概率论与数理统计复习资料

《概率论与数理统计》

第一章随机事件与概率

基本概念：

随机试验E一—指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性(每次试验有且仅有一个结

果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果

样本点3--随机试验E的每一个可能出现的结果

样本空间。一一随机试验E的样本点的全体

随机事件——由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集

必然事件一-每次试验中必定发生的事件。不可能事件0—每次试验中一定不发生的事件。

事件之间的关系：

⑧A,B相互独立P(AB)=P(A)P(B)

例1事件A,B互为对立事件等价于(I))

A、A,B互不相容B、A,B相互独立C、AUB=。

D、A,B构成对样本空间的一个剖分

例2设P(A)=O,B为任一事件，则(C)

A、A=0B、AaBC、A与B相互独立D、A与B互不相容

例3.设甲乙两人朝同一目标射击，设八="甲命中目标且乙未命中目标”，贝的X=(D)

A)甲未命中目标且乙命中目标B)甲乙都没命中目标

C)甲未命中目标D)甲未命中目标或乙命中目标

事件之间的运算：

事件的交AB或ACIB

事件的并AUB

事件的差A-B注意：A-B=AT=A-AB=(AUB)-B

n

A„A"…,A”构成。的一个完备事件组(或分斥)——指A„Az,…,A,两两互不相容，且徨科=0

例1设事件A、B满足AC1B=0,由此推导不出(D)

A、AuBB、Az>BC、AUB=BD、ACB=B

例2若事件B与A满足B-A=B,则一定有(B)

A、A=0B、AB=0C、AB=0D、B=A

运算法则：

交换律AUB=BUAAnB=BClA

结合律(AUB)UC=AU(BUC)(AHB)("lC=An(BC1C)

分配律(AUB)nC=(AC)U(BC)(AAB)UC=(AUC)n(BUC)

对偶律AUB万ACIB=Tu万

文氏图

事件与集合论的对应关系表：

记号概率论集合论

C样本空间，必然事件全集

0不可能事件空集

co基本事件元素

A事件全集中的一个子集

A的对立事件A的补集

AuB事件A发生导致事件B发生A是B的子集

A=B事件A与事件B相等A与B相等

AUB事件A与事件B至少有一个发生A与B的并集

AB事件A与事件B同时发生A与B的交集

A-B事件A发生但事件B不发生A与B的差集

AB=0事件A与事件B互不相容(互斥)A与B没有相同的元素

古典概型：

古典概型的前提是Q={0,g,◎，…，co,,,),n为有限正整数，且每个样本点◎出现的可能性相等。

.A包含样本总个数

P(A)一样本点总数

例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A”最多为2个的事件用的概率。

［解］:每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以|。|=4三64。

(1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以A|=C》3!

=24；则P(A,)=24/64=3/8.(2)当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个

球(班给,另有一个杯子恰有1个球(C品)，所以|A/=C；C然耳=36；则P(AJ=36/64=9/16

例2从1,2,…,9,这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率a；(2)三数之积为21的倍数的

概率⑶

41刎+母3

［解P'K可1

P尸----TM

c94

古典概型基本性质；

(1)非负性，对于任一个事件A,有P(A)Z0;

⑵规范性:P(C)=1或P(0)=O；

(3)有限可加性：对两两互斥事件，…,A”有PlAWAzU…UAJ=P(AJ+P(A2)+-+P(A„)

概率的公理化定义：

要求函数P(A)满足以下公理：

(1)非负性,有P(A)Z0;

(2)规范性:P(0=1;

(3)可列可加性：对两两互斥事件Ai,法,…,A”有PlAiUAaU…UAj=P(Ai)+P(Aj+…+P(A„)

概率公式：

求逆公式P(T)=1-P(A)

加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB);当AnB时，有P(A-B)=P(A)-P(B)

注意：A-B==A-AB=(AUB)-B

p(AR)

条件概率公式：P(A|B)=^针;(P(B)>0)

P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)(其中P(A)>0,P(B)>0)

一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(其中P(AB)>0)

n

全概率公式：P(A)=XP(A|B,)P(B.)其中BhBz,…,B.构成C的一个分斥。

m六加八十P(B|Ak)P(Ak)P(B|Ak)P(Ak)

贝叶斯公式：P(Ak|B)=---丽----=--------------(由果潮因)

XP(B|Ai)P(A,)

i=l

例：在一个肿瘤治疗中心，有大量可能患肺癌的可疑病人，这些病人中吸烟的占45%。据以往记录，吸烟

的可疑病人中有90%确患有肺癌，在不吸烟的可疑病人中仅有5%确患有肺癌

(1)在可疑病人中任选一人，求他患有肺癌的概率；

(2)在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌，求他是吸烟者的概率.

解：设A=｛患有肺癌｝,B=｛可疑病人吸烟｝,则由条件得：

BP(A|B)=0.9.P(A|B)=O.O5.

(1)由全概率公式得：

(2)由贝叶斯公式得：

P⑻A)=g2=P(A|B)P(2=ll

1P(A)P(A)136'

2.在一个每题有5个答案可供选择的测验题中，假如有80%的学生知道指定问题的正确答案,

不知道正确答案的作随机猜测，求：

1)任意指定的一个学生能正确回答率；(5分)

2)已知指定的问题被正确解答，求此是靠随机猜测的概率

解设A=｛正确回答｝,B=｛随机猜测｝,则由条件得：

BP(A\B)=1/5,P(A|B)=1.

(1)由全概率公式得：

(2)由贝叶斯公式得：

.试求：

(1)他来迟到的概率是多少？(5分)

(2)如果他来乙地迟到了，则他是乘轮船来的概率是多少？(5分)

解:设A=｛迟到｝.Bl=｛乘火车｝,B2=｛乘轮船｝,B3=｛乘飞机｝,则由条件得：

P(A|B1)=O.5,P(A|B2)=0.2,P(A忸3)=0.一(3分)

(1)由全概率公式得:

....(7分)

(2)由贝叶斯公式得:

P(AB2)_P(A|62)P(B2)_4

P(B2|A)=....(10分)

P(A)-P(A)-9

(2)试求当收到信息是A时，问原发信息也是A的概率.(7分)

一、解设A=｛收到信息是A｝.B1=｛发出信息为A｝,B2=｛发出信息为B｝,则由条件得:

P(A|B1)=.....(3分)

(1)由全概率公式得：

xx1/3=(8分)

(2)由贝叶斯公式得:

0.98x2/3

P(B1|A)(3分)

0.66

196

(7分)

197

概论的性质:

应用题:

若事件A、8相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.25,则P(4ljB)=

例1设两两相互独立的三个事件A,B和C满足条件:ABC=0,P(A)=P(B)=P(C)<l/2,且已知

P(AUBUC)=9/16,则P(A)=。

［解］:P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(0-［P(AB)+P(AC)+P(BC)］+P(ABC),

令P(A)=x,则3x-3/=9/16n16x2-16x+3=0=>x=l/4或3/4(舍去)则P(A)=l/4

例2某射击队共有20个射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、

三、四级射手能够进入正式比赛的概率分别是和，求任选一名选手能进入正式比赛的概率。

［解］:设Ak选中第k级选手，k=l,2,3,4,8=进入正式比赛。由已知P(A)=l/5,P(Aj=2/5,P(A：,)=7/20,

P(A,)=1/20;P(B|AIOT,)P(B|A,)+P(A2)P(B|A2)+P(A,)P(B|A3)+P(A,)P(B|A,)=l/5xxxxD

例3某物品成箱出售，每箱20件，假设各箱中含0、1件次品的概率分别为和，一顾客在购买时，他可以

开箱，从箱中任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱物品，否则退货。试求：(1)顾客

买下该箱的概率a；

(2)顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率Po

［解］:设事件AL■箱中0件次品，Ar-箱中1件次品，事件B一买下该箱。由已知P(A“

P(B|A)=1,P(B|A,)=19/20x18/19x17/18=17/20,

(1)a=P(B)=P(A»)P(B|Ao)+P(A,)P(B|Aixx

(2)B=P(A„|B)=P(A»B)/P(B)=P(A(,)P(B|Ao

例4.设A、B、C为三个事件，A与B互不相容，且CUA,则必有(B)

A)P(A0=0B)P(BC)=0

C)P(A+C)=0D).P(B+C)=0

例5.设一批产品共有1000个，其中50个次品，从中随机地不放回地选取500个产品，X表示抽到次品的

个数，则P(X=3)=(A)

「3「497

J。~5050c95()

「500~~A500

。000A]()00

例6.袋中有5个黑球,3个白球,大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰好有3个白球的概率为(D)

事件的独立性：

如果事件A与事件B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。

结论：1.如果P(A)>0,则事件A与B蚂。

2.事件A与事件B独立。事件A与事件万独立

o事件彳与事件B独立o事件T与事件上■独立

事件A„A2,…,A,相互独立——指任意k个事件AH,A⑵…,理满足P(A”D'2n…AAik)

=P(AiJP(Ai2)…P(Ai3其中k=2,3,…，n。

例1设P(A)=l/2,P(B)=l/3,P(A|B)=l/4,则P(A+B)=_3/4_

例2已知尸(A)=0.5,尸(8)=04,P(A+B)=0.6,则P(A|B)=(D)

贝努里概型：指在相同条件下进行n次试验：每次试验的结果有且仅有两种A与r各次试验是相互独立；

每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p,P(A)=1-P«

二项概率--在n重独立试验中，事件A恰好发生k次的概率为b(k;n,p),则

b(k;n,p)=(k=0,1,2,3,,,,,n)»

第二章随机变量与概率分布

随机变量的分布函数：

分布函数定义：

F(x)=P{&Wx},-oo<x<+oo

分布函数(x)实质上表示随机事件P{&Wx}发生的概率。

分布函数F(x)的性质

(l)OWF(x)Wl;

⑵x%ocF(x)=O,

1im

x-»+xF(x)=l

(3)单调非减,当x1<X2时,F(XJWF(X2)

(4)右连续X—>XoF(X)=F(X,>)

一些概率可用分布函数来表示

P{a〈Wb}=F(b)-F(a),

P后a}=F(a)-F(a-0),P化<a}=F(a-O),

P{4>a}=l-F(a),

P化学a}=l-F(a-O),

x<0

例L设随机变联的分布函数为0<x<n/2则P{《《兀/4}二()(选C,因为

x>n/2

P{gW7i/4}=F(7t/4)=sinn/4)

A、0B、1/2C、y［2/21)、1

例2.设随机变量。和生的分布函数分别为F,(x)和F2(X),为使F(x)=aF,(x)-bFKx)是某随机变量的分布

函数，则在下列给定的各组数值中应取()

A、a=3/5,b=-2/5B、a=3/5,b=2/5

C、a=3/5,b=-3/5I)、a=2/5,b=2/5

(选A,因为F(+8)=I=aFi(+0°)-bF2(+°°)=a-b)

例3.连续型随机变量匕的分布函数为F(x)=A+Barctanx,-oo<x<oo

求：(D常数A,B：(2)&落入(T,1)的概率。

［解］:因为F(+8)=l,F(-CO)=O,所以A+Bn/2=1,A-BK/2=0,

解得A=l/2,B=1/K.即F(x)=<+,arctanx.

乙71

自落入(-1,1)的概率为P{Tq<l}=F(l)-F(T)

11A1...111

F十-arctanl-(彳+-arctan(-1))=7+7=o

/冗zn44/

例4.设X是一个连续型随机变量，其概率密度为f(x),分布函数为F(x),则对于任意x值有(A)

(A)P(X=x)=0(B)F'(x)=/(x)

(C)P(X=x)=f(x)

5.设随机变量X的概率密度为/(x)=

求(1)系数A；(2分)(2)X的分布函数；(4分)(3)概率尸(|X|<L).

解由题意得:

•+iA1

(1)：dx=\,A=—.

2

Vl-x7T

0x<-l

—(arcsinx+—)-1<x<1

(2)F(x)=712

1X>\

P(|x|《)q

(3)

设随机变量X具有概率密度

(1)确定常数左；(2)求X的分布函数E(x)；(3)求尸{1X<3.5}.

离散型随机变量：

定义：随机变量只能取有限个或可数个孤立的值离散型随机变量的概率分布简称为分布列:

[3P：P：:：；：:；]其中每一个田。且=I

i=l

离散型随机变量的分布函数是非降的阶梯函数。

离散型随机变量常见分布：

1)两点分布X~(0,1)；X的取值只有0或1,其概率为P{X=O}=P,P{x=l}=l-p

2)二项分布X~B(n,p)；分布律为b(k;n,p)=P{X=k}=dp'(l-p)""(k=0,1,2,3,n)其中O〈p〈l

A*

3)泊松分布X~P(Q；分布律为P{X=k}=—e"(k=0,1,2,3,…)。

4)几何分布：X~Ge(p)：分布列为P{X=k}=(l-p)l,p(k=0,1,2,3,•••).

在伯努利试验序列中，记每次试验中事件A发生的概率为p,如果X为事件A首次出现时的试验次数，

则X的可能取值为1,2,…,称X服从几何分布。

如果说恰好出现K次，则用二项分布b(k;n,p)=P(X=k)=dp*(l-p)""(k=0,1,2,3,…,n)其中

kn-k

rtuVrv-M

5)超几何分布：X"h(n,N,M)；分布列为P{X二k}-----(k=0,1,2,3,…,r,其中r=min{M,n})。

曙

设有N个产品，其中有M个不合格品，若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品个数X服从

超几何分布。

离散型例题：

c

例1设随机变量&的分布列为P{片k}①，k=l,2,…，则常数C二()

A、1/4B、1/2C、1D、2

(因为ZP{?k}=l,即1°M=1,所以c=l)

1-1/2

k=l

例2匕的分布列。

［解］:自的分布列为

412345

例3设离散型随机变量&的概率分布为g012

其分布函数为F(x),则F(3)=()

A、0

(选D,因为F(3)=p(0)+p(l)+p(2)=l)

连续性随机变量：

定义：-随机变量可能取的值连续地充满一个范围，如果对于随机变量q的分布函数F(x),存在非负可积函

x

数p(x),使得对于任意实数x,有F(x)=J_8P(u)du,则称《为连续型随机变量，其中P(X)为的概率

密度函数.

密度函数必须满足条件：

(1)p(x)>0,-°°<x<+°°

(2)J_8P(x)dx=F(+8)=l

连续型随机变量的性质:

1.分布函数是连续函数:

2F'(x)=p(x);

b

3P{^=a}=0,所以P{a<&Vb}=P{a<^<b}=P{a<^<b}=P{a<^<b}=fap(x)dx

4P(x<^<x+Ax}«p(x)Ax

常见连续型型随机变量的分布:

0x<a

a~X-b分布函数F(x)=,x-a

D均匀分布二U［a,b］：密度函数p(x)=<b-aa<x<b

b-a

0其他

1x>b

入e"x>0l-ex>0

2)指数分布二exp(九)；密度函数p(x)h分布函数F(x)二

0x<00x<0

1(-oo<<+oo)

3)正态分布匕~N(R,b)；密度函数p(x)二盅x

(L"

分布函数F(x)e26dt

标准正态分布N(0,1),它的分布函数中(x)可查表得到，一般F(x)=<D(4)。

例：已知4~N(2,a~),且1>t2<g<4I^<0}(B)

■\)'C)).

2、甲在上班路上所需的时间(单位：分)X-N(50,100).已知上班时间为早晨8时，他

每天7时出门，试求：

(1)甲迟到的概率;

解：P(甲迟到)=p(x>60)

连续型例题：

例1设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX==.

［解］：因为X服从参数为1的泊松分布，所以EX2=DX+(EX)z=l+f=2,

于是P(X=EX2)=P{X=2)=1e□

例2设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故隙工作的时间EX为5小时。设备定时开

机，出现故隙时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障的时间Y

的分布函数F(y)<,

［解］:X~EQ),因为EX=1/九=5=>九=1/5,每次开机无故障的时间Y=min{X,2},

易见当y<0时，F(y)=O；当y22时,F(y)=l；

当0Vy<2时，F(y)=P{Y<y}=P{min{X,2}<y}=P{X<y}=l-ey/5o

-0若y<0

所以Y的分布函数F(y)=<l-e-,/5若0Vy〈2

,1若定2

随机变量的函数的概率分布：

1.离散型的求法

设离散型随机变量X的分布律为：FpX，X2…］，则X的函数Y=g(X)的分布律为：

［P%)•…］'当有相同情况时'概率为相应之和。

2.连续型的公式法：

设X为连续型随机变量，其密度函数为fx(x)，设g(x)是一严格单调的可导函数，其值域［a,可，且g，(x)#0,

记x=h(y)为y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的密度函数为h(，它“丫郃

3.连续型的直接变换法(分布函数法)：

F>(y)=P{Y<y}=P{g(x)<y}=P{X€S},其中$={x|g(x)4y},然后再把F1(y)对y求导，即得R(y)

(.fdFY(y)/dy当F、(y)在y处可导时

0当F、(y)在y处不可导时

随机变量的函数的概率分布的例题：

例1设X的分布律为：口，求Y二(X-1尸的分布律。

［解］:先由X的值确定Y的值，得到17?将Y的值相同的X的概率合在•起，得到Y的分

4101J

布律3□

例2设随机变量X的分布函数为FKx),求随机变量Y=3X+2的分布函数F、(y).

解I：Fv(y)=P{YVy}=P{3X+2<y}=P{X今}=Fx(-y-)

-Y2—11

例3设随机变量X的密度函数为f,(x)=42*1Xi,求随机变量Y=3X+2的密度函数fv(y).

.0其它

2V-21

[解]:用公式法：设y=g(x)=3x+2,y=g(x)的反函数为x=h(y)=k,-1<-<1=>-Ky<5,|h«y)|二q

则Y=g(X)的密度函数为

3v-21f12

Jfx(h(y))|h，(y)[a<y<p)xg-l<y<5J]^(y-2)T<y<5

10其它,0其它10其它

例4设X在区间［0,2］上服从均匀分布，试求Y=X，的概率密度。

1/2釐2。用分布函数法分段讨论：当y<0时,

[解]:因X~U[0,2],所以f(x)=

x0

3厂沏1

33

F,(y)=P{Y<y}=P{X<y}=0,当0<y<8时,Fy(y)=P{Y<y}=P{X<y}=P{XW而}4Q-dx,f、,(y)=F二(y)二

11上133乙]

zT(y)3=-----,当y>8时,FY(y)=P{Y<y}=P{X<y}=P{X<y[y]=j^dx=1,fY(y)=F\(y)=0.fY(y)=

b'y

I-'—0<y<8

|6既

I0其它

5.1加1的概率密度为f(X)=-------,则3J的概率密度函数为__________

不(1+厂)

6.设X~,则随机变量■=X?在(0.42内的概率密度函数为

-U(0<y<4),|

4(y)={24y

,o(其他).|

7.设随机变量x在(0,1)服从均匀分布，则/v.(j)=-a-y&的概率密度为

y

第三章多维随机变量及其概率分布

二维随机变量：

二维随机向量&n)的联合分布函数指F(X,y)=p{nx,n<y)

0<F(x,y)<l;F(-°°,+°°)=F(x,-°°)=y)=0;F(+o°,+oo)=l;

P{xi^<X2,yi<r|<y2}=F(x2,y2)-F(x2,yi)-F(x»,y2)+F(x»,yD

二维随机向量&n)的边缘分布函数

+o

坨(x)=P{&《x}=F(x,+8),Fn(y)=P{r|<y}=F(°,y)

二维离散随机变量：

二维离散型随机变量及其概率分布

P{^=xbr|=y.i)=pu,其中ZZP；J=1且PM>0

i=lj=l

可用一个分布列表或分布列矩阵(p.,)来表示

自的边缘分布列为P{片xJ=Zpu=

J=1

r|的边缘分布列为P{“二yj=ZPij=p.

i=l

例i设二维随机向量«，n)的联合分布律为

世12

11/61/3

21/4a

则常数a=()

A、1/6B、1/4C、1/3D、1/2

［答案］:ZZPu=l所以a=l/4,选B.

i=lj=l

二维连续随机变量：

xy

二维连续型随机向量(&,r|)的分布函数F(x,y)=1818P(5v)dudv

+oo4-oo

8F(x,y)

p(x,y)称为随机向量T|)的联合密度函数p(x,y)>0,J_J_p(x,y)dxdy=l,=P(x,y)

0000dxdy

利用密度函数求概率P{(&r))sD}='p(x,y)dxdy

二维连续型随机向量的边缘分布，p§(x),Pn(y)称为边缘密度函数

+84-00

P4(x)=I_00P(x,y)dypn(y)=f_QOP(x,y)dx

条件分布:

离散型：在条件Y=y,下随机变量X的条件概率分布为

..,P{X=Xt,Y=yj}Pij

P{X=x,|Y=yJp(Y=y)'=-,i=l,2,-

连续型：在条件Y刊下随机变量X的条件分布函数Fx、(x|y)与条件概率密度函数fxY(x|y)分别为:

f(u,y)f(x,y)

Fx、(x|y)二T(?rdufxv(x|y)

fv(y)

例1：设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在X=x(0〈x〈l)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上

服从均匀分布，求：随机变量X和Y的联合概率密度：

［解］:X的概率密度为fx(x)="。黑:，在X=x(0<x<l)的条件下，

10具他

Y的条件概率密度为f,x(y1x)=

当0〈y〈x〈l时，随机变量X和Y的联合概率密度为f(x,y)=fx(x)f、“(y|x)=1/x

在其它点(x,y)处，有f(x,y)=0,即X和Y的联合概率密度为f(x,y)={#线

例2：设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为P{X=i}=l/3(i=-l,01),

f10<v<l,

概率密度为fY(y)二%最也，记Z=X+Y,求P{Z《l/2|X=0}。

i1i“4i

[解]:(1)P[Z<-|X=0}=P{X+Y<-|X=0)=P{Y<-}=!ldy=-

乙乙乙nu乙

二元正态分布:

二元正态分布山,6；GJ,p)的密度函数

/X1[1「2P(x-g)(y-氏)(y-

P(x，加京exp{-而a”>

66V

2

二元正态分布N(W，R,3：sip)的边缘密度分布仍是正态分布二N(2,O『)，r)~N(R2,Q2)

1止山)'163’

边缘概率密度为fx(x)=-r=Q2c)2，f)(y)二一产2Q2

5、/27c6弋2兀2

二元均匀分布：

(X,Y)在区域D上服从均匀分布一设D是xOy面上的有界区域，其面积为A。如果二维随机变量(X,Y)具有

概率密度f(x,y)=]Aa''"'。，则称(X,Y)在区域口上服从均匀分布。

.0其他

例1:设(X,Y)服从区域D：{(x,y)：aWxWb,cWy〈d}上的均匀分布，求

(1)(X,Y)的联合概率密度p(x,y)；(2)X,Y的边际概率密度px(x),pY(y);

[解]:(1)f(x,y)=\(b-a)(d-c)a<x<bc<y<d

I0其他

4-oo]

WxWb/、f+8/x,Jf7]7C<y<d

(2)px(x)=18P(x,y)dy="b-a,PY(y)=8P(X，y)dx=jd-c

、0其他[0其他

例1设二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)=A(B+arctan；)(C+arctan")°试求：⑴常数A,B,C；(2)(X,Y)

的概率密度。[解]:由分布函数性质，得到F(+8,+8)=A(B+^)(C号)，F(x,-«>)=A(B+arctan|)(C^j)=0,

F(-8,y)=A(B-^)(C+arctan6=0,解得A=?,B=C=^.即F(x,y)=/(g+arcta%)考+arctan令。

/x、_的~'(x,y)_______6

(92)ft(X,y)-dx8y-/(x：+9)(户4)-

例2:设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，求P{max{X,Y}Vl}。.

［解］:P{max{X,Y}£l}=P{41且YS1},因为X与Y相互独立,所以

P{XM且YM1}=P{X<l}P{Y<l)=1x7=7o(这里P{X4}=信dx=1)□

jjyujj

例3:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，(x,y)={；：°〈x"鹿y〈2x

求：(1)(X,Y)的边缘概率密度次(x),d(y)；(2)Z=2X-Y的概率密度6(z)。

「80<x<l,^x［2x0<x<l

［解］:⑴fx(x)=J_oof(x,y)dy====fldy=2x,所以边缘概率密度fx(x)二:

,+o°0<y<2,11fl-y/20<y<2

fY(y)=Lgf(X,y)dx===21dx=1-尹，所以边缘概率密度fY(y)=jo其它

,,0<z/2<l12x-z1z2

(2)Fz(z)=P(2x-y<z}=fff(x,y)dxdy====1-ffldxdy=l-Jz//2dxf°Idy=l-fz/2(2x-z)dx=z--

2x_y<z

(1-7/90<7<2

得到Fz(z)=jz-z740%〈2,所以Z的概率密度做z)=F〃z)=I。*它

4.设随机变量X和丫具有联合概率密度

4x2<y<x

/(x,y)={'-一:求边缘概率密度及%同〈引»・

U,#c匕.

例4设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

.、fx2+cxy0<x<<y<2

f(x>y)=t0其他

求(1)常数C;(2)P{X+Y21};(3)联合分布函数F(x,y).

［解］：(1)由的概率密度性质得到

+8+8122］

2

(X,y)dxdy=fofo(x+cxy)dxdy=^+cnc=^;

(2)

P{X+Y>1}=\Jf(x,y)dxdy=fff(x,y)dxdy

x+y>l19

121H41

可肘八(x*)dyj(凝飞叩出二—

vIXJVO«5Ctl乙

(3)当x<0或y<0时，

xy

F(x,y)=1818P(u,v)dudv=0;

当OWxl,0<y<2W,

x丫xy322

F(x,y)=J_8〕-8PI,v)dudv=Jf(1?宣)dudv=LY+-y;

VV«JO14

当OKxl,yN2时，

xyx2?32

2

F(x,y)=J_818P(】v)dudv=Jofo(u+y)dudv=-y+y;

当xNl,04y<2时,

xy1y2

2

F(x,y)=J_81-8P(5v)dudv=f0JQ(u+y)dudv=1+y^;

当x>l,y>2时,

xy

F(x,y)=1818P(1v)dudv=1

综上所述

r0x<0或y<0

W；OKxl及0Ky<2

32

2Xx

F(x,y)=S—+—OKxl及yN2

I1xNl及yN2

独立性：

若F(x,y)=F^(x)Fn(y),则称随机变量自与r|相互独立。

几个充要条件：

连续型随机变量&与T|相互独立op(x,y)=p^(x)pn(y)

离散型随机变量自与“相互独立=Pi^p,p,

二元正态分布N(内,3、比,6,；p)随机变量g与H相互独立u>p=0。

X与Y相互独立nf(X)与g(Y)也相互独立。

例：袋中有2只白球，3只黑球，现进行无放回地摸球，定义：

11第一次摸出白球

I0第一次摸出黑球

=(1第二次摸出白球

LI0第二次摸出黑球

求：(D“)的联合分布；

(2)自，n的边际分布：

(3)n是否相互独立？

［解］：(&,n)的联合分布与边际分布为

6n01P自

03/103/106/10

13/101/104/10

Pn6/104/10

因为

p(0,0)=3/10^(0)pn(0)=9/25

所以，与n不独立。

例2：设A,B是二随机事伟随机变量X1、驾端现粤温现

试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立。

例3设(X,Y)的概率密度为，f(x,y)={8>"烂1器片*,求：关于X及关于Y的边缘概率密度，并判

断X与Y是否相互独立。

+8X

3

［解］:关于X的边缘概率密度fx(x)=Lof(x，y)dy,当国父时，fx(x)=f08xydy=4x,当x<0或x>l时，

2

fx(x)=O;所以fx(x)=14：°同理当OWyWl时，fv(y)=fy8xydx=4y(1-y),其它情况fi(y)=O,所

以关于Y的边缘概率密度f(y)=.因为当04x41,OAyKl时,f(x,y)wfx(x)f、(y),所

vI0其他

以X与Y不独立。

设二维随机变量(％y)的概率密度函数为关于

[2,0<x<l,0<y<x

2个'上]。，其它.

求：(1)「关于才的边缘分布密度函数人伊(》1X)，并判断X与Y是否独立？(6分)

⑵E(XY).(4分)

解由条件得：

当0<x<l时，则X(x)=Jf(x,y)dy=£'2dy=2x,从而

当0<y<l时，则人(y)=Jf(x,y)dx=J2dx=2(1-y),Affo

1.

—,0n<x<1

⑴人|x(y|%)=<x

0,其它

因为/①y)//、.1)/、。