2024年中考数学考试易错题题型01 尺规作图

中考特色题型专练之尺规作图

几何篇

题型一、与三角形结合

1.在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律在等边A/BC中，点。是

边上任意一点，连接过点/的射线交3C于点E,交CD于点尸，当

=时，则必有8O=CE.为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用

图，作=再通过证全等得出结论.请根据小睿的思路完成以下作图与填

空：

⑴用直尺和圆规在图的基础上作=AE交BC于点E,交CD于点、F.（不

写作法，不下结论，只保留作图痕迹）

⑵证明：•・•/BC为等边三角形，

：.AC=AB=BC,①

试卷第1页，共16页

在和中，

/CAB=ZB

，(②)，

ZACD=NBAE

：.AACDABAE(ASA),

______③'

XvAB=BC

■■AB-AD=④,

..BD=CE.

2.如图，在RtZUBC中，ZC=90°,//=30。,.

（1）用尺规作图作45边上的中垂线DE,交AC于点、D,交AB于点E,再连接2D（保

留作图痕迹，不要求写作法和证明）

⑵在（1）题的基础上，求证：CD=DE

3.如图，在。8C中，N3=/C,点。在3c的延长线上，连接4D.

（1）在线段工。上确定点P,使得/。尸。=/2；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写

作法）

⑵在（1）的条件下，如果N5=5,AD=8,求PN的长.

4.（1）如图，已知RtZk/BC中，44c8=90。,。是上一点.求作。O,使得。。过

点A,且与3C相切.

要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明.

试卷第2页，共16页

BHB

（备用图I）（备用图2）

（2）如图，在RtZX/BC中，乙4。5=90。,/。诩=30。,/。=1,£）是边/8上一点（点。

与点A不重合）.若在Rt^/8C的直角边上存在不同的点分别和点A、。构成直角三角

形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围.

题型二、与四边形结合

图1图2

（1）若点E为边上一点，且/8£C=/DEC,请在图1中用尺规作图确定点£的位置,

并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑）

（2）在（1）的条件下，已知线段。£=2,线段/5=6,求3C的长.（请用图2进行探

究）

（1）按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）.

①作线段43的垂直平分线，交线段3c于点。，连接

②以点2为圆心，8。长为半径画弧，交线段的垂直平分线于另一点E

③连接/E,BE.请作出四边形4D8E.

3

（2）在（1）的条件下，若NE=5,sinZEAB=-,求的长.

7.如图，已知A/8C.

A

BC

试卷第3页，共16页

⑴请用无刻度的直尺和圆规在边8CC4/3上分别确定点2E,F，使四边形尸是

菱形，并画出菱形3DE尸(要求：不写作法，保留作图痕迹)

(2)若N8=10,5C=15,求(1)中所作菱形8。斯的边长.

8.如图1,在矩形/BCD中，AB=3,BC=5,点P是边8C上的一个动点，连接/P,

点。是。边上的一点，且满足△PC0s△/BP.

⑴在图1中作出点。；(要求尺规作图，保留作图痕迹并用黑笔描黑加粗，不写作法)

(2)当BP=1时，则。。=_；

(3)随着点P的运动，。。是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明

理由.

题型三、与圆结合

9.在。。中，AB=AC,连接3C.

[/O\)

(1)尺规作图：过点N作交80的延长线于点。(不写作法，保留作图痕

迹)；

(2)求证：为。。的切线；

(3)若2。=2,ZDBC=2ZABD,则。。的半径为.

10.如图，3C是。。的直径，点A在。。上.

(1)请在图1中的。。上作一点。(异于点B),使布=蕊，连接8。并延长交ZC的延

长线于点过A作8C的垂线交8M于点G；(作图使用没有刻度的真尺和圆规，不

写作法，保留作图痕迹，并在图中标注必要的字母)

试卷第4页，共16页

⑵在（1）中所作的图形中，求证：ABAGs^BDA.（如需画草图，请使用图2）

⑶在（1）中所作的图形中，若4B=12,AC=9,求/G的长.（如需画草图，请使用

图2）

11.尺规作图：

如图，已知，在中，ZC=90°,

（1）已知点。在边3C上，请用圆规和直尺作出。。，使。。经过点C,且与42相切（保

留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）若。。与切于点D,与的另一个交点为E,若48=30。，。。的半径为2,求

劣弧。E与线段AD、BE所围成的图形的面积.（结果保留））

12.已知，正方形48C。，边长为4,点尸是边48、8C上一动点，以。尸为直径作

GO,

⑴点尸在边上时（如图1）

图1

①求证：点。在边的垂直平分线上；

②如图2,若。。与边3c相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作

图痕迹），并求出版长；

试卷第5页，共16页

B

③如图3,点尸从A运动到点B的过程中，若“始终是万面的中点，写出H点运动的

轨迹并求出路径长：

⑵当点尸在边3c上时（如图4）,若H始终是丽心的中点，连接CH,穿=：,连接

rC2

冬14

题型四、与相似结合

13.如图，RtZX/BC中，ZACB=90°.

（1）作“8C的外接圆。O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，点。在。。上且与点C位于48异侧，连接8。并延长交的垂

直平分线于点E,过点E作EFLCB交CB延长线于点F,NBEF=2ZBEO.

①求证：ED=EF；

试卷第6页，共16页

②若m,求隼的值・

14.“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多...

【问题提出】(1)如图①，尸C是AP/8的角平分线，求证：”=”.

PBBC

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”.

小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等“，利用“等面积法”.

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明.

pA

【作图应用】(2)如图②，是。。的弦，在优弧48上作出点尸，使得)总=3.

PB

要求：①用直尺和圆规作图；

②保留作图的痕迹.

【结论应用】(3)在中，最大角一/是最小角/C的2倍，且/8=3,AC=4,

求3c.

15.如图，08c中，AB=BC,D、E分别为边4B、/C的点，DE//BC,

AD=2BD.

(1)用圆规和没有刻度的直尺在线段OE上求作一点尸，使S“加=S，CEF(两种工具分别

只限使用一次，并保留作图痕迹)；

(2)在(1)的条件下，过点尸作尸G〃/C交于G,AC=9,求尸G的值.

16.如图，在菱形48cZ)中，。尸_1_48于尸.

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D

⑴尺规作图：求作。。，使得/反。分别切。。于点尸、D;(要求：保留作图痕迹,

不写作法)

(2)在(1)的条件下，设。。分别交BD于点、E、F,连接E尸.求证：

DEDA=DFDB.

题型五、与三角函数结合

17.如图，海中有一个小岛H该岛四周lOnmile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，

开始在/岛南偏西58。的3处，往东行20nmile后到达该岛的南偏西30。的C处之后，货

轮继续向东航行.(tan58°"60,&a1.73)

BC

(1)请用尺规作图，找到货轮距离小岛N最近时的位置点尸(不写过程，需保留作图痕

迹)；

(2)当货轮航行到P点位置时，距离小岛N有多远，货轮有触礁危险吗？

18.小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形

成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部.

如图1是俯视图，0A,分别表示门框和门所在位置，M,N分别是04上的定

点，(W=27cm,ON=36cm,MF,NF的长度固定，NMFN的大小可变.

试卷第8页，共16页

(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，OALOB,ZMFN=180。，求/MVB的度

数.

(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点尸的位置如图3所示，请在图3中作出此

时门的位置03.

(用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(3)在门开合的过程中，sin/0/W的最大值为.(参考数据：

sin37°®0.60,cos37°®0.80,tan37°®0.75)

19.为了加强树木的稳定性，园林部门常常在树的周围打上木撑子(如图1),若木撑在

地面上的三个落脚点构成等边三角形，即图中的树的根部正好在等边三角形的

中心。处.

(1)若。/的长为50cm,求“BC的边长.

(2)如图2,已知树根部。及木撑的落脚点A确定，试只用圆规确定另两个落脚点B、

C.(不写作法，保留作图的痕迹)

20.(1)如图①，射线与直线/N垂直相交，交点为O,且0河=3,ON=4,请

你在直线/N和射线上找出一点P,使得AP九W为等腰三角形，请用尺规作图，在

试卷第9页，共16页

图中作出所有满足条件的点尸(用6,…表示)；(保留作图痕迹，不必写作法)

(2)如图②，平地上一幢建筑物48与铁塔CD相距50m,在建筑物的顶部A处测得

铁塔顶部C的仰角为28。，铁塔底部。的俯角为40。，求铁塔CD的高度.(参考数据：

sin28°«0.47,cos28°«0.88,tan28°«0.53,sin40°«0.64,cos40°«0.77,

tan40°«0.84)

函数篇

题型一、与一次函数结合

21.已知一次函数、=履+方(左、6为常数，后W0)的图像如图所示.

(1)若图像经过点(-1,0)和&2).

①求了与x的函数表达式；

②当-14x41时，y的取值范围是.

(2)尺规作图：在同一坐标系中作了=-辰-26的函数图像.(保留作图的痕迹，写出必要

的文字说明.)

22.如图，在平面直角坐标系X勿中，正比例函数y=gx的图像为直线/,已知两点

/(0,1)、5(0,3).

试卷第10页，共16页

(1)在直线/找一点C,使得/C43=/CR4.(尺规作图，不写画法，保留作图痕迹);

(2)直接写出点C的坐标为；

⑶若点尸在直线/上，点P关于x轴的对称点为。，且PQ=3,则点尸的坐标是

23.如图，在平面直角坐标系xQr中，点A的坐标为(6,0),8是〉轴上一点.

(1)3上求作点“，使得A/MOSAN。以要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹);

⑵在(1)的条件下，AB=4AM,0c是AZOB的中线，过点"的直线交OC于点D,

交x轴于点尸，当血/。=儿田时，求点。的坐标.

24.如图，直线y=Gx+机(m>0)与x轴交于与y轴交于2,AC平分/BAO.

(1)尺规作图：过点C作。C交48于。(保留作图痕迹，不写作法);

(2)求证：AD=^BD+AO；

(3)若加=46，点E、尸分别为NC、上的动点，求。E+斯的最小值.

题型二、与反比例函数结合

试卷第11页，共16页

25.如图，一次函数＞=%x+6的图象与反比例函数＞=幺的图象交于

X

8（-1,"2）两点.

（1）求这两个函数的表达式;

⑵点尸（”,0）为无轴上一动点，请用无刻度的直尺和圆规，过图中所标的P点作x轴的

垂线，分别交反比例函数及一次函数的图象于C,。两点（要求：不写作法，保留作图

痕迹，使用2B铅笔作图）.

⑶在（2）的条件下，当点C位于点。上方时，请直接写出〃的取值范围.

26.如图，反比例函数＞=：（无＞0）的图象与正比例函数y=gx的图象交于点么（2,加）,

过点A作无轴，垂足为C,8为丁轴上一点，点8的坐标为（0,4）,连接

⑴求反比例函数的解析式.

（2）请用无刻度的直尺和圆规在图中找出的中点。（保留作图痕迹，不写作法）.

⑶在（2）的条件下，连接CD,求“CD的面积.

27.如图，己知反比例函数y=?x＞0）的图象经过点。,行），点尸为该图象上一动点,

连接。尸.

试卷第12页，共16页

⑴求该反比例函数解析式；

(2)在图中请你利用无刻度的直尺和圆规作线段。的垂直平分线,交x轴于点

4.(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用23铅笔作图).

(3)当尸=30。时，求点N的坐标.

28.如图，已知，4(0,4),5(-3,0),C(2,0).

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出点8关于直线/C的对称点D.(要求：不写作法，保

留作图痕迹)

⑵若反比例函数〉=士的图象过点。，求此反比例函数的解析式；

x

(3)求sinND/C的值.

题型三、与二次函数结合

29.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=；x2+6x+c经过点”(-4,0),点8在了

轴上，直线N8与抛物线在第一象限交于点C(2,6).

(1)求抛物线的解析式:

试卷第13页，共16页

(2)点尸在抛物线上，若使得的点尸恰好只有三个，求。的值;

(3)请使用圆规和无刻度直尺，在x轴下方的抛物线上确定一点。，使得=并

说明理由(保留作图痕迹，不写作法).

30.在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数

性质并对其性质进行应用的过程.小丽同学学习二次函数后，对函数了=/-2冈(自

变量x可以是任意实数)图象与性质进行了探究.请同学们阅读探究过程并解答:

(1)作图探究：

①下表是y与x的几组对应值：

X-4-3-2-101234

y830m0-10n8

m=,n=

②在平面直角坐标系X0中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画

出该函数的图象：

(2)深入思考：

根据所作图象，回答下列问题：

①方程X2-2|X|=0的解是

②如果了=/-2国的图象与直线y=左有4个交点，则k的取值范围是，

(3)延伸思考:

将函数7=%2-2国的图象经过怎样的平移可得到乂=。+1)2-2住+1|-2的图象？请写

出平移过程.

31.对函数＞=k2-4耳-3的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整.

试卷第14页，共16页

【作图】①列表

X-2-10123456

y92-30m0-329

其中，加=.

②描点并连线：请根据上述数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出该函数

①平行于X轴的一条直线>=上与>=9一4x|-3的图象有两个交点，则左的取值范围为

②已知函数V=x-3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程

|x2-4x|-3=x-3的解为.

32.在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数

性质并对其性质进行应用的过程.小丽同学学习二次函数后，对函数y=N-3|无|（自变

量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究.请同学们阅读探究过程并解答：

⑴作图探究：

①下表是〉与x的几组对应值：

-201234

431

y40-2m0-2-2n4

②在平面直角坐标系xQy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画

出该函数的图象：

试卷第15页，共16页

③根据所画图象，写出该函数的一条性质：;

(2)深入思考：根据所作图象，回答下列问题：

①方程N-3|x|=0的解是；

②如果y=x2-3凶的图象与直线y=左有4个交点，则k的取值范围是；

(3)延伸思考将函数＞=/-3恸的图象经过怎样的平移可得到为=(x+l)2-3|x+l|-2

的图象？写出平移过程，并直接写出当-3三力＜-2时，自变量x的取值范围

试卷第16页，共16页

1.(1)见解析；

(2)等边三角形的性质，AC=AB,AD=BE,BC-BE.

【分析】本题考查了作图一基本作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练

掌握全等三角形的性质是解题的关键.

(1)根据题意作出图形即可；

(2)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】(1)解：如图所示，/A4E即为所作的角；

(2)证明：为等边三角形，

：.AC=AB=BC(等边三角形的性质)，

在A/CD和1中，

ACAB=NB

<AC=AB,

ZACD=ZBAE

:.AACD沿ABAE(ASA),

AD=BE,

又AB=BC,

:.AB-AD=BC-BE,

BD=CE,

故答案为：等边三角形的性质，AC=AB,AD=BE,BC-BE.

2.⑴见解析

(2)见解析

【分析】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，正确掌握

线段垂直平分线的性质是解题关键.

答案第1页，共47页

(1)直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；

(2)直接利用中垂线的性质结合角平分线的性质得出CD=DE.

.-.ZCB^=90°-30°=60°

又・・・DE垂直平分45

•••AD=DB

・•.NDBA=NA=30。

/CBD=ZDBA=30°

VZC=90°,DELAB

CD=DE

3.(1)见解析

25

^AP=—

【分析】本题考查了作图一复杂作图，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练

掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)在/C右侧作=CT交/。于点P,点尸即为所求；

(2)利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】(1)解：如图，点尸即为所求；

答案第2页，共47页

由作图可得：/ACT=ND,

•・•ZD+ZCPD+/PCD=180°,ZACP+ZACB+/PCD=180°,

:.ZACB=ZCPD,

・「AB=AC,

ZACB=ZB,

ZCPD=AB；

(2)解：・；CAP=NCAD,ZACP=ZD,

:.^CAPSADAC,

.AC_AP

,AD~ACf

•.­AB=AC=5,AD=S,

AP=—.

8

4.(1)图见解析(2)见解析

【分析】(1)根据题意，确定圆心。的位置，再以0/为半径画圆即可；

(2)当以为直径的圆与3C相切时，求出此时圆的半径，分四种情况进行讨论求解即

可.

【详解】解(1)作/氏4c的角平分线，交于点过点M作交于点

O,以。为圆心，以。/为半径画圆，即为所求，如图：

(2)当以AD为直径的圆与6c相切时：如图

答案第3页，共47页

B

•・•ZACB=90°,ZCBA=30°,AC=1,

*'.AB=2,

设OO的半径为尸，则：OA=OD=OM=r,

-OMIBC,ZB=30°,

OB=OM=2r,

2r+r=2,

2

4

.・.AD=2r=-；

3

4

当存在1个点时，此时5C与OO相离，或夙。两点重合，AD=2,

4

当存在2个点时，此时5c与。。相切，

答案第4页，共47页

B

4

当存在3个点时，此时3C与。。相交，-<AD<2,

【点睛】本题考查复杂作图一作圆，含30度角的直角三角形的性质，切线的判定和性质，

直线与圆的位置关系，掌握尺规作角平分线，作垂线的方法，利用数形结合和分类讨论的思

想进行求解，是解题的关键.

5.⑴见解析

⑵8C=10

【分析】本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质，勾股定理：

(1)以点3为圆心，3c长为半径画弧交于点E即可；

(2)根据矩形的性质可得//=90。，CD=AB=6,BC=AD,由(1)可得BE=BC,根据

勾股定理可得结论.

【详解】(1)解：如图，以点8为圆心，3c长为半径画弧交/。于点£,

答案第5页，共47页

・•・/BCE=/BEC,

•・•四边形/3C。是矩形，

・•.AD//BC,

ZBCE=/DEC,

ZBEC=/DEC；

・・•点E即为所求；

(2)解：•・・四边形Z5CD是矩形，

・•.//=90。，CD=AB=6,BC=AD,

,；DE=2,

・•.AE=AD-DE=BC-2,

由(1)可知：BE=BC,

在中，根据勾股定理得：AE2+AB2=BE2

・•・(5C-2)2+62=5C2

・•・BC=10.

6.⑴见解析

32

(2)《

【分析】(1)根据题意用尺规作图即可；

(2)由作图可知/£=则四边形4D8E是菱形，设42与DE的交点为

3

F,在RtA』E尸中，求出£F=14E=3,求出B尸=/尸=4,DF=EF=3,即可得到

AB=AF+BF=8,在RtZ\48C和中，由勾股定理得到

AC2=AB2-BC2=AD2-CD2,则82-(。。+5)一=52-C£>2,解得CD=g,即可得到答

案.

【详解】(1)如图所示即为所求，

答案第6页，共47页

cB

(2)解：・・・/)£垂直平分45,

AE=BE,AD=BD,

BD=BE,

AE=BE=AD=BD=5,

・•・四边形是菱形，

设45与。E的交点为产，

・•.AB_LDE,DF=EF,AF=BF,

3

在Rt"EF中，AE=5,sinZEAB=—,

3

・・.EF=—AE=3,

5

BF=AF=VAE2—EF2=y5?-3?=4，DF=EF=3，

/.AB=AF+BF=8,

在RtZXZBC和Rt△力CO中，由勾股定理得到，

AC2=AB2-BC2=AD2-CD2,

.-.82-(CD+5)2=52-CD2,

7

解得CD=(,

732

;.CB=CD+BD=—+5=—,

55

即C3的长为532.

【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、线段垂直平分线的作图、勾股定理、解直角三角形

等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键.

7.⑴见解析

(2)边长为6

【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的性质与判定，角平分线，线段的垂直平分线以及

答案第7页，共47页

相似三角形的判定与性质等知识.

（1）作//8C的角平分线交NC于点E,作线段瓦?的垂直平分线交N8于点凡交BC于

点。，连接斯，ED,四边形ADE尸即为所求.

ApFF

（2）根据菱形性质可得=进一步证明得不=＞，代入相

ABBC

关数据可得结论.

【详解】（1）解：如图所示，菱形AD所为所求.

(2)解：•••四边形8。跖是菱形，

:.BF=EF,EF//BD,

AAFEsAABC,

AF_EF

设FE=x,则4F=10—尤，

・••*=］，解得x=6,

(1)中所作菱形BD跖的边长为6.

8.（1）详见解析

（3）C。存在最大值为三

【分析】（1）过点尸作PQLNP,交于点。，即点。为所求；

（2）通过证明△45。s^pc。，可得BP=AB即可求解；

egd

BPAB

（3）由相似三角形的性质可得万万=7万，由二次函数的性质可求解.

I。d

【详解】（1）如图，点。为所求点；

答案第8页，共47页

(2)•・•四边形，3CQ是矩形,

/B=/C=90°,

AP1PQ,

："APQ=/B=/C=90。,

/APB+ZCPQ=90°=/APB+NBAP,

.・./BAP=ZCPQ,

:AABPSAPCQ,

BP_AB

：'~CQ~~CP"

AB=3,BC=5,BP-1,

.-.CP=4,

•1,—3

"CQ4'

...CQ=g,

故答案为:。.

(3)。。存在最大值；

qBPAB

理由：.:西F

3312)12

.•.当2尸=15时，C0存在最大值为25

212

【点睛】本题考查了复杂作图一作垂线，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函

数的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键.

9.(1)图见解析

(2)证明见解析

⑶2

答案第9页，共47页

【分析】本题考查了圆的综合，熟悉相关的知识点是解题的关键，（1）以/为圆心，8c长

为半径画弧，以C为圆心N8长为半径画弧交于点P,连接4尸，延长30交/P于点。即可

（2）连接/。并延长交3c于点M,证明是线段3c的垂直平分线即可；（3）证明

ZADO=//0。=45。即可.

【详解】（1）如图所示：

（2）如图连接4。并延长交5c于点

AM是线段3C的垂直平分线；

AMLBC■

■：AD//BC；

OA1AD；

・•.NO为。。的切线.

(3)设/Z8O=x。，/DBC=(2x)°；

■■■OA=OB；

；.N0AB=N4BD=x°；

•••AD//BC-

.■.ZBAD+ABC=iSO°；

即2x+x+x+90=180；

解得：x=22.5；

:"ADB=NDBC=45°；

ZAOD=ZADO=45°；

答案第10页，共47页

AO=AD=2；

故答案为：2.

10.⑴见解析

（2）见解析

⑶10

【分析】本题考查了弧与弦的关系，垂线的作图，圆周角定理，三角形相似的判定和性质,

三角函数的应用

（1）以点/为圆心，42为半径画弧，得到40=48即得^=蕊，再根据垂线的基本作

图，利用圆规，规范画出即可.

（2）根据NABG=/DBA,乙4DB=/G/8证明ABAGs^BDA即可.

（3）过点/作于点"根据石=蕊得到利用等腰三角形的三线合

一性质，得到8//=。//,ZABD=ZADB=ZGAB=ZBCA,得至Ij/G=8G,根据

AB=12,AC=9,得BC=JAB?+4C?=15，根据

BH=ABcos/ABD=ABc°s/BCA=AB*旨=亭,得到8。，继而利用,

求得4G的长.

【详解】（1）以点/为圆心，42为半径画弧，得到即得益=荔，再根据垂线的

基本作图，利用圆规，直尺画图如下：

（2）设/G与3C得交点为点£,

•••3C是。。的直径，AG1BC,

.-.ABAC=NBEA=90°,

ZBAG=NBCA=90°-NABC,

•••ABDA=NBCA

答案第11页，共47页

・•・/BAG=ABDA,

•・•AABG=/DBA,

・•・/\BAG^/\BDA.

(3)过点4作于点71,

AD=AB

*'•AD=AB,

/.BH=DH,/ABD=/ADB,

vABAGsABDA,

・•.AADB=/GAB,

・•・/ABD=AADB=/GAB

・・.AG=BG,

・・・5C是OO的直径，AGIBC,

ZBAC=ZBEA=90°,

・•・/BAG=ZBCA=90°-/ABC,

・•./ABD=AADB=/GAB=/BCA,

vAB=12,AC=9,

：・BC7AB2+AC2=15,

aAC93

/.cos/BCA=——=—,

BC155

3

cos/ABH=—,

=ABcosZABH=-xl2=-

55f

72

BD=2BH=——,

5

v/\BAG^/\BDA,

答案第12页，共47页

ABAG

BDAD

5

AG=——=144x—=10.

BD72

11.(1)见解析

【分析】本题是一道圆的知识的综合题，考查了切线的判定和性质、尺规作图、勾股定理等

知识：

(1)作NC43的平分线与8C的交点即为圆心。，然后以点。为圆心，以OC的长为半径

作圆。即可；

(2)连接根据切线的性质可得,可得/30。=60。，从而得到AD=2G，再

由劣弧0E与线段AD、所围成的图形的面积为S.B”-S扇形中。，即可求解.

【详解】(1)解：如图，即为所求；

(2)解：如图，连接

•・•/2是圆。的切线，

OD1AB,

:.NACB=NADO=9。°,

•••NB=30°,

ZBOD=60°,

答案第13页，共47页

•・•。。的半径为2,

OD=2,

OB=2OD=4,

■•­BD=4OB--OD1=273，

•••劣弧。E与线段助、BE所围成的图形的面积为

a<?_[。W60万x22_r-2万

S^BOD_S扇形中0=-X2X2V3---=273----

230U3

12.(1)①证明见解柝②见解析，AF=3；③77点运动的轨迹为线段MC,线段MC=2也

⑵S"s=12亚-16

【分析】此题考查了切线的性质，线段垂直平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似

三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等.此题的关键是注意掌握辅助线的作法，注

意数形结合思想的应用.

(1)①证明。4=0。即可证明点。在边的垂直平分线上；②作AD的垂直平分线，作

切点与/所连线段的垂直平分线，即可找到圆心；③由由是等腰直角三角形，证明

△DFBsADHC,进而即可求解；

(2)先证明△。b设CH=k,贝lJCF=24,BF=4^k，42k+2k=4,进而即

可求解.

【详解】(1)解：①•.■。尸为直径，乙4=90。；

...点A在圆上，

连接N。，

AO=DO,

.•.点。在工。的垂直平分线上；

答案第14页，共47页

如图所示:

设OA=OD=OE=x,贝1|O〃=4-x,

/.（4-x）2+22=x2,解得：x=-|,

53

OH=4——=-,

22

・・•OH是人ADF的中位线，

・•.AF=2OH=3；

③连接切，HD；

答案第15页，共47页

始终是尸讫的中点,

.•.△mo是等腰直角三角形,

ZFDH=45°，

连接2D、NC交于点〃，则N8OC=45。,

ZBDF=ZCDH=45°-ZBDH,

DFH需=日

:.ADFBsADHC，

/./DBF=ZDCH=45°；

当点厂与A点重合，H点与〃点重合，当点尸与5点重合，〃点与。点重合,

点运动的轨迹为线段,MC=2>/2.

（2）解：连接BD,DH、FH,过点“作尸C,

由（1）③可得：△65s

,/HCD=45。,

DCCH

・・,/HCG=45。,

CH_1

*FC-2?

设CH=k,则CF=2左，BF=5k，口+2左=4,

解得：左二4—2亚，7/G=m（4—2后）=2行一2,

•4•SMCH=—x2x（4—2-\/2）x（2V2—2）=12V2—16•

答案第16页，共47页

D

13.(1)见详解;

⑵①见详解；②器的值为

11

【分析】（1）由44c8=90。知是。。的直径，先作线段的垂直平分线，垂直平分线

与N3的交点即为圆心。，再以。为圆心，CM长为半径作圆即可；

（2）①由EO是48的垂直平分线，可证RSBEO以RM/E。，得NBEO=N4EO,再结合

ZBEF=2ZBEO,可以得出NBEF=N4EB,再证明出ABE尸0△/££>,进而证明出

ED=EF；

②由ABEF必AED和圆内接四边形ADBC得出ZDAE=ZCAD,再证明.MDA知EDA得

出MD=DE,可设斯=15x,则£>E=15x,ME=30x,证明£尸〃通过平行线分线

BFCF

段成比例得占===?4，再设59=4九在RtAS斯中，通过勾股定理可求出>=5、，

BEME5

则5尸=20x,BE=25x,再通过线段加减关系求出5C=4x,BD=l0x,由ABEF名Z\AED

得4D=BP=20x,再利用勾股定理依次求出48=10港x,AC=22x,进而得出

BC4x_2

AC~22^~11'

【详解】（1）解：。。如图所示:

答案第17页，共47页

(2)①连接4月，AD,

/ADE=/ADB=90°,

・・,EO是AB的垂直平分线，

AE=BE,ZBOE=ZAOE=90°,

•・•EO=EO,

RMB£O0Rt"£O(HL),

/.ZBEO=AAEO,

ZAEB=ZBEO+ZAEO=2ZBEO,

ZBEF=2ZBEO,

/.ZBEF=ZAEB,

・・•EF1CB,

/F=/ADE=90°,

vAE=BE,

:ABEF知AED(AAS),

...ED=EF.

②延长防，交zc的延长线于

•/^BEF=^AED,

ZEBF=ZDAE,AD=BF,

•;/EBF+/CBE=180。,ZCAD+ZCBE=180°,

AEBF=ACAD,

NDAE=ZCAD,

答案第18页，共47页

AD=AD,ZADE=ZADB=90°,

:.^MDA^EDA(ASA),

:.MD=DE,

ME=IDE,

设斯=15x,贝！JZ)£=15x,ME=30x,

EF5

.CF-8J

CF=24x,

•・・ZF+//CB=180。，

/.EF//AM,

.BF_CF_24x_4

,^E~J^E~30x~~5f

设5方=4九则屈=5y,

在RtZXBE厂中，EF=yjBE2-BF2=3y=15xf

:.y=5x,

AD=BF=4y=20x,BE=5y=25x,

/.BC=CF-BF=24x-20x=4x,BD=BE-DE=25x-15x=10xf

在Rt^ABD中，AB=s)BD2+AD2=j(10好+(20疗=1oV5x,

在RtZUBC中，AC7AB2-BC。="10氐j_(4xJ=22x,

,BC4x2

"AC~22^~H'

【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和

判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线模型的常见辅助线的做法，平行线分线段成

比例，勾股定理求边长；

14.(1)证明见解析；(2)见解析；(3)

pAAT

【分析】(1)小明思路，作BDHPC,利用平行线分线段成比例定理得到黑=今；，再利

PL)

用等角对等边求得=即可证明结论；

小红思路，作尸DJ_A8,CE1PA,CFLPB,利用面积法即可证明结论；

(2)作弦N3的垂直平分线，再作线段8。的垂直平分线，利用垂径定理即可求解；

(3)利用相似三角形△BD4s△2/c,利用相似三角形的性质，即可求出3C的长.

答案第19页，共47页

【详解】（1）解：小明思路：过点5作尸。交/P的延长线于点。,

PAAC

访一茄Zl=ZD,Z2=Z3,

•••PC是APAB的角平分线,

・・・/1=/2,

ZD=Z3,

・•.PD=PB,

PAAC

~PB~~BC

小红思路：分别过点尸，。作尸CE1PA,CF1PB,垂足为。，E,F,

・・・PC是APAB的角平分线,

CE=CF,

•:S*=-PACE=-ACPD,S八PR,=工PB.CF==BC•PD，

22，△rsc22

PA-CEACPD

"PB-CF-BCPD'

PAAC

,,诟一兹；

(2)解：①作弦42的垂直平分线，交弦4B于点D,交。。点E,

由垂径定理得［E=羡，

②再作线段AD的垂直平分线，交弦4B于点C,

③连接EC并延长交。。点P,

点P即为所求；

答案第20页，共47页

•AE=BE，

・•・PC平分/APB,

...AD=BD=-ABCD=BC=-BD,

2f2

AC3r

・•・=—=3,

BC1

PAAT

由(1)的结论得誓=痣=3,

rBnC

同理，点E也为所求；

(3)如图所示，作/A4c的平分线交2c于点

AB=3,AC=4,

BDAB3

，,~CD~7C~4,

3

;.BD=—BC,

7

vABAC=2ABAD,ABAC=2ZC,

/BAD=ZC,

又•・•ZABD=ZCBA,

BDBA

,•而一菸’

■■AB2=BDBC

答案第21页，共47页

,3

即32=-BCBC

7

•••SC2=21,

■■■SC=V21(负值舍去).

【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的作法确定的圆的条件，平行线分线

段成比例定理，相似三角形的性质与判定等知识，解决问题的关键是掌握题意，正确的作出

图形.

15.⑴见解析

(2)FG=2

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相似

三角形的判定与性质，平行线的性质.

(1)以点8为圆心，AD为半径画弧交于点〃，连接4W交。E于一点，该点即为尸点;

(2)由(1)可证明AAM/SAB/C,得至IJ/C,推出。=