山西省吕梁交城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

山西省吕梁交城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.（%-2）2=1B.（x-2）2=-1C.（x-4）2=1D.（x-2）2=-1

3.已知反比例函数的图象经过点（2,-4）与（-2,间），则加的值为（）

A.-4B.4C.-8D.8

4.下列关于二次函数丁=-加+2办-1（°>0）的图象和性质说法正确的是（）

A.该函数的图象开口向上

B.该函数的图象对称轴为直线x=-l

C.该函数的最大值为y=a-l

D.若点（T%）和（2,%）是该函数的图象上的两点，则

5.在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同.通

过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在04附近.则估计袋子中的白球有（）

A.6个B.8个C.10个D.12个

6.如图,将矩形A5CD绕着点C顺时针旋转得到矩形A'B'CD',此时点笈恰好落在边AD

上，若点8'是AO的中点，则/DCD'的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.80°

7.如图，ABCD,AC,相交于点。，若OA=1,OC=3,BO=7,则OD的长为（）

A

D

B

7

A.-B.4cD.5

2-7

8.二次函数》=以2+厩的图象如图所示，则关于x的方程62+6无+5=0的解为（）

A.—0,x2—6B.X]=%=3

C.玉=一2,工2=8D.此方程无解

CD3

9.如图，在.ABC中，DE//AB,b为A5的中点，CF交DE于点、G,且——=-,则

BD2

CE333

DG=EG°CDG

A.C.io

AE2BT5°CBA

10.如图，已知菱形ABCD的对角线AC,3。交于点。，NABC=120。，AB=4,以点

。为圆心，03为半径作圆，分别与菱形ABC。的边相交形成如图所示的阴影部分，则

阴影部分的面积为（）

C.?D.-士兀

3

试卷第2页，共6页

二、填空题

11.请写出一个二次函数的表达式，使其图象的对称轴为直线x=i,与y轴的正半轴有

交点，可以是.

12.如图，是。的直径，弦AD平分NBAC,过点。作。的切线交AC于点E,

若/BAD=23°,则4DE=

-7k

13.如图，点A在反比例函数y=；(x<0)的图象上，点3在反比例函数丁二'(％〉0)的

图象上，AB〃x轴，点C是x轴上的一点，若aABC的面积为g,则上的值为.

14.如图，四边形A3C。为矩形，A5=4,BC=6,点P是边8c上一动点，点、M为线

段"上一点，且/4ZW=ZR4B,则的最小值为.

15.如图，在Rt^ABC中，NA=30。，ZACB=90°,BC=2,将.ABC绕着点C顺时

针旋转30。得到△A8C,线段AC与AB交于点。，与3c交于点E,连接OE,

则DE2的值为.

三、解答题

16.(1)解方程：尤2+3尤—15=尤；

(2)求抛物线y=2xZ-12x+20的顶点坐标.

17.如图，一次函数>=履+2与反比例函数在第一象限内的图象交于点A(2,w),与y轴

交于点8,与x轴交于点C(T,O).

⑴求反比例函数的解析式；

(2)点P是x轴上的一个动点，当4必5的面积为4时，求点P的坐标.

18.某校为了提高课后延时服务的质量，自主研发了书法(A),阅读(8),足球(C),

器乐(。)四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等.

(1)学生小李计划选修两门课程，他所有可能的选法共有种；

(2)若学生小李和小杜各计划选修一门课程，求他们两人恰好选到同一门课程的概率.

19.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,点。是A8边上一动点，过点。作DEL3c于

点、E,DPIAC于点尸，AF=6,BE=2A/6.

⑴设DE=x,DF=y,请确定x与y的关系式(用x表示y),并直接写出四边形DECF

的面积；

(2)当=时，求的长度.

20.如图，是。的直径，AC是弦，点。是：。上一点，ODLAB,连接CD交A2

于点E,尸是A8延长线上的一点，且CF=EF.

⑴求证：CF是。的切线;

试卷第4页，共6页

⑵若Cb=8,BF=4,求弧2。的长度.

21.阅读与思考

下面是小宇同学的数学论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

利用网格构造数学图形

我们知道，由许多边长为1的正方形组成如图1所示的图形叫做网格，每一个小正

方形的顶点叫做格点.利用这样的网格不仅可以构造具有位置关系的图形，还可以构造

某种数量关系的图形.

在图1的网格中，连接格点A3和8交于点E,则ABLCD.理由如下：

根据网格的特征可知：AF=2,BP=4,DG=1,CG=2,ZAFB=ZDGC=90°,

..DG\CG21

AF~2'BF~4~2

图1

任务:

（1）请把小宇证明ABLCD的过程补充完整;

（2）请求出图1中AE的长度;

（3）在以上解答的启发下，请你作出图2中线段A3的三等分点.

图2

22.综合与实践

问题情境

在.ABC中，AB=AC,点。是3c的中点，D为ABC内一点，连接班）,DO,将线

段DO绕着点0旋转180°得到FO,连接CF.

探究证明

（1）如图1,延长8。交AC于点E,若班，AC.求证：FC1AC；

（2）如图2,连接AF,交3。的延长线于点G,连接OG,若OG=OD,用等式表示

线段AF,AB,由）之间的数量关系，并证明；

拓展提升

(3)如图3,在(2)的条件下，"与BC交于点H,若/BAC=90。，AB=13,DG=7,

请求出G8的长度(直接写出答案).

23.综合与探究

如图1,抛物线y=f+或+c经过点8(4,0)和C(0,2),与x轴的另一个交点为A,连

接AC,BC.

(1)求该抛物线的解析式及点A的坐标；

⑵如图1,点。是线段AC的中点，连接80.点E是抛物线上一点，若SBE=SABCD，

设点E的横坐标为x,请求出尤的值；

(3)试探究在抛物线上是否存在一点尸，使得NP8O+NOBC=45。？若存在，请直接写

出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.D

【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合；

根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可.

【详解】A、可以找到一条对称轴，使图形沿对称轴折叠重合，属于轴对称图形，找不到任

何一点对称中心，令旋转180度重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；

B、可以找到一点对称中心，旋转180度重合，是中心对称图形，但找不到任何一条对称轴，

使图形沿对称轴折叠重合，不是轴对称图形,，故选项不符合题意；

C、可以找到一条对称轴，使图形沿对称轴折叠重合，是轴对称图形，找不到任何一点对称

中心，令旋转180度重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；

D、可以找到四条对称轴，使图形沿对称轴折叠重合，是轴对称图形，也找到任何一点对称

中心，令旋转180度重合，也是中心对称图形，故选项符合题意；

故选：D.

2.B

【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法解一元二次方

程的步骤.原方程等号两边同时减1,然后配方即可.

【详解】解：X2-4X+5=0,

x?-4x+5—1=0—1,

X2-4x+4=-1,

，配方后，可得（x-2）~=-1.

故选：B.

3.B

【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据条件求出反比例函数解析式的比例

系数上的值，代入x=-2,求出机即可.

k

【详解】解：设反比例函数解析式为：y=-,

X

代入点（2,T）,解得：上=一8,

代入（-2,曲,解得：根=4,

故选B.

答案第1页，共21页

4.C

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，根据性质逐一进行判断,

是解题的关键.

【详解】解：<」=-加+2依:-1（。>0）,

—a<0，对称轴为x=-------=1,

-2a

.♦•抛物线的开口向下，故A,B选项错误；

当x=l时，该函数的最大值为y=a-i,故C选项正确，

:抛物线开口向下，

.•.抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，

•-1-1-11>12-^

；•%<%，故D选项错误；

故选：C.

5.A

【分析】本题主要考查了频率估计概率，根据概率公式计算数量，解题的关键是根据题意得

出摸到红球的概率为0.4.

【详解】解：：摸到红球的频率稳定在。4附近，

•••摸到红球的概率为0.4,

:袋子中装有4个红球，

；•球的总个数为：4+0.4=10（个），

.••白球的个数为：10-4=6（个），

故选：A.

6.C

【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的知

识是解题的关键.由矩形的性质得/BCD=90。，BC=AD,由旋转的性质得

/BCD=ZS'CD'=90。,B'C=BC,然后利用锐角三角函数的知识即可求解.

【详解】解：；四边形ABCD是矩形，

ZBCD=90°,BC=AD.

由旋转的性质得NBCD=ZB'CD'=90°,B'C=BC.

答案第2页，共21页

:点5'是AD的中点,

，B'D=-AD=-B'C.

22

H力i

VsinZB'CD=——=-,

B'C2

ZB'CD=30°,

：.ZDCD=90°-30°=60°.

故选C.

7.C

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定.先证明进而得到器=g,

—即可求出。。二目.

BD44

【详解】解：・・・A3CD,

:.AOBs一COD,

.OB_OA

''~db~~oc"

•・・OA=1,OC=3,

.OB_1

"'OD~3f

.OD_3

•・茄

BD=7,

.OD3

・•亍―"

：.OD=—,

4

故选：C.

8.B

【分析】本题考查了二次函数的性质，直接根据图象即可确定方程的根，从而得出答案.

【详解】ax2+/?x+5=0

/.ax2+bx=-5

由图象可知，当玉=%=3时，,=一5

故选B.

9.D

答案第3页，共21页

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟知平行于三角形的一边的直线与其他两边相

交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键.

由得出△EDCSAABC,NECGKACF,ABCF^ADCG,根据相似三角形的

性质进行判断.

【详解】DE//AB,

AEDCsAABC,NECG^NACF,ABCF^ADCG,

.DECD_CECE_EGDGCD

,BA-CF-CA?CA-AF?~BF~~CB,

CD_3

而一5'

.CDCECD3

'~CB~~CA~CD+BD~1＞，

••CF・C当F故3A选项正确，不符合题意；

AECA-CE2

DF3

=7==，故B选项正确，不符合题意；

BA5

产为A3的中点，

=BF,%ACr-S/\BCF=]S4ABe,

八DGCDCEEGCDCE

Q=，=,=，

BFCBCAAFCBCA

DGEG

,BF-AF

，DG=£G故C选项正确，不符合题意；

CD_3

~CB~5

.QACDGSMDG_CD_9

2-故D选项不正确，符合题意;

SyeBA2SycBF~2CB50

故选：D

10.D

【分析】如图，设。与菱形的边A3、AD分别交于点£、F,连接。E、OF,由菱形的

性质可以证得是等边三角形，进而可以证得都是等边三角形，由等边三

角形的性质可以求得NEO尸=60。,然后根据阴影部分的面积=2x

(SABD~SDFO_SBEO扇形OEF)代入数据计算即可.

【详解】解：如图，

答案第4页，共21页

设，:。与菱形的边AB、分别交于点区F,连接QE、OF,

・・•四边形ABC。是菱形，/ABC=120。，

AAC.LBD,BO=DO,OA=OC,AB=AD,ZZMB=60°,

・・・△ABD是等边三角形，

AAB=BD=4,ZABD=ZADB=60°f

：.BO=DO=2,

•・•以点。为圆心，。3长为半径画弧，

/.BO=OE=OD=OF,

・・..BEO,NO是等边三角形，

・•・ZDOF=ZBOE=60°,

：.ZEOF=60°

阴影部分的面积=2x(SABD—SDF0—SBE0—S^j^OEF)

c'l”“君'cc6Ice百60x万x2?、“r-4"

=2x(—x4x4x--------x2x2x--------x2x2x-------------------)=4,3-----

2222223603

故选D.

【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及扇形面积的计算等知识，正

确添加辅助线、明确求解的方法、熟练掌握菱形的性质以及等边三角形的判定和性质是解题

的关键.

11.答案不唯一，如：y=x2-2x+2

h

【分析】本题考查了二次函数的性质，写出函数解析式满足-9=1,c>0,由此举例得出

答案即可.

【详解】解：设所求二次函数的解析式为：y=a^+bx+c(a^.

函数图象的开口题目未规定，所以。可以取正，可以取负，可取。=1；

对称轴是直线x=l,

b1,口，一

「•---=1,付b=—2^z=—2；

2a

答案第5页，共21页

函数图象与y轴的正半轴有交点,

c>0,可取c=2；

••・函数解析式可以为：y=d-2x+2.

故答案为：y=x2-2x+2.

12.67

【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.

【详解】连接OD,

过点D作O的切线交AC于点E,

0

：./ODE=90°,

又：OA=OD,

：./OZM=/(MD=23°,

ZADE=90°-ZODA=90°-23°=67°,

故答案为：67.

13.3

【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正确理解反比例函数的几何意义是解答本题的

关键，连结,设A3与y轴相交于点。，由AB〃x轴可得SAOB=SACB=SAOD+SBOD,

再根据反比例函数的几何意义，即可求得答案.

【详解】连结。4,OB,设与y轴相交于点。，

QAB〃》轴，

.c_c5

一uAOB一°ACB=_2'

=X

SAOD_H=1,SABO。=5%,

解得k=3,

故答案为：3.

答案第6页，共21页

【分析】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

取AD的中点0,连接OM.证明/AMD=90。，推出OM=；AO=2,点M的运动轨

迹是以。为圆心，2为半径的：O.利用勾股定理求出0B,可得结论.

【详解】解：如图，取AD的中点。，连接02,OM.

ZBAD=90°,AD=BC=6,

ZBAP+ZDAM=9Q°,

ZADM=ZBAP,

ZADMZDAM=90°,

ZAMD=90°f

AO=OD=3,

答案第7页，共21页

:.OM=-AD=3,

2

•・•点M的运动轨迹是以。为圆心，3为半径的「O.

OB=-JAB2+AO2=V42+32=5，

.-.BM>OB-OM=5-3=2,

的最小值为2.

故答案为：2.

15.7-2百

【分析】本题考查旋转的性质和勾股定理，熟练掌握旋转的性质，利用旋转的性质得到全等

三角形是解题的关键，过点。做止±BC于F,由旋转可得VABC/VAQC,再利用等面

积法可得CE=g,再利用勾股定理即可得到DE2的值.

【详解】解：过点。做。尸，5c于尸，如图所示：

,/ABC绕着点C顺时针旋转30°得到△AEC,

VABC^VA'B'C,

AZACA'=30°,ZA=30°,

'：ZACB^90°,

：.ZDCB=60。,

：./CE4'=90。，

在Rt^ABC中，ZA=3O°,ZACB=90°,

/3=60。，

/­△£＞底为等腰三角形，

BC=2,

DC=2,

在RtAOFC中，NDCB=60°,

：.ZCDF=30°

:.DF=6FC=1,

答案第8页，共21页

-XA'B'CE=-xB'CA'C,

22

解得：CE=百，

EF=EC-FC=6-I,

RtADFE中，DE2=DF2+EF2，

D£2=(A/3)2+(^-1)2=3+3-2^+1=7-2A/3,

故答案为：7-2出.

16.(1)菁=-5,3=3；(2)顶点坐标为(3,2).

【分析】本题考查了解一元二次方程及求抛物线顶点坐标；

(1)方程整理为一元二次方程的一般形式后，再用因式分解法求解即可；

(2)把二次函数配方后，即可求得顶点坐标.

【详解】(1)解：/+3%-15=尤

整理得：炉+2尤_15=0,

分解因式得：(x+5)(x-3)=0,

x+5=0或x-3=0,

..芯=-5,x?--3■

(2)解：y=2x2-l2x+20,

y=2(x2—6.x)+20

=2(/一6x+9-9)+20

=2(尤-3)2+2；

gPy=2(%-3)2+2

.••顶点坐标为(3,2).

17.⑴

X

(2)6(4,0),^(-12,0)

【分析】本题考考查反比例函数与一次函数的综合，掌握函数图像性质，利用数形结合思想

答案第9页，共21页

解题是关键；

(1)利用待定系数法求解函数解析式；

(2)设P(x,O),然后根据三角形面积公式列方程求得C点坐标，从而利用待定系数法求解

函数解析式.

【详解】(1)把C(T,O)代入丁=履+2中

得：-4%+2=0,

解得：4=

，一次函数的解析式为y=；》+2；

把A(2,〃)代入y=gx+2中

n=3,

A(2,3),

k

设反比例函数的解析式为y=*,

X

k

把A(2,3)代入y=£中

得左=6,

・・•反比例函数的解析式为y=J

X

(2)设尸(X，O)

当尤=0时，y=2,

8(0,2),

WB=2,

c(y0),

CP=\x-(-4^=\x+4\,

■■^AFAE=S&PEC-S&FEC=4,

g|x+4|x3-Jx+4|x2=4,

|%+4|=8,

&=4,x2=-12,

.•.《(4,0),£(T2,0)

答案第10页，共21页

18.(1)6

吗

【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有

可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知

识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

(1)利用直接列举得到所有的情况即可得出答案；

(2)列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求

解即可.

【详解】(1)解：学生小李计划选修两门课程，他所有可能的选法有：AB,AC,AD,BC、

BD、CD,共6种，

故答案为：6；

(2)解：根据题意列表如下：

/

杜

ABcD

/

李

A(A⑷(B，A)(C，A)。A)

B(AB)(B，B)(C，B)①，B)

C(AC)(B，C)(C,C)(D0

D(40(B，0(C，0。0

由列表可知：共有16种情况，并且它们出现的机会均等，其中恰好选到同一门课程的情况

有4种：(AA),(B,B),(C,C),(D,D),

41

•••P(恰好选到同一门课程)

164

答案第11页，共21页

(2)9.

【分析】(1)证明曲s.AED,利用相似三角形的对应边成比例即可求出x与y的关系式；

(2)把x=2石代入丫=逑中求出了=布，然后利用勾股定理分别求出8。和AD的长即

X

可求解.

【详解】(1)•：DEIBC,DFLAC

：.NDEB=ZAFD=90。

：.NB+NBDE=90。

•・•ZC=90°

.'.ZB+ZA=90°

:.ZBDE=ZA

：・_DEBs二AFD

.DEBE

**AF-DF

.x_2\/6

FF

xy=6A/2

.60

・,y=-----

X

四边形DECF的面积为6&

(2)当OE=2G时

把x=2垢代入丫=述中

X

得y=巫

,DF=y/6

在RtABDE中

BD=^BE2+DE2=6

同理：A£)=3

AB^BD+AD^9

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，余角的性质，勾股定理，求函数解析式等知

答案第12页，共21页

识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

20.⑴见解析；

(2)3万.

【分析】本题考查了切线的判定，求弧长；

(1)如图，连接OC,OD,证明NOCF=90。即可；

(2)设。的半径为一,在RtACO厂中，勾股定理可得r=6,再根据弧长公式可解决问

题.

【详解】(1)证明：连接OC

CF=EF

.\ZCEF=ZECF

OD1AB

:,ZDOE=90°,

;./ODE+/OED=90°,

OD=OC,

:./ODE=/OCD,

ZCEF=ZOED,

;./OED=/ECF,

ZOCD+AECF=9Q0,

即/OCF=90。,

/.OC1CF,

.•.CF是O的切线.

D

第20题图

(2)设。的半径为

答案第13页，共21页

BF=4,

：.OF=r+4,

在RtOC/中，

OF2=OC2+CF2,

A(r+4)2=r2+82,

解得：r=6,

,-.rrr八-rmr90^x60

・・弧BD的校为——-==3万.

18ulol)

21.(1)见解析；(2)|A/5；(3)见解析.

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，格点作图

(1)证明,CDGsBAF,得到NC=/B,推出/3+/CDG=90。，即/阻＞=90。，即可;

4rAP

(2)勾股定理求出A3的长，证明△ACESABDE,得到一=一二：,进一步求解即可;

BDBE2

(3)仿照题干给定的方法，进行构造即可.

解题的关键是构造相似三角形，确定线段之间的数量关系.

【详解】解：(1):瓷=!CG21

AF2BF42

.DGCG

••AF~BF'

9：ZAFB=ZDGC=90°,

：・_CDGsBAF,

：.NC=ZB,

・・・NC+NCDG=90。，

：.ZB+ZCDG=90%

：./BED=90。,

：.AB±CD；

⑵在RtAB尸中AB=VAF2+BF2=2A/5，

AC//BF,

:.△ACEs/\BDE,

.AC_AE_3

••茄—蔗―5'

答案第14页，共21页

3

AE=-AB,

5

2A—

AE=±x2占

55

.•.点M,N就是A3的三等分点.

84

22.(1)见解析；⑵AB2=AF2+BD2,证明见解析；⑶—.

【分析】(1)证明COF(SAS),推出NDBO=ZFCO,得到屈〃FC,即可证明

FCYAC-,

(2)证明/DG尸=90。，推出NAFC=90。，利用勾股定理求得4c?=4尸2+cP,等量代

换即可得解；

(3)证明AASG四△CAF,推出AG=CF=3D,在Rt^ABG中，由勾股定理求得AG=5,

证明△BGZ/s^cFH,利用相似三角形的性质求得逑，在Rt^HBG中，由勾股

17

定理即可求解.

【详解】解：(1):尸。是线段。。绕着点。旋转180。得到的，

DO=FO,NBOD=ZCOF,

是8C的中点,

BO=CO,

答案第15页，共21页

・・.BOD^COF(SAS),

:.ZDBO=ZFCOf

：.BE//FC,

9：BEVAC,

：.ZBEC=90°,

：.ZFCE=9Q09

：.FC±AC；

⑵AB2=AF2+BD2^

图2

由(1)可知：DO=FO,ABOD白△COF,BD//FC,

：.BD=CF,

•：OG=OD,

:.OG=OD=OF,

：.ZODG=ZOGD,ZOFG=ZOGFf

:ZODG+ZOGD+ZOFG-^-ZOGF=180°,

・•・ZOGD+ZOGF=90°,

即NOG尸=90。，

,:BD〃FC,

：.ZAFC=90°,

JAC2=AF2+CF2,

*：AB=AC,

:.AB2=AF2+BD2；

(3)VZBAC=90°,ZBGA=ZAFC=90°,

答案第16页，共21页

・•・ZABG=90°-ZBAG=ZCAF,

*：AB=AC,

：.△ABG且ZXC4F,

・・・AG=CF,

:.AG=CF=BD,

在Rt^ABG中，由勾股定理得AB2=AG2+"2,gpi32=AG2+(7+AG)2,

解得AG=5（负值已舍）,

:.AG=CF=BD=5,

BG〃FC,

：.AGBH=ZFCH,ZBGH=ZCFH,

△BGHs/^CFH,

CFCH

ZBAC=90°,AB=AC=13,

•'­BC=V132+132:130，

51342-BH

577-BH

解得="逑

17

在Rt^HBG中，由勾股定理得GH=，552—BG?=/156近］_122=84.

t17JI?

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与

性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的混合运算.正确引出辅助线解决问

题是解题的关键.

13

23.(l)y=—QX9+—x+2,(—1,0)；

(2)3+'万或3一J万或3+屈成3-屈

2222

517113

⑶存在,)

【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线解析式，然后再计算点A的坐标;

答案第17页，共21页

13

(2)根据题意，可得点E(x,-：/+。工+2),首先解得ABC的面积，然后结合三角形中线的

性质可得SBCD=；SABC=：，易知SABE=：X5X_；Y+；X+2=1,然后求解即可获得答

案；

(3)分两种情况讨论：①当线段3P在y轴下方时，过点C作CWL3P于点H,过点H作

轴，过点B作3NLMH交的延长线于点N,首先证明,MCHqNHB,由全

等三角形的性质可得MW=NS,CM=HN,设点小。力)，贝!]CM=2-6,MH=a,

HN=4-a,NB=—b,易得「一“：4一"，求解可得点H的坐标，进一步利用待定系数法

[a=­b

解得直线3尸的解析式，然后将将直线成的解析式和抛物线解析式联立，消去并整理并

求解，即可确定点尸坐标；②当线段3P在y轴上方时，取点a关于x轴的对称点H，，作直

线即/'交抛物线与点P,由对称的性质易得点"'坐标，再利用待定系数法解得直线的

解析式，然后将将直线3尸'的解析式和抛物线解析式联立，消去y,并整理并求解，即可确

定点p坐标.

【详解】(1)解：将点8(4,0)、CQ2)代入抛物线＞=一：工2+陵+。，

(1(3

0=——%492+4b+c.,b=—

可得＜2,解得＜2,

2=cc=2

13

；•该抛物线解析式为J=--%2+|X+2,

13

令y=o,贝ij有一/2+5》+2=(),

解得占=T,尤2=4,

.,.点A的坐标为(-1,0)；

(2)的横坐标为x,

.13

・・E(x,—X27—%+2),

22

・.・A(-l,0),B(4,0),C(0,2),

AAB=5,OC=2,

：.S,„=-ABxOC=-x5x2=5,

ABrC22

。是AC的中点，

答案第18页，共21页

•c__Lc__

,•uBCD-2ABC-2，

1

-1x5,x—x2H-3x+。2=5—.

2222

--x2+—x+2=1,

22

iQ13

——%2+―%+2=1或——x2+—x+2=-1,

2222

即X的值为2±且或近或三叵或三