河南省南阳市六校2023-2024学年高一年级下册3月第一次联考数学 含解析

2024年春期六校高一年级第一次联考

数学试题

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.—2024。的终边在第（）象限

A.-B.二C.三D.四

2.设P：。=1+2kli,左eZ；q:tana=g,则。是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知a为第二象限角，则x=三=+&-sin2a的值是（）

sina|cosa

A.-1B.OC.1D.2

4.^4i=sinl.5,b=cos1.5,c=tanl.5.则（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a

5.函数（—的部分图象大致为（）

X

6.要得到函数y=sin（2x+：J,%GR图象，可以将丁=85%（）

A.先向左平移四个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的;，纵坐标不变

42

B.先向右平移四个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的;，纵坐标不变

42

兀

C.先向左平移一个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变

4

TT

D.先向右平移一个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变

4

7.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的

阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的

位移s（cm）和时间心）的函数关系式为s⑺=3sin（a+0）,其中切>0,若该阻尼器模型在摆动过程

中连续三次位移为So（-3<%<3）的时间分别为4，t2,,（4<匕）且％+12=2,t2+t3=6,则

在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（）

12,4

A.—SB.—SC.IsD.—S

333

8.函数/（x）=2sin（ox+o）3>0,冏<兀）的图象如图所示，直线y=—x+3经过函数外力图象的最

高点■和最低点N,则/（0）+/⑴+〃2）+〃3）+/（2026）=（）

A.72-2B.OC.拒+2D.242+2

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列说法正确的是（）

19

A.若a的终边经过P（5人,12左），k^Q,则sina=—

Btan(-210°)=-^

C.若cosa>0,则a为第一或第四象限角

D.若角a和角夕的终边关于y轴对称，则sin[■!+&)=-cos£

10.下列关于函数y=tan2x+；的说法不正确的是(

)

兀

A.定义域为<XXW—+E,左£Z>B.最小正周期是兀

6

C.图象关于成中心对称D.定义域上单调递增

.\a.a>b(、

11.定义运算maxr{a,Z?}=)贝！|对函数/(X)=max{sinx,cosx}的描述中，正确的选项是

()

A./(无)的最小正周期为2兀B./(元)的最小值为-1

C.”幻在(-巴，巴)上单调递增D./⑴关于直线*=乌对称

224

12.己知函数/(x)=sin，x+t],®>0,则下列说法正确的是()

A.若函数“工)在上单调递增，则实数0的取值范围是n

B.若函数/(%)在上单调递减，则实数。的取值范围是[1,2]

c.若函数/(%)在上有且仅有一个零点，则实数。的取值范围是[5,n)

D.若函数/(%)在上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数0的取值范围是(2,4]

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.时钟的分针长8cm,从10:10到10:45,分针转过的角的弧度数为.

14.已知函数八％)的定义域为R,且满足/(x+l)+/(—x)=0,/Ix+1j+/l-x+|j,请设计一

(2)求函数/(%)在-5，三上最值及对应的工的值.

19.己知函数/(x)=sin(2公r+0)(o>O,O<0<7i),其图象上相邻的一组最高点与最低点的距离为

-7^+16,且直线x='是图象的一条对称轴.

28

⑴求口，。的值，并求出〃龙)的对称中心；

JT3兀

(2)求/(尤)在一1,彳上的单调递增区间.

20.已知一扇形的圆心角为。(。>0),半径为R,面积为S,周长为L.

(1)若S=4cm2,则扇形圆心角a为多少弧度时，L最小？并求出L的最小值；

(2)若L=10cm,则扇形圆心角a为多少弧度时，S最大?并求出S的最大值.

21.深圳别称“鹏城”，“湾区之光”摩天轮位于深圳，是目前亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢

慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的直径为100m,最高点距离地面高度为110m,摩

天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，摩天轮运行时按逆时

针方向匀速旋转，转一周需要12min.

(1)游客甲从最低点。坐上摩天轮的座舱，转动/min后距离地面的高度为Mn,求在转动过程中，H

关于/的函数解析式；

(2)已知游客在距离地面85m时的高度能够获得最佳视觉效果，记某游客从坐上摩天轮后达到最佳视觉

效果的时刻依次为4,…，求心

22.函数/(x)=Asin(ox+0)(A>O,o>O,|"|<Q)的部分图象如图所示，把函数/(—x)的图象向右平

7T

移一个单位，得到函数g(%)的图象.

4

(1)若方程/q1)+/=g今在上有解，求实数/的取值范围;

JT

(2)若Vxe[O,—],不等式机送2(2吊)—2g(2x)+l»0恒成立，求实数加的取值范围.

6

2024年春期六校第一次联考

高一年级数学试题

命题学校：方城五高审题学校：菊潭高中

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.—2024°的终边在第（）象限

A.—B.C.三D.四

【答案】B

【解析】

【分析】求出2=136°与-2024。终边相同，得到所在象限.

【详解】与-2024°终边相同的角可表示为a=-2024°+360°k,keZ.

当左=6时，cc=136°.易知终边在第二象限.

故选：B

2.设p:a=1+2bi，左eZ；q:tana=百，则。是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

7T

【分析】解三角函数得到1=—+E,keZ,故。=q,qcP，得到答案.

3

【详解】q:tana=J^oa=¥+Ek£z,所以〃q，

但44p,，是q的充分不必要条件.

故选：A.

3.已知戊为第二象限角，则彳=产1+J］—‘in2a的值是（）

|sin囹cosa

A.-1B.OC.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】先根据角所在象限得到sina>。，cosavO,进而化简求值.

【详解】Q。是第二象限角，

.八八以sin。一cos。i1八

「.sina>0,cosacO,故％=------1-------=1-1=0.

sinacosa

故选：B.

4.^6z=sinl.5,b=cos1.5,c=tan1.5.则（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】A

【解析】

【分析】根据及三角函数的单调性，得到/〈号，比较出大小.

［详解］y=tanx在上单调递增，

._兀1

c=tanl.5>tan—=1,

4

又y=sinx在xe10,'J上单调递增,故。=sinl.5>sin^=交,

42

(42-

又a4l,故〃£---,I,

2

又丁=85%在xeog上单调递减,

故》=cos1.5<cos—=

42

所以b<a<c.

故选：A.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD,再求出特殊点的函数值，得到答案.

【详解】ln|x|-cosx定义域为（一。,0）U（0,+00）,

X

l/、Inl-xl-cos（-x）InIxl-cosxz、

—xX

所以函数了（%）是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B、D.

又/（2）=ln2；os2<0,故人错误.

故选：C.

6.要得到函数y=sin12x+：

,xeR的图象，可以将y=cosx（）

jr

A.先向左平移乙个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的;，纵坐标不变

4

TT

B.先向右平移：个单位，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变

4

7T

C.先向左平移二个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变

4

7T

D.先向右平移了个单位，再把图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变

4

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式和伸缩变换和平移变换的法则得到答案.

【详解】y=小《兀可转化为，=5：111%+5,

y=sin(x+|J的图象先向右平移;个单位得到y=sin(x+：

的图象,

再把图象上各点的横坐标缩小为原来的g得到y=sin〔2x+；J的图象，

B正确，其他选项错误.

故选：B

7.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻

尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位

移s(cm)和时间〃s)的函数关系式为s«)=3sin(a+0),其中6y>0,若该阻尼器模型在摆动过程中连

续三次位移为％(—3<So<3)的时间分别为：，t2,t3,(。<%)且:+^2=2,^+4=6，则在一

个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为()

12,4

A.—sB.—sC.IsD.—s

333

【答案】D

【解析】

【分析】由三角函数的对称轴与周期的关系知函数s(f)=3sin(a+。)的周期为7=4,进而求出口，令

3sin(]/+e)<1.5,解不等式即可得出答案.

【详解】由题意得,“I+/2)=1，](12+13)=3.

故函数s")=3sin(a+0)的周期为T=2x(3—1)=4,刃=守=],

可得sOSsingr+e1,位移的大小即卜⑺,故令3sin+夕]<1.5,

得-1.5<3sin+可<1.5,

57rit77r1ITTIT137r

所以---\-2kn<—t+(p<-----\-2kn,或-----\-2kn<—t-\-(p<------\-2kn,keZ

626626

/（O）=2sin^=V2,/（l）=2sin|=2,/（2）=2sin^=72,

/■（3）=2sin7i=0,/（4）=2sin^=-V2,/（5）=2siny=-2,

/（6）=2siny=-V2,/⑺=2sin2兀=0,/（8）=/（0）=V2

因为/（0）+/■⑴+/（2）+〃3）+/（7）=0,8x253+3=2027.

所以/（0）+/（l）+/（2）+/（3）+/（2026）=253x0+0+2+夜=2+2夜.

故选：D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列说法正确的是（）

A.若a的终边经过尸（5匕12左）,kwO,则sina=U

tan（-210°）=-y^

B.

C.若cose>0,则c为第一或第四象限角

D.若角e和角夕的终边关于y轴对称，贝Usin~+aj=-COSB

【答案】BD

【解析】

【分析】根据上的正负判断A,根据诱导公式判断B,根据三角函数在坐标轴上的符号判断C,由对称及三

角函数的定义判断D.

\2k12

【详解】当左<0时，sma=,=一；7,故A选项错误;

，25公+144/13

tan（-210°）=—tan210°=—tan30°=，B正确;

cos1>0时，a的终边在第一或第四象限或无轴非负半轴，C错误;

因为sin[]+aJ=costz,角a和角夕的终边关于y轴对称,

结合三角函数定义可知cos。=—cos，，即sin['+aj=-cos，，故D选项正确.

故选：BD

10.下列关于函数y=tan12x+E]的说法不正确的是（）

71

A.定义域为<xxW—卜kit,kuZ>B.最小正周期是兀

6

C.图象关于成中心对称D.在定义域上单调递增

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正切函数的周期公式、定义域、对称中心、单调性可判断出答案.

【详解】函数y=tan2x+《的定义域为x丰—I---，左eZ>,A错误；

62

jrjr

最小正周期丁=上=二，B错误；

co2

c71kjl1口兀依，~

2%H—=—,keZ解传x=----1，左£Z,

62124

兀kit।iTC]

（—五十],°J,%£Z,当左=1时，对称中心为点[5,0）,C正确；

当％=0时，y=tan—=，当x='时，y—tan|2x—+—|=tan|7t——|=—tan—=—A/3,

,634146；I3；3

因为0<N,走〉—6，

43

所以由单调性的定义可知，D错误.

综上，ABD符合题意.

故选：ABD

.\a.a>b（、

lL定义运算max{ra,耳=）则对函数/（x）=maxkinx,cosx}的描述中，正确的选项是

（）

A./（x）的最小正周期为2兀B.Bx）的最小值为-1

兀兀7T

C./（的在（--,—）上单调递增D/⑺关于直线尤二对称

22

【答案】AD

【解析】

【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析判断得解.

3兀c7,兀C7

cosX,-----F2K71VX<—卜2女兀

44

【详解】依题意,/(%)=,keZ,

.兀C7,5兀c7

sinX,—+2E<x<——+2E

44

函数”尤）的部分图象如图:

1y—sinx

3兀兀3兀yTl

对于A,当-----F2kliVx<—F2kit,左wZ时，----F2kliV%+2兀<----F2防i,keZ,

4444

/（X+2兀）=cos（x+2兀）=cosx=/（x）,当-----+2kli<x<-----+2kn,左wZ时，

44

兀571

—+2kn<x<一+2kjt,keZ,f（x+2兀）=sin（x+2兀）=sinx=/（x）,

44

因此X/xsR,/（%+2兀）=/（%）,即2兀是的周期，由图象知，2兀是〃龙）的最小正周期，A正确;

jTTTTTTTTTT）TT

对于B,函数/⑺在［-3,0］,匕苫］上单调递增，在［0,勺,亡,三］上单调递减，

442424

而/（一型）=/（型）=一变,/（巴）=正，因此/（X）在［—里，里］上的最小值为—立，

44242442

由于的周期为2兀，所以〃x）在R上的最小值为一变，B错误;

2

兀71

对于C,由选项B知，/⑺在(一5)上不单调，C错误；

TTSjr3717171

对于D,当一+2kli<x<----b2kK,左£Z时，-------2左兀<——%<——2kn,kwZ,

44424

jIj।j।jI

/(——%)一/(%)=cos(--%)-sin%=0,当一--+2kn<x<—+2kK,左£Z时，

:-2kn2kji,keZ,/(^-%)-/(%)=sin(-^-x)-cosx=0,

jrJT

所以对X/xeR,f(--x')=f(x),即八无)关于直线尤=£对称，D正确.

【详解】由题意：函数/（X）的定义域为R,

/(%+1)+/(-%)=0=>/(%)关于口,。］中心对称;

/1》+1']=/，》+^]=>/（》）关于直线1=1轴对称，符合以上性质的函数均可,

结合余弦型函数的对称性，比如外力的解析式可以为：/（%）=COS（71X）.

故答案为：COS（7LX）（答案不唯一）

15.将函数/（x）=sin（2x+0）的图像整体向右平移乌个单位长度后，得到的函数图像对应一个偶函数，

则cos°=.

【答案】土B

2

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得平移之后的图像解析式，再由函数图像关于y轴对称，列出方程，代入计算,

即可得到结果.

【详解】把函数/（x）=sin（2%+。的图像整体向右平移-个单位长度后

得到函数丁=51!1+0=sin[2xi]+°

JTJT

若该函数为偶函数，则——+（p=-+kK,左wZ,

32

Sir

解得夕=3+配，keZ.

6

当上为奇数时，cos。=孝；

当左为偶数时，cos。=—等；

所以COSO=.

故答案为：土且

2

sin2x,xe[0,兀)

16.己知函数/'(x)=<1/、「，若"X)4,在行上,+8)上恒成立，则/的取值范围

-f(x-7i),xe[n,+oo)16

、乙

为

小小4171

【答案】五,+8

【解析】

【分析】根据解析式作出函数图象，根据性质找出/")=工的值，结合图象即可得解.

16

详解】/(%)大致图象如图:

71或必

当〃=3时，f(m+3n)=-x/㈣m=一

81212

Sir4]TT1

如上图所示，当42——+3兀=——时，恒成立.

121216

41兀、

所以，的取值范围为I,

41兀

故答案为:---

12

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明和证明过程或演算步骤)

17.如图所示，以x轴非负半轴为始边作角夕|■<a<兀，它的终边与单位圆。相交于点尸，已知点尸

坐标为I---5---,mJ.

-cos（2兀一？）+sin（兀+cr）

（2）求―7一一御一^的值•

sina——-3cos-----a

I2jU）

【答案】（1）m=迈,tan«=-2；

5

（2）」

7

【解析】

【分析】（1）利用点在圆上以及三角函数的定义计算即可;

（2）利用诱导公式化简，然后转化为用tan。表示，代入tana的值计算即可.

【小问1详解】

-立，m］在单位圆上，且点尸在第二象限

P

+m2=1,m>Q

解得加=2叵

5

2A/5

・

由三角函数定义可知,tana=—y=―5=-2o

X

一行

【小问2详解】

+sin（兀+1）_cosi-sini_-1-tana1

-cosa+3sina-1+3tanor7

sina-乌-3cos

I2

18.某同学用“五点法”画函数/（x）=Acos（0x+0）+5（A>O,°>O）的图象时，作出以下表格:

713兀

a)x+(p02兀

2~2

X5兀11兀

n~L2

小)31-13

(1)请将上表补充完整，并直接写出了(九)的解析式;

(2)求函数/(%)在-上的最值及对应的x的值.

【答案】⑴表格见解析，/(x)=2cos^2x-|j+l;

⑵当x=g时/(x)1mx=3,当x=q时/(%)1ml=-1

【解析】

【分析】(1)由表格数据求出A、B、①、(P,即可得到解析式，再根据五点法完善表格;

7T

(2)由x的取值范围求出2x—-的取值范围，再由余弦函数的性质计算可得.

3

【小问1详解】

11713兀

----CD+(P=——a>=2

A+B=3A=2

；122,解得

由表格数据可知-AB=-V解得又兀，

+5兀兀(p=―一

3

〔122

所以/(%)的解析式为〃x)=2cos2》一1+1.

完善后表格如下:

兀3兀

a)x+(p0712兀

2~2

兀兀兀7兀

X521171

6nT~6

/(x)31-113

【小问2详解】

兀兀

——<%<—,

23

4兀兀,兀1/(c兀71

.----«2元------4一,-1Vcos|2x

3333

qrjr

当2元一^=0即％=—时,/（九）取得最大值，最大值为3.

36

jr

当2%——=—兀即x=q时，”可取得最小只，最小值为-1.

3

所以当兀=四时/(£)=3,当x=_巴时/(X).=-1.

R\/max3，\/min

19.己知函数/（%）=5111（2。氏+0）（&>>（）,0<0<兀），其图象上相邻的一组最高点与最低点的距离为

-7^+16,且直线x=巴是图象的一条对称轴.

28

（1）求。，。的值，并求出"了）的对称中心;

JT3冗

（2）求/（%）在-],彳上的单调递增区间.

兀7ikit

【答案】（1）。=1，——十一,0,keZ.

82

兀715兀3兀

(2)一,一和--

48J8T

【解析】

7T

【分析】（1）根据正弦函数的性质求出函数的解析式，令2x+—=E,即可得出答案.

4

jr3兀

（2）先求出了（%）的单调递增区间，再令左=0和左=1与-],彳取交集，即可得出答案.

【小问1详解】

2九71

了(%)的周期T=­=

2a)CO

最高点与最低点距离为224必瓦

解得刃=1或①二一1（舍）.

7T

又％=—是图象的一条对称轴,

8

kEZ,

0八<(P<7l,：,(p=—兀

・••/(x)=，由2T.

A_兀7/n兀kit

令2%H—=ku,k£Z华x=----1-----,k£Z,

482

\F(x)的对称中心为点(—§+o],

上eZ.

【小问2详解】

3兀7C

令一5+2MW2尤+：W■|■+2E,keZ.倚----Fk7itWxW—Fk7u，k£Z

88

37rIT

了(九)的单调递增区间为一--+kn,-+kn,keZ.

|_oo

37r7T

当左=0时，递增区间为

_OO_

5兀Q71

当％=1时，递增区间为—

OO

\F(x)在一；考上单调递增区间为一：,?和寿百.

v7L44JL48J84_

20.已知一扇形的圆心角为。(a>0),半径为R,面积为S,周长为L.

(I)若S=4cm2,则扇形圆心角a为多少弧度时，L最小？并求出L的最小值；

(2)若L=10cm,则扇形圆心角a为多少弧度时，S最大？并求出S的最大值.

【答案】(1)a=2rad,最小值为8cm；

25

(2)a=2rad,最大值为一cm2.

4

【解析】

18

【分析】(1)利用扇形面积公式可得5=—=4cm2,则L=2R+—,再结合基本不等式即可求解.

2R

(2)根据面积公式再结合二次函数求最值，即可求解.

【小问1详解】

[8

S=-c(R=4cm2,cc——彳

2R2

QQ

则L=2R+aR=2R+rR=2R+—.

R2R

由基本不等式可得2尺+'2212尺・§=8,当且仅当2R=§,即R=2时等号成立.

R7RR

..,8

此时a=—=2.

当a=2rad时，L最小，最小值为8cm.

【小问2详解】

cs10-27?

L=2R+aR=10cm,/.a=---------.

R

S」会2=L9w=-笈+5夫=-卜-可+生.

22R[2J4

525

当R一2,即。=2m时dA，54max=—.

25

，当a=2rad时，S最大，最大值为一cm2.

4

21.深圳别称“鹏城”，“湾区之光”摩天轮位于深圳，是目前亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢

慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的直径为100m,最高点距离地面高度为110m,摩天

轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，摩天轮运行时按逆时针

方向匀速旋转，转一周需要12min.

(1)游客甲从最低点。坐上摩天轮的座舱，转动/min后距离地面的高度为Hm,求在转动过程中，H

关于/的函数解析式；

(2)已知游客在距离地面85m时的高度能够获得最佳视觉效果，记某游客从坐上摩天轮后达到最佳视觉

效果的时刻依次为。4,4*，求小

【答案】(1)H(Z)=-50cos-Z+60(Z>0)

6;

(2)t4=20min.

【解析】

【分析】(1)由题意以摩天轮中心。为原点，与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系求出解析式即可;

(2)令H=85,解出时间心即为达到最佳视觉效果时刻，求解Q即可.

【小问1详解】

以摩天轮中心。为原点，与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系.

2冗71

由题意，摩天轮的角速度0=—=—rad/min

126

(Jrjr]

所以甲所在的位置的纵坐标昨=50sin

则H⑺=50sin[―+60=-50cos+60.

所以“关于/的函数解析式"«)=-50cos-Z+60(r>0)