山西省长治市2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试卷含解析

山西省长治市第九中学2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线私"和平面a,若贝!J_n"是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.不充分不必要

2.若复数z满足（2+3i）z=13i,则z=（）

A.—3+2iB.3+2iC.—3—2iD.3—2i

3.已知函数/（x）=，若/（玉））<2,则无。的取值范围是（）

[yJx+4,X>0

A.(-oo,-l)B.(-1,0]C.(-l,+oo)D.(-oo,0)

4.如图，已知平面。ac/3=l,A、8是直线/上的两点，C、。是平面£内的两点，且。A_L/,CB±l,

AD=3,AB=6,CB=6.P是平面a上的一动点，且直线p。，PC与平面a所成角相等，则二面角尸—BC—。

的余弦值的最小值是（）

6.设向量a,人满足同=2,W=L（a,b）=60,则卜+田的取值范围是

A+ooB.+oo

C.[夜,6]D.[73,6]

7.若圆锥轴截面面积为2若，母线与底面所成角为60。，则体积为（）

AV3RV6„273n276

A・----7TB.-----JiC.------JiD・-------兀

3333

8.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的％,%,%，，%。为茎叶图中的

学生成绩，则输出的M，九分别是（）

43678

501233689

6001344667889

70122456667889$

800244569

90168

开始

加=01n=01=0

入…啰/

;=/+1

m,n/

结束

A.加=38,n=12B.m=26,n=12

C.m=12n=12D.根=24,n=10

9.从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图:

根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为

A.171.25cmB.172.75cm

C.173.75cmD.175cm

10.在正方体AG中，E是棱CG的中点，尸是侧面BCG片内的动点，且4歹与平面RAE的垂线垂直，如图所示,

下列说法不正确的是（）

A.点尸的轨迹是一条线段B.4尸与BE是异面直线

c.A/与不可能平行D.三棱锥尸-A3。的体积为定值

11.如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为（）

D.与点。的位置有关

12.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图

所示（单位：寸），若万取3,当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为（）

5.4

正视图恻视图

俯视图

A.3B.3.4C.3.8D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在三棱锥P-ABC中，三条侧棱B4、PB、PC两两垂直，PB=PA+1,PA+PC=4,则三棱锥P—ABC外接

球的表面积的最小值为.

14.设P为有公共焦点E，月的椭圆G与双曲线的一个交点，且「耳，「心，椭圆G的离心率为，，双曲线G的

=

离心率为,若6?236,则G=

15.在等比数列｛4｝中，=64,%=8,则a2=

2+In2Yp

16.函数==的图象在x=5处的切线方程为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1,—

17.(12分)已知点P是抛物线。：丁=工厂-3的顶点，A-3是C上的两个动点，且P/4.P3=T.

(1)判断点。(0,1)是否在直线A3上？说明理由;

(2)设点对是小加的外接圆的圆心，点〃到％轴的距离为d,点N(l,0),求d的最大值.

18.(12分)已知点P在抛物线C：x2=2py(p>0)±.,且点P的横坐标为2,以尸为圆心，归。|为半径的圆(。为

原点)，与抛物线C的准线交于M,N两点，且|MN|=2.

(1)求抛物线C的方程;

(2)若抛物线的准线与y轴的交点为H.过抛物线焦点F的直线I与抛物线C交于A,5,且,求|AF|-|BF|

的值.

22

19.（12分）已知椭圆与+j

=1(。〉6〉0),上、下顶点分别是A、B,上、下焦点分别是耳、F2,焦距为2,

a-b2

点［I1）在椭圆上.

（1）求椭圆的方程;

（2）若。为椭圆上异于4、3的动点，过A作与x轴平行的直线/,直线与/交于点S,直线与直线AQ交

于点P,判断NSPQ是否为定值，说明理由.

20.（12分）如图，在四棱锥M—ABCD中，AB±AD,AB=AM=AD=2,MB=MD=2也.

（1）证明：AM,平面ABC。；

（2）若CO//AB,2CD=AB,E为线段上一点，且BE=2EM,求直线EC与平面皮加所成角的正弦值.

21.（12分）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用

于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆。及其内接等腰三角形ABC绕底边上的高所在直线

TT

AO旋转180。而成，如图2.已知圆。的半径为10cm,设/54。=。,。＜。＜二，圆锥的侧面积为Sc疗.

（1）求S关于。的函数关系式；

（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰A3的长度.

22.（10分）如图，在四棱锥尸—A5CD中，底面ABC。是直角梯形，AD//BC,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,

APCD是正三角形，PC±AC,E是K4的中点.

P

E

A

(1)证明：AC±BE；

(2)求直线BP与平面所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由线面关系可知〃不能确定“与平面a的关系，若〃〃1一定可得m_L〃，即可求出答案.

【详解】

不能确定〃ua还是〃aa,

.,.加nila,

当M/e时，存在aua,nila,,

由根_Ltz=>根_La,

又M/a,可得mLn,

所以“m±n"是"M/cr"的必要不充分条件，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.

2、B

【解析】

由题意得,z=N:，求解即可.

2+31

【详解】

13i13i(2-3i)26i+39

因为(2+3i)z=13i斯以z=3+2i.

2+3i(2+3i)(2-3i)4+9

故选:B.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题.

3、B

【解析】

对与分类讨论，代入解析式求出了（X。），解不等式，即可求解.

【详解】

[21,0

函数/（尤）=由/(Xo)<2

+>0

广<2"再"<2

.%,0°|x0>0

解得—

故选:B.

【点睛】

本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.

4、B

【解析】

pA

NQ6A为所求的二面角的平面角，由♦ZMP〜.CPB得出而，求出P在a内的轨迹，根据轨迹的特点求出NP54的

最大值对应的余弦值

【详解】

DALI,aL/3,ac/3=1,ADu,

:.AD±a,同理BC_La

“Q4为直线尸。与平面&所成的角，ZCPB为直线PC与平面a所成的角

：.ZDPA=ZCPB,又ZDAP=NCBP=90°

p

在平面a内，以AB为了轴，以AB的中垂线为V轴建立平面直角坐标系

则A(-3,0),5(3,0),设P(x,y)(y>0)

2^(%+3)2+/=^(%-3)2+/,整理可得：(x+5)2+y2=16

.•.P在a内的轨迹为/(-5,0)为圆心，以4为半径的上半圆

平面PBCc平面Z?=BC,PBLBC,ABLBC

NP64为二面角P-BC-D的平面角，

二当M与圆相切时，NPBA最大,COS/P54取得最小值

此时尸河=4,MB=8,MP±PB,PB=40

PB473V3

cosN/PPOB4A-------=------=——

MB82

故选3

【点睛】

本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量

法等，依据题目选择方法求出结果.

5、D

【解析】

由已知向量的坐标求出a+b的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案.

【详解】

a=(1,ni),b-(3,-2),/.a+b=(4,m-2),又(a+6)_Lb,

.♦.3x4+(-2)x(m-2)=0,解得m=L

故选D.

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题.

6、B

【解析】

由模长公式求解即可.

【详解】

\a+tb\=J(a+%)2=sla2+2a-bt+t2b2=，4+21+/=«+1『+3>也,

当/=—1时取等号，所以本题答案为B.

【点睛】

本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.

7、D

【解析】

设圆锥底面圆的半径为广，由轴截面面积为2逝可得半径小再利用圆锥体积公式计算即可.

【详解】

设圆锥底面圆的半径为小由已知，-x2rxV3r=2V3,解得r=行，

所以圆锥的体积V=之兀"其=巫兀.

33

故选：D

【点睛】

本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.

8、B

【解析】

试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不

小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故加=26,n=12.

考点：程序框图、茎叶图.

9、C

【解析】

由题可得(0.005x2+。+0.020x2+0.040)xl0=l,解得«=0.010,

则j(0.005+0.010+0.020)x10=0.35,0.35+0.040xl0=0,75>0,5,

所以这部分男生的身高的中位数的估计值为170+"三竺|xl0=173.75(cm),故选C.

10>C

【解析】

分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断.

【详解】

对于A,设平面AQE与直线交于点G,连接AG、EG,则G为的中点

分别取用3、用G的中点〃、N,连接40、MN、AN,

Q4M//2E,4/9平面。［4£,。也＜=平面。/£,

，4///平面。14£.同理可得W//平面RAE,

AM、是平面AMN内的相交直线

二平面4MN//平面QAE,由此结合4歹//平面。AE,可得直线4尸u平面4MN,

即点尸是线段MN上上的动点.二A正确.

对于3,平面AMN//平面QAE,班和平面AAE相交，

尸与仍是异面直线，，台正确.

对于C,由A知，平面AMN//平面，AE,

.•.4尸与。E不可能平行，；.c错误.

对于。，因为MN//EG,则歹到平面AD|E的距离是定值，三棱锥尸-ARE的体积为定值，所以。正确；

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11,B

【解析】

根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.

【详解】

如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的,

正方体的体积为8,四棱锥的底面是边长为2的正方形，

顶点。在平面AD24上，高为2,

1Q

所以四棱锥的体积为4x4x2=2,

33

所以该几何体的体积为8-

33

故选:B.

【点睛】

本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.

12、D

【解析】

根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.

【详解】

由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为％3,1和

一个底面半径为高为5.4-x的圆柱组合而成.

2

该几何体的表面积为

2（x+3x+3）+»-（5.4-％）=42.2,

解得x=4,

故选：D.

【点睛】

本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、14〃

【解析】

设=可表示出P8,PC,由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得

外接球表面积.

【详解】

设PA=尤则PC=x+1,PC=4—%,由PA,依,PC两两垂直知三棱锥P-ABC的三条棱PA,PB,PC的棱长的平方

和等于其外接球的直径的平方.记外接球半径为乙

:,2r=Jx?+（x+l/+（4-x）-=A/3X2-6X+17

当X=1时，2Gm=E，Gm=半,S表=4兀［理］=14兀.

故答案为：14».

【点睛】

本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等

于这三条侧棱的平方和.

14、昱

3

【解析】

设

Z.FXAF2=20

根据椭圆的几何性质可得SRPFE=b；tan6=b；

12

G=­y：,ax=—,—c=c——1

[G"i)

根据双曲线的几何性质可得，S、PFE=^^=b；

tan。

7

故答案为好

3

【解析】

a4

设等比数列｛%｝的公比为您再根据题意用基本量法求解公比，进而利用等比数列项之间的关系得。2=法=齐=1即

【详解】

设等比数列｛%｝的公比为/由a3a4%=64，得(为旷=64,解得。4=4.又由%=8,得4=g=2.则

%

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.

16、40x+e3y-32e-0

【解析】

2+In2Y。

利用导数的几何意义，对/(%)=一丁一求导后在计算在X=—处导函数的值，再利用点斜式列出方程化简即可.

x2

【详解】

、:工-(2+ln2x)-2xx2x(2+ln2x),则切线的斜率为r图=-2

，所以函数/(尤)的图象在X处的切线方程为y-7，即40x+e3y—32e=0.

故答案为：40x+e3y—32e=0

【点睛】

本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题，需要注意求导法则与计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）不在，证明见详解；（2）庖+1

8

【解析】

（1）假设直线方程丫=履+6,并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算PA.依=y,可得5=-1,然后验证可

得结果.

（2）分别计算线段PAP6中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点"的轨迹方程y=2/,然后可得焦

点结合抛物线定义可得|MN|-dK|NF|+：,计算可得结果.

8

【详解】

（1）设直线方程丫=履+匕，A（^,yI）,B（x2,y2）

根据题意可知直线斜率一定存在，P（0,-3）

y=kx+b

贝卜1=>x2-4kx-4（3+b]=0

y=—x-3

I4

x1x2=-4（3+Z?）,Xj+x2=4k

A=（^）2+16/2+48

%=（石，%+3）,必=（%2，%+3）

则夕4必=再入2+（乂+3）（%+3）

PAPB=xix2+yiy2+3（y1+y2）+9

2

yxy2=（kxi+/?）（仇+/?）=左2%/+劭（％+x2）+/7

yi+y2=kxi+b+kx2+b=k（<x[+x2）+2Z?

22

PA-PB=^k+1）%%2+（3左+劭）（%1+x2）+Z?+6Z?+9

由R4•尸5=-4

所以（左之+1）%%+（3k+丘?）（石+%2）+，2+6b+9=—4

将玉9=~4（3+b）,玉+%2=4k代入上式

化简可得〃+2人+1=0,所以3=—1

则直线方程为丫=6-1,

所以直线过定点（0,—1）,A=（^）2+16Z?+48>0

所以可知点D（0,l）不在直线上.

②设

线段Q4的中点为

线段用的中点为

则直线PA的斜率为W,

%

直线PB的斜率为kpB=匕9

%

可知线段Q4的中垂线的方程为>一近。=-一三%-g

2%+312

14x2

由％=二Y—3,所以上式化简为丁=--+

4玉8

4r2

即线段B4的中垂线的方程为y=--1

玉8

同理可得：

4%2

线段m的中垂线的方程为y=-F“+七一1

y=——

32

玉2+x2+X]4—8

y=rx+o

由（1）可知：%+%2=4匕xw=T（3+b）=-8

32

所以

玉2+X：+玉%―8DM=23

即M（Z,2阴，所以点M轨迹方程为丁=2必

焦点为尸[0,"],

所以|"N|—d=|"N|—\MF

OJo

当M,N,尸三点共线时，|MN|-d有最大

V65+1

所以|MN|—d=\MN\-\MF\+-<|A^F|+-=

888

【点睛】

本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处〃，第（2）问中关键在于得到点"的轨迹方程，直

线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.

18、(1)%2=4y(2)4

【解析】

（1）将点P横坐标代入抛物线中求得点尸的坐标，利用点尸到准线的距离d和勾股定理列方程求出P的值即可；（2）

设A、B点坐标以及直线AB的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算

|AF|-|BF|的值即可.

【详解】

2

（1）将点尸横坐标元尸=2代入%2=2py中，求得力=一

P

"⑵1S>，

72p

点P到准线的距离为d=一+±

P2

2

\MN\

•,.|0P|2=I+t/2)

2

2

：.2?+日=1+

VP)

解得/=4,...p=2,

；•抛物线C的方程为：必=4%

（2）抛物线必=4）;的焦点为尸（0,1）,准线方程为y=-1,H（0,-l）；

设4（玉，%），巩龙2，%），

直线AB的方程为y^kx+1,代入抛物线方程可得9—46—4=0,

，芯+%2=4左，玉犬2=—4,…①

由可得.左皿=—1，

k%+1

又左AB=^AF=~、HB

.2LZ1.A±1=_I

•••(%—1)(%+1)+4/=。，

1

即1/X；―])]工工；+1)+XjX2=0>

4

x；x；+7(才—1+X]X,=0,…②

把①代入②得，xf-xl=16,

一君）=；义16=4.

贝(J|AF|—|3/|=乂+1_%—1=

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

19、(1)-^+―=1；(2)ZSPQ=-,理由见解析.

432

【解析】

（1）求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得。的值，进而可求得沙的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）设点Q的坐标为（1，%）（//。），求出直线3。的方程，求出点S的坐标，由此计算出直线AQ和工5的斜率,

可计算出七°衣喝的值，进而可求得NSPQ的值，即可得出结论.

【详解】

（1）由题意可知，椭圆的上焦点为耳（0/）、^（0,-1）,

可得a=2,

22

因此，所求椭圆的方程为匕+上=1;

43

22j2

（2）设点。的坐标为（为,%）（%0/0）,则卷+当=1,得y：=4—?,

y-2k=2+1=3（%+2）

直线AQ的斜率为&2=7—，直线的斜率为时一小二―4%,

“。—

4片

所以，“k23（%+2）_3卜；-4）_一寸义3=.•.AQ，£S,

*。旗―毛4%—4焉-4玉；一

7T

因此，ZSPQ=-.

2

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题.

20、（1）证明见解析

⑵晅

53

【解析】

（1）利用线段长度得到A"与间的垂直关系，再根据线面垂直的判定定理完成证明;

(2)以AD、AM>AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦

值的绝对值等于线面角的正弦值，计算出结果.

【详解】

(1)AB=AM=AD=2,MB=MD=，

•*.AM2+AD2=MD2>AM2+AB2=MB2

：.AMLAD,AMLAB

VABr>AD=A,ADu平面ABC。，

二AM,平面ABC。

(2)由(1)知ASLAD,AMLAD,AM±AB

又A为坐标原点，分别以A。、AM>A5为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),M(0,2,0),£>(2,0,0),B(0,0,2),C(2,0,l),BD=(2,0,-2),DM=(-2,2,0),

••5=2好二心*。3]-2,：一£|

设〃=(尤,y,z)是平面BDM的一个法向量

n-BD=02x-2z=0

则即,取X=1得”=(1,1,1)

n-DM=0—2x+2y=0

-2+4」「

|«-CE|337159

/.|COS(H,CE)|=

\n\-\CE\&乒F

3

直线EC与平面BDM所成的正弦值为Y画

53

【点睛】

本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦，难度一般.用向量方法求解线面角的正弦值时，注意直线方

向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.

21、(1)S=4007isin^cos2^,(0<0<-)(2)侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰A3的长度为"®cm

23

【解析】

JT

试题分析：(1)由条件，AB=20cos^,皮)=20cos夕sinS,所以5=400欣111。852。，(0<^<—)；(2)

S=400乃sinecos2e=40()Hsine—sin3e)/x=sine,所以得/(无)=x—总通过求导分析，得/(%)在

时取得极大值，也是最大值.

试题解析：

(1)设与交于点。，过G作。ELAB，垂足为E,

在AAOE中，AE=10cos0,AB=2AE=20cos6»,

在AABD中，jBZ)=ABsine=20cos9・sine,

~71

所以S=400^sin6>cos2^，(0<<—)

2

(2)要使侧面积最大，由(1)得：

S=4007rsin6>cos26)=400乃(sin(9-siV。)

☆x=sin。，所以得/(x)=%-三，

由/(%)=1—3f=。得:》=当

当时，当时，r(%)<o

所以/(x)在区间0