2024年初中升学考试九年级数学复习-矩形的性质

矩形的性质

36.（2023•兰州）如图，在矩形/8CD中，点E为历1延长线上一点，尸为CE的中点，以8为圆心，BF长为半径

的圆弧过力。与CE的交点G,连接8G.若48=4,C£=10,则4G=（）

【答案】C

【分析】先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得8尸=4G=5,然后在RtZ\/BG中利用勾股定理即可求

出4G的长.

【解答】解：•••四边形为矩形，

:.NABC=NBAD=90°,

在RSCE中，点尸为斜边CE的中点，

1

：.BF=^CE=5,

:.BG=BF=5,

在“△/8G中，4B=4,BG=5,

由勾股定理得：AG=7BG2-AB?=3.

故选：C.

【点评】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，圆的概念，勾股定理等，解答此题的关键是理解直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半；同圆的半径相等.

矩形的性质

39.（2023•兰州）如图，矩形ABCD的对角线/C与BD相交于点。，CDHOE,直线CE是线段OD的垂直平分

线，CE分别交。。，4D于点凡G,连接

(1)判断四边形O8E的形状，并说明理由;

(2)当CD=4时，求EG的长.

【答案】(1)答案见解答过程；(2)—.

【分析】(1)先根据线段垂直平分线的性质得/^二用，ED=OE,CD=CO,再证△F0C和△尸0E全等得CD

=0E,据此可得皮＞=OE=CD=CO,进而可判定四边形08£的形状；

(2)先证△ODC为等边三角形得£＞。=8=4,NOZ)C=60°,进而DF=2,据此再分别求出CF,GF,进而

可得EG的长.

【解答】解：(1)四边形OCDE是菱形，理由如下：

'：CD//OE,

：.4FDC=4FOE,

•：CE是线段OD的垂直平分线，

；.FD=FP，ED=OE,CD=CO,

在△FDC和△FOE中，

NFDC=NFOE

FD=FP,

Z.DFC=4OFE

：./\FDC^/\FOECASA),

：.CD=OE,

又ED=OE,CD=CO,

:.ED=OE=CD=CO,

，四边形OCDE是菱形.

（2）；四边形/8CO为矩形，

：.ZBCD=ZCDA=90°,DO=CO,

TCE是线段OD的垂直平分线，

：.CD=CO,

：.CD=CO=DO,

...△OOC为等边三角形，

：.DO=CD=4,ZODC=6Q0,

：.DF=^D0=2,

在RtZ\C£>尸中，CD=4,DF=2,

由勾股定理得：CF=>JCD2-DF2=273,

由（1）可知：四边形OCOE是菱形，

EF=CF=2V3,

•：NGDF=NCD4-/ODC=30°,

GF

•*.tcniDF=》尸

GF=DF-tanZGDF=2tan30°=竽，

.crcvre?/o2店4©

..EG=EF-GF=2V3=—g―.

【点评】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解答此题关键是理解菱形

的判定，等边三角形的性质，数量利用勾股定理锐角三角函数进行计算.

矩形的性质

41.（2023•苏州）如图，在平面直角坐标系中，点力的坐标为（9,0）,点C的坐标为（0,3）,以04,OC为边作

矩形。18c.动点、E,尸分别从点O,8同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿8c向终点4,C移动.当

移动时间为4秒时，/UEF的值为（)

A.V10B.9V10C.15D.30

【考点】矩形的性质；坐标与图形性质.

【分析】利用点的坐标，分别计算NC和EF,再相乘即可.

【解答】解：连接NC、EF.

••,四边形。N3C为矩形，

：.B(9,3).

又・；OE=BF=4,

：.E(4,0),F(5,3).

：.AC=70c2+0A2=,32+92=3710,

EF=7(5-4)2+32=VlO,

xV10=30.

故选：D.

【点评】本题主要考查矩形的性质及坐标，较为简单，直接计算即可.

42.（2023•宁波）如图，以钝角三角形/8C的最长边8c为边向外作矩形8C0E,连结/E,AD,设AAED,AABE,

△力CZ）的面积分别为S,Si,S2,若要求出S-S1-S2的值，只需知道（）

A.△Z8E的面积B.△/（?£）的面积

C.△Z8C的面积D.矩形8COE的面积

【考点】矩形的性质；三角形的面积；三角形三边关系.

【分析】作于点G,交BC于点F,可证明四边形"GE是矩形，AFLBC,可推导出S-Si-52=笈。

11111

•AG-诳。EG-DG=，F・CMBC所以只需知道ABC就可求出S-Si-S2的

乙乙%乙DAGV乙GED=/乙*AF=S,S^,

值，于是得到问题的答案.

【解答】解：作/G_LE。于点G,交BC于点F,

•.•四边形88E是矩形，

:.NFBE=NBEG=NFGE=9Q°,BC//ED,BC=ED,BE=CD,

四边形8尸GE是矩形，N4FB=NFGE=9Q°,

:.FG=BE=CD,AFLBC,

：.S-Si-S2=^ED'AG-^BE'EG-^CD^DG=%D"G-#G・ED=^BC'AF=S^ABC,

只需知道SA/BC,就可求出S-Si-S2的值，

【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、三角形的面积公式、矩形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等

知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

矩形的性质

41.（2023•十堰）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架/8C。，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化,

下面判断错误的是（)

AD

BC

A.四边形488由矩形变为平行四边形

B.对角线8。的长度减小

C.四边形N8CZ）的面积不变

D.四边形N8CZ）的周长不变

【答案】C

【分析】由题意可知左扭动矩形框架/8CZ）,四边形变成平行四边形，四边形的四条边不变，故周长不变，对角

线8。减小，但是8C边上的高减小，故面积变小，故选C.

【解答】解：左扭动矩形框架/8CZ）,只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，/不符合题意；

此时对角线8。减小，对角线4c增大，8不合题意.

8C边上的高减小，故面积变小，。符合题意，

四边形的四条边不变，故周长不变，O不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题关键.

矩形的性质

AB

41.（2023•杭州）如图，矩形的对角线ZC,8。相交于点。.若NNO8=60。，则一=()

BC

B*C

1V3-1V3V3

A.B.C.D.一

2223

【答案】D

【分析】先证△/BO是等边三角形，可得N84O=60°,由直角三角形的性质可求解.

【解答】解：,・•四边形48。是矩形，

：・AO=BO=CO=DO,

•.•408=60°,

.**/\ABO是等边三角形，

・・・NBZO=60°,

AZACB=30°,

BC=

.ABV3

•■=,

BC3

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键.

矩形的性质

37.（2023•滨州）如图，矩形/8CD的对角线4C,8。相交于点O,点E,尸分别是线段04上的点，若4E

=BF,AB=5,AF=\,BE=3,则8尸的长为_俄_.

【答案】V22.

【分析】过/作于M过8作8M_L/C于根据矩形的性质得到08=OA=^AC,AC=BD,

根据三角形的面积公式得到NN=8M,根据全等三角形的性质得到CW=0M,FM=EN,谈FM=EN=x,根据

勾股定理即可得到结论.

［解答］解：过N作ANYBD于N,过8作BM1AC于M,

:.NANO=NANB=NBMO=/BMA=90°,

・・•四边形48C。是矩形,

；・OB=3BD,OA=AC=BD,

：.OB=OA,

9

：SAAOB=%B・AN=2・BM,

:・AN=BM,

:.RtAAONgRtABOM(HL),

：.ON=OM,

：.BN=AM,

":AE=BF,

：・R3ANE学/\Rt4BMF(HL),

:・FM=EN,

设FM=EN=x,

VJF=1,BE=3,

:・BN=3-x,4M=l+x,

3-x—1+x,

•»x=1,

：.FM=\,

：.AM=2,

•・ZB=5,

：.BM=y/AB2-AM2=VH,

：.BF=y/FM2+BM2=Ml+21=V22,

故答案为：V22.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

38.（2023•陕西）如图，在矩形/8CO中，AB=3,8c=4.点E在边/。上，且ED=3,M,N分别是边“8、BC

上的动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PN.若PM+PN=4.则线段PC的长为2a.

【答案】2V2.

【分析】由题意知△COE是等腰直角三角形，作点N关于EC的对称点N,则M在直线8上，连接PM,PN

=PM,PM+PN=4.即尸"+PM=4,BC=4,BM=BN,所以此时A/、P、N三点共线且MM〃4D,点尸在W

的中点处，PM=PN=2,PC=2五.

【解答】解：,:DE=AB=CD=3,

△CDE是等腰直角三角形，

作点N关于EC的对称点M,则M在直线CD上，连接/W,如图：

■:PM+PN=4.

：.PM+PN'=4=BC,即W=4,

此时〃、P、N三点共线且MM〃/。，点P在MM的中点处,

:.PM=PN=2,

；.PC=2VL

故答案为：2企.

【点评】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键.

矩形的性质

37.（2023•内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何

图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要

内容之一，如图，在矩形中，AB=5,AD=\2,对角线/C与8。交于点。，点E为8c边上的一个动点，

60

EFrAC,EGLBD,垂足分别为点RG,则EF+EG==.

【分析】连接OE,根据矩形的性质得到8c=/。=12,AO=CO=BO=DO,NZ8c=90°,根据勾股定理得到

AC=VAB2+BC2=13,求得OB=OC=竽，根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：连接0区

•••四边形/8CD是矩形,

48C=90°,BC=AD=\2,AO=CO=BO=DO,

"：AB=5,8c=12,

：.AC=>1AB12+BC2=13,

.•.08=0C=宁,

11111_

SABOC=S/BOE+S^COE=7EG+5OOEF=5s△/BC=xx5x12=15,

S乙乙乙/1乙

113113113

x—EG+-X—EF=-x—(EG+EF)=15,

222222、7

60

：.EG+EF=正'

故答案为：—.

【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的

应用.

矩形的性质

28.(2023•温州)如图，已知矩形Z8CD,点£在C8延长线上，点尸在8c延长线上，过点尸作FH_LEF交瓦)

的延长线于点H,连结/尸交E”于点G,GE=GH.

(1)求证：BE=CF；

AB5

(2)当一=-,/。=4时，求EF的长.

FH6

【答案】(1)证明见解析过程；

(2)6.

【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到GE=GF,再根据等边对等角得出NE=NG/^,

根据矩形的性质得出/8=Z)C,N4BC=NDCB=90：于是可证aZB厅和△OCE全等，得至I」8尸=。£,从而问

题得证；

(2)先证△EC£)s得出比例式，再结合已知即可求出E尸的长.

【解答】(1)证明：

:.NHFE=9G°,

,:GE=GH,

1

：.FG=^EH=GE=GH,

:・/E=NGFE,

・・•四边形/BCD是矩形，

：・AB=DC,ZABC=ZDCB=90°,

:•△ABF9XDCE(AAS),

BF=CE,

：・BF-BC=CE・BC,

即BE=CF；

(2)解：：四边形49C。是矩形，

:.DC1BC,即。C_LEF,AB=CD,BC=AD=4,

•：FHLEF,

J.CD//FH,

:•△ECDsAEFH,

.ECCD

EF~FH'

.ECAB

EF-FH

・.4B5

,尸H―6，

.EC__5

••—―,

EF6

设BE=CF=x,

EC=x+4,EF=2x+4,

.x+45

*'2x+4-6

解得x=l,

:.EF=6.

【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性

质是解题的关键.

29.(2023•随州)如图，矩形Z8CO的对角线4C,8。相交于点。，DE//AC,CE//BD.

(1)求证：四边形OCE。是菱形；

(2)若8C=3,DC=2,求四边形。CEO的面积.

AD

E

/0、/

BC

【答案】（1）证明见解答；

（2）3.

【分析】（1）证明四边形OCE。是平行四边形，再根据矩形性质可得：OC=OD,利用菱形的判定即可证得结论；

（2）先求出矩形面积，再根据矩形性质可得S^OCD=矩形'BCD,再由菱形性质可得菱形OCED的面积=2SAOCD

可解答.

【解答】（1）证明：,JDE//AC,CE//BD,

二四边形OCED是平行四边形，

•矩形ABCD的对角线NC,BD相交于点O,

:.AC=BD,OC=^AC,0D=^BD,

：.OC=OD,

四边形OCED是菱形；

（2）解：；四边形N8CD是矩形，8c=3,DC=2,

：.OA=OB=OC=OD,S^niABCD=3X2=6,

••S&OCD=矩形ABCD=4X6==1.5,

•..四边形OCED是菱形，

二菱形OCED的面积=2SAO8=2X1.5=3.

【点评】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积等基础知识，能综合运用相关知识点进

行推理和计算是解此题的关键.

矩形的性质

42.（2023•河南）矩形NBCD中，M为对角线8。的中点，点N在边4。上，且ZN=/2=1.当以点。，M,N为

顶点的三角形是直角三角形时，的长为2或1+鱼

【答案】2或1+应.

【分析】以点。，M,N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1,当NMND=90°时，如图2,

当NNMD=90。时，根据矩形的性质和三角形中位线定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：以点。，M,N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：

••,四边形/8CD是矩形，

，4=90°,

J.MN//AB,

•••加为对角线8。的中