函数图象的变换可得/（X）的图象

关于x=l对称，结合奇偶性可得周期性，即可判断C；根据周期性和赋值法求得

/（2）,/（3）,/（4）,然后可判断D.

答案第6页，共15页

[详解]令x=y=o,^[/(0)]2=[/(0)]2-[/(0)]2=0,即〃0)=0,A正确；

令x=o,得f(y)f(-y)=[f(o)]2-[f(y)]2,

又"0)=0,所以/(y)[/(-y)+f(y)]=0对任意yeR恒成立，

因为/。)=1,所以〃y)不恒为0,

所以y)+〃y)=。，即/(一y)=—/(y)，B错误；

将/(x)的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不

变，可得/(2x+l)的图象，

因为『(2尤+1)的图象关于x=o对称，所以〃力的图象关于x=l对称，

所以〃x)=〃2-X),

又“X)为奇函数，

所以/(2-x)=-〃x-2)=-/[2-(x-2)]=-〃4-x)=〃x-4),

所以〃x)=〃x—4),所以4为的周期.

由〃x)=〃x—4)可得〃x+2)=〃x—2)=—"2—x),C正确；

因为/(3)=〃-1)=一/⑴=-1,/(2)=/(2-2)=/(0)=0,〃4)=/(0)=0,

2024

所以左)=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=0,D正确.

k=\

故选：ACD

【点睛】难点点睛：本题难点在于合理赋值，利用对称性求得周期，然后即可求解.

12.--/-0.25

4

【分析】根据抛物线方程及准线方程列出方程，解出即可.

【详解】依题可知-《=1,

4。

贝普=-9，

4

故答案为：

4

13.710手W店

答案第7页，共15页

【分析】利用余弦定理角化边，即可构造方程求得C；利用余弦定理可求得cosA,在△ADC

中，利用正弦定理即可求得结果.

/_,2

【详解】由余弦定理得：c+a=0,即3/+C2一/=0,

lac

c2=Z?2-3^=16-6=10,解得：c=—W(舍)或。=可；

/_A।A-rmznA6?+，—Q?16+10—23^/10

在ABC中，由余弦定理得：cosA=----------=——7^—=——，

2bc8V1010

/.sinA=A/1-COS2A=,

10

b.4M_4小

在△ADC中，由正弦定理得：：sinNOM-正』而一丁

~T

故答案为：Vio；.

14.2-21n2

【分析】通过1换元将不等式化成e'-20+2〃-。-220,对任意的实数x恒成立,

a

^f(t)=et-2at+2a-b-2,对。的取值分类讨论，得至!Ja>0时

/(Onnn=f=^a-2aln(2tz)-b-2,依题得b«4〃_2〃ln(2〃)_2,即

h22

-<4-21n(2^)——再令g(a)=4—21n(2〃)——,a>0,分析得到gQ*ax=且⑴=2—21n2,从

aaa

b

而即得上«2—21n2.

a

ii1

【详解】令，=%——+1,贝1+—,不等式可化为：以―2。。—1+—)2。对任意的实数

aaa

%恒成立，

即e‘一2m+2〃一6—220对任意的实数x恒成立.

设=2at+2a-b-2,则f\t)=el-2a,

当时，r(0>0,/«)在R上单调递增，—8,/。)——s,不合题意；

答案第8页，共15页

当〃〉0时，由-⑺=e'-2。=0可得，=ln(2a),

当，<ln(2a)时，[⑺<0,/⑺单调递减，当，>ln(2a)时，尸⑺>0,/⑺单调递增，

则当，=ln(2a)时，/⑺而「=/(ln(2a))=4〃—2〃ln(2〃)—力—2.

因/(0>0对任意的实数x恒成立，故/⑺疝°=/Qn(2。))=4。-2Mn(2〃)—6-2N0恒成立，

b2

即Z?«4a_2Qln(2a)—2,贝Ij—44—2ln(2〃)一一.

aa

令g(a)=4-2]n(2a)--,a>0,贝ljg\a)=--+^-=生不虫，

aaaa

当Ovavl时，gr(d)>0,g(〃)单调递增，当Q>1时，g'(〃)<0,g(〃)单调递减.

故g(〃)max=g6=2—21n2,

hb

即之42-21n2,故巴的最大值为2—21n2.

aa

故答案为：2-21n2.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查由不等式恒成立求解参数范围问题，属于难题.

解题的关键在于通过设/=彳-工+1进行换元，将不等式化成e'-2m+2°-8-220,设函数

a

f(t)=et-2at+2a-b-2,分析得到/⑺*=/(皿2。))=4。—2Qln(2a)-&-2>0,然后分

h?2

离出一44-21n(2〃)-一，将问题转化为求函数g(〃)=4-21n(2a)—-,〃>0的最大值即得.

aaa

15.⑴！

8

9

⑵分布列见解析，-

O

【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式计算即得；

(2)列出随机变量X的所有可能的值，分别求出每个值对应的概率，列出分布列，求出期

望值.

【详解】(1)因各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜，

则前3局甲都取胜的概率为

2228

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.

其中，X=0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则P(X=O)=gxg=；；

X=1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，

答案第9页，共15页

11111_

则尸(x=l)=—x——|——x—=

22222

X=2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输,

X=3表示第1局乙赢,且第2局乙赢，第3局乙赢,

贝小=3）=?起1

8

所以X的分布列为

故X的数学期望为E(X)=OX：+1>4+2X：+3X：=3.

428oo

16.(1)1

（2）单调减区间为（0M）,单调增区间为（",心）

【分析】（1）由X=1是函数y=/（x）的极值点，/⑴=0,求解验证即可；

（2）利用导函数求解函数的单调区间即可.

【详解】（1）函数定义域为（0,+8）,尸⑺，2a1+（1-2.卜一〃,

因为x=l是函数y=的极值点，

所以r（1）=]+°_2a2=0,解得一;或g,

因为“20,所以a=l.此时/'（X）=2X2X1=（2X+1）（X1）,

XX

令广（x）>0得％>1，令人）<0得0VXV1,

・・・/（力在（0,1）单调递减，在（1,+。）单调递增，所以X=1是函数的极小值点.

所以4=1.

（2）,（、2ox2+（1—^x—a（2ox+l）（X-a）

/（无尸二

xx

因为a20,所以2依20,令/'（">0得x>。；令/'（%）<。得0<x<a;

答案第10页，共15页

.••函数的单调减区间为（0,4）,单调增区间为（。,+8）.

17.（1）证明见解析

⑵立

7

【分析】（1）取2C中点。，连接A。，EO,利用线面垂直的判断定理证明平面AEO,

继而可解；

（2）以。为坐标原点，OA,OB,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

利用线面角的向量表示进行计算即可.

【详解】（1）取BC中点。，连接AO,EO.

ABC是等边三角形，。为中点，

AO±BC,

又EB=EC,：.EO1BC,

VAOEO=O,AO,EOc^AEO,

：.8c1平面AEO,

又AEu平面AEO,ABCLAE.

E

（2）连接。。，则”>_L5C,

由AS=AC=3C=2,

DB=DC=EB=EC=也得AO=5D（9=l,

XAD=2,：.AO2+DO2=AD2,ADOLAO,

又AOBC=O,AO,3Cu平面ABC,

/.COJ■平面ABC.

如图，以。为坐标原点，OA,OB,所在直线分别为x,y,z轴,

建立空间直角坐标系。-孙z,

则。（0,0,0）,A（A/3,0,0）,C（0,-l,0）,£>（0,0,1）,

答案第11页，共15页

/.04=(73,1,0),CD=(0,1,1),

设平面ACD的法向量为〃=(x,y,z),

则卜0=°,即[氐+片°,

[nCD=0,[y+z=0,

取I=1,则九=(1,-鱼百).

ZAOE是二面角A-BC-E的平面角，

・•・ZAOE=30。，

又OE=1，。£=[¥，0,一;

I22JI22J

DEn近

贝ljcos£»E,”=^^=-^,

陷同7

直线。E与平面AC。所成角的正弦值为立.

（2）①证明见解析；②」

【分析】（1）根据题意有6=1,c=+,即可求解；

（2）①设直线〃B：%=世+1（相/0）的方程，联立与椭圆方程消元后，利用韦达定理可求

得点M的坐标，继而可得N点坐标，考虑直线MN斜率情况，得到其方程，即可求解；②

根据5,邠=5材欧+5'塔=，区必|为-班|,表示出的面积后，换元法转化函数，利

用单调性即可求得最大值.

【详解】（1）依题意有6=1,c=6,解得6=/+°2=4,

答案第12页，共15页

2

所以椭圆的方程为4rV"

(2)①设3：x=my+l(m^O),B(x,y),则>：x=-—y+l(m^O),

22m

x=my+1/\-2m

联立22_'故(/9〃~+4)y7+2my-3=0,A=16m2+48>0,%+%=

x+4y4m2+4'

8

%+%2=根(％+%)+2=

m2+4

/2

4-m144mm

故M,由---代替m,得N

疗+4'疗+4m1+4m21+4m2

44m24

当，即疗=1时，IMNX=

m2+41+4m2r过点K。5。.

44m25m

，即/W1时，KMN

当-?工7(2

m+41+4m4m-l)'

m5m4加加)

yH-----------------------：%------5-----72w1,w0,

m2+44(m2-1m+4

2

4(m-1)44m2+164

令…直线"N恒过点K

5"+4)5

当m=0,经验证直线MN过点K[1,0

综上，直线MN恒过点

KS

—CIc=^\\'\yM-yN\

②SMNS一0.MKS丁2,NKS

1

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