甘肃省东乡族自治县第二中学2023-2024学年高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析

甘肃省东乡族自治县第二中学2023-2024学年高一数学第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.2．已知，则下列不等式成立的是()A． B． C． D．3．曲线与曲线的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等4．若实数x，y满足，则z＝x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量a=(2,1)，a⋅b=10,A．5 B．10 C．5 D．256．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，7．函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（）A．B．函数与的图象均关于直线对称C．函数与的图象均关于点对称D．函数与在区间上均单调递增8．已知平面向量，，，，且，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．9．得到函数的图象，只需将的图象（）A．向左移动 B．向右移动 C．向左移动 D．向右移动10．如图，各棱长均为的正三棱柱，、分别为线段、上的动点，且平面，，中点轨迹长度为，则正三棱柱的体积为（）A． B． C．3 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________．12．已知向量，的夹角为，若，，则________.13．函数的值域为______.14．已知正方形，向正方形内任投一点，则的面积大于正方形面积四分之一的概率是______．15．已知当时，函数（且）取得最小值，则时，的值为__________．16．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()＝________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求倾斜角为且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点；（2）在轴上的截距是-5.18．已知数列是以为首项，为公比的等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．19．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（1）求被选中的概率；（2）求和不全被选中的概率．20．某同学假期社会实践活动选定的课题是“节约用水研究”.为此他购买了电子节水阀，并记录了家庭未使用电子节水阀20天的日用水量数据（单位：）和使用了电子节水阀20天的日用水量数据，并利用所学的《统计学》知识得到了未使用电子节水阀20天的日平均用水量为0.48，使用了电子节水阀20天的日用水量数据的频率分布直方图如下图：（1）试估计该家庭使用电子节水阀后，日用水量小于0.35的概率；（2）估计该家庭使用电子节水阀后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.）21．在等比数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】试题分析：有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，D错；由棱柱的定义，C正确；考点：1、棱柱的概念；2、棱台的概念.2、D【解析】

依次判断每个选项得出答案.【详解】A.，取，不满足，排除B.，取，不满足，排除C.，当时，不满足，排除D.，不等式两边同时除以不为0的正数，成立故答案选D【点睛】本题考查了不等式的性质，意在考查学生的基础知识.3、D【解析】

首先将后面的曲线化简为标准形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项.【详解】首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.故选D.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，属于基础题型.4、D【解析】

由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】由实数，满足作出可行域，如图：联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，此时有最小值为.故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.5、C【解析】

将|a+b6、D【解析】

由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据椎体体积公式即可求解.【详解】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，则，解得，由，解得，所以.故选：D【点睛】本题考查了椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.7、D【解析】

由三角函数图像可得，，再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解.【详解】解：由函数的部分图象可得,,即,则，又函数图像过点，则，即，又，即，即，则对于选项A，显然错误；对于选项B，函数的图像关于直线对称，即B错误；对于选项C，函数的图像关于点对称，即C错误；对于选项D，函数的增区间为，函数的增区间为，又，，即D正确，故选：D.【点睛】本题考查了利用三角函数图像求函数解析式，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.8、B【解析】

根据可得到：，由此求得；利用向量夹角的求解方法可求得结果.【详解】由题意知：，则设向量与向量的夹角为则本题正确选项：【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系.9、B【解析】

直接利用三角函数图象的平移变换法则,对选项中的变换逐一判断即可.【详解】函数的图象，向左平移个单位，得，错；函数的图象,向右平移个单位，得，对.函数的图象,向左平移个单位，得，错；函数的图象,向右平移个单位，得，错,故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.10、D【解析】

设的中点分别为，判断出中点的轨迹是等边三角形的高，由此计算出正三棱柱的边长，进而计算出正三棱柱的体积.【详解】设的中点分别为，连接.由于平面，所以.当时，中点为平面的中心，即的中点（设为点）处.当时，此时的中点为的中点.所以点的轨迹是三角形的高.由于三角形是等边三角形，而，所以.故正三棱柱的体积为.故选：D【点睛】本小题主要考查线面平行的有关性质，考查棱柱的体积计算，考查空间想象能力，考查分析与解决问题的能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以，，所以，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为1．点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解．12、【解析】

由，展开后进行计算，得到的值，从而得到答案.【详解】因为向量，的夹角为，若，，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查求向量的模长，向量的数量积运算，属于简单题.13、【解析】

由反三角函数的性质得到，即可求得函数的值域.【详解】由，则，，又，，即，函数的值域为.故答案：.【点睛】本题考查反三角函数的性质及其应用，属于基础题.14、【解析】

向正方形内任投一点，所有等可能基本事件构成正方形区域，当的面积大于正方形面积四分之一的所有基本事件构成区域矩形区域，由面积比可得概率值.【详解】如图边长为1的正方形中，分别是的中点，当点在线段上时，的面积为，所以的面积大于正方形面积四分之一，此时点应在矩形内，由几何概型得：，故填.【点睛】本题考查几何概型，利用面积比求概率值，考查对几何概型概率计算.15、3【解析】

先根据计算，化简函数，再根据当时，函数取得最小值，代入计算得到答案.【详解】或当时，函数取得最小值：或（舍去）故答案为3【点睛】本题考查了三角函数的化简，辅助角公式，函数的最值，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.16、3【解析】

根据图象看出周期、特殊点的函数值，解出待定系数即可解得.【详解】由图可知：解得又因：所以又因：即所以又所以又因：所以即所以所以所以故得解.【点睛】本题考查由图象求正切函数的解析式，属于中档题。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

(1)利用倾斜角与斜率的关系与点斜式求解即可.(2)利用点斜式求解即可.【详解】解：（1）∵所求直线的倾斜角为,斜率,又∵经过,故方程为∴即方程为.（2）∵所求直线在轴上的截距是-5,又有斜率,故方程为∴所求方程为【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系以及直线方程的点斜式运用.属于基础题.18、（1）；（2）【解析】

（1）按等比数列的概念直接求解即可；（2）先求出的表达式，再利用裂项相消法即可求得数列的前项和.【详解】（1）由等比数列通项公式得：（2）由（1）可得：【点睛】本题主要考查数列的通项公式问题及利用裂项相消法求和的问题，属常规考题.19、（1）;（2）.【解析】

（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间{，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用表示“恰被选中”这一事件，则{，}事件由6个基本事件组成，因而．（2）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于{}，事件有3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得．20、（1）0.48（2）（）【解析】

（1）计算日用水量小于0.35时，频率分布直方图中长方形面积之和即可；（2）根据频率分布直方图计算出使用电子节水阀后日均节水量的平均值，再求出年节水量即可.【详解】（1）根据直方图，该家庭使用电子节水阀后20天日用水量小于0.35的频率为，因此该家庭使用电子节水阀后日用水量小于0.35的概