东北三省三校2024届高三年级下册第二次联合模拟考试数学试卷（含解析）

2024年高三第二次联合模拟考试

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知i是虚数单位，a,beR,a+2i=0—i)i,则复数。+历的模为()

A.5B.y[5C.2D.4

【答案】B

解析：由题设有a+2i=l+历，而a/eR,故a=l,b=2,

故a+历的模为+4=^[5>

故选：B.

2.在公差不为0的等差数列｛a“｝中，。3，%，金是公比为2的等比数列，则()

A.11B.13C.15D.17

【答案】B

解析：设等差数列的公差为d,则d/0,

因为的，%，是公比为2的等比数列，

CL+6da,+(in—l)dm+\

所以----=2,-------——=2,由前者得至ijq=2d,代入后者可得不一二2,

4+2d弓+6d7

故相=13，

故选：B.

3.1.按分层抽样的方法,从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排，则不同的排列方法

为（）

A.CA；°B.//A；：C.C：°D.A：A：

【答案】C

解析：按分层抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球，

其中有红球15x竺=6,黑球10x3=4,

2525

由于红球、黑球是完全相同的，则有1种抽取方法，

进而将4个黑球安排在10个位置中的4个，有C：0种方法，

由分步计数原理，可得共有种不同方法，

故选：C.

4.已知尸为两个不重合平面，/,m为两条不同直线，贝U//a的充分条件是（）

A.m±a,m±/B.lu/3,13Hac.mua,l//mD.aL/3,a/3=m,

Ulm

【答案】B

解析：对于A,若ni_La,m±l,贝"//e或/ua,故A中条件不是充分条件，故A错误；

对于B,若lu0,pila,由面面平行的定义可得///c,

故B中条件是///c的充分条件，故B正确；

对于C,若mua,[Um,贝"//g或/ua,C中条件不是充分条件，故C错误；

对于D,aL/3,a/3=m,lllm,则///tz或/ua,D中条件不是充分条件，

故D错误；

故选：B.

5.已知忖=5,〃=（—1,2）,a在b上的投影向量为切=（—2,4）,则向量〃与人夹角余弦值为（）

A2#2A/5

5555

【答案】A

，卜/o/、

解析：a在b上的投影向量为卜卜Ea-bbb，故a了b》=（—2,4）,

WWWw

|o||z?|cos^<2,£>^

a-b

而人=（—1,2）,故不=2,故=2,

.\b\

故5cos产）=2即8s（a小撞

V5、/5

故选：A.

6.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子•离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条

直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”

量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角a满足cosa=g,则

这块四边形木板周长的最大值为（）

B10（回-厉）

3

10（9-灼

D--------------cm

3

【答案】A

解析：因为四边形木板的一个内角1满足cosa=一,如图,

3

D

设㈤D=a,由题设可得圆的直径为Jl00+25=5也,

[25

故BD=56sincr，因cosa=§,。为三角形内角，故sina二口一

故BD=5信运”,

33

,0,1000

故AB-+AD2-2ADxABcosa=BD2=上？，

9

故（48+40）2二号的＞钻+1000M2（AD+AB）2+幽，

v73939

故A3+ADV严L誓’当且仅当人八旬二手时等号成立'

同理BC+CDW1°厉,当且仅当5C=CD=上叵等号成立,

33

故四边形周长的最大值为1°(00+S5Lm,

3

故选：A.

7.若关于x的方程依+24+/4%—Y=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是()

A.(-A/3,O]B,-#,0c.]o，¥[D.(-1,0]

【答案】B

解析：方程依+2a+"x-f=0有两个不相等的实数根等价于y/4x-x2=-a(x+2)有两个实数根,

设y=14%—42,。20,y=-a(x+2),

故丁=而二区yNO的图象与y=-。(*+2)的图象有两个不同的交点，

又y=,4龙一f,y20可化为(％—2)+。2=4(。20),

故y=y]4x-x2,y>0的图象为如图所小的半圆,

#<2,故一且〈”目

J4+133

而直线y=-。（x+2）需在x轴的上方或与x轴重合，故一,

故一避<(7<0>

3

故选：B.

22

8.双曲线C：L—2L=1的右焦点为F,双曲线C上有两点4B关于直线/：3x+y—8=0对称，则

124

FA+FB=()

A.2A/2B.472C.2A/3D.

【答案】B

解析：c=J12+4=4,E（4,0）,设A5的中点为S,连接烈

因为/为线段AB的垂直平分线，故可设AB:x-3y+/w=。，A（玉,乂）,6（马,％），

f22

土-匕=1

由＜124可得6y之—6加y+加2-12=0(*),

x-3y+m=0

故%+%=根，故内+/=3（%+%）―2根=机，

mm

故A3的中点为

因AB的中点在直线3x+y—8=0上，^3x-+--8=0,

故m=4,此时A=367/—24加+12x24>0，且S（2,—2）,

故向+国=2网=2,4+4=40,

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正方体ABC。-A4GR的棱长为1,下列命题正确的是（）

A.平面AG。

B.四面体A—Age的体积是正方体ABC。—A4GR的体积的三分之一

7T

C.与正方体ABC。-44GR所有棱都相切的球的体积为不

D.88]与平面4G。所成的角等于60。

【答案】AB

解析：对A,由正方体性质可得3与J.平面CD，AGu平面A4GD，

所以5与易知用2，AG，BB\BA=B],BB],BQ1u平面BBRD,

故AG±平面BBRD,又BD[U平面BBRD,故3。，ACi）

同理可证DC11平面BCD[A,又B、u平面BCg,故5。，DCX,

又。GcAC=a，DG，AGu平面46。，故8。，平面46。，A正确;

对B,四面体。―Age的体积为正方体的体积减去4个三棱锥的体积，即1—=

故四面体2-ABC的体积是正方体ABC。-Ag的体积的三分之一，故B正确；

对C,与正方体ABC。-A4G2所有棱都相切的球的直径长度为面对角线A片的长度0,

故球的体积为4兀［受］=—71,故C错误；

312J3

对D,以2为原点建立如图所示的坐标系，(0,0,0),3。,1,1),4。』,0),

由A可知，=(1,1,1)为平面4G。的法向量，BBX=(0,0,-1),

\DXBBB\1J3

设BBl与平面4G。所成的角为asine=J_n_L=_,故D错误.

何斗侬|V33

故选：AB.

10.函数/(x)=cos("+o"o<e<1)的部分图象如图所示，下列结论正确的是()

C.〃龙)的图象的一个对称中心为《,。

D.设函数g(x)=/(x)+/]x+；；则g(x)在一J，；上的最小值为-g

【答案】ABD

解析：由图象可知，〃o)=〃%)=,,

所以/(o)=COS(7tx0+o)=,即cos°=^^，

JT兀

又因为0<9<彳，所以°=7，故A正确；

26

所以/(X)的解析式为/(x)=cos[»+W),

兀兀5

所以叫)+：=2兀一：，解得/=彳，故B正确;

663

=cos37r=-1,故点1,0不是”力的图象的一个对称中心，故c错误;

g(x)=/(x)+/1x+-+c4l+*

3jI6)LI3j6

兀..兀(兀)立1..

=COS7IXCOS-6------SinTLXSin—6+COSITIXH■—=——2COS7LX——2Sin7U-Sin7lX

=—COS7LV--sinxt=A/3cosfra：+—\

22I3)

L,、，11LL,,兀712兀

因为——<%<—,所以——<nx+—<—，

23663

当兀x+g=g,即x=；时，g(x)取的最小值为g[g)=J^cos[兀xg+三卜6cosg=—,故D

正确.

故选：ABD.

11.定义在R上的偶函数/(%)满足/(x—3)=/(5—x),当xe[0,l]时，/(力=/.设函数

g(x)=log5|%T|，则下列结论正确的是()

A.的图象关于直线X=1对称

717

B.〃尤)的图象在x=5处的切线方程为y=—x+1

C.7(2021)+/(2022)+f(2023)+/(2024)=2

D.〃力的图象与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为10

【答案】ACD

解析：对于A,因为“X)为偶函数，故"X—3)=〃5—x)=/(x—5),

故/(x)=/(x+2),所以/(一力=/(X+2),故/(%)的图象关于直线x=l对称，

故A正确.

对于B,由A中分析可得/(可是周期函数且周期为2,

故当xe[3,4]时，4-%e[0,l],故/⑺=〃*_4)=/(4—x)=(4—

故当xe(3,4)时，/,(x)=2(x-4),故—1,

故切线方程为：,=/[/]=_%+?，故B错误.

对于C,由/(%)是周期函数且周期为2可得：

f(2021)+f(2022)+f(2023)+f(2024)=2/(0)+2/(l)=2,

故c正确.

对于D,因为g(2-x)=log5|l-x|=g(x),故g(x)的图象关于X=1对称，

而g⑹=1,g(-4)=lMx>lHtg(%)=log5(%-l),此时g(x)在(1,+。)上为增函数,

故/(X)，g(x)图象如图所示：

故选：ACD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知tana=2,则sinacosa=.

【答案】|.

sincos。tana2

解析：:tana=2,Asmacosa=-------z—=—

sina+cosatani-a-+-1==5•

故答案为：—.

13.洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡

斯数列｛〃｝为：1,3,4,7,11,18,29,47,76,…，即4=1,J=3,且乙级=L“+i+WN*）.

设数列｛4｝各项依次除以4所得余数形成的数列为｛«„｝,则60。=.

【答案】3

解析：｛4｝的各项除以4的余数分别为L3,0,3,3,2,1,3,0,....,

故可得｛%｝的周期为6,且前6项分别为L3,0,3,3,2,

而^00=“6x16+4=%=3,

故答案为：3.

2

14.已知抛物线y=亍，经过焦点f斜率为七（左。0）的直线交抛物线于A3两点，线段A5的垂直平分

\AB\

线交y轴于点c,则表的值为______.

\CF\

【答案】2

解析：抛物线的焦点厂的坐标为（0,1）,故A5：y=^+L

设与％），AB的中点为A1,

x2=4y.

则由《,"可得％2一4.一4=0，A=16/+16>0,

y=o+l

又为+%=4左，xrx2=-4

所以=Jl+/,-x2|=J1+左2xJ16/+16=4(1+左21

又为=2k,所以为=21+1,

故AB的中垂线的方程为：y-2k2-l=--（x-2k）,

K

四

令％=0,则”;=2左2+3,故|CF|=2左2+2,所以=2.

故答案为：2.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.某兴趣小组，对高三刚结束的测试的物理成绩进行随机调查，在所有选择物理科的考生中随机抽取100

名各类考生的物理成绩，整理数据如下表（单位：人）

物理成绩

[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]

学生分类

A班男生28158

B班男生310204

A班女生3421

B班女生10640

（1）估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值；

（2）求A班物理平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间中点值为代表，结果四舍五入到整数）；

（3）把成绩在［60,90］称为及格，成绩在［50,60）为不及格，根据所有数据完成下面2x2列联表，试根据

小概率值。=0.01的独立性检验，分析该校考生的物理成绩与性别是否有关?

成绩

性别合计

及格不及格

男生

女生

合计

n^ad-bcy

附：z2

(o+Z>)(c+d)(o+c)(b+d)

a0.050.010.001

3.8416.63510.828

7

【答案】（1）-

3

（2）72

（3）答案见解析

【小问1解析】

由表中数据可知，男生共有2+8+15+8+3+10+20+4=70,

女生共有3+4+2+1+10+6+4+0=30,

707

由此估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值约为一=—.

303

【小问2解析】

八班共有：2+3+8+4+15+2+8+1=43人

A班物理平均成绩的估计值为

UU512ru*遁9275+780+1275+765

55x---F65x----F75x----85x—=72

4343434343

【小问3解析】

由表中数据可知，2x2列联表如下:

性别成绩合计

及格不及格

男生65570

女生171330

合计8218100

零假设为“0：该校考生的物理成绩与考生性别无关,

根据表格中数据计算得到

100x(65x13-17x5)2

2

zx18.635>6.635=x001

70x30x82x18

根据小概率值。=0.01的%2独立性检验，推断“0不成立，即认为该校考生的物理成绩与性别有关，此推

断犯错误的概率不大于0QL

16.如图，在直角梯形ABC。中，AB//CD,ZABC^90°,AB=3DC=3BC,DELAB于■E,沿

将VADE折起，使得点A到点P位置,NPEB=90。,N是棱BC上的动点（与点B,C不重合）.

使平面现W_L平面尸BC,若存在，求也；若不存在，说明理

（1）判断在棱P8上是否存在一点M,

BP

由；

（2）当点F,N分别是PB,BC的中点时，求平面E/W和平面PDE的夹角的余弦值.

BM__1

【答案】（1）存，

BP~5

⑵里

21

【小问1解析】

BM1

存在,

BP~5

理由如下：由尸PEVED,EB「ED=E,EB,EDu平面EBCD,

所以PE，平面EBCD,又BCu平面EBCD,

故又BCLBE,PEBE=E,PE,BEu平面PEB,故平面。石B,

又BCu平面PBC,故平面PBC，平面PEB,又平面尸BC1平面PEB=PB，

EMu平面PEB,作EM工PB，则平面PBC，又EMu平面EMN,

故平面圆W_L平面尸BC,由题意，不妨设A5=3DC=35C=3,

lOy!

则Rt_PEB中，PE=2,EB=1,BP=V5,由等面积得〜

2

1所以器1

5

【小问2解析】

以石为原点，EB,ED,石尸分别为x,V,Z轴建立空间直角坐标系,

由⑴机别，5(1,0,0),P(0,0,2),唱,0』)

EN-],"=[,0,1]

设平面EFN的法向量为m=(x,y,z),

m-EF=—x+z=0

2

由j],取〃2=(2,-4,-1),

m-EN=x+—y=0

[2'

易知平面PDE的法向量为“=(1,0,0),

2721

设平面EFN和平面PDE的夹角为。,故cos6=

21

17.已知等比数列｛%｝的前n项和为"，且S"+i=3S.+l,其中“eN*.

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）在勾与4+1之间插入。个数，使这〃+2个数组成一个公差为4,的等差数列，在数列｛"“｝中是否存

在不同三项4“，dk,dp（其中肛忆P成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，

请说明理由.

,,_|

【答案】⑴an=3

（2）不存在，理由见解析

小问1解析】

因为S〃+i=3S〃+l,故S〃=3S〃T+1，故a,+]=34（“22），

而｛4｝为等比数列，故其公比为3,

又S2=3S]+1,故3q+弓=3勾+1,故％=1,

故％=1X3"T=3"）

【小问2解析】

由题设可得dn='L=近2二,

n+2-1n+1

若数列｛4｝中存在不同三项4",dk,dp（其中孙太？成等差数列）成等比数列,

^2x3^Y2X3“T2X3W

则--------------X---------------，因因左。为等差数列,

、k+1>m+1p+1

2

m+p

故（左+1）2=（m+1）x（夕+1）即左之=磔＞,故=mp，

2

故根=〃即加="=左，这样私女,夕不同矛盾,

(其中m,成等差数列)成等比数列.

故数列｛4｝中不存在不同三项4“，dk,dp

18.已知a为常数，函数/(x)=xlnx+ax2.

(1)当a=l时，求/(尤)图象在x=l处切线方程；

(2)讨论函数八％)的零点个数；

(3)若函数“X)有两个极值点/，巧(不<々)，求证—g</(xJ<0.

【答案】(1)y=3x—2

(2)答案见解析(3)证明见解析

【小问1解析】

当a=l时，/(x)=^lnx+x2,故

而_f(x)=l+lnx+2x,故/'(1)=3,

故/(%)的图象在x=l处切线方程为y—l=3(x—1)即y=3x—2.

【小问2解析】

的定义域为(0,+"),

/(九)的零点等价于无lnx+公2=o的解即lnx+at=0的解，

令s(x)=lnx+ar,%>0,故s，(x)=1+奴,

X

当a»0时，/(x)>0,故s(x)在(0,+。)上为增函数，

而s(l)=120,5(e-fl)=-«+ae-a=t7(e-a-l)<0,

故s(x)在(0,+8)上有且只有一个实数解，即/(同有且只有一个零点，

当a<0时，当时，/(%)>0；当xe1—，,+oo|时，s'(x)<0,

故s(x)在卜一上为增函数，在，：,+")上为减函数，

若即。＜二，此时s(x)1mx＜0,故s(x)无零点，故/(%)无零点.

若ln[—1—1=0即〃=——,

此时s(x)=0,

Ia)e\/max

故s(x)有且只有一个零点，故/(九)有且只有一个零点.

若In-1>0即一一<4<0,止匕时S(X)max=S>0.

eI

而-，>e>l^fl)=a<

0,故s(x)在1,---有且只有一个零点;

a

又s72InI

设〃«)=21nl—力l＞e,则M⑺=、^＜0,故K⑺在(e,+8)上为减函数,

故〃⑺<“(e)=2-e<0,

八，11

因为—>e,故s<0,而二〉——

aaa

故s(x)在［滔■,一‘)有且只有一个零点；

故此时s(x)有且只有两个不同的零点即/(%)有且只有两个不同的零点.

综上，当—时，/(%)无零点；

e

当。二」或〃2。时，“X)有且只有一个零点；

e

当—!＜。＜0时，/(%)有且只有两个不同的零点.

e

【小问3解析】

/(x)=xlnx+or2的定义域为(0,+8),而/r(x)=l+lnx+2ov,

由题设可得了'(%)有两个变号零点芯,九2(占＜九2)，

设v(x)=1+lnx+2ov,x>0,故v(x)在(0,+e)上有两个变号零点,

.“、1+2。%

而y⑺=------

X

若aNO,则v(x)在(0,+。)上为增函数，v(x)在(0,+。)上至多一个零点，舍;

若。<0,

当时，v'(x)>0；当j,+co］时，v'(x)<0,

故v(x)在［。，-()上为增函数，在H+8)上为减函数，

所以史抒。即-什

＜0,而V(1)=1+2Q＞。，且-]＞1,故0＜玉＜1.

又/(%)二%1n%+端，而1+ln玉+2〃％二°，

故%)=%1口药一；玉。+1口玉)=g再(1口七一1),

因为0<不<1,故In玉一1<0,故/(玉)<0,

要证：/(石)〉一］，即证5再(in%-1)>一］

即证：In%］-1+—>。在(0,1)上恒成立.

xi

1jr—1

设/z(x)=lnxH----1,0<x<1,则/(%)=—―<0,

XX

故h(x)在(0,1)上为减函数，tt/2(x)>A(l)=0gplnx1-l+—>0成立.

X1

综上，—5<

22

19.已知椭圆C:j+2=l(a〉6〉0)的左、右焦点分别为《，F2,5为上顶点，离心率为直线巡

与圆4x,+4y2—3=0相切.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过工作直线/与椭圆。交于M，N两点，

(i)若Mg=2EN(1<2<2),求△MQV面积的取值范围；

（ii）若/斜率存在，是否存在椭圆C上一点。及X轴上一点P（%,o）,使四边形PMQN为菱形？若存在,

求％,若不存在，请说明理由.

22

【答案】（1）上+2L=i

43

飞至3、

（2）（i）;（ii）不存在，理由见解析

1162J

【小问1解析】

由已知—=—,

a2

b

而直线3K:y=——x+b即Zzx+①一Z?c=O,

一c

该直线与圆X2+y1=—与相切，则J।.=-一-=，解得5=百,a=2，

4"2+.2