青海省百校2024届高三年级下册二模考试理科数学试卷+答案

高三数学试卷（理科）

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的

1.已知集合A={1,2,3},B={X\X2-2X-2<Q],则AB=()

A.{1}B.{1,2}D.0

2.复数z=2i（4—3i）的虚部为（

A.6B.-6C.8D.-8

・3a

3.已知a为锐角,sinor=—,则nIcos—二()

2

3A/10c亚275

A.——B.--------D.-----

1010,55

.若圆：2222,

4Af(x-^2)+y=m(m>0)与双曲线C：%一y2=1的渐近线相切，则相=（）

A.lB.2C.J2D.2A/2

5.2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（）

A.2017年至2022年该省年生产总量逐年增加

B.2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元

C.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低

D.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%

6.已知数列｛%｝的通项公式为4=而2一〃一2,若｛%｝为递增数列，则上的取值范围为（）

D.Joo

A.(1,+oo)B.(0,+oo)

13

7.如图，这是一个正方体的平面展开图,在该正方体中，下列命题正确的是（

h.AB//HGB.CG.LBHC.CGLDHD.AC//DG

8.在等差数列｛4｝中，q=l,4+4=%，设勿=2%,记S”为数列｛2｝的前〃项和，若5„,=宝，则

m=()

A.5B.6C.7D.8

^77,%<0,

9.已知函数/(%)=〈才则不等式/（片―1）＞/（3）的解集为（

A.(-2,2)B.(0,+oo)C.(-co,0)D.(-oo,-2)(2,+co)

10.已知函数/(x)=sinlx--^-

的定义域为［加,川（相＜〃），值域为［0,1］,则“-m的取值范围是（）

兀兀2兀兀2兀兀

A.一,71B.9D.2,71

32T

11.如图，已知在四棱锥P—A3CD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,PD=2AD^4BC=4,

底面积为述，QDLAD且=M，则四棱锥尸—A3CD外接球的表面积为（）

4

A.9TTB.12^71C.39TTD.20TI

12.已知定义在R上的函数/(X),其导数为尸(元)，且满足/(x+y)=/(%)+/(y)+冲(％+y),

/(1)=-|,/,(1)=0,给出下列四个结论:

①/(X)为奇函数；②-(10)=99；③/(3)=3：④/(%)在(0,1)上单调递减.

其中所有正确结论的序号为()

A.①②B.①③C.②③④D.①②④

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

x+y..2,

13.若x,y满足约束条件＜x-%,2,则z=y—X的最大值为.

2,

14.青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，

如图所示.若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻

的概率为____________.

15.已知椭圆C：=+与=1的左、右焦点分别为《，工，上顶点为A,过弓作AK的垂线，

ab

与y轴交于点P，若归耳|=节，则椭圆C的离心率为.

16.已知P是正六边形ABCDEF边上任意一点，且AB=2,PAPB=8,则|PA|+|PB|=.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分.

17.(12分)

某企业近年来的广告费用无(百万元)与所获得的利润y(千万元)的数据如下表所示，已知y与龙之间具

有线性相关关系.

年份20182019202020212022

广告费用X/百万元1.51.61.71.81.9

禾！1润》千万元1.622.42.53

（1）求y关于x的线性回归方程：

（2）若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回归

方程，预测2025年该企业可获得的利润.

可（--9）

参考公式：$=上―-------------，a=y-bx.

£（玉-寸

i=l

18.（12分）

在中，已知NS4C=120°,D为BC上一点、,CD=5,BD=4出，且NR4£>=90°.

（1）求---的值；

AC

（2）求的面积.

19.（12分）

如图，在三棱柱ABC—A与G中，所有棱长均相等，CB]BG=O,乙433]=60。，CB±BBX.

（1）证明；49，，平面

（2）若二面角G一5的正弦值

20.（12分）

已知尸是抛物线C：铲=2X（p>0）的焦点，过尸的直线/与C交于A,B两点，且A,B到直线x=—3

的距离之和等于|AB|+4.

（1）求C的方程；

（2）若/的斜率大于0,A在第一象限，过B与1垂直的直线和过A与x轴垂直的直线交于点D,且

|AB|=|AD|,求/的方程。

21.（12分）

已知函数/'(%)="*,曲线y=/(x)在x=l处的切线的斜率为三工.

xee

(1)求a的值：

(2)证明：当％>0时，/(x)<1.

(二)选考题：共10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

x=cos2t\x=cos4/

在直角坐标系中，曲线G的参数方程为。为参数)，曲线。2的参数方程为1G

［y=sinf［y=sinf

为参数).

(1)写出G及G的普通方程；

(2)以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求G与G交点的极坐标.

23.［选修4-5；不等式选讲］(10分)

已知a,b,c均为正实数，且工+工+'=1,证明：

ab+1c+2

(1)a+b+c..6；

(2)若b=2c,则。2+9/..18.

高三数学试卷参考答案（理科）

1.B当尤=1时，满足％之—2x—2<0；当尤=2时，满足X2—2x—2<0；当％=3时，不满足x2—2x—2<0.

所以AB={1,2}.

2.Cz=2i(4—3i)=6+8i,所以复数z的虚部为8.

因为a为锐角，sin(7=-,所以cosa=3,cos—=cosa+^3M

3.B

552V210

4.A双曲线C的渐近线方程为y=+x,不妨取y=龙,点（0,0）到直线y=龙的距离为=1.因为圆

M与双曲线C的渐近线相切，所以772=1.

5.C2017年至2022年该省年生产总量逐年增加，A正确.2017年至2022年该省年生产总量的极差为

48670.4—33828.1=14842.3亿元，B正确.2021年该省年生产总量的增长速度比2020年高，C错误.2017

年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%,D正确.

左>0,]

6.D结合二次函数的性质可得13解得上

—<一,3

[2k2

7.A由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，AB//HG.

8.B设{4}的公差为d因为囚+g=a2+。3=。3，所以%-0>d=。2-6=-1,则%,=2-〃，bn=22f,

[2"163163

~2=4——•因为鼠=一，所以4—工=一，解得加=6.

"112"-2m162m-216

1-----

2

J在（一。）上单调递减'二+在［。,+划上单调递减'且;占，所以於）

9.A函数y=

在定义域R上单调递减.因为1）>/（3）,所以1<3,解得—2<a<2.

71

10.D当工£|m,川时，X-乌£—.由题意可得巴强人一工一加一工兀，解得〃一根£—,71

66626\6

11.D取AD的中点为E因为AD=2NC=2,面积为乂，所以梯形的高为、一，则百，连接

423

BF,所以八45斤为等边三角形，点尸为梯形ABCD外接圆的圆心.连接皮)，在△BCD中，根据余弦定

理得cos—=-------------=——=——,所以3D=石.因为=PD=4,所以。£>2+5£)2=

32BCCD2

PBI2,所以？D_L8Z>因为。DLAD,所以？DJ_平面AfiCD.过AD的中点尸作尸。〃尸。交于点

O,则产平面ABC。，且O为的中点，所以点O为RtaPAD外接圆圆心，所以0为四棱锥

P-ABCD外接球球心,所以外接球半径为-PA=-y/PD2+AD2=下,故表面积S=4兀♦(逐丫=20兀.

22

12.D令x=y=0,得/(0)=/(0)+/(0),所以/(0)=0.

令》=—x,得/(0)=/(九)+/(—%)=0,所以/(x)为奇函数，故①正确.

令日'得八x+l)=/(x)+Al)+x(x+l)=/(x)+x(x+l)-1'

222

所以/'(2)=./■⑴+1x2—§=/(3)=f(2)+2x3--=6,故③错误.

因为广(x+l)=/'(x)+2x+l,所以/'(x)=/'(%—l)+2x—l,…，/(2)=/'(1)+3,

所以/'(x)=3+5++(2x-l)=x2-l,所以尸(10)=99,故②正确.

当(0,1)时，f'x)<0,所以/(%)在(0,1)上单调递减，故④正确.

13.2由题意，作出可行域(图略)，数形结合可得当直线过点(0,2)时，z取得最大值，最大值为2.

22

14.-豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻，则芝麻馅的青团不能放在中间，其概率为一.

33

Ihec

15.-设耳(—c,0),则直线的斜率为-一，直线尸片的斜率为一，直线P"的方程为>=—(%+。).令

2cbb

2(2\/2、2

c，即尸0,—•设o为坐标原点，因为IP4『=|。耳「+上0「，所以C

犬=0,得y=了|=C2+

b7

c1

解得e=—二—

a2

16.77+713以正六边形A5cDEF的中心。为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设AB,DE令

别交y轴于点GH则交(2,0),尸(一2,0),4-1,-圾,5(1,-73),G(0,-我,E(-1,0DQ诉,

H(0,也).

设P(x,y),则PA=(—1-羽—百—y),PB=(l-x,-y/3-y),PAPB=V+/+26丁+2.根据正六

边形的对称性，不妨只研究点尸位于y轴的左半部分的情况，分以下四种情形:

①当点P在石H上时，则xe[—1,0],y=6,则//•P3=f+""112],不满足P4-PB=8.

②当点P在AG上时，则xe[—l,0],y=-6则"，3=尤2—ie[—1,0]，不满足上4-PB=8.

③当点尸在跖上时，直线跖的方程为丁=百(％+2),则24-9=4%2+18X+26,尤e[—因为

PAPB=8,所以4三+18工+26=8,解得％=或%=—3(舍去)，y=—

2'2

@当点尸在4F上时,直线4尸的方程为丁=一百(％+2),则~4-28=4/+6尤+2=4x+|

不满足？A-P3=8.

工在

所以当上4・9=8时，P,PA=,PB=,|PA|-A/7,|P5|=A/13,

212乙’2乙)

\PA\+\PB\=/j+^L3.

力、1.5+1.6+1.7+1.8+1.9,一1.6+2+2.4+2.5+3「

17.解：⑴x=------------------------------=1.7,y=---------------------------=2.32分

55

5

X九；=1.52+1.62+1.72+1.82+1.92=14.55,..............................................................................4分

Z=1

=1.5xl.6+1.6x2+1.7x2.4+1.8x2.5+1.9x3=19.88,..................................................6分

i=l

5

瓦三―孙」9.88-5XL7”.3=3.3,................................................................................Y分

£.5x214.55-5x1.72

Z=1

<5=y-Bx=2.3-3.3x1.7=-3.31...................................................................................................8分

故所求的线性回归方程为j=3.3x-3.31..........................................................................................9分

（2）由题可知，到2025年时广告费用为2.2百万元，故可预测该公司所获得的利润约为3.3x22-3.31

=3.95（千万元）..........................................................................12分

18.解：（1）在八48中，———=———,所以AC=2j7sin乙4。。=2近5皿44。3.3分

sinZADCsinZCAD

在AABD中，ZBAD=90°,sinZADB=—,所以AB=447sinNAOB..................................6分

BD

AB477sinZADB

----=-------------------...........................................................................................................8分

AC2有sinZADB

（2）在"BC中，由余弦定理可得BO?=AC2+/R2—2AC-ABcosNB4C,

解得AB=2AC=10,...................................................................................................................10分

则AD=，9—6=2百...............................................................11分

故AACD的面积为-ACADsinZCAD=也..........................................................................12分

22

19.(1)证明：设。为8及的中点，连接AD,OD,AB1.

在△ABB1中，因为=4£=C£=3C,CB±BB],所以四边形33cle是正方形.

因为CB]BG=O,所以AOB耳是等腰直角三角形，OD1BBV

因为AD00=0,所以，平面AOD....................................................................................4分

因为AOu平面AOD,所以B3i_LAO.

在△AC3]中，AC=AB,,。为用C的中点，所以A。，31c.

因为51clBB[=B],所以AO,平面331clC............................................6分

(2)解：设三棱柱ABC-451G的棱长为夜，以O为坐标原点，08的方向为x轴正方向，建立如图所

示的空间直角坐标系，则。(0,0,0),6(1,0,0),耳(0,1,0)，40,0,1),C(0,-l,0).BA=(-l,0,l),

g=(—1,1,0),5C=(-l,-l,0).......................................................7分

设平面ABB〕A的法向量为〃=（无

n•BA=-x+Z]=0,

贝叫11可取力=（1,1,1）.................................................8分

n-BBX=-xx+%=0,

设平面ABC的法向量为相=（%2，%*2），

则｛22可取加=

m-BC=-x2一%=0,

因为平面ABC//平面A4G，所以平面A4G的一个法向量为m=(1,-1,1)................io分

/、n-m1./一、2后

cos〈几,m)=--------=—,sin〈及,m)=------,

\n\\m\33

故二面角G—4片一3的正弦值为¥.....................................................12分

20.解：⑴由题意得C的焦点为产，,0)准线为直线x=—g...........................1分

则A,B到准线x=_g的距离之和等于|AF|+忸耳=|AB|.................................2分

因为|的<|明+4,所以—■!>—3,且2、、+3)=网+4—明，得p=2.

故C的方程为/=4x.4分

(2)设/：x=my+1(m>0),A(玉，%)(%〉0),B(x2,y2),

y=4羽得/_4根y_4=0,贝人

由<6分

x=my+\.、%%=-4，

7分

t-1

设£)(%"),由左。尸.左AB=一1，得％°F=----=--=一根，即(=一相(七_1)=一帆2%,9分

入1—1^AB

所以|A£)卜必+祖2y1=(加2+1)%.10分

3

由|AB|=4(m2+1)=|/10|=(加2+1)%，得乂=4，代入J-4加y-4=0,得16-16刃一4=0,即机=“

故》的方程为4x—3y—4=0.12分

21.(1)解：/⑴2

x2ex

(1-(2)e-(2e+e)(-a)e+2〃ee+2

广⑴二，解得。=一.4分

e2e2e2e

Inx--1I1Injr

(2)证明：结合(1)可得一厂上<1,即证xe"+—>—.6分

冗e*ex

设函数g(x)=+’,g\x)=(%+l)ex.

e

当x>0时，g'(x)>o,g(x)在(。,+8)上单调递增,

g(x)>g(0)=8分

e

Inx1-lnx

设函数%(%)=---，h'(x)=

xx

当x£(0,e)时，hf(x)>0,当%£(e,+oo)时，h\x)<0,

所以h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

h(x)“h(e)=11分

e

所以