人教版高中数学选修二4.3.1等比数列的概念 （二） -A基础练（解析版） 同步练习

4.3.1等比数列的概念(2)-A基础练一、选择题1．（2021·天津和平区·耀华中学高二期末）已知等比数列中，，，则公比q=（）A． B． C． D．2【答案】B【详解】，即，解得.故选：B.2．（2021·河南信阳市高二期末）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，十三个单音的频率构成等比数列，公比为，第六个单音的频率.故选：B.3．（2021·南昌市新建区二中高二期末）若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（）A．公差为2的等差数列 B．公差为的等差数列C．公比为2的等比数列 D．公比为的等比数列【答案】A【详解】因为数列是公比为4的等比数列，且，所以，，，所以数列是公差为2的等差数列，故选A.4．（2021·安徽宣城市高二期末）在等比数列中，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：．∵在等比数列中，，所以．故选：B．5．（多选题）（2021·江苏连云港市高二期末）据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（）．A．2006年底人类知识总量是 B．2009年底人类知识总量是C．2019年底人类知识总量是 D．2020年底人类知识总量是【答案】BCD【详解】2000年到2006年每三年翻一番，则总共翻了番.2000年底，人类知识总量为a，则2006年底，人类知识总量为，故A错.2000年到2009年每三年翻一番，则总共翻了番.则2009年底，人类知识总量为，故B正确，2009年到2009年每一年翻一番，则总共翻了番则2019年底，人类知识总量为，故C正确.2020年是每73天翻一番，则总共翻了番，则2020年底，人类知识总量为，故D正确.故选：BCD.6．（多选题）（2021·江苏宿迁高二期末）设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（）A．是公比为的等比数列 B．是公比为的等比数列C．是公比为的等比数列 D．是公比为的等比数列【答案】AB【详解】由于数列是公比为的等比数列，则对任意的，，且公比为.对于A选项，，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；对于B选项，，即数列是公比为的等比数列，B选项正确；对于C选项，，即数列是公比为的等比数列，C选项错误；对于D选项，，即数列是公比为的等比数列，D选项错误.故选：AB.二、填空题7．（2021·安徽池州市高期二末）已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比___________.【答案】2【详解】数列是等比数列，则，所以，而，，所以公比.8．（2021·北京昌平区昌平一中高二期末）有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长等于1，那么该塔形中正方体的个数是___________.【答案】7【详解】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，则为以8为首项，以为公比的等比数列，所以其通项公式为，令可得，.9．（2021·天津和平区·耀华中学高二期末）在等比数列中，，，则值为__________．【答案】6【详解】因为是等比数列，，所以．10．（2021·陕西咸阳市高二期末）已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________.【答案】【详解】由可得，数列是首项和公比均为的等比数列，所以，则，又因为是递增数列，所以恒成立，即恒成立，所以，所以.三、解答题11．（2021·安徽肥东高二期末）已知数列的前n项和．（1）证明：是等比数列．（2）求数列的前n项和．【详解】（1）当时．，，又，所以的通项公式为．因为，所以是首项为9，公比为3的等比数列．（2）因为，所以，所以数列的前n项和：.12．（2021·上海市建平中学高二期末）诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设表示年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中，求数列的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美