浙江省慈溪市2023-2024学年高二年级上册期末测试数学试卷（解析版）

浙江省慈溪市2023-2024学年高二上学期期末测试数学试卷

说明：

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共15。分.

考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系。-斗z中，点尸（一2'-4）关于平面w）z对称的点的坐标为（）

A.（-2,-3,-4）B.（2,3,-4）

C.（-2,3,4）D.（2,3,4）

k答案』B

K解析工点P（—2,3,-4）关于平面yOz对称的点的坐标为（2,3,-4）,

故选：B

2.双曲线9元2—4）?=36的一个焦点坐标为（）

A.（713,0）B,（0,713）C.（75,0）D.（0,75）

［答案XA

22

K解析》双曲线9f-4^=36转化为标准方程为二-乙=1,

49

故标=412=9,c=Ja2+b2=岳,

故焦点为（而,0）和卜如,0）,

故选：A

3.已知曲线1加+（在点（1,4）处的切线方程为x+y—5=0,则（）

A.1B.OC.-1D.-2

K答案』D

K解析H八x）=2依q,则-⑴=2a—b=-1,

X/（l）=a+Z?=4,所以a=l,Z?=3,

故。一/?=一2,

故选：D

4.已知等差数列｛a“｝的前5项和S5=120,且q+a2+a^=4（%+%），则公差△=（)

A.-6B.-7C.-8D.-9

［答案XC

K解析U由q+出+/=4(%+%)可得

S5=al+%+q+a4+a5=5(%+a5)=120=>«4+a5=24,

q+4+%=3a2=96=>g=32,

故a2+%-a4+a5=>%=-8,

所以。7=4+5d=-8,解得d=-8.

故选：C

5.过点（0,2）与圆好+;/+4%_1=0相切的两条直线的夹角为a,贝|cosa=（）

A.-B.巫C.—巫

444

K答案』A

K解析》因为02+22+4x2—1=11>0,所以点（0,2）在圆外，

设圆心为C,点（0,2）为点八,切点为

圆/+y2+4x_1=0化为标准方程得（X+2）2+/=5,

则圆心C（—2,0）,半径一行，

在RtzXACD中，|。|=2忘,仙。|=百，所以|AD|=J^M=G，

J3J5

故cosZ.ADC--产,sinZADC=―产,

2V22V2

由圆的切线的性质可得ZADC=/BDC,

3s

所以cosa=|cosNADi?|=|cos2NADC|=----

884

故选：A.

6.已知正四面体ABC。的棱长为2,£是5C的中点，尸在AC上，且A尸=2/C，则

AEDF^（）

525

A.——B.——C.0D.-

333

K答案工C

k解析U由正四面体ABC。，得NS4c=NS4T>=NCLD=60°,

则ABAC=2,AB-AD=2,ADAC=2,

由E是BC的中点，得AE=g（A8+AC）,

2--,—.2

由AF=2FC，得=则DE=AE—AD=—AD,

所以AE-Db=g（A3+AC）｛gAC—AD]

1<2.■22、

=--ABAC-ABAD+-AC-AD-AC

2（33）

1r4c8Q八

2（33）

c

故选：c.

22

7.已知A,3是椭圆E：—+^-=1（0<b<5）的左右顶点,若椭圆E上存在点M满足

25b2

4

kMA-kMB<一一,则椭圆E的离心率的取值范围为（）

9

A1

A.0,----B.0,----C.----,1D.——,1

9393

vJ\J\JIJ

（答案』B

22

K解析》设则匕+一=1,4(—5,0),3(5,0),

m+5m-5m1-25m2-25259

15

故禺心率为e=—=

又0<e<l,故ee

故选：B

8.己知定义在R上的函数/(x)的导函数为r(x),若〃1)=1,-2〃x)+l]>0,

则()

A./(0)>e-2B./(2023)<e4044

C./(2)<e2D./(2024)>e4046

［答案XD

K解析R因为ln"'(x)—2〃尤)+1卜0,所以/'⑴―2/(x)+l>l,

即广⑺-2/(%)>o,

/'(x)-2〃X)

令则g〈x)=

e

所以函数g(x)是增函数，

对于A,由g(o)<g(l),得/(0)<±=e-2,故A错误;

e

对于B,由g(2023)〉g⑴，得叱学〉4，

ee

所以“2023)x4044,故B错误；

对于C,由g⑵〉g⑴，得当1>±,

ee

所以〃2)>e?,故C错误；

对于D,由g(2024)〉g⑴，得/曹>《，

所以“2024)Ae，故D正确.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线4的方程为x+2ay—1=0,直线右的方程为(3a—l)x—殁―1=0,()

A.则直线/1的斜率为—二-B.若"4,则。=,

2a6

C.若4上4,则a=l或gD.直线4过定点(T，-3)

(答案》CD

K解析X对于A,当。=0时，直线/]的斜率不存在，故A错误；

对于B,若〃/心则一a-2a(3。-1)=0,解得。=0或。=!，

6

经检验，两个都符合题意，所以。=0或a=7,故B错误；

对于C,若则3a—1—2a2=0,解得a=l或故C正确;

对于D,直线乙的方程化为(3x—y)a—x—1=0,

3x-y=0[x=-l

令1:八，解得｛c，

-x-l=01y=-3

所以直线4过定点(-L-3),故D正确.

故选：CD.

10.下列函数的导数计算正确的是()

A.若函数/(x)=cos(-x),则/'(x)=sinx

B,若函数/(%)=「(a>0且awl),则/=

C.若函数/(x)=lgx,则((力=?(e是自然对数的底数)

D.若函数/(x)=tanx,贝"(彳)=»^

K答案XBCD

K解析X对于A,/(%)=cos(-x)=cosx,所以/'(x)=—sinx,A错误,

对于B,/，(%)=〃一"Ina(-%)=-axIna，故B正确,

1

对于C,f(x)=C正确,

xlnlOxlnlOx

2

对于D,r（x）=（tanx）'=［皿］=cosA-sm.Y（-sinA-）=^;口正确，

^COSX）COS-XCOS'X

故选：BCD

11.任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复

进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1—4-2Tl.这是数学史上著名的“冰

雹猜想”（又称“角谷猜想''等）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列｛4｝满足：％=相

a

na为偶数

（机为正整数），4+1=2'"（"€可>）.若%=1，记数列｛%｝的前〃项和

+］,4为奇数

为S“，则（）

A.根=2或16B.〃2。24=1

C.S2024=4721D.。3〃+1=2

K答案』ABD

K解析】因为%=1，由“冰雹猜想”可得。4=2,。3=4,

①若名为偶数，则%=?=4,所以。2=8，

当％为偶数时，则出=?=8,所以4=16,即机=16,

7

当％为奇数时，贝|J〃2=3q+1=8,解得4=耳（舍去），

②若。2为奇数，则。3=3。2+1=4,解得。2=1，

当为为偶数时，则出=?=1，所以4=2,即加=2,

当生为奇数时，则。2=3。1+1=1,解得。1=。（舍去）,

综上所述，根=2或16,故A正确；

止>1?9为偶数

当租=2时，由。〃+1=\2,

3%+1,%为奇数

得。2=1,%=4%=2,%=L〃6=4,

所以数列｛4｝从第三项起是以3为周期的周期数列,

因为2024—2=3x674,

所以4024=%=1，^2024=2+1+674x(4+2+1)=4721,

%,4为偶数

当机二16时，由2

、3a“+1”为奇数

%=8,%=4,%=2,〃5=1，4=4,%=2,4=1，

所以数列｛&｝从第三项起是以3为周期的周期数列，

因为2024—2=3x674,

所以4024=%=1，8,64=16+8+674x(4+2+1)=4742,

综上所述，“2024=1，§2024=4721或4742,故B正确，C错误;

对于D,数列｛4｝从第三项起是以3为周期的周期数列，

所以%〃+1=。4=2,故D正确.故选：ABD.

12.如图，在直二棱柱ABC-4与。］中，X.BAC=90°,AB=AC=2,A4j=3,Af是

AB的中点，N是gG的中点，尸是BG与与C的交点.。是线段AN上动点，R是线段P。

上动点，则()

A.当。为线段4N中点时，尸。〃平面ACM

B.当。为△A4G重心时，R到平面的距离为定值

一71

C.当。在线段AN上运动时，直线尸。与平面所成角的最大角为1

D.过点尸平行于平面的平面a截直三棱柱ABC-451G的截面周长为

V5+y/ld+y/17

K答案XBD

K解析』以A为原点，以AC,AB,A4］所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A-孙Z,

设"=40=2,9=3,

3

则4(o,0,3),C(2,0,0),5(020),M(o,l,o),W,l,3),

3

所以AN=(1,1,0),4。=(1,1,—耳),CM=(—2,1,0),*=(-2,0,3),

设平面4cM法向量为为二(%,y,2),

n-CA=-2x+3z=0

则《令x=3,可得〃=(3,6,2),

nCM=—2x+y=0

设4Q=mA^N=(m,m,0),(0<m<1),

3

则PQ=AQ—A尸=(加—1,机—I,])，

1ii3

当Q为线段AN中点时，m=~,则八2=(—a；)

33

尸0.〃=_万_3+3=-万。0,故此时PQ不平行平面ACM,A错误,

当。为与G重心时，则

所以37〃一2=0,即加=：,P2=(-1

止匕时PQ.九=一1一2+3=0,此时PQ〃平面4cAf,

由于R是线段尸。上点，故P到平面的距离即为R到平面的距离，故为定

值，B正确，

3

由于P0=(〃”i,〃―i，5),设直线尸。与平面ACM所成角为夕,

sin0=IcosPQ,n\=j—S--3|3m-2|3(3加2『

则11\P^n\，

712(根—if+-9

4

（3m-2）（3m-2）,416

99<———

由于0<根41,\2~

2!+99，

(--74-4-

4

（3m-2）2

sin。」

所以7《2（mT『+：

TTTT

dGo,—e<§,故c错误

对于D,取4用的中点”，连接由于均为中点，

所以HB//AMCH//CM,而/A/u平面4cM,CMu平面A。/,

而HB.平面GHO平面故£ffi//平面G”//平面

QHcHB=H,C[H,E/Bu平面CXHB,故平面QHB//平面\CM,

故过点P平行于平面的平面戊即为平面G"3,故截面为三角形GHB,

由于3"=aM=A/12+32=a，GH=CM=712+22=非g=J（2虎）|2+32=拒，

故截面周长为+M+D正确,

故选：BD

第n卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知圆C的方程为％之+y2-2ax一26〃y+3〃2=。，则圆。的半径为.

K答案》问

K解析』由12+y2一2依一2出0+3〃2=0可得（X『+（y一代。）=〃？，

所以半径为同，

故K答案》为：何

14.已知等比数列｛4｝的前几项和为S"，且55=10,品)=30,则%=.

K答案X150

k解析》由题意可得醺6］。—S5，S15—Si0，S20—45成等比数列，

S10—鼠c

由55=10,%=30,得三上=2,

得又一%=2(S］O_S5)=40,所以几=70,

则星。一九=2(&一do)=80,所以邑0=150.

故［答案X为：150.

15.己知函数/(x)=x(lnx-2a%)有两个极值点，则实数。的取值范围是.

K答案X

K解析H/(x)=xlnx-2tzx2(x>0),/(x)=Inx+1-4ax,

令g(x)=lnx+l-4ox,

-函数/(x)=x(lnx—2ot)有两个极值点，

则g(x)=0在区间(0,+8)上有两个实数根.

，/、1/l-4ox

g(x)=——4a=------

xx

当aW0时,g'(x)>0,则函数g(x)在区间(0,+s)单调递增,

因此g(x)=0在区间(0,内)上不可能有两个实数根，应舍去.

当a>0时，令g'(x)=0,解得x=—.

4a

令g'(x)>0,解得0<x〈人，此时函数g(x)单调递增；

4a

令g'(x)<。解得X>,，此时函数g(x)单调递减.

4a

.•.当％=工时，函数g(x)取得极大值.

4a

当次趋近于。与X趋近于+8时,g(x)TfO,

要使g(x)=0在区间(0,内)上有两个实数根，只需g，-=In，-〉0,解得0<a<!.

14aJ4a4

故k答案》为：［o,1

16.设厂为抛物线V=4%的焦点，直线/与抛物线交于4,8两点，且石4，汇8，则44阳

的面积最小值为.

K答案U12-8收

k解析U由已知b（1,0）,设直线/的方程为兀=7利+/,4（%,%）,5（%,%），

x=my-\-t

联立消元得y2_4my-4t=0,A=16m2+16/>0,

y2=4x

则%+%=4m,%%=一期，

由E4_LFB，得K4•b5=0，

即(玉一LX)]%—I%)=(石_1)(%2-1)+%%=°，

所以(/孙—冲2+/—1)+%%=。，

2

化简得(m2+l^y1y2+m(?-l)(y1+y2)+(?-l)=0,

所以-41m2+1)+4帆2。—1)+«—1)2=0,

化简得4/=?-6?+1>0>解得/23+2夜或/W3-2a，

则八=16加2+16，=4«2-6/+1)+16，=4«—I?>0,则/>1或/<1,

所以d3+2行或三3-2亚，

SAFB=；|TE-=g|TJ(X+乃)2-4%为

1|J16力/+16/=1?—1|—I)-=(f—1),

2

所以当"3-2a时，(sAFB)mm=(2-2A/2)=12-8A/2,

所以△AFB的面积最小值为12-80.

故(答案』为：12-8应.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知函数/(九)=alnx—%.

(1)当a=l时，求函数的单调区间；

(2)当a>0时，求函数/(%)的最大值.

解：⑴/(x)的定义域为(0,+8),

当a=l时，/(%)=ln%-x,/(无)=!一1=

1—Y

当/'(力=—>0,解得：0<x<l,

1-y

当/'(x)=」<0,解得：x>l.

•・J(x)在(0,1)上为增函数；"X)在(1,Z。)上为减函数；

(2)/(X)的定义域为(0,+8),

r(x)，-1=3

XX

当a>0时，令/''(%)>0,得0<x<a,令/'(x)<0时，得

/(x)的递增区间为(0,a),递减区间为(a,+8).

/(x)max=a\na-a=aQna-1).

18.已知圆d+y2=4内有一点M,直线/过点与圆交于A,8两点.

2

\7

(1)若直线/的倾斜角为120。，求AB；

(2)若圆上恰有三个点到直线/的距离等于1,求直线/的方程.

解：（1）直线/过点M』，且斜率为左=tan120=一6,

27

-e•直线/的方程为丁一1二—百（%+——），即2A/§X+2V+1=0,

圆心（0,0）到直线的距离为d=JQ后+4=4，

:\AB\==2

（2）圆上恰有三点到直线/的距离等于1,

・•・圆心（0,0）到直线/的距离为d=L=l,

2

当直线/垂直于无轴时，直线方程为—无，不合题意；

2

当直线/不垂直于X轴时，设直线/的方程为y—1=左（》+?），即依一y+l+^%=0,

|1+鸟|

由，|2,可得人2-4限=0，解得左=。或左=46，

a=।J=1

J-+1

故直线/的方程为y—1=0或4瓜一y+7=0.

19.如图，在直四棱柱A5CD—AB'C'。'中，底面ABCD是正方形，AB=2,AA'=3,

E,尸分别是棱45,6。上的动点.

（1）若瓦尸分别为棱中点，求证：平面AAF；

（2）若AE=取=t（t>1）,且三棱锥A-BEF的体积为g,求平面B'EF与平面AEF的

O

夹角的余弦值.

解：（1）如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，

则4（2,0,0）,4（2,0,3）,5（2,2,0）,3'（2,2,3）,。（0,2,0）,石（2,1,0）,下（1,2,0）,

故。£=（2,1,0）,AY=（0,0,3）,AF=（-1,2,0）,

因为DE•AA'=0,DE•AP=0,

所以。Ed.AA',DELAb,

又A4'cAF=A,A4',Abu平面A.，

所以DEI平面A'A/;

3

（2）因为匕，BEF=gs.BEFAA'=-X^X/X

_（2-Z）x3=-,

32

13

解得/=—或，=三,

22

c

3,3、（1）

又因为r>i,所以公—»故石12,—,0,F亍2,0,

2277

所以AE=[o,|1

T，丽=卜|；0mdt，

2

设平面用石厂的法向量为〃=(尤,y,z

3

n-A!E=-y-3z=0

2]，可取〃=（2,6,3）,

则有，3

n-EF=——x+—y=0

22

设平面B'EF的法向量为m=(a,b,c),

m-B'E=--b-3c=Q

则有<；1,可取力=（一2,—6,1）,

m-EF=——a-\--b=0

22

mn37_37741

所以cos（m,n

m|\n7历一287，

所以平面B'EF与平面AEF的夹角的余弦值为卫叵.

287

22a

20.已知数列｛4｝首项囚=§,且满足。“+1=/%"eN*）.

（1）求证：数列＜＞为等比数歹U；

（2）若包=（6—〃）（2"+1）,令c”=a,h，求数列｛k|｝的前〃项和S”.

2a---124册+1-2〃〃I-%

解：（1）由。〃+1=—得%+i_。〃+1_24_2%_1,

4+1~r~=~^r=l-a=1^;=I

--1------n---

11,11

所以数列4――1卜是以--1=7为首项，；为公比的等比数歹!J;

q.q22

11I2〃

（2）由⑴得一一l=—,所以凡=

an/2"+1'

所以C“=«A=（6—"）2",

设数列｛4｝的前〃项和为北，

则7；=5x2+4x2?+3x23++（6—"）2”,

27；=5X22+4X23+3X24++（7-w）2"+（6-n）2,i+l,

两式相减得一4=10-22—23——2"—（6—〃）2"M

=10-2I］；）+（“一6）2n+1=—7）2"1+14，

所以看=（7_〃）2"+1—14,

令q=（6—〃）2"2。，则〃<6,令q=（6—〃）2"<0,则〃>6,

故当时，卜」=c“，当时，除|=-c”,

所以当“W6时，S.=G+C2++c“=S”=(7—〃)2"+1—14,

当时，Sll=(c1+c2+--+c6)-(c7+c8+-+cn)=2S6-Sn

=228-[(7-n)2"+l-14]=(n-7)2n+1+242,

(7-7i)2,,+1-14,n<6

综上所述，S=<

n(n-7)2,,+1+242,n>7

21.已知函数/■(x)=2e*—分+l(x>0).(其中e是自然对数的底数)

(1)若对任意的三>%>0时，都有/(W)—/(%)>%—王，求实数a的取值范围;

(2)若aW6,求证：/(x)>0.(参考数据：In2Mo.693,ln3«1.099)

解：(1)对任意的三>%>。时，都有/(%2)—/(一七,

即对任意的马>占>。时，都有/(x2)-x2

令°(x)=/(x)-x,则函数0(元)在(0,+8)上单调递增，

则"(x)=/'⑺-1=2e，-a-120在(0,+8)上恒成立，

即aW21-1在(0,+。)上恒成立，

因为当x>0时，2e,—1>1，所以aWl,

经检验符合题意，所以实数a的取值范围为(-8』上

(2)要证/'(x)>0(x>0),即证a〈尘±1

A/\2e"+1/,/\2%e'_2e'—1

令g(x)=—;—(X〉0)，贝n1gf(x)=----------------

XX

令/z(x)=2xe*—2e*—l(x>0),则//(x)=2xe*>0(x>0),

所以函数〃(x)在(0,+8)上单调递增,

7

又%(1)=—1<0,〃

因为61n3=6xl.099=6.594<7,

77

所以一>ln3,所以丁

6C

7

所以无1e6-l>0,

故存在使得〃(Xo)=2%e*。-2e&-1=0,即g'(x(,)=0,

当0＜%＜玉）时，g'（%）＜0,当x〉/时，g'（九）＞0,

所以函数g（x）在（0,须）上单调递减，在（4,一）上单调递增,

7PXO_|_I

所以g(x)min=g(%)=^^

因为2%eM-2eT°-l=0,所以2e*。

------+1

所以g（）=2e“+1XQ—1

因为不£所『＞6,—,

2ex+1

又因为aW6,所以。〈竺二

所以若aW6,/（%）＞0.

22.已知双曲线。