2024届北京首都师范大学第二附属中学数学高一下期末经典试题含解析

2024届北京首都师范大学第二附属中学数学高一下期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．根据如下样本数据x

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可得到的回归方程为,则（）A． B． C． D．2．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在点测得公路北侧山顶的仰角为30°，汽车行驶后到达点测得山顶在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度为（）A． B． C． D．3．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④4．如图，某人在点处测得某塔在南偏西的方向上，塔顶仰角为，此人沿正南方向前进30米到达处，测得塔顶的仰角为，则塔高为（）A．20米 B．15米 C．12米 D．10米5．下列结论不正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则6．设集合，，则（）A． B． C． D．7．已知数列满足，，，则的值为（）A．12 B．15 C．39 D．428．已知向量，，若与的夹角为，则（）A．2 B． C． D．19．式子的值为（）A． B．0 C．1 D．10．如图，程序框图所进行的求和运算是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等差数列满足，则____________．12．函数的最大值为．13．已知圆上有两个点到直线的距离为3，则半径的取值范围是________14．某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥最长棱的棱长为．15．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.16．已知函数的部分图象如图所示，则的单调增区间是______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式对恒成立,求m的取值范围.18．已知不经过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且点在直线上.（1）求直线的方程；（2）过点作直线，若直线，与轴围成的三角形的面积为2，求直线的方程.19．已知向量a=(sinθ,1)，b(1)若a⊥b，求(2)求|a20．不等式的解集为______.21．据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．（1）试计算出图案中球与圆柱的体积比；（2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】试题分析：依据样本数据描点连线可知图像为递减且在轴上的截距大于0，所以．考点：1．散点图；2．线性回归方程；2、D【解析】

通过题意可知：，设山的高度，分别在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【详解】由题意可知：.在中，.在中，.在中，由余弦定理可得：（舍去），故本题选D.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，弄清题目中各个角的含义是解题的关键.3、D【解析】

作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断.【详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,与为互相垂直的异面直线,故①不正确;,故②正确;与为异面直线,故③正确;由正方体性质可知平面,故,故④正确.故选:D【点睛】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.4、B【解析】

设塔底为，塔高为，根据已知条件求得以及角，利用余弦定理列方程，解方程求得塔高的值.【详解】设塔底为，塔高为，故，由于，所以在三角形中，由余弦定理得，解得米.故选B.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于基础题.5、B【解析】

根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A正确.对于B选项，若，则，故B选项错误.对于C、D选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C、D正确.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.6、C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，由子集的定义可得结果.详解：，，，故选C.点睛：本题主要考查解一元二次不等式，集合的子集的定义，属于容易题，在解题过程中要注意考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.7、B【解析】

根据等差数列的定义可得数列为等差数列，求出通项公式即可．【详解】由题意得所以为等差数列，，，选择B【点睛】本题主要考查了判断是否为等差数列以及等差数列通项的求法，属于基础题．8、B【解析】

先计算与的模，再根据向量数量积的性质即可计算求值.【详解】因为，，所以，.又，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.9、B【解析】

根据两角和的余弦公式，得到原式，即可求解，得到答案.【详解】由两角和的余弦公式，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的化简求值，其中解答中熟记两角和的余弦公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10、A【解析】

根据当型循环结构，依次代入计算的值，即可得输出的表达式.【详解】根据循环结构程序框图可知，，，，…，，跳出循环体，所以结果为，故选：A.【点睛】本题考查了当型循环结构的应用，执行循环体计算输出值，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、9【解析】

利用等差数列下标性质求解即可【详解】由等差数列的性质可知，，则．所以.故答案为：9【点睛】本题考查等差数列的性质，熟记性质是关键，是基础题12、【解析】略13、【解析】

由圆上有两个点到直线的距离为3，先求出圆心到直线的距离，得到不等关系式，即可求解．【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，又因为圆上有两个点到直线的距离为3，则，解得，即圆的半径的取值范围是．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆心到直线的距离，结合图象得到半径的不等关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．14、【解析】

先通过拔高法还原三视图为一个四棱锥，再根据图像找到最长棱计算即可。【详解】根据拔高法还原三视图，可得斜棱长最长，所以斜棱长为。【点睛】此题考查简单三视图还原，关键点通过拔高法将三视图还原易求解，属于较易题目。15、【解析】

首先分析题意，可知是取和中的最大值，且是该数列中的最小项，结合数列的单调性和数列的单调性可得出或，代入数列的通项公式即可求出实数的取值范围.【详解】由题意可知，是取和中的最大值，且是数列中的最小项.若，则，则前面不会有数列的项，由于数列是单调递减数列，数列是单调递增数列.，数列单调递减，当时，必有，即.此时，应有，，即，解得.，即，得，此时；若，则，同理，前面不能有数列的项，即，当时，数列单调递增，数列单调递减，.当时，，由，即，解得.由，得，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用数列的最小项求参数的取值范围，同时也考查了数列中的新定义，解题的关键就是要分析出数列的单调性，利用一些特殊项的大小关系得出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.16、（区间端点开闭均可）【解析】

由已知函数图象求得，进一步得到，再由五点作图的第二点求得，则得到函数的解析式，然后利用复合函数的单调性求出的单调增区间．【详解】由图可知，，则，．又，．则．由，，解得，．的单调增区间是．【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式以及复合函数单调区间的求法．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析；(2)【解析】

（1）当m＞﹣2时，f（x）≥m；即（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥m，因式分解，对m进行讨论，可得解集；（2）转化为x∈[﹣1，1]恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解m的取值范围．【详解】（1）当时，；即．可得：．∵①当时，即．不等式的解集为②当时，．∵，∴不等式的解集为③当时，．∵，∴不等式的解集为综上：，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（2）由题对任意，不等式恒成立．即．∵时，恒成立．可得：．设，．则．可得：∵，当且仅当是取等号．∴，当且仅当是取等号．故得m的取值范围．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法和讨论思想的应用，同时考查了分析求解的能力和计算能力，恒成立问题的转化，属于中档题．18、（1）；（2）或.【解析】

（1）根据直线在两坐标轴上的截距相等列出直线方程，然后代入点即可求出直线方程；（2）首先根据直线过点设出直线方程，然后列出三角形的面积公式，根据面积等于2求出直线的方程.【详解】（1）因为直线在两坐标轴上的截距相等，设直线：，将点代入方程，得，所以直线的方程为；（2）①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，直线，直线和轴围成的三角形的面积为2，则直线的方程为符合题意，②若直线的斜率，则直线与轴没有交点，不符合题意，③若直线的斜率，设其方程为，令，得，由（1）得直线交轴，依题意有，即，解得，所以直线的方程为，即，综上，直线的方程为或.【点睛】本题考查了直线方程的求解与直线方程的综合应用，属于中档题.19、(1)-π4【解析】

（1）两向量垂直，坐标关系满足x1x2+y1y2=0，由已知可得关于sin【详解】（1）∵a⊥b，∴sinθ+cosθ=0（2）|a+b|=(1+sinθ)2+【点睛】本题考查向量的坐标运算，两向量垂直，求两向量之和的模的最大值，当计算到最大值为3+22时，由平方和公式还可以继续化简，即3+220、【解析】

根据一元二次不等式的解法直接求解即可.【详解】因为方程的根为：，，所以不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查对基础知识和基本技能的掌握，属于基础题.21、（1）