广东省东莞市三校2024届高考数学二模试卷含解析

广东省东莞市三校2024届高考数学二模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知椭圆C:?+y2=l内有一条以点为中点的弦则直线A3的方程为（）

3x-3y+2

C.3x+3y-4=0D.3x+3y+4=0

2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是（）

小△

正视图到视图

俯视图

22

A.8cm之B.12cmC.（4行+2*苏D（4副+4)cm

3.（39+犬）（2-2）8展开式中的系数为（）

X

A.-1280B.4864C.-4864D.1280

4."c手/?”是cosa丰cosB”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.函数•的图象可能是下列哪一个？（）

J（n）=sm（oz）z?

6.已知命题P：X/x&R,sinxWl,则一^为()

A.3x0e7?,sinx0>1B.\/xeR,sinxNl

C.3x0eR,sinx0>1D.\/xeR,sinx>l

7.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三

角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30。，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取

73^1,732）,则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）

A.20B.27C.54D.64

8.设Q,b，C是非零向量.若〃YT尻°=g（〃+人〉。，则（）

A.a-(b+c)=QB.a-(b-d)=0C.(a+b)-d=0D.(a-b)-c=0

9.已知向量a=(-l,2),b=(%,%-1),若他—2a)//a,贝”=()

12

A.-B.-C.1D.3

33

10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

12.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构

成，则该几何体的体积为（）

ZL公

.o4#）兀„026万小.限B兀8石1

A.8+——B.8+——C.4+——D.4+——

3333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.数列｛%｝的前〃项和为S",数列｛勿｝的前"项和为70，满足q=2,3s.+,且

4d=〃+L若任意"eN*，2<7L—7；成立，则实数X的取值范围为.

14.（5分）如图是一个算法的流程图，若输出V的值是5,则输入x的值为

15.某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生

在样本中，则样本中还有一个学生的编号是.

16.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成

活的概率为各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X

的方差DX=2.1,P(X=3)<P(X=7),贝！JP=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(%)=%—一。(；x2+%)xe(0,+oo).

(1)讨论了(%)的单调性；

(2)曲线/(九)在点(2,/(2))处的切线斜率为3卜2—1).

(i)求。；

(ii)若(x—左)尸(无)2—(x+1)日求整数左的最大值.

18.(12分)已知点A、3分别在x轴、V轴上运动，|AB|=3,=2AM-

(1)求点M的轨迹。的方程；

(2)过点N,,-且斜率存在的直线/与曲线C交于P、Q两点，E(0,D,求|£「『+|£。|2的取值范围.

19.(12分)如图，。。的直径的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为。。上一点，AE=AC,DE交AB

于点户.求证：APDF-APOC.

JT

20.（12分）如图，四棱锥E—ABCD中，平面A5CD，平面BCE,若NBCE=—,四边形ABCD是平行四边形,

2

且AELMD.

（I）求证：AB=AD；

（II）若点歹在线段AE上，且EC//平面3D产，NBCD=60。,BC=CE,求二面角A—所―。的余弦值.

21.（12分）己知圆［1：（x+l）i+yi=/（IW吐3）,圆尸i：（x-l）i+yi=（4-r）L

（1）证明：圆肌与圆Fi有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；

（1）已知点。（加，0）（机＜0）,过点E斜率为伙时0）的直线与（I）中轨迹E相交于M,N两点，记直线QM的斜率

为h,直线。N的斜率为兀，是否存在实数机使得依心+队）为定值？若存在，求出机的值，若不存在，说明理由.

22.（10分）已知在二二二二中，角二.二二的对边分别为二二二且「+上=」三.

□□JtSC.

（1）求二的值;

（2）若工、二--s7：nZ=二求二+二的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

2222

设A（为％）,B（x2,y2）,则工+短=1,二+%2=i,相减得到+左=o,解得答案.

3333

【详解】

设A（玉,%），5（々,必），设直线斜率为左，则5+%2=1,1+%2=1,

相减得到：（xf/）+（x+%）uo,AB的中点为尸，,；

224

即彳+彳左=0,故左=—1,直线的方程为：y=-x+-.

333

故选：C.

【点睛】

本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

2、D

【解析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.

【详解】

根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为2x2=4.侧面的高为万了=6,所以侧面积为

4x1x2xV5=4V5.所以该几何体的表面积是（475+4）cm2.

故选:D

【点睛】

本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.

3、A

【解析】

37

根据二项式展开式的公式得到具体为：（3x）C'2+x4C^26化简求值即可.

【详解】

根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出工项，或者第一个括号里出一,

第二个括号里

X

出具体为：（3三）《27n+x4,C；261£|

化简得到-1280x2

故得到答案为：A.

【点睛】

求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第厂+1项，再由特定项的特点求出r值即可.

⑵已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第厂+1项，由特定项得出厂值，最后求出

其参数.

4、B

【解析】

分别判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

<z=/7=>cosa=cos，所以cose丰cos（5na手B（逆否命题）必要性成立

当a=—（3=cosa=cos/3,不充分

故是必要不充分条件，答案选B

【点睛】

本题考查了充分必要条件，属于简单题.

5、A

【解析】

由排除选项-；排除选项-；由函数有无数个零点，排除选项-，从而可得结果.

二（9=二二>0uZ（-i）=-：-：<6ukJ

【详解】

由，可排除选项-，可排除选项—：由-^-“可得----一n----卢-,

二（9=二-：>0口二（7）=-二工<0~/一_—

即函数--有无数个零点，可排除选项-，故选A.

【点睛】

本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特

点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、

单调性、奇偶性、特殊点以及二,一，匚一二二_一/二|一_时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的

选项----排除.

6、C

【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.

【详解】

全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P：X/xeR,sinx<1,

—>p:3x0eR,sinx0>1.

故选：C.

【点睛】

本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.

7、B

【解析】

设大正方体的边长为X,从而求得小正方体的边长为‘X，设落在小正方形内的米粒数大约为N,利用概率模

22

拟列方程即可求解。

【详解】

设大正方体的边长为x,则小正方体的边长为3》—

22

设落在小正方形内的米粒数大约为N,

则1万"2JN,解得：N“27

-200

故选：B

【点睛】

本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。

8、D

【解析】

试题分析：由题意得：若a.（f=b.d，则（a—方）］=0；若a.-=—〃.-，则由。,。卜也，c=5（a+A>c可知，

a-c=b-c=Q>故（。一人）七=0也成立，故选D.

考点：平面向量数量积.

【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、

数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常

用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解（较易）；②将条件通过向量的线性

运算进行转化，再利用①求解（较难）；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.

9、A

【解析】

利用平面向量平行的坐标条件得到参数X的值.

【详解】

由题意得，〃一2〃=(2+X,JV—5),

(b-2d\//a,

2(2++x-5=0,

解得X=；.

故选A.

【点睛】

本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.

10、C

【解析】

首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出

几何体的体积.

【详解】

解：根据几何体的三视图转换为几何体为：

该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，

如图所示：

故：V=-x2x2x2--x-xlxlx2=—.

2323

故选：C.

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.

11、C

【解析】

由等差数列｛4｝通项公式得。3+。7-。5?+15=0,求出生，再利用等差数列前〃项和公式能求出S”

【详解】

正项等差数列｛4｝的前〃项和，

%+%—药+15=0,

-2%-15=0,

解得%=5或%=-3（舍），

9

S9=5（弓+的）=9a5=9x5=45,故选C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质

%,+%=%+%=2%（。+4=m+九=2升）与前“项和的关系.

12、A

【解析】

由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为26底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一

个底面半径为2的半个圆锥，体积为v=』xY3x42x2G+」x』乃x4x2出=8+拽三

34233

故答案为A.

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，

其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几

何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面

的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

,1

13、A<—

2

【解析】

a„n+\

当九.2时，a“=S「S”T，可得到j=-再用累乘法求出乙,再求出以，根据定义求出北，再借助单调性求

an-l-I

解.

【详解】

解：当〃=1时，3s1=(1+机)4=3%,则m=2,3s〃=(〃+2)%，

当力.2时,3S〃_i=(〃+1)%7,

3%=(〃+2)an-(〃+1)%」,

“_〃+1

an-l〃一1

.〃_〃％“3J2X，N-L="("+1),

..Q,—u1•---•---

a】a2an-X123n-2n-\

.n+11

:匕=——=-

an«

11（当且仅当〃=时等号成立）,

----1-----+...+♦11

〃+1n+2

2

1

故答案为:—oo,—

2

【点睛】

本题主要考查已知S,求凡，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题.

14、0或2

【解析】

依题意，当尤＜1时，由5=y=2*+4,即2*=1，解得x=0;当尤＞1时，由5=y=/+i,解得了=2或%=—2（舍

去）.综上，得x=0或2.

15、18

【解析】

根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编

号.

【详解】

解：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，

已知其中三个个体的编号为5,31,44,

故还有一个抽取的个体的编号为18,

故答案为：18

【点睛】

本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.

16、0.7

【解析】

/、-10p(l-p)=2.1

由题意可知：X〜B(10,2)，且从而可得?值.

IIA—3)1IA-/j

【详解】

由题意可知：X~B(10,/?)

.[10p(l-p)=2.1[100/72-100/7+21=0

]P(X=3)<P(X=7)[p>0.5

.•.p=0.7

故答案为：0.7

【点睛】

本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)在(Ina,+o。)上增；在(0,Ina)上减；(2)(i)1；(n)2

【解析】

(1)求导求出了‘(X),对。分类讨论，求出/5)>0,/。)<0的解，即可得出结论；

(2)(I)由/'(2)=3^—1),求出。的值；

(»)由⑴得所求问题转化为(％—机,―l)+x+G0,xe(0,+8)恒成立，设

g(x)=(x—幻+XG(0,+CO),只需g(X)mm20，根据g(x)的单调性，即可求解.

【详解】

(1)r(x)=(x+l)(e,-a)

当时，/，(%)>0,即/(%)在(0,+。)上增；

当时，f'(x)>0,x>Ina,0<x<ln«,

即/(九)在(lna,+a>)上增；在(0,Ina)上减；

,22

(2)(i)f(2)=3(e-a)=3(e-l),\a=1.

(ii)(九一左)尸(九)。一(x+l)2,即(x—机口—l)+x+l»0,

即g（九）=（%—左）（/-1）+九+1,只需gQLn

g'(X)={x-k+V)ex

当左W1时，g'(x)>o,g(x)在(0,+。)单调递增,

所以g(x)>g(0)=1>0满足题意；

当左>1时，g'（x）>0,x>k—l,g'（x）>0,0<x<左一1

所以g(x)在(0次-1)上减,在住-1,+8)上增,

，g(X)min=g(左T)=——+左+120

令/?（左）=—e"】+左+1,〃（左）=1一e»i.

旗1)=0."(Q在(1,+8)单调递减，所以〃㈤<0

所以力信)在(1,+s)上单调递减

〃⑴=1>0,h⑵=3-e>0,力(3)=4-。<0

综上可知，整数人的最大值为2.

【点睛】

本题考查函数导数的综合应用，涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立，考查分类讨论思想,

属于中档题.

、一，L256-

18^(1)---(2)4,——

4-I25」

【解析】

⑴设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出EP,EQ,得到EPLEQ,

所以|EPf+1EQ/=|PQ|2,代入韦达定理即可求解.

【详解】

⑴设A(知0),B(O,yo),则考+$=9,

设/(尤,y),由3河=2肱4得«°C2.

y-%=2(0-y)[%=3y

又由于[|x]+(3y)2=9,

2

化简得M的轨迹C的方程为Lr+J=1.

4-

3

（2）设直线P。的方程为丁=履-§,

与c的方程联立，消去y得（1+4公卜2一日6一||=0,

A>0,设。（%,%），

皿24k-64

贝!|%+%,=-------7X,-X=------------------7

-5+20k2225+100F

由已知田°=（%,%一1）,EQ=（x2,y2-l）,则

xx

EP-EQ=x1x2+（%-1）（%-1）=i2+\kx\-

=（1+左2）%々一g左（七+%）+1^

/1；2\—648.24k64

=（1+左Ix------------kx------T---

,725+100左255+20k225

—64—64左2—192左2+64+256k?

25+100公

=0,

故直线EPLEQ.

\EP\2+\EQ|2=|PQ『=（1+左2）［（玉+々）2—例々］

j—4x-64-64（1+左2）（25左2+4）

二（"［为）125+100左2250+4/）2

64（4+29左2+25左4

250+4^）2

令1+4/=/,则

4［-27+66.+25产］

25?

4<l

所以，|EP『+|EQ|2的取值范围为14,等.

【点睛】

此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.

19、证明见解析

【解析】

根据相似三角形的判定定理，已知两个三角形有公共角NP,题中未给出线段比例关系，故可根据判定定理一需找到另外

一组相等角，结合平面几何的知识证得ZPFD=ZOCP即可.

【详解】

证明：'：AE=AC,所以NCE>E=NAOC,

又因为NCDE=ZP+ZPFD,ZAOC=ZP+ZPCO,

所以NPED=NOCP.

在APD尸与APOC中，ZP=ZP,NPFD=NOCP,

故A/W~APOC.

【点睛】

本题考查平面几何中同弧所对的圆心角与圆周角的关系、相似三角形的判定定理;考查逻辑推理能力和数形结合思想;

分析图形，找出角与角之间的关系是证明本题的关键;属于基础题.

20、(I)见解析(II)

7

【解析】

(I)推导出BC_LCE,从而EC_L平面ABC。,进而EC_L3O,再由5O_LAE,得BO_L平面

AEC,从而进而四边形ABCD是菱形，由此能证明AB^AD.

(II)设AC与3。的交点为G,推导出EC〃歹G,取8c的中点为O,连结则5c，以。为坐标原点，以过点。

且与CE平行的直线为x轴，以3c为y轴，0。为z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

【详解】

jr

(I)证明：ZBCE=-,即3CLCE,

2

因为平面ABCD±平面BCE,

所以EC,平面A3CD,

所以£C_L5£）,

因为BDLA石，

所以3£>_L平面AEC,

所以BDLAC,

因为四边形ABC。是平行四边形，

所以四边形ABC。是菱形，

故AB=AD；

解法一：（II）设AC与6D的交点为G,

因为EC//平面应）产，

平面AECI平面3D尸于尸G,

所以EC//FG,

因为G是AC中点，

所以产是AE的中点，

因为NBCD=60°,

取8C的中点为。，连接8,

则八BC,

因为平面ABCD±平面BCE,

所以8,面BEC,

以。为坐标原点，以过点。且与CE平行的直线为x轴，以8C所在直线为V轴，以6©所在直线为z轴建立空间直角

坐标系.不妨设AB=2,则3（0,—1,0）,A（0,-2,V3）,D（0,0,@,jl,—=

22

I2?）IJ

朋=（0,-L矶BD=（0,l,V3）,

设平面AB厂的法向量4=（x，x，zj,

+底i=0

同理可得平面DBF的法向量％=（。，T），

设平面ABF与平面DBF的夹角为6,

因为CM"'""丽亍，

所以二面角A-BF-D的余弦值为—.

7

解法二：（II）设AC与的交点为G,

因为EC//平面3。尸，平面AECI平面应＞产于WG,

所以EC//FG,

因为G是AC中点，

所以尸是AE的中点，

因为AC±FG,

所以AC,平面3£＞尸，

所以

取8尸中点“，连接G”、AH,

因为FG=8G,

所以GH

故3尸，平面AHG,

所以尸，即NAHG是二面角A—5产一。的平面角，

不妨设AB=2,

因为AG=JLGH=—,

2

在用AAGW中，tanZAHG=76,

所以COS/A〃G=YZ，所以二面角A—3尸一£）的余弦值为五

77

D

本题考查求空间角中的二面角的余弦值，还考查由空间中线面关系进而证明线线相等，属于中档题.

22

21、(1)见解析，—+^-=1(1)存在，7/7=-2

43

【解析】

⑴求出圆耳和圆工的圆心和半径，通过圆尸i与圆Fi有公共点求出闺司的范围，从而根据归耳|+|P阊=4可得p

点的轨迹，进而求出方程；

(1)过工点且斜率为左的直线方程为y=A(尤-1)，设"(石,K)，N(x2,y2),联立直线方程和椭圆方程，根据韦达

定理以及占=一^,占可得M及+幺)=“根据其为定值，则有3/一12=0,

x「mx2-m'4(根一1)乂一+3〃/一12

进而可得结果.

【详解】

(1)因为耳(—1,0),8(1,0),所以|耳周=2,

因为圆耳的半径为厂，圆工的半径为4—厂，

又因为lWrW3,所以|4—r—r区2,Bp|4-r-r|<|^|<|4-r+r|,

所以圆巴与圆工有公共点，

设公共点为尸，因此1sl+归闾=4,所以P点的轨迹E是以耳(-1,0),居(L0)为焦点的椭圆，

所以2。=4,c=l=>a=2,b=^/3)

22

即轨迹E的方程为L+匕=1；

43

(1)过工点且斜率为左的直线方程为y=^xT)，设"(七,%)，N(%,%)

[22

%y_

Z+1"=1消去y得至|J(4左2+3)X2一8左2%+4左2—12=0,

由＜

y=^(x-1)

8k24k2-n

则Xj+x2,①

因