2024年江西中考数学终极押题密卷2含答案

2024年江西中考数学终极押题密卷2一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）若a的相反数为，则a的值为（）A． B． C． D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．3a+2a＝5 B．a2•a3＝a6 C．（2a2）3＝6a6 D．a4÷（﹣a）2＝a23．（3分）下列图形是小明在手机上下载的天气预报的图标，在这些图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P'，连接CP'，则线段CP'的最小值为（）A．2 B．1.5 C．3 D．2.45．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（4，c），一元二次方程x2+bx+c＝m的两个解为p，q，当1≤q﹣p＜6时，则m的取值范围为（）A．c﹣4≤m＜c+5 B．cm＜c+5 C．c＜m≤c+5 D．c﹣3≤m＜c+246．（3分）如图1．已知正△ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象如图2，则△EFG的最小面积为（）A． B． C．2 D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．（3分）今年10月26日至29日，党的十九届五中全会在京召开．会议将为未来5年乃至15年中国发展擘画蓝图．回望“十三五”，“绿水青山就是金山银山”的理念成为共识，化为行动．“十三五”以来，全国累计完成防沙治沙任务880万公顷，880万公顷用科学记数法表示为公顷．8．（3分）2x2﹣8＝．9．（3分）已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是．10．（3分）如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，当∠1＝69°，则∠3＝°．11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝60°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，求：阴影部分的面积（结果保留π）．12．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC交AB于点E，过E作EF⊥DE交BC于点F，延长AD至点G，使得DG＝BF，连结GF，若AB＝7，CF＝3，tan∠EDC＝2，则GF＝．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．（6分）（1）计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0．（2）解方程：2x（x﹣1）＝3（x﹣1）．14．（6分）先化简（），然后选一个你喜欢的x值代入求值．15．（6分）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法，减法及乘法运算．比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5（1）求3⊕（﹣2）的值；（2）若3⊕x的值小于16，求x的取值范围．16．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．∠BAC＝45°．请用无刻度的直尺按要求画图．（1）如图①，请在图①中画出弦CD，使得CD＝BC；（2）如图②，AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点A，C，M在同一条直线上．在图中画出△ABM的边BM上的中线AD．17．（6分）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求∠DOE的度数；（2）求证：△MNC是等边三角形．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．（8分）2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某学校组织开展主题为“节约用水，爱护资源”的社会实践活动．甲小组同学在A，B两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份的用水量，分别将两个小区的居民用水量x（单位：m3）分为5组，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：信息一：A小区3月份用水量频数分布表用水量x/m3频数（户数）5≤x＜747≤x＜9109≤x＜11911≤x＜13413≤x＜153信息二：A，B两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：A小区B小区平均数9.59.0中位数9.2a信息三：B小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.4，9.7，9.6，10，10.2，10.4，9.5，9.6，10.6根据以上信息，回答问题：（1）a＝；（2）若A小区共有800户居民，B小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数；（3）因任务安排，需要随机在乙小组和丙小组中随机抽取1名同学加入甲小组，已知乙小组2名男生和一名女生，丙小组有2名女生和一名男生，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学都是男生的概率．19．（8分）如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，且AB＝AC；过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，，求图中阴影部分的面积．20．（8分）图1所示是九江某蔬菜种植基地的蔬菜大棚，其示意图如图2所示，已知蔬菜大棚的宽度AB＝5.6m，竖直方向的支柱AD＝BC＝1.2m，棚顶的斜面DE＝EC，且与水平面的夹角∠EDC＝35°，则该蔬菜大棚的高为多少米？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：甲水笔乙水笔每支进价（元）aa+5每支利润（元）23已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．（1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．（2）若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．（3）文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1：2，则该文具店至多可以购进这三种水笔共多少支．22．（9分）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y的图象与性质．其研究过程如下：x…﹣4﹣3﹣2012…y…﹣1﹣2﹣332m…（1）绘制函数图象：①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝；②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完．（2）探究函数性质：判断下列说法是否正确（正确的填“✓”，错误的填“x”）①函数值y随x的减小而增大；②函数图象关于原点对称；③函数图象与直线x＝﹣1没有交点．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．（12分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）请判断线段AE和CD的数量关系，并说明理由；（2）当A、E、F三点在同一直线上时，求CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求线段FM长的最大值．

2024年菁优江西中考数学终极押题密卷2参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）若a的相反数为，则a的值为（）A． B． C． D．【考点】相反数．【专题】实数；数感．【答案】B【分析】直接利用互为相反数的意义判断得出答案．【解答】解：a的相反数是，则a的值是：．故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，掌握相反数的意义是解题关键．2．（3分）下列运算正确的是（）A．3a+2a＝5 B．a2•a3＝a6 C．（2a2）3＝6a6 D．a4÷（﹣a）2＝a2【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题；整式；运算能力．【答案】D【分析】利用合并同类项运算法则判断A，利用同底数幂的乘法运算法则判断B，利用积的乘方与幂的乘方运算法则判断C，利用同底数幂的除法运算法则判断D．【解答】解：A、原式＝5a，故此选项不符合题意；B、原式＝a5，故此选项不符合题意；C、原式＝8a6，故此选项不符合题意；D、原式＝a2，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法（底数不变，指数相加）和同底数幂的除法（底数不变，指数相减）以及幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键．3．（3分）下列图形是小明在手机上下载的天气预报的图标，在这些图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】C【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．熟练掌握定义是解答本题的关键．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P'，连接CP'，则线段CP'的最小值为（）A．2 B．1.5 C．3 D．2.4【考点】旋转的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】先过P'作P'E⊥AC于E，根据△DAP≌△P'ED，可得P'E＝AD＝2，再根据当AP＝DE＝2时，DE＝DC，即点E与点C重合，即可得出线段CP′的最小值为2．【解答】解：如图所示，过P'作P'E⊥AC于E，则∠A＝∠P'ED＝90°，由旋转可得，DP＝P'D，∠PDP'＝90°，∴∠ADP＝∠EP'D，在△DAP和△P'ED中，，∴△DAP≌△P'ED（AAS），∴P'E＝AD＝2，∴当AP＝DE＝2时，DE＝DC，即点E与点C重合，此时CP'＝EP'＝2，∴线段CP′的最小值为2，故选：A．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是由旋转的性质证出∠ADP＝∠EP'D．5．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（4，c），一元二次方程x2+bx+c＝m的两个解为p，q，当1≤q﹣p＜6时，则m的取值范围为（）A．c﹣4≤m＜c+5 B．cm＜c+5 C．c＜m≤c+5 D．c﹣3≤m＜c+24【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】B【分析】根据题意求出抛物线的对称轴，从而求出b的值，根据抛物线的对称性得出p+q＝4，即可得到p＝4﹣q，代入不等式，即可解得q的取值范围，根据图象上点的特征即可解答．【解答】解：由题意知抛物线经过点（0，c）和（4，c），∴抛物线的对称轴为直线x2，∴b＝﹣4，∴抛物线为y＝x2﹣4x+c，∵一元二次方程x2+bx+c＝m的两个解为p，q，∴抛物线经过点（p，m）和（q，m），∴，∴p+q＝4，∴p＝4﹣q，∵1≤q﹣p＜6，∴1≤q﹣4+q＜6，∴2.5≤q＜5，∵m＝q2﹣4q+c，∴．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的性质，熟悉二次函数的对称性是解题关键．6．（3分）如图1．已知正△ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象如图2，则△EFG的最小面积为（）A． B． C．2 D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】综合题；数形结合．【答案】A【分析】本题根据图2判断△EFG的面积y最小时和最大时分别对应的x值，从而确定AB，EG的长度，求出等边三角形EFG的最小面积．【解答】由图2可知，x＝2时△EFG的面积y最大，此时E与B重合，所以AB＝2∴等边三角形ABC的高为∴等边三角形ABC的面积为由图2可知，x＝1时△EFG的面积y最小此时AE＝AG＝CG＝CF＝BF＝BE显然△EGF是等边三角形且边长为1所以△EGF的面积为故选：A．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象等边三角形等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．（3分）今年10月26日至29日，党的十九届五中全会在京召开．会议将为未来5年乃至15年中国发展擘画蓝图．回望“十三五”，“绿水青山就是金山银山”的理念成为共识，化为行动．“十三五”以来，全国累计完成防沙治沙任务880万公顷，880万公顷用科学记数法表示为8.8×106公顷．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【答案】8.8×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：880万＝8800000＝8.8×106．故答案为：8.8×106．【点评】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．（3分）2x2﹣8＝2（x﹣2）（x+2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解；运算能力．【答案】2（x﹣2）（x+2）．【分析】先提公因式，再用平方差公式因式分解即可．【解答】解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x﹣2）（x+2），故答案为：2（x﹣2）（x+2）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．9．（3分）已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是﹣3≤q＜1．【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】先由韦达定理得出m+n＝﹣p，mn＝q，代入到（m+n）2﹣mn＝3，可得p2＝q+3，再结合Δ＝p2﹣4q＞0知q+3﹣4q＞0，解之可得答案．【解答】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，∴m+n＝﹣p，mn＝q，∵m2+mn+n2＝3，∴（m+n）2﹣mn＝3，则（﹣p）2﹣q＝3，即p2﹣q＝3，∴p2＝q+3，又Δ＝p2﹣4q＞0，∴q+3﹣4q＞0，解得q＜1，又p2＝q+3≥0，∴q≥﹣3，故答案为：﹣3≤q＜1．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q及一元二次方程根的判别式．10．（3分）如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，当∠1＝69°，则∠3＝69°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】69°．【分析】利用两直线平行，内错角相等，得∠2＝∠3，再由∠1＝69°，∠1＝∠2得出∠2的度数即可．【解答】解：∵潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，∴∠2＝∠3，∵∠1＝69°，∠1＝∠2，∴∠2＝69°，∴∠3＝69°．故答案为：69°．【点评】此题主要是考查了平行线的性质，注意两直线平行，内错角相等．11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝60°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，求：阴影部分的面积（结果保留π）3．【考点】扇形面积的计算；平行四边形的性质．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】3．【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求▱ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积＝▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F，∵AD＝2，AB＝4，∠A＝60°，∴DF＝AD•sin60°，EB＝AB﹣AE＝4﹣2＝2，∴阴影部分的面积：423，故答案为：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积＝▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积．12．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC交AB于点E，过E作EF⊥DE交BC于点F，延长AD至点G，使得DG＝BF，连结GF，若AB＝7，CF＝3，tan∠EDC＝2，则GF＝4．【考点】平行四边形的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】4．【分析】由平行线的性质和角平分线的性质可得AD＝AE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求BE＝BF，则可求BE＝2，AE＝5，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，连接BD，过点D作DH⊥AB于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，又∵DG＝BF，∴四边形DGFB是平行四边形，∴DB＝GF，∵CD∥BA，∴∠CDE＝∠AED，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AD＝AE＝BC，∵∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠ABC+∠BEF+∠BFE＝180°，∴∠A+∠ADE+∠AED+∠ABC+∠BEF+∠BFE＝360°，∴∠ADE+∠AED+∠BEF+∠BFE＝180°，∵DE⊥EF，∴∠AED+∠BEF＝90°，∴∠ADE+∠BFE＝90°，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∵AB＝7，CF＝3，∴BC﹣BF＝3，AE+BE＝BC+BE＝7，∴BC＝5，BE＝2，∴AD＝AE＝5，∵tan∠EDC＝tan∠AED2，∴DH＝2HE，∵AD2＝DH2+AH2，∴25＝4HE2+（5﹣HE）2，∴HE＝2，DH＝4，∴BH＝4，∴BD4，∴GF＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．（6分）（1）计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0．（2）解方程：2x（x﹣1）＝3（x﹣1）．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题；实数；一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）5；（2）x1＝1，x2．【分析】（1）先计算负整数指数幂、化简二次根式，代入三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得答案；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）原式＝|2|﹣1+4＝21+4＝5．（2）∵2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，则x﹣1＝0或2x﹣3＝0，解得x1＝1，x2．【点评】本题主要考查实数的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．（6分）先化简（），然后选一个你喜欢的x值代入求值．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[]•，∵x≠0且x≠±1，∴取x＝2，则原式．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．15．（6分）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法，减法及乘法运算．比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5（1）求3⊕（﹣2）的值；（2）若3⊕x的值小于16，求x的取值范围．【考点】解一元一次不等式；实数的运算．【专题】新定义；实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）16；（2）x＞﹣2．【分析】（1）根据题意得出有理数混合运算的式子，再求出其值即可；（2）先得出有理数混合运算的式子，再根据3⊕x的值小于16求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：3⊕（﹣2）＝3（3+2）+1＝3×5+1＝16；（2）根据题中的新定义得：3⊕x＝3（3﹣x）+1＝10﹣3x．∵3⊕x的值小于16，∴10﹣3x＜16，解得：x＞﹣2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．16．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．∠BAC＝45°．请用无刻度的直尺按要求画图．（1）如图①，请在图①中画出弦CD，使得CD＝BC；（2）如图②，AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点A，C，M在同一条直线上．在图中画出△ABM的边BM上的中线AD．【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；切线的性质．【专题】作图题；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用连接BO并延长交圆于点D，连接CD，则CD＝BC．CD即为所求作的图形；（2）连接OM交BC于点P，连接AP并延长交BM于点D，则AD就是边BM上的中线．AD即为所求作的图形．【解答】解：（1）如图①所示，DC即为所求；（2）如图②：AD即为所求．【点评】本题考查了复杂作图、线段的垂直平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，再逐步操作．17．（6分）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求∠DOE的度数；（2）求证：△MNC是等边三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】（1）60°；（2）见解答过程．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而证明△ACD≌OBCE，求出∠ADE+∠BED＝120°，进一步求得∠DOE的度数；（2）先证明△ACM≌△BCN得出CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，再求出∠MCN＝60°，即可证明△MNC是等边三角形．【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED＝∠ADC+60°+∠BED＝∠BEC+∠CED+60°＝∠DEC+60°＝60°+60°＝120°，∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°；（2）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴，，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，又∠ACB＝60°，∴∠ACM+∠MCB＝60°，∴∠BCN+∠MCB＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等边三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．（8分）2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某学校组织开展主题为“节约用水，爱护资源”的社会实践活动．甲小组同学在A，B两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份的用水量，分别将两个小区的居民用水量x（单位：m3）分为5组，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：信息一：A小区3月份用水量频数分布表用水量x/m3频数（户数）5≤x＜747≤x＜9109≤x＜11911≤x＜13413≤x＜153信息二：A，B两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：A小区B小区平均数9.59.0中位数9.2a信息三：B小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.4，9.7，9.6，10，10.2，10.4，9.5，9.6，10.6根据以上信息，回答问题：（1）a＝9.2；（2）若A小区共有800户居民，B小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数；（3）因任务安排，需要随机在乙小组和丙小组中随机抽取1名同学加入甲小组，已知乙小组2名男生和一名女生，丙小组有2名女生和一名男生，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学都是男生的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布表；算术平均数；中位数．【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；运算能力．【答案】（1）9.2．（2）约130户．（3）．【分析】（1）根据中位数的定义可得答案．（2）根据用样本估计总体，用800乘以样本中A小区3月份用水量不低于13m3的居民户数所占的百分比，再加上750乘以样本中B小区3月份用水量不低于13m3的居民户数所占的百分比，即可得出答案．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两名同学都是男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）将B小区30户居民3月份用水量数据按照从小到大的顺序排列，排在第15和16个的是9，9.4，∴a＝（9+9.4）÷2＝9.2．故答案为：9.2．（2）样本中，A小区3月份用水量不低于13m3的居民共有3户，B小区3月份用水量不低于13m3的居民共有2户，800750130（户），∴估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数约为130户．（3）列表如下：女女男男（男，女）（男，女）（男，男）男（男，女）（男，女）（男，男）女（女，女）（女，女）（女，男）共有9种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有2种，∴抽取的两名同学都是男生的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、频数（率）分布直方图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数的定义、用样本估计总体是解答本题的关键．19．（8分）如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，且AB＝AC；过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，，求图中阴影部分的面积．【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）2π．【分析】（1）如图，连接OA，根据垂径定理得到BC⊥OA，根据平行线的性质得到AD⊥OA，由切线的性质即可得到结论；（2）如图，根据垂径定理求出BE，CE，由三角函数求得∠ACB＝30°，得到∠AOB＝60°，解直角三角形求出OB，AD，根据三角形和扇形的面积公式即可得到答案．【解答】（1）证明：连接OA交BC交于E，∵AB＝AC，∴，即点A是BC的中点，∴BC⊥OA，∴∠OEB＝90°，∵AD∥BC，∴∠OAD＝90°，∴AD⊥OA，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵BC⊥OA，BC＝2，∴CE＝BECB，在Rt△ACE中，cos∠ACB，∴∠ACB＝30°，∵对着圆心角∠AOB和圆周角∠ACB，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，在Rt△BOE中，sin∠AOB，∴OB2，在Rt△OAD中，tan∠AOB，∴AD＝AO•tan∠AOB＝22，∴S阴影＝S△ADO﹣S扇形OAB222π．【点评】本题主要考查了切线的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定方法和扇形的面积公式是解决问题的关键．20．（8分）图1所示是九江某蔬菜种植基地的蔬菜大棚，其示意图如图2所示，已知蔬菜大棚的宽度AB＝5.6m，竖直方向的支柱AD＝BC＝1.2m，棚顶的斜面DE＝EC，且与水平面的夹角∠EDC＝35°，则该蔬菜大棚的高为多少米？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；等腰三角形的性质．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】3.16m．【分析】过点E作EF⊥AB于F，交CD于H，根据正切的定义求出EH，结合图形计算，得到答案．【解答】解：过点E作EF⊥AB于F，交CD于H，则四边形DAFH为矩形，∴HF＝AD＝1.2m，∵ED＝EC，EH⊥DC，∴DHDC＝2.8m，在Rt△EHD中，∠EDC＝35°，tan∠EDH，∴EH＝DH•tan∠EDH≈2.8×0.70＝1.96（m），∴蔬菜大棚的高为：1.2+1.96＝3.16（m），答：蔬菜大棚的高约为3.16m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握等腰三角形的性质、正切的定义是解题的关键．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：甲水笔乙水笔每支进价（元）aa+5每支利润（元）23已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．（1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．（2）若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．（3）文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1：2，则该文具店至多可以购进这三种水笔共多少支．【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元；（2）根据题意，可以得到利润与购进甲种水笔数量的函数关系，然后根据要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，可以得到购进A种水笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元；（3）根据题意，可以得到相应的方程，然后根据三种笔都需购买，即可得到该文具店至多可以购进这三种水笔共多少支．【解答】解：（1）由题意可得，，解得，a＝5经检验，a＝5是原分式方程的解，∴a+5＝10，答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；（2）设利润为w元，甲种水笔购进x支，w＝2x+30.5x+600，∵k＝0.5＞0，∴w随x的增大而增大，∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，∴x4，解得，x≤266，∵x为整数，∴当x＝266时，w取得最大值，此时w＝733，67，答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元；（3）设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔2m支，一共购进n支水笔，5m+10×2m+12（n﹣m﹣2m）＝1500，化简，得n＝125m，∵n﹣m﹣2m＞0，∴125m﹣m﹣2m＞0，∴m＜60，∵m、n均为正整数，∴当m＝48时，n取得最大值，此时n＝169，即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支．【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．22．（9分）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y的图象与性质．其研究过程如下：x…﹣4﹣3﹣2012…y…﹣1﹣2﹣332m…（1）绘制函数图象：①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝1；②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完．（2）探究函数性质：判断下列说法是否正确（正确的填“✓”，错误的填“x”）①函数值y随x的减小而增大×；②函数图象关于原点对称×；③函数图象与直线x＝﹣1没有交点✓．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象；反比例函数的性质．【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．【答案】（1）①1；②点A就是所要求作的点；③图象如图；（2）①x②x③✓．【分析】（1）①将x＝0代入即得m的值；②描出（0，1）即可；③把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可；（2）根据图象，数形结合即可判断．【解答】解：（1）①x＝0时，y1，故答案为：1；②如图：∵m＝1，∴A即为（0，m）的点；③补充图象如图：（2）根据函数图象可得：①每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，故①错误，应为×，②图象关于（﹣1，0）对称，故②错误，应为×，③x＝﹣1时，无意义，函数图象与直线x＝﹣1没有交点，应为√．故答案为：×，×，√．【点评】本题考查函数的图形及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．（12分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）请判断线段AE和CD的数量关系，并说明理由；（2）当A、E、F三点在同一直线上时，求CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求线段FM长的最大值．【考点】四边形综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【答案】（1）AECD；（2）CD的长为或；（3）FM的最大值为3．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到ABBC＝4，根据勾股定理得到AF2，接下来分两种情形：如图1，当AE在AB左上方时，如图2，当AE在AB右下方时，即可得到结论；（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BGBF＝2，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线的定理得到AG＝2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：（1）结论：AECD．理由：∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠EBD＝45°，∴∠ABE＝∠CBD，∵四边形BDEF是正方形，△ABC是等腰直角三角形，∴，，∴，∴△ABE∽△CBD，∴，∴AECD；（2）∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴ABBC＝4，∵当A、E、F三点在一直线上时，∵∠AFB＝90°，∴AF2，如图1，当AE在AB左上方时，AE＝AF﹣EF＝22，∵AECD，∴CDAE，如图2，当AE在AB右下方时，同理，AE＝AF+EF＝22，∴CD，综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为或；（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，则△BFG是等腰直角三角形，∴BGBF＝2，设M为AE的中点，连接MF，∴MF是△AGE的中位线，∴AG＝2FM，在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，∴2AG≤6，∴FM≤3，∴FM的最大值为3．【点评】本题考查了四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

考点卡片1．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．5．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．6．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．7．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．8．提公因式法与公式法的综合运用先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．9．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．10．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．11．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．12．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．13．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．14．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．15．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．16．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．17．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．18．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．19．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．20．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．21．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．22．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．23．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．24．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．25．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．26．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．27．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．28．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．29．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．30．四边形综合题涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．31．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．32．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．33．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．34．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．35．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积