2024届河北省邢台市高三年级上册期中考试数学试题及答案

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.已知集合”={T，01，2},B={x|x<l},则下图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{1}B.{2}

C.{-1,0}D{I2

2.已知(l+i)z=2+4i,则忖=()

A.10B.2c.VioD.4

i1t1

3已知33,b=log2-,c=log；^-，则()

•3§e

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

4.已知向量万=(2,1),b=(1,-3),(ka则实数力的值为（）

99

A.——B.—C.-1D.1

44

5.已知函数/（x）=（毋一机—1）”+%3是幕函数，且在（0,+动上单调递减，若q,beR,且

（7<0〈”同<同，则/（。）+/优）的值（）

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

6.若命题“对任意的xe（0,+8）,x+工-机〉0恒成立"为假命题，则加的取值范围为（）

A.B.

C.{m\m<2\D,{m|m<2}

第1页/共6页

7.函数片的大致图像是（）

8.将函数/（x）=sin[0x+£j（0〉O）的图像向左平移;个单位长度后，得到的图像关于V轴对称，且

函数/（x）在上单调递增，则。的取值是（）

13

A.—B.2C.—D.1

22

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且S3o>O，S3i<O,则下列结论正确的是（）

A.%5〉0B.是等差数列

C.al6>0D.对任意"eN*，都有5“<每5

10.设/（x）是定义在R上的奇函数，且/⑺在（0,+。）上单调递减，/（-7）=0,则（）

A./（力在（—。,0）上单调递增

B./（8）<0

C.不等式/（x）>o的解集为（一8,-7）。（0,7）

D./（x）的图象与无轴只有3个交点

2（X+2『x<-1

11.已知函数/（x）=|,，若关于X的方程/（x）=加有四个不等实根不、%、X3、

|log2（x+l）|,x>-l

X4（%1<x2<X3<x4）,则下列结论正确的是（）

A.1<m<2B.-3<%]<—2

第2页/共6页

D.x；+x；+log,“V2的最小值为10

C.-1<4X3+x4<0

12.如图，在A48C中,BA=BC=1,延长BC到点。，使得5C=CD,以ZD为斜边向外作等腰直

角三角形NDE,则()

A.AD2=5-4cosB

./r-AT\11V3

B.sinCA.DG”—,—2J

C.△/CD面积的最大值为十

D.四边形4CDE面积的最大值为32也

4

第II卷(非选择题共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知函数/(x)=N：+2)"''"2是R上的单调递增函数，则实数。的取值范围是________.

a+l,x<2

14.已知函数/(%)=上2，若根>0,〃〉0,且/(2机)+/(〃-1)=/(0),则工+2的最小值为____

1+evmn

15.已知x,y,zeR,且x-2y+2z=5,贝U(x+5)2+(y-1)?+(2+3?的最小值是

16.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,Ax)为奇函数，g(x+l)为偶函数，/(—1)=2,

2023

g(x+2)-/(x)=1,则Zg(')=.

1=1

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知数列｛%｝的前"项和为5，且4=cc〜

[2/7+2,77>2

⑴求S”；

第3页/共6页

,1，、

(2)若"=不：，求数列也｝的前〃项和7；.

3〃+1

18.已知g(x)=log“x(a〉0,awl),且g(x)的图象过点(4,2),又/(x)=-g(x).

(1)若〃3%一1)〉/(一》+5)成立，求x的取值范围；

(2)若对于任意xe[l,4],不等式/(2x)g1j-加<0恒成立，求实数切的取值范围.

19.已知向量a=[若,—sin号;B=[sinox,2sin壁;函数/(x)=Z/+l(其中0<。<1),函数

/(x)的图象的一条对称轴是直线x=；.

(1)求0的值；

(2)若0<a<^|■且/[ga]=§,求/+的值.

20.在锐角三角形48C中，内角48,C的对边分别为a,“c,且垩£+90=撞吧£.

ab3a

(1)求角8的大小；

(2)若6=26，求A48C面积的取值范围.

21.为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖

速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m2，

浮萍覆盖面积y(单位n?)与2022年的月份x(单位月)的关系有两个函数模型y=(左〉0,。〉1)

与y=mx2+n(m>0)可供选择.

(1)分别求出两个函数模型的解析式；

(2)若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m2,从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算

至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过810011??(参考数据：炮2。0.30,坨370.48)

22.已知｛a“｝是等差数列，4+%=16,。5-%=4.

2〃-1

(1)求｛%｝的通项公式和Yai-

i=2n-l

(2)已知低｝为等比数列，对于任意左eN*，若21口42上一1，则4<%<廉1，

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(I)当上22时，求证：2"—1<%<2"+1；

(II)求｛，｝的通项公式及其前"项和.

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数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.已知集合”={T，01，2},B={x|x<l},则下图中阴影部分所表示的集合为（）

C.{-1,0}D.{1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】阴影部分表示的集合为/eQB,根据补集、交集定义进行即可.

【详解】阴影部分表示的集合为

又Q8={x|x»l},

所以NcQ8={l,2}.

故选：D.

2.已知(l+i)z=2+4i,则目=()

A.10B.2C.VlOD.4

【答案】c

【解析】

【分析】利用复数的除法运算求出Z再求模长可得答案.

_2+4i_(2+4i)(l-i)_2+4+2i

【详解】z———

1+i(l+i)(l)2

则目=阿

故选：C.

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1111

3.已知口=33，b=log2§，贝U（）

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】利用函数的单调性，对比出。、b.c三者与特殊值0、1的大小关系，运用中间值法解决问题.

【详解】解：因为函数》=3,为单调递增函数，

所以4=3^〉3°=1'即a>1；

因为y=log2x为单调递增函数，

所以6=log2；<log21=0,即b<0；

因为，=w产单调递减，

3

1一111

所以log]1<log]—<logy,

3iei3

即0<c<1,

故4>c>6,

故选：A.

4.已知向量5=（2,1）,=（1,-3）,+,则实数人的值为（）

99

A.B.—C.—1D.1

44

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可.

【详解】由题意可得：左a—b=（2左一1,左+3）,a+6=（3,—2）,

o

所以3（2左一1）—2（左+3）=0=左=^.

故选：B

5.已知函数/（x）=（m2—机―1）%/+时3是嘉函数，且在（0,+8）上单调递减，若a,beR,且

a<0<b,\a\<\b\,则/（a）+/（b）的值（）

A.恒大于0B.恒小于0

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C.等于0D,无法判断

【答案】B

【解析】

【分析】由募函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.

【详解】由/-加一1=1得加=2或"，=T,

加=2时，/（x）=/在R上是增函数，不合题意，

"2=-1时，/（X）=X-3,在（0,+co）上是减函数，满足题意，

所以/（X）=X-3,

a<O<b,\a\<\b\,则b>—a>0,f（-a）>f（b）,/（x）=-/是奇函数，因此/（一。）=一/⑷，

所以一/（幻>/3）,即/伍）+/（6）<0,

故选：B.

6.若命题“对任意的xe（O,+s）,x+工-掰〉0恒成立"为假命题，则加的取值范围为（）

X

A.B.{m\m>2\

C.{m|m<2}D,{m|m<2）

【答案】A

【解析】

【分析】根据原命题为真可得机<x+',

即可得出命题为假命题时m的取值范围.

1X人M

【详解】当原命题为真时，加<x+，恒成立，即y=x+，22jxx4=2,加+=2,

X,x\x1xjmin

由命题为假命题，则加22.

故选：A.

7.函数y=“—的大致图像是（）

e11

歹八歹八

A.\」一>B.一,

--2-1*----2-1O12x

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【答案】A

【解析】

7T

【分析】首先由函数的奇偶性判断出B,D错误，再结合当x时歹＜0得出答案.

—、「，，、x-3sinxC

【详斛】设/(x)=y=—下---，xeR,

-x+3sinx

由/(—X)==-/(X),得，(x)为奇函数，故B,D错误;

eM

717171_

——3sin-----3

22=2一＜0,故A正确，C错误,

TI

故选：A.

8.将函数/(x)=sin[0x+tJ(0〉O)的图像向左平移;个单位长度后，得到的图像关于了轴对称，且

函数/(x)在0谭上单调递增，则。的取值是()

13

A.-B.2C.-D.1

22

【答案】B

【解析】

ITITTT

【分析】首先得到平移后的解析式，根据对称性得到―0+—=—+E,keZ,从而求出口的取值集合，再

662

TT

由X的取值范围求出0X+：,结合正弦函数的单调性，求出。的范围，即可得解.

6

【详解】/(X)=sin[0x+e]的图像向左平移看个单位长度后，得到g(x)=sin,+E0+3

I7C7CI兀兀兀

因为g(x)=sin公r++：关于夕轴对称，所以一。+—=—+析，keZ,解得G=2+6左，keZ,

166；662

「八一-八兀।兀「兀口兀兀

因为刃＞0,故当x£0,—时，(vx+—G,

6J6|_666_

因为函数/(X)在04上单调递增，所以詈+3二微，解得°e(O,2],

故0=2+6左e(0,2],解得左e[-],0,因为《eZ,所以左=0,故0=2.

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故选：B

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.设等差数列｛%｝的前"项和为工，且邑0>0,邑］<0,则下列结论正确的是（）

A.。小〉0是等差数列

C.。16〉0D.对任意〃eN*，都有《岳5

【答案】ABD

【解析】

【分析】设等差数列｛4｝的公差为“，根据邑二q+（,-1）1可判断选项B；利用

n2

也1=31仆0,可判断选项。根据无>。，小。可判断选项C,根据30,—

可判断选项D.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为4,则=〃4+”（l）d,得曳=4+（"T、，

2n2

辿-&=%+空-4-超普=g,所以｛2｝是以％为首项，-为公差的等差数列，选项B正确；

H+1n222n2

531=31（%；旬）=3］46<0,即％6<0,选项C错误；

$30=30（4］。30）=15（%5+%6）〉°，由于％6（°，所以见5〉0，A正确，

因为。15〉0，46<0,所以当”=15时，S“取得最大值，故对任意〃eN*，恒有S“WS15,选项D正

确.

故选：ABD

10.设/（x）是定义在R上的奇函数，且/（x）在（0,+。）上单调递减，/（-7）=0,则（）

A./（力在（-叫0）上单调递增

B./（8）<0

C.不等式〃力>0的解集为（一8,-7）“0,7）

D./（x）的图象与x轴只有3个交点

【答案】BCD

【解析】

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【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质逐项分析判断作答.

【详解】函数/(X)是定义在R上的奇函数，且/(X)在(0,+e)上单调递减，

函数/(x)在(-0,0)上单调递减，A错误；

由/(—7)=0,得/⑺=0,则/⑻</(7)=0,B正确;

当x<0时，/(x)>/(-7),则x<—7,当x>0时，/(x)>/(7),则0<x<7,

因此不等式/(x)〉0的解集为(—叫—7)u(0,7),C正确;

当x<0时，函数/(x)的图象交x轴于点(-7,0),当x>0时，函数/(x)的图象交x轴于点(7,0),

而/(0)=0,则点(0,0)是函数/(x)的图象与x轴的公共点，所以/(x)的图象与x轴只有3个交点，D

正确.

故选：BCD

2("+2)2XV.1

11.已知函数/(x)=(/一，若关于X的方程/(x)=机有四个不等实根X,、4、与、

|log2(x+l)|,x>-l

X4(%1<x2<x3<x4),则下列结论正确的是()

A.1<m<2B.—3<Xj<—2

c.-1<4X3+X4<0D.x：+logm夜的最小值为10

【答案】AD

【解析】

【分析】作出图象，计算出/(-1)、/(2)的值，结合图象可判断A选项；解不等式

J(XI)=2(&+2)e(l,2］；可判断B选项；由对数的运算性质可得出求出&+1的取值范

%!<-2退+1

围，结合双勾函数的单调性可判断C选项；利用韦达定理结合基本不等式可判断D选项.

2('+2)2X<-1

【详解】作出函数/(x)=I；一、1的图象如下图所示：

|log2(x+l)|,x>-l

第6页/共20页

根据图象知：/(T=2,/(-2)=1，

因为直线〉=加与函数/(x)的图象有四个交点，贝打〈机W2,A对；

对于B选项，由图可知，再<-2,由/&)=2宙+2)丁0,2]可得0<(占+2)2W1,

所以，一34再<一2,B错；

对于C选项，由图可知，-1<阳<0</，贝1]0<》3+1<1<%+1，

由/(*3)=/(z)得|log2(X3+1)|=|log2(x4+1)|,sp-log2(x3+l)=log2(x4+1),

,11,

所以，％+1=―7,化简得到％=—r-1.

x3+1x3+1

由/(%3)=-1"2(%3+1)£。，2],可得:+1<；,

所以，4&+%4=4&+---；­1=4(工3+1)^7一5，

x3+1x3+1

由双勾函数的单调性可知g(x)=4x+[在上单调递减，

所以，4(x+1)+-----5>4x—+2-5=-1,

3+'IL

113

且4(%+1)+——--5<4x-+4-5=0,当演=——时取等号，

退+144

所以，—1<4%3+%440,C错；

由2(%+2『=加可得12+4%+4—log2加=0，

所以，不、入2为方程*+4%+4—log2加=0的两根，

=-

Xi+x94

由根与系数的关系可得二।，

xrx2=4-log2m

第7页/共20页

所以，x”+log“d++xj-2.+地“，艮16-8+21幅”1%2

=21og2m+-------+8>21210g2加x——-——+8=10,

2log2m\21og2m

~1

当且仅当210g2机=7-----时，即当加=四时等号成立，D对.

21og2m

故选：AD.

【点睛】方法点睛：己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

12.如图，在中，BA=BC=\,延长8C到点D,使得BC=CD,以为斜边向外作等腰直

角三角形ZDE,则（）

A.4E>2=5—4COS8

.（1V3

B.sinNCA.D£一,—

”2J

C.△NCD面积的最大值为g

D,四边形/COE面积的最大值为

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项：利用余弦定理列等式即可；

B选项：由题意得NC4。的范围，即可得到sinNNCD的范围；

C选项：根据几何的知识得到当氏4LCD时，最大，利用三角形面积公式求面积即可;

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D选项：将四边形NC£»E的面积转化成+SA4BC，得到面积cos8+；sin8,再利用辅助角公

式和三角函数的性质求最值即可.

【详解】在△48。中，由余弦定理得4C>2=452+51)2—zag/。cos8=5—4cos8,A正确；

Tl—BIT，则

ZACB=ZCAB=--,ZACD=H-ZACB=~+—E

222

ZCADelo,^-],所以sinNC4De(0,l),

B错误;

易得当民4LC。时，S.DS"CD取最大值C正确;

空+—5二.35

S四边形4cDE-S^ADE+^^ACD=^AADE_1~/\ABC

424

(8-9)V：5+2y/-5甘+.

-------，其中SH10二二,cos展与

故选：ACD.

第II卷(非选择题共90分)

三.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知函数/(x)=N：+2)*""2是R上的单调递增函数，则实数。的取值范围是__________

[a+l,x<2

【答案】(1,3]

【解析】

【分析】由分段函数两端均为增函数及端点处函数值左小右大可得.

【详解】函数/(x)是R上的增函数，则/(x)在[2,+8)上单调递增,

故a+2>0na>—2,

/(x)在(—%2)上单调递增，则a>l,

且在x=2处，有。2+1<2(。+2)=-1Wa<3,

所以。的取值范围是(1,3].

故答案为：(1,3].

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14.已知函数=若加＞o,〃〉0,且/(2机)+/(〃-1)=/(0),则工+2的最小值为______

1+exmn

【答案】8

【解析】

【分析】由函数奇偶性的定义可得/(x)为奇函数，结合单调性可得2机+〃=1,然后结合基本不等式即可

得到结果.

【详解】因为/(%)=上里=-l+二一的定义域为R,关于(0,0)对称，且单调递减，

l+exl+ex

ex-l

xx

i_e-~~e_i

7==J—T=-/(^)，即函数/(x)为奇函数,

ex

1_40

又因为/(O)=---^=°，所以/(2加)+/(〃T)=/(O)=O,

1+e

即2加+-1)=0,所以2加+〃=1

12(12、小、n%+4乜匕互+4=8,

贝nI！J——F—=——F—(2加+〃)=——F

mnnJmn\mn

f1

cn4mm——

—=—4

当且仅当<mn时，即<],取等号.

2m+〃=1〃=一

i〔2

所以—।—的最小值为8.

mn

故答案为：8

15.已知x,y,zeR,JLx-2j+2z=5,贝ij(x+5)2+(y—l)2+(z+3)2的最小值是______

【答案】36

【解析】

【分析】应用柯西不等式可得9-[(x-F5)2+(J-1)2+(Z+3)2]>324,注意等号成立条件，即可得目标式

的最小值.

22222

[详解]由](x+5『+(y_l)2+(zT-3)][(1+(-2)+2)]>[(X+5)+(-2)(J-1)+2(Z+3)]=

324,

第10页/共20页

x=-3

所以(x+5『+(y—l『+(z+3『236,当且仅当=]=即,>=—3时取等号.

z—\

故答案为：36

16.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,y(x)为奇函数，g(x+l)为偶函数，/(-1)=2,

2023

g(x+2)-/(x)=l,则2g(i)=.

Z=1

【答案】2023

【解析】

【分析】根据题意分析可得/(x+2)=-/(x),进而可得函数/(x)是以4为周期的周期函数，且

/(x)+/(x+l)+/(x+2)+/(x+3)=0,进而可得结果.

【详解】因为g(x+l)为偶函数，则g(x+l)=g(—X+1),

又因为g(x+2)-〃x)=l,则g(x+l)=/(x-l)+l,g(-x+l)=/(-x-l)+l,

即/(x-l)+l=f(-x-1)+1,可得f(x-1)=/(-x-1),

因为/(x)为奇函数，则/。卜-〃》)，且/(0)=0,

可得/(xT)=-〃x+l),即+=—,贝!]/(》+2)=-/(力，

可得/(x+4)=-/(x+2)=-[-/(x)]=/(x),

所以函数/(x)是以4为周期的周期函数，

由/(x+2)=—/(X),可得/(x+2)+/(x)=0,/(x+3)+/(x+l)=0,

则/(-i)+/(i)=o，

即/(力+/(》+1)+/(》+2)+/(》+3)=0,

202320232023

所以Xg(0=E[/(/-2)+1]=£/(/--2)+2023=/(-l)+/(O)+/(l)+2023=2023.

Z=1Z=1Z=1

故答案为：2023.

【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中

根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知数列｛4｝的前"项和为邑，且为=Lc〜

[2/2+2,72>2

第11页/共20页

（1）求；

71，、

（2）若"=不：，求数列也｝的前〃项和7；.

3“+1

【答案】(1)Sn—n"+3n+1

"2n+4

【解析】

【分析】（1）分为"》2,〃=1两种情况，结合等差数列前〃项和公式求解;

（2）利用裂项相消法可求

【小问1详解】

当“22时，Sn=5+—~1)(；2〃+2)=5+(〃_])(〃+4)=/+3〃+1.

当〃=1时，S]=%=5,也适合上式.

故S”="+3〃+L

【小问2详解】

,1111

由(1)可得2=2,2q=(--77-

n+3〃+2++〃+1〃+2

J_]n

2〃+22〃+4

18.已知g（x）=log,X（a>0,awl）,且g（x）的图象过点（4,2）,又/（x）=-g（x）.

（1）若/（3%一1）〉/（一》+5）成立，求x的取值范围；

（2）若对于任意xe[l,4],不等式加<0恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】（1）

9

(2)m>—

4

【解析】

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3x—1>0

【分析】（1）由对数函数的性质可得｛-x+5>0,解不等式即可得出答案.

3x—1<—x+5

（2）由题意可得对于任意xe[l,可恒成立等价于机〉/（2x）g1,利用换元法求出

-'，」max

/（2x）g；即可得出答案.

【小问1详解】

因为8（%）=1。8”（。〉0，。/1）的图象过点（4,2）,

所以g（4）=log“4=2，所以/=4，因为

所以a=2,所以g（x）=log2X,又因为/（%）=一8（%）=一1。82%=1。8-，

2

而/（X）=logj在（0,+。）上单调递减，

2

由/（3》_1）〉/（_》+5）可得：

3x—1>0,

所以<—x+5>0,解得

3x—1<—x+5,

所以X的取值范围为

【小问2详解】

因为y（2x）gg]_掰<0,

所以机〉/（2x）g（力对于任意xe[l,4卜恒成立等价于机〉/（2x）g[：）,

、，L、，」max

因为V=/（2x）g[：[=-log2（2x）log21

2

=-（1+log2x）（log2x-2）=-（log2x）+log2x+2.

令u=log2x,l<x<4,则〃£[0,2],

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119

当"=2，即log2%=2，即％=血时，ymax=-

9

所以用〉一.

4

.a)x二三

19.已知向量a=-sin——,B(sinGx,2sin，函数/(x)=a-（其中0<0<1）,函数

2

/（X）的图象的一条对称轴是直线x=]

（1）求切的值;

7T|ag4，求/+的值.

(2)若0<a<§且f

3"o7

【答案】(1)co=-

3

⑵2亚+屈

’3

【解析】

【分析】（1）由题意可得/（x）的解析式，由对称轴列式求解即可;

2IT7T9

(2)由(1)可得/(X)=25亩(§%+彳)，§山(°+彳)=§，进而可得cos(a+77r,由两角和的正弦公式

可得答案.

【小问1详解】

由题意得f(x)=<2-S+1=V3sin-2sin2+1

V3sincox+coscox-2sin(^x+—),

6

..•函数/(X)的图象的一条对称轴是直线X=5,

兀兀兀2f

—co~\——kuH—，左£Z,得co——F2k｝左£Z,

2623

2

<0<〃><1,a)=—.

3

【小问2详解】

27T

由⑴可得/(x)=2sin(§x+k),

f314兀4马=2

由/=§得2sin(a+k)=§，即sin(a+

263

“人八兀兀

71二/~~V5

结合0<cc<—，一<a+一<],得cos(a+611~-smQz+一)=——

36663

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/［Qa+$J=2sin［（a+：）+：］=2sin（a+：）cos^-+2cos（a+己）sin:

c2后c后行2V2+V10

—2x—x-----F2x-----x-----------------•

32323

20.在锐角三角形48c中，内角4民。的对边分别为凡“c,且小+叱=2GsinC

ab3a

（1）求角5的大小；

（2）若b=2也,求A48C面积的取值范围.

TT

【答案】（1）5=1

⑵（2百,3百］.

【解析】

【分析】（1）对等式两边同时乘以ab可得AcosN+acos5=28加inC，正弦定理结合两角和的正弦公式

3

化简即可得出答案；

（2）由正弦定理求出a=4sirU,c=4sinC,表示出&48C面积结合三角函数的性质即可得出答案.

【小问1详解】

由己知条件得bcosZ+acos8=2近加inC，

3

由正弦定理得sinScosN+cosBsiM=sinff.sinC，

3

即sin（幺+8）=~~sinBsinC.

因为在zUBC中，sin（N+8）=sinCw0,

所以sin5=Yl.

2

又8是锐角，所以2

【小问2详解】

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a_c_b_2G

由正弦定理得siib4sinCsia8百

~2

则a=4siib4,c=4sinC,

=6sinCcosC+2百sin2C=2V3sin（2C-—j+V3.

由0<C<5,0<@—c<5,得4<C（色，

23262

所以三<2C—g（令，所以5也（20-£[6]1,1,

6666J<2_

所以2Gsin（2C-£|+Ge（2百,3右]

所以AABC面积的取值范围为（26,36]

21.为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖

速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m2，

浮萍覆盖面积了（单位n?）与2022年的月份x（单位月）的关系有两个函数模型y=左/（左〉0,。〉1）

与y=mx1+n（m>0）可供选择.

（1）分别求出两个函数模型的解析式；

（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m2,从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算

至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m2?（参考数据：lg2a0.30/g3a0.48）

【答案】（1）>=?（3）'，>=24/+264

（2）2023年2月

【解析】

【分析】（1）将x=2,x=3分别代入两个函数表达式中即可求解，

（2）根据x=0确定选用的函数，即可利用对数的运算求解.

【小问1详解】

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若选择模型y=kax(k>0,Q>1),

ka1—36047405

，角牛得ci——,k=—

ka3=48032

故函数模型为y=?

、4m+n=360

若选择模型y=mx~+”(m>0),贝卜9机十〃_4gg

解得加=24,4=264,

故函数模型为>=24x2+264.

【小问2详解】

把x=0代入>=4春05（m4）工可得，>=券405=202.5,

把x=0代入y=24/+264可得，y=264,

­■•202.5-200<264-200,

4054

・•・选择函数模型了=（§）'更合适，

40544