2023-2024学年江苏省南京鼓楼区中考数学最后一模试卷含解析

2023-2024学年江苏省南京鼓楼区金陵汇文重点中学中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列事件中为必然事件的是（）

A.打开电视机，正在播放茂名新闻B.早晨的太阳从东方升起

C.随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D.下雨后，天空出现彩虹

31_

2.如图，点A,B在双曲线y=—（x>0）上，点C在双曲线y=-（x>0）上，若AC〃y轴，BC〃x轴，且AC=BC,

xx

则AB等于（）

D.30

D.8

4.计算一.二一|一3|的结果是（）

A.-1B.-5C.1D.5

5.为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图

（如图）.估计该校男生的身高在169.5cm〜174.5cm之间的人数有（）

某中学若干名男生身高频率分布直方图

［人数

16........................................

6…….................................................

身高(cm)

Ol1S451S9S164S1605174517QS

A.12B.48C.72D.96

6.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZABC+ZDCB=90°,且BC=2AD,分别以AB、BC、DC为边向外作正方

;形，它们的面积分别为S1、S2、S1.若S2=48,SI=9,则Si的值为（）

A.18B.12C.9D.1

7.如图是二次函数y=ax?+bx+c（a，b,c是常数，a/））图象的一部分，与x轴的交点A在点（2,0）和（3,0）之

间，对称轴是x=L对于下列说法:（Dab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；@a+b>m（am+b）（m为实数）；⑤当-IVx

<3时，y>0,其中正确的是(■)

…A.

。g斗X

\X=1

A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤

8.如图，点E在△DBC的边DB上，点A在ADBC内部，ZDAE=Z1BAC=90°,AD=AE,AB=AC.给出下歹U结论:

①BD=CE；(2)ZABD+ZECB=45°；③BD_LCE；④BE1=1(AD^AB1)-CD1.其中正确的是（）

AD

A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④

9.如图，若@〃1),Zl=60°,则N2的度数为()

丁

2

b

A.40°B.60°C.120°D.150°

10.要使式子立包有意义，x的取值范围是（）

X

A.x^lB.x/）C.x>-l且邦D.乂？-1且"0

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D,NB=NC=90。，测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河

宽AB=m.

12.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点P在AB上.若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的J处,

则AP的长为.

13.直线AB,BC,CA的位置关系如图所示，则下列语句：①点A在直线BC上；②直线AB经过点C；③直线AB,

BC,CA两两相交；④点B是直线AB,BC,CA的公共点，正确的有（只填写序号）.

14.抛物线y=2x2+3x+k-2经过点（-1,0）,那么k=.

15.如图，扇形OAB的圆心角为30。，半径为1,将它沿箭头方向无滑动滚动到的位置时，则点O到点O,所

16.若一组数据1,2,3,x的平均数是2,则x的值为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）已知：如图，在梯形A3。中，DC//AB,AD=BC,80平分NA5C,ZA=60°.

求：（1）求的度数；

（2）当40=2时，求对角线50的长和梯形ABC。的面积.

7?

18.（8分）由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量yi（万nP）与干旱持

续时间x（天）的关系如图中线段h所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量yz（万nP）与时

间（天）的关系如图中线段12所示（不考虑其他因素）.

（1）求原有蓄水量yi（万nP）与时间（天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量.

（2）求当0SXW60时，水库的总蓄水量y万（万nP）与时间x（天）的函数关系式（注明x的范围），若总蓄水量不

多于900万nP为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围.

19.（8分）【发现证明】

如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD±,NEAF=45。，试判断BE,EF,FD之间的数量关系.

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90。至AADG,通过证明小AEF^AAGF；从而发现并证明了EF=BE+FD.

【类比引申】

（1）如图2,点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，NEAF=45。，连接EF,请根据小聪的发现给

你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；

【联想拓展】

（2）如图3,如图，ZBAC=90°,AB=AC,点E、F在边BC上，且NEAF=45。，若BE=3,EF=5,求CF的长.

20.（8分）A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人,

以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.

(1)求两次传球后，球恰在B手中的概率；

(2)求三次传球后，球恰在A手中的概率.

21.(8分)如图，已知△ABC,按如下步骤作图：

①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；

.

②连接MN,分别交AB、AC于点D、O；

③过C作CE〃AB交MN于点E,连接AE、CD.

(1)求证：四边形ADCE是菱形；

(2)当NACB=90。，BC=6,△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积.

22.(10分)如图，已知一次函数为=质-2的图象与反比例函数%=—(x>0)的图象交于A点，与x轴、V轴交

于两点，过A作垂直于X轴于3点.已知AB=LBC=2.

(1)求一次函数％=履-2和反比例函数%=—(x>0)的表达式；

X

(2)观察图象:当尤>0时，比较

23.(12分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直

角三角形如图(1)摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下

D

图1图2

如图(1)ZDAB=90°,求证：a2+b2=c2

证明：连接DB,过点D作DFLBC交BC的延长线于点F,贝!!DF=b-a

1

四边形ADCB=S.+S.c=--b+—ab

ADC22

121、

四边形ADCB=SQB+SBCD=—c"+—a(b-a)

1,11,1

—b"+—ab=—c~+-a（b-a）化简得：a2+b2=c2

2222

请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中NDAB=90。，求证：a2+b2=c2

24.某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用

68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.该商场两次共购进这种

运动服多少套？如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%,那么每套售价至少是多少元？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：

A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误;

B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；

C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；

D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误.

故选B.

2、B

【解析】

【分析】依据点c在双曲线y=L上，AC〃y轴，BC〃x轴，可设C(a,-),则B(3a,-),A(a,-),依据

XQQQ

AC=BC,即可得到』-，=3a-a,进而得出a=L依据C(1,1),B(3,1),A(1,3),即可得至ljAC=BC=2,进

aa

而得至IJR3ABC中，AB=20.

【详解】点C在双曲线y=，上，AC〃y轴，BC〃x轴，

X

设C(a,-),则B(3a,-A(a,-),

aaa

VAC=BC,

・3「

・・-—-=3a-a,

aa

解得a=l,(负值已舍去)

AC(1,1),B(3,1),A(1,3),

/.AC=BC=2,

.'.RtAABC中，AB=20,

故选B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定

值k,即xy=k.

3、C

【解析】

根据有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数，可得答案.

【详解】

解：2-5=-3,

故选：C.

【点睛】

本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数.

4、B

【解析】

原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值.

【详解】

原式=---V=—?,

故选：B.

【点睛】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

5、C

【解析】

解:根据图形，

12

身高在169.5cm-174.5cm之间的人数的百分比为：--------------xl00%=24%,

6+10+16+12+6

,该校男生的身高在169.5cm〜174.5cm之间的人数有300x24%=72（人）.

故选C.

6,D

【解析】

过A作A"〃。交5c于3，根据题意得到NA4E=90。，根据勾股定理计算即可.

【详解】

；S2=48,：.BC=4y/3,过A作AH〃CZ>交于则

,JAD//BC,二四边形是平行四边形，：.CH=BH=AD=2y/3,AH=CD^1.

'：ZABC+ZDCB^9Q°,：.ZAHB+ZABC^90°,：.ZBAH^90°,：.AB2^BH2-Alfi=l,，Si=L

故选D.

【点睛】

本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

7、A

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与2的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与2的关系，然后根据对称轴判定b与2的关

系以及2a+b=2；当x=-l时，y=a-b+c；然后由图象确定当x取何值时，y>2.

【详解】

①•・•对称轴在y轴右侧，

.•.a、b异号，

ab<2,故正确；

b

②•••对称轴户——=1,

2a

2a+b=2；故正确；

③；2a+b=2,

,b=-2a,

•.,当x=-1时，y=a-b+c<2,

/.a-（-2a）+c=3a+c<2,故错误；

④根据图示知，当m=l时，有最大值；

当n#l时，有am2+bm+c<a+b+c,

所以a+bNm（am+b）（m为实数）.

故正确.

⑤如图，当-lVx<3时，y不只是大于2.

故错误.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定

抛物线的开口方向，当a>2时，抛物线向上开口；当a<2时，抛物线向下开口；②一次项

系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>2）,对称轴在y轴

左；当a与b异号时（即ab<2）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）③常数项c决定抛

物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（2,c）.

8、A

【解析】

分析：只要证明△DAB丝4EAC,利用全等三角形的性质即可一一判断；

详解：VZDAE=ZBAC=90°,

ZDAB=ZEAC

VAD=AE,AB=AC,

.,.△DAB^AEAC,

；.BD=CE,NABD=NECA,故①正确，

/.ZABD+ZECB=ZECA+ZECB=ZACB=45°,故②正确，

,.,ZECB+ZEBC=ZABD+ZECB+ZABC=45°+45o=90°,

.*.ZCEB=90°,即CE_LBD,故③正确，

/.BE^BC^EC^IAB1-(CD'-DE1)=lAB'-CD^lAD^l(AD】+AB])-CD1.故④正确，

故选A.

点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三

角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

9、C

【解析】

.*.Z3=Z1=6O°,

又■〃!1,

.*.Z2+Z3=180°,

.*.Z2=120°,

故选C.

点睛：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键.平行线的性质定理：两直线平行，同位

角相等，内错角相等，同旁内角互补，两条平行线之间的距离处处相等.

10、D

【解析】

根据二次根式由意义的条件是：被开方数大于或等于1,和分母不等于1,即可求解.

【详解】

x+1>0

根据题意得：｛八，

解得：xN-1且*1.

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为1;二次根式的被开方数是非负数.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1

【解析】

由两角对应相等可得△BAD-ACED,利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长.

【详解】

解：VZADB=ZEDC,ZABC=ZECD=90°,

/.△ABD^AECD,

*_A_B____BD

CD

BDxEC

即AB二

CD

120x50

解得：AB==1（米）.

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例.

3T9

12、一或一

24

【解析】

①点A落在矩形对角线BD上，如图1,

VAB=4,BC=3,

；.BD=5,

根据折叠的性质，AD=A，D=3,AP=AT,NA=NPA，D=90。，

：.BA'=2,设AP=x,贝!]BP=4-x,VBP2=BA,2+PA,2,

/.(4-x)2=x2+22,

33

解得：x=—,/.AP=—；

22

②点A落在矩形对角线AC上，如图2,根据折叠的性质可知DP,AC,

/.△DAP^AABC,

•AD_AB

AP—BC'

AD-BC3x39

\p=-----------=--------

44

【解析】

根据直线与点的位置关系即可求解.

【详解】

①点A在直线BC上是错误的；

②直线AB经过点C是错误的；

③直线AB,BC,CA两两相交是正确的；

④点B是直线AB,BC,CA的公共点是错误的.

故答案为③.

【点睛】

本题考查了直线、射线、线段，关键是熟练掌握直线、射线、线段的定义.

14、3.

【解析】

试题解析：把(-1,0)代入y=2x?+3x+左-2得：

2-3+k-2=0,

解得：k=3.

故答案为3.

7万

15>—

6

【解析】

点O到点O,所经过的路径长分三段，先以A为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长，再平移了AB弧的长，最后

以B为圆心，1为半径，圆心角为90度的弧长.根据弧长公式计算即可.

【详解】

解：,••扇形OAB的圆心角为30。，半径为1,

30-71-171

AB弧长=

1806

...点O到点O,所经过的路径9长0,=7i把,1X2+-=-771.

18066

7

故答案为:二兀.

6

【点睛】

本题考查了弧长公式：1=—77•^7E•/?.也考查了旋转的性质和圆的性质.

180

16、1

【解析】

根据这组数据的平均数是1和平均数的计算公式列式计算即可.

【详解】

•.,数据1,1,3,x的平均数是1,

l+2+3+x

---------------=2,

4

解得：x=2.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了平均数的定义，根据平均数的定义建立方程求解是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、：⑴30。；(2)S梯形钻8=3百・

【解析】

分析：

(1)由已知条件易得NABC=NA=60。，结合BD平分NABC和CD〃AB即可求得NCDB=30。；

(2)过点D作DH_LAB于点H,则NAHD=30。，由(1)可知NBDA=NDBC=30。，结合NA=60。可得NADB=90。，

ZADH=30°,DC=BC=AD=2,由此可得AB=2AD=4,AH=J^,这样即可由梯形的面积公式求出梯形ABCD的面积

了.

详解：

(1)；在梯形ABCD中，DC〃AB,AD=BC,/A=60。，

.\ZCBA=ZA=60o,

VBD平分/ABC,

:.ZCDB=ZABD=-ZCBA=30°,

2

(2)在AACD中，VZADB=180°-ZA-ZABD=90°.

BD=AD-tanA=2tan60°=26.

过点D作DHLAB,垂足为H,

:.AH=AD-sinA=2sin60°=73.

1

VZCDB=ZCBD=-ZCBD=30",

2

.\DC=BC=AD=2

；AB=2AD=4

•••S梯形ABCD=g(AB+CD)•DH=g(4+2)百=•

点睛：本题是一道应用等腰梯形的性质求解的题，熟悉等腰梯形的性质和直角三角形中30。的角所对直角边是斜边的

一半及等腰三角形的判定，是正确解答本题的关键.

18、(1)yi=-20x+1200,800；(2)15<x<40.

【解析】

(1)根据图中的已知点用待定系数法求出一次函数解析式(2)设yz=kx+b,把(20,0)和(60,1000)代入求出解析

式，在已知范围内求出解即可.

【详解】

b=1200.._左=—20

解：(1)设y尸kx+b,把(0,1200)和(60,0)代入得<60左+。=0解得,1200'所以门=孙+12。。'当x=2。时,

yi=-20x20+1200=800,

2Qk+b=Qk=25

(2)设y2=kx+b,把(20,0)和(60,1000)代入得<则《,sc，所以y2=25x-500,当OWx/20时,

60mooob=-500

y=-20x+1200,当20<x<60时，y=yi+y2=-20x+1200+25x-500=5x+700,

由题意

-20%+1200<900

5%+700<900

解得该不等式组的解集为15<x<40

所以发生严重干旱时x的范围为15<x<40.

【点睛】

此题重点考察学生对一次函数和一元一次不等式的实际应用能力，掌握一次函数和一元一次不等式的解法是解题的关

键.

19、（1）DF=EF+BE.理由见解析；（2）CF=1.

【解析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90。至△ADG,可使AB与AD重合，证出△AEFg4AFG,根据全等三角

形的性质得出EF=FG,即可得出答案；

（2）根据旋转的性质的AG=AE,CG=BE,ZACG=ZB,NEAG=90。，ZFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=90°,

根据勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；关键全等三角形的性质得到FG=EF,利用勾股定理可得CF.

解：（1）DF=EF+BE.理由：如图1所示，

VAB=AD,

.•.把△ABE绕点A逆时针旋转90。至4ADG,可使AB与AD重合，

,."ZADC=ZABE=90°,.,.点C、D、G在一条直线上，/.EB=DG,AE=AG,ZEAB=ZGAD,

•:ZBAG+ZGAD=90°,:.ZEAG=ZBAD=90°,

VZEAF=15°,ZFAG=ZEAG-ZEAF=90°-15°=15°,:.ZEAF=ZGAF,

EA=GA

在AEAF和AGAF中，•••△EAF之△GAF,.*.EF=FG,,；FD=FG+DG,；.DF=EF+BE；

AF=AF

(2)•.•/BAC=90。，AB=AC,...将△ABE绕点A顺时针旋转90。得△ACG,连接FG,如图2,

；.AG=AE,CG=BE,ZACG=ZB,NEAG=90°,

ZFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=90°,AFG2=FC2+CG2=BE2+FC2；

又；NEAF=15。，而NEAG=90。，/.ZGAF=90°-15°,

EA:GA

在AAGF与AAEF中，..W，/.AAEF^AAGF,；.EF=FG,

AF=AF

CF2=EF2-BE2=52-32=16,:.CF=L

“点睛”本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是

解题的关键，此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫.

20、(1)—；(2)—.

44

【解析】

试题分析：(1)直接列举出两次传球的所有结果，球球恰在B手中的结果只有一种即可求概率；(2)画出树状图，表

示出三次传球的所有结果，三次传球后，球恰在A手中的结果有2种，即可求出三次传球后，球恰在A手中的概率.

试题解析：

解：(1)两次传球的所有结果有4种，分别是A-B-C,ATB-A,A-CTB,A-C-A.每种结果发生的可能性

相等，球球恰在B手中的结果只有一种，所以两次传球后，球恰在B手中的概率是工；

4

(2)树状图如下，

A

第一次ACAB

1tt一%/\/\/\八

第二次BCABBCAC

由树状图可知，三次传球的所有结果有8种，每种结果发生的可能性相等.其中，三次传球后，球恰在A手中的结果

21

有ATBTC—A,ATC—B—A这两种，所以三次传球后，球恰在A手中的概率是一=一.

84

考点：用列举法求概率.

21、(1)详见解析；(2)1.

【解析】

(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC_LDE,即NAOD=NCOE=90。，从而得出△AODg△COE,

即可得出四边形ADCE是菱形.

(2)利用当NACB=90。时，OD〃BC,即有AADOsaABC,即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD和AO

的长，即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积.

【详解】

(1)证明：由题意可知：

:分别以A、C为圆心，以大于.AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；

二直线DE是线段AC的垂直平分线,

.\AC_LDE,即NAOD=NCOE=90。；

且AD=CD、AO=CO,

XVCE/7AB,

.*.Z1=Z2,

在4AOD和4COE中

/.△AOD^ACOE(AAS),

.\OD=OE,

VAO=CO,DO=EO,

四边形ADCE是平行四边形,

XVAC1DE,

二四边形ADCE是菱形；

(2)解：当NACB=90。时，

OD/7BC,

即有△ADO^AABC,

又；BC=6,

；.OD=3,

又••,△ADC的周长为18,

；.AD+AO=9,

即AD=9-AO,

・*•

口口=，口口-ULT=工

可得AO=4,

ADE=6,AC=8,

考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强.

22、(1)%=：x-2,%=9(x