《专题复习11随机事件的概率与事件的相互独立性》重难点突破及同步训练

《专题11随机事件的概率与事件的相互独立性》重难点突破一、考情分析二、考点梳理考点一概率与频率(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率.(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).考点二事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅P(A∪B)＝1考点三概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).【知识必备】1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件eq\o(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.2.概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).三、题型分析重难点题型突破一随机事件的关系例1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球【变式训练1-1】．从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球【变式训练1-2】．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等重难点题型突破二随机事件的频率与概率例2．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为型，型，型，型.现有一血液为型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为（）A． B．C． D．【变式训练2-1】．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A． B． C． D．【变式训练2-2】．某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（）A． B． C． D．【变式训练2-4】．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验.其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次.（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是__________；（2）请你估计袋中红球接近__________个.【变式训练2-5】．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在内的频数为______，数据落在内的概率约为______.重难点题型突破三互斥事件与对立事件的概率例3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒不全是黑子的概率是（）A． B． C． D．【变式训练3-1】．已知随机事件A，B互为对立事件，且，则___________.例4．从40张扑克牌(红桃､黑桃､方块､梅花，点数从1~10各1张)中，任取一张.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.【变式训练4-1】．2019年中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响，据有关权威机构公布的数字显示，从3月市场零售猪肉由原均价25元/公斤开始上涨，一直到10月最高零售均价超过70元/公斤，然后回落到一个高价区域范围内上下波动.在12月份的某一天，M市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底，随机抽样调查了100家超市了解情况，得到这些超市在当天的猪肉零售均价x的频数分布表如表：猪肉零售均价x超市家数42350158（1）请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例和零售均价小于50元公斤的超市比例；（2）求该市在当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01，且)【变式训练4-2】．某商店为了吸引顾客，设计了两种摸球活动奖励方案．先制作一个不透明的盒子，里面放有形状大小完全相同的4个白球和2个红球．方案一：不放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满300元摸一次，最终根据顾客摸到的红球个数发放奖金，如表格所示．红球个数012奖金0元30元75元方案二：可放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满200元摸一次，每摸到一个红球奖励15元．（1）若顾客甲消费的金额为600元，且选择了方案一，求甲获得奖金数为30元的概率；（2）若顾客乙消费的金额为800元，但他可以在摸出第一个球后，根据所摸出球的颜色，再决定执行方案一或方案二继续摸球．请从奖金数期望最大的角度为顾客乙制定第一次摸球后的方案选择，并说明理由．《专题11随机事件的概率与事件的相互独立性》重难点突破答案解析三、题型分析重难点题型突破一随机事件的关系例1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球【答案】C【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，逐项判断.【详解】A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，故错误；故选：C【变式训练1-1】．从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球【答案】B【分析】根据互斥事件的定义即可判断．【详解】将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥．故选：B．【变式训练1-2】．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等【答案】C【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断.【详解】显然事件A和事件B不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.故选：C.重难点题型突破二随机事件的频率与概率例2．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为型，型，型，型.现有一血液为型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可知，能为型病人输血的有型和型，将对应的频率相加可得结果.【详解】由题意可知，能为型病人输血的有型和型，因此，在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为.故选：D.【变式训练2-1】．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用互斥事件概率的加法公式，即可求解甲不输的概率，得到答案.【详解】由题意，甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，根据互斥事件的概率加法公式，可得甲不输的概率为.故选：A.【变式训练2-2】．某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得出：因为直接受A感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，，，中恰有两人直接受感染为事件．由此可计算出概率．【详解】设直接受A感染为事件B、C、D，则事件B、C、D是相互独立的，，，，表明除了外，二人中恰有一人是由A感染的，所以，所以B、C、D中直接受A传染的人数为2的概率为，故选：C.【变式训练2-4】．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验.其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次.（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是__________；（2）请你估计袋中红球接近__________个.【答案】15.【分析】（1）先阅读题意，再求出从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的频率，再求出其概率即可；（2）由从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率求出袋中红球的个数即可.【详解】解：（1）∵20×400＝8000，∴摸到红球的概率为：＝0.75，因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是；（2）设袋中红球有x个，根据题意得：＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解.∴估计袋中红球接近15个.故答案为：；15.【点睛】本题考查了频率与概率的概念，重点考查了阅读能力，属基础题.【变式训练2-5】．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在内的频数为______，数据落在内的概率约为______.【答案】64.0.32.【分析】（1）根据矩形面积表示频率，再根据公式，计算频数；（2）转化为求数据落在内的频率.【详解】由题图易知组距为4，故样本数据落在内的频率为，频数为，故数据落在内的概率约为0.32.故答案为：64；0.32【点睛】本题考查频率分布直方图的简单应用，理解频率和概率，属于基础题型.重难点题型突破三互斥事件与对立事件的概率例3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒不全是黑子的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用对立事件的概率公式求解即可.【详解】设事件“从围棋盒子中取出2粒都是黑子”为，则，因为事件“从围棋盒子中取出2粒都是黑子”与事件“从围棋盒子中取出2粒不全是黑子”是对立事件，所以事件“从围棋盒子中取出2粒不全是黑子”为，因为，所以，故选：D.【变式训练3-1】．已知随机事件A，B互为对立事件，且，则___________.【答案】【分析】根据对立事件的概率关系可求.【详解】因为随机事件A，B互为对立事件，故，而故，故，故答案为：.例4．从40张扑克牌(红桃､黑桃､方块､梅花，点数从1~10各1张)中，任取一张.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.【答案】（1）是互斥事件，不是对立事件，理由见解析；（2）既是互斥事件，又是对立事件，理由见解析；（3）不是互斥事件，也不是对立事件，理由见解析.【分析】利用互斥事件和对立事件的定义分别判断即可【详解】解：（1）是互斥事件，不是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.（2）既是互斥事件，又是对立事件.理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.（3）不是互斥事件，也不是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.【变式训练4-1】．2019年中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响，据有关权威机构公布的数字显示，从3月市场零售猪肉由原均价25元/公斤开始上涨，一直到10月最高零售均价超过70元/公斤，然后回落到一个高价区域范围内上下波动.在12月份的某一天，M市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底，随机抽样调查了100家超市了解情况，得到这些超市在当天的猪肉零售均价x的频数分布表如表：猪肉零售均价x超市家数42350158（1）请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例和零售均价小于50元公斤的超市比例；（2）求该市在当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01，且)【答案】（1）零售价均不低于54元/公斤的超市比例为23%，零售价均小于50元/公斤的超市比例为4%；（2）平均数与标准差的估计值分别为53(元/公斤)与1.65(元/公斤).【分析】（1）直接由频率分布表可得百分比；（2）由平均数与标准差的计算公式计算即可.【详解】（1）根据各超市的猪肉零售价的频数分布表，得所调查的100家超市在当天零售价均不低于54元/公斤的超市频率为，零售价均小于50元/公斤的超市的频率为；用样本频率分布估计总体分布，得该市在当天的猪肉零售价均不低于54元/公斤的超市比例为23%，零售价均小于50元/公斤的超市比例为4%；（2）依题意，(元/公斤).，则(元/公斤).故该市在当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值分别为53(元/公斤)与1.65(元/公斤).【变式训练4-2】．某商店为了吸引顾客，设计了两种摸球活动奖励方案．先制作一个不透明的盒子，里面放有形状大小完全相同的4个白球和2个红球．方案一：不放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满300元摸一次，最终根据顾客摸到的红球个数发放奖金，如表格所示．红球个数012奖金0元30元75元方案二：可放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满200元摸一次，每摸到一个红球奖励15元．（1）若顾客甲消费的金额为600元，且选择了方案一，求甲获得奖金数为30元的概率；（2）若顾客乙消费的金额为800元，但他可以在摸出第一个球后，根据所摸出球的颜色，再决定执行方案一或方案二继续摸球．请从奖金数期望最大的角度为顾客乙制定第一次摸球后的方案选择，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）获得30元的情况有两种：第一次抽红球、第二次抽白球；或者第一次抽白球、第二次抽红球.当然也可以理解为“从6个球里一次性抽2个球，一红一白的概率”.（2）第一次摸出的可能是红球、也可能是白球，需要分类讨论；根据第一次摸出的球，还需要分别讨论方案一、方案二并计算各自的期望，选出最优方案.【详解】（1）根据题意，甲可以不放回地摸2次球，记甲获得奖金数为，则．（2）若乙第一次摸出的球为红球，若选择方案一：乙还要摸球一次，乙摸出红球的概率是，白球的概率是，所以获得奖金数的期望为，若选择方案二：乙还要摸球三次，根据题意，这三次乙摸到红球的个数服从二项分布，此时乙获得奖金数的期望为．因此，选择方案一．若乙第一次摸出的球为白球，若选择方案一：乙还要摸球一次，乙获得奖金数的期望为，若选择方案二：乙还要摸球三次，根据题意，这三次乙摸到红球的个数服从二项分布，此时乙获得奖金数的期望为．因此，选择方案二．综上，乙第一次摸出的球为红球时，选择方案一；乙第一次摸出的球为白球时，选择方案二.【点睛】二项分布：有放回抽样，每次抽取的概率是一样的，n次独立重复试验.超几何分布：不放回抽样，每次抽取概率不一样.《专题11随机事件的概率与事件的相互独立性》同步训练A组基础巩固1．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶 D．只有1次中靶2．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为（）A． B． C． D．3．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为（）A．“都是红球”与“至少1个红球”B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”C．“至少1个白球”与“至多1个红球”D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”4．某部三册的小说，任意排放在书架上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为（）A． B． C． D．5．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2．小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为（）A． B． C． D．6．京剧脸谱，是一种具有中国文化特色的特殊化妆方法.由于每个历史人物或某一种类型的人物都有一种大概的谱式，就像唱歌､奏乐都要按照乐谱一样，所以称为“脸谱”.脸谱的主要特点有三点：美与丑的矛盾统一，与角色的性格关系密切，其图案是程式化的.在京剧中，并不是每个人物都要勾画脸谱，脸谱的勾画要按照人物角色的分类来进行.京剧的角色主要分为“生”“旦”“净”“丑”四种，其中“净”和“丑”需要画脸谱，“生”“旦”只略施脂粉，俗称“素面”.现有男生甲､乙和女生丙共三名同学参加学校京剧社团的角色扮演体验活动，其中女生丙想扮旦角，男生甲想体验画脸谱的角色，若三人各自独立地从四个角色中随机抽选一个，则甲､丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角色的概率为（）A． B． C． D．7．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1.如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6，7，8，9中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为（）A． B． C． D．8．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中不含宫和羽的概率为（）A． B． C． D．9．某人要从甲､乙等四位好友中，随机邀请两位一同去观看体育比赛，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是（）A． B． C． D．10．“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如图六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对两袋垃圾的概率为（）A． B． C． D．11．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个(为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）A． B． C． D．12．杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的含《新安吏》和《无家别》的概率是（）A． B． C． D．13．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率；（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为，所以.请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．B组能力提升14．（多选题）下列命题中是真命题的是（）A．做7次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有4次出现正面，因此出现正面的概率是B．盒子中有大小均匀的3个黑球，2个白球，1个红球，则每种颜色被摸到的可能性相同C．从-4，-3，-2，-1，0，1，2中任取一个数，取得小于0的概率大于取得不小于0的概率D．分别从2名男生，2名女生中各选一名作为代表，则每名学生被选中的可能性相同15．（多选题）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为16．（多选题）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计生活垃圾，经分拣以后统计数据如表（单位：）．根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（）“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收垃圾3024030其他垃圾202060A．厨余垃圾投放正确的概率为B．居民生活垃圾投放错误的概率为C．该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为1800017．（多选题）一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球.下面几个命题中正确的是（）A．如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件B．如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率C．如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是D．如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是18．（多选题）如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（）A．甲从到达处的方法有120种B．甲从必须经过到达处的方法有9种C．甲、乙两人在处相遇的概率为D．甲、乙两人相遇的概率为19．（多选题）做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.（1）求这个试验样本点的个数；（2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.20．（多选题）在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：（1）他获得优秀的概率为多少；（2）他获得及格及及格以上的概率为多少.21．（多选题）《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上影，该片上影标志着中国电影科幻元年的到来；为了振救地球，延续百代子孙生存的希望，无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进.某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：评分12345678910频率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36（1）求观众评分的平均数？（2）视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好是10分的概率是多少？22．（多选题）某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．（1）求事件A包含的基本事件；（2）写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件．《专题11随机事件的概率与事件的相互独立性》同步训练答案解析A组基础巩固一、单选题1．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶 D．只有1次中靶【答案】C【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，故选：C.2．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有种结果，满足条件的事件是点数之和是7，可以列举出所有的事件，共有6种结果，得到概率．【详解】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有种结果，满足条件的事件是点数之和是7，可以列举出所有的事件，，，，，，，共有6种结果，根据古典概型概率公式得到.故选：C．3．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为（）A．“都是红球”与“至少1个红球”B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”C．“至少1个白球”与“至多1个红球”D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”【答案】D【分析】分析每个选项中的两个事件是否有共同的基本事件判断并作答.【详解】对于A选项：“至少1个红球”的事件中含有“都是红球”这一事件，即两个事件可以同时发生，A中的两个事件不互斥；对于B选项：“恰有2个红球”和“至少1个白球”的事件中都含有“两红球，一白球”的事件，B中的两个事件不互斥；对于C选项：“至少1个白球”与“至多1个红球”的事件中都含有“三白球”与“一红球，两白球”的两个事件，C中的两个事件不互斥；对于D选项，3个球中“2个红球，1个白球”的事件与“2个白球，1个红球”的事件不可能同时发生，是互斥事件，所以两个事件是互斥事件的为D.故选：D4．某部三册的小说，任意排放在书架上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据全排列求出总事件的种数，再找出满足条件的种数，结合概率公式即可.【详解】所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，所以p＝..故选B．5．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2．小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先列出所以可能的基本事件，再利用古典概型概率公式计算可得；【详解】解：抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)共四种，其中随机数之和为3的情况有(1，2)，(2，1)两种，故所求概率为．故选：A6．京剧脸谱，是一种具有中国文化特色的特殊化妆方法.由于每个历史人物或某一种类型的人物都有一种大概的谱式，就像唱歌､奏乐都要按照乐谱一样，所以称为“脸谱”.脸谱的主要特点有三点：美与丑的矛盾统一，与角色的性格关系密切，其图案是程式化的.在京剧中，并不是每个人物都要勾画脸谱，脸谱的勾画要按照人物角色的分类来进行.京剧的角色主要分为“生”“旦”“净”“丑”四种，其中“净”和“丑”需要画脸谱，“生”“旦”只略施脂粉，俗称“素面”.现有男生甲､乙和女生丙共三名同学参加学校京剧社团的角色扮演体验活动，其中女生丙想扮旦角，男生甲想体验画脸谱的角色，若三人各自独立地从四个角色中随机抽选一个，则甲､丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角色的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出总数，由于独立的选择互不影响，故共有种结果，再分甲如愿和甲不如愿乙如愿两种情况进行讨论，即可得解.【详解】三人选角的不同结果共种，若甲如愿，则已满足题意，故乙､丙可随机选择，此种情况包含甲丙都如愿，此时共种；若甲未如愿，则丙必选旦角，则甲选生角或旦角，乙只能选净角或丑角，共种；所求概率为，故选：B.7．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1.如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6，7，8，9中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设的运算方法，分别确定6，7，8，9四个数的运算次数，应用古典概型的概率求法求任取2个数至少有1个数的运算次数为奇数的概率即可.【详解】1、正整数6的运算过程为6→3→10→5→16→8→4→2→1，运算次数为8；2、正整数7的部分运算过程为7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10，当此运算次数为10，结合正整数6的运算过程知：正整数7总的运算次数为；3、正整数8的运算次数为3；4、正整数9的部分运算过程为9→28→14→7，当此运算次数为3，结合正整数7的运算过程知：正整数9总的运算次数为.∴6，7，8，9的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数，从6，7，8，9中任取2个数，所有的情况有种，其中至少有1个数的运算次数为奇数的情况有种，故所求概率，故选：D.【点睛】关键点点睛：依照题设运算规则分别求出6，7，8，9的运算次数，结合分类分步计数求任取2个数至少有1个数的运算次数为奇数的情况种数，应用古典概型的概率求法求概率.8．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中不含宫和羽的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序的基本事件总数，其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数，然后由古典概率计算公式可得答案.【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，基本事件总数，其中这个音序中不含宫和羽的基本事件个数.则这个音序中不含宫和羽的概率为.故选：A.9．某人要从甲､乙等四位好友中，随机邀请两位一同去观看体育比赛，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】基本事件总数，其中甲和乙中至少有一人被邀请包含的基本事件个数，由此能求出甲和乙中至少有一人被邀请的概率．【详解】解：某人要从甲、乙等四位好友中，随机邀请两位一同去观看体育比赛，基本事件总数，其中甲和乙中至少有一人被邀请包含的基本事件个数，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是．故选：．10．“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如图六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对两袋垃圾的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】任选两袋投对的组合种，其它4个元素，再求出6袋任意投的总方法数，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有种方法，任意两袋种组合投对时，其他个元素全错位，∴概率为.故选：D.11．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个(为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设男､子､伯､侯､公各分得个橘子，即可求，根据每人分到橘子且为正整数即可确定其可能取值，由“子”恰好分得13个橘子可得m值，进而求概率即可.【详解】设男､子､伯､侯､公各分得个橘子，∴由题意有：，即，又且为正整数，∴，若“子”恰好分得13个橘子，则，即.∴“子”恰好分得13个橘子的概率为.故选：B12．杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的含《新安吏》和《无家别》的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列举法求得总的选法种数和符合条件的选法种数，从而可得答案.【详解】《新安吏》、《石壕吏》、《潼关吏》分别记为a、b、c,《新婚别》、《无家别》、《垂老别》分别记为d、e、f,从“三史”中选两篇，从“三别”中选一篇，有:abd,abe,abf；acd,ace,acf；bcd,bce,bcf,共计9种不同的结果,每种结果都是等可能的，其中含《新安史》和《无家别》的选法有abe,ace，共有2种，∴所求概率为,故选：A.13．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率；（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为，所以.请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．【答案】（1）0.56；（2）0.38；（3）0.94.【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式即可求解；（2）恰有一人破译密码有两种情况：甲破译且乙没有破译和甲没有破译且乙破译，由互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式即可求解；（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，和不是互斥事件，，由此能求出密码被破译的概率．【详解】解：（1）由题意可知，，且事件A，B相互独立，事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为，所以；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且，互斥所以（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，和不是互斥事件，，小明求解时没有减掉甲、乙同时破译的概率，正确解法为：．B组能力提升14．（多选题）下列命题中是真命题的是（）A．做7次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有4次出现正面，因此出现正面的概率是B．盒子中有大小均匀的3个黑球，2个白球，1个红球，则每种颜色被摸到的可能性相同C．从-4，-3，-2，-1，0，1，2中任取一个数，取得小于0的概率大于取得不小于0的概率D．分别从2名男生，2名女生中各选一名作为代表，则每名学生被选中的可能性相同【答案】CD【分析】根据题意求出各试验事件发生的概率，逐一判断即可得出选项.【详解】解析：A中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是，故错误；B中，摸到黑球､白球､红球的可能性分别为，，，故错误，C中，取得小于0的概率为，取得不小于0的概率为，故正确；D中，每名学生被选中的可能性都为，故正确.故选：CD.15．（多选题）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为【答案】ACD【分析】利用独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率公式求出各选项中事件的概率，进而可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项正确；对于B选项，个球不都是红球的概率为，B选项错误；对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项正确；对于D选项，个球中恰有个红球的概率，D选项正确.故选：ACD.16．（多选题）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计生活垃圾，经分拣以后统计数据如表（单位：）．根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（）“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收垃圾3024030其他垃圾202060A．厨余垃圾投放正确的概率为B．居民生活垃圾投放错误的概率为C．该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为18000【答案】ABC【分析】由表依次算出各类垃圾投放正确的概率，再算出厨余垃圾在各垃圾箱投放量的均值和方差即可.【详解】对于A：厨余垃圾的投放的正确的概率为，故A正确；对于B：居民生活垃圾的投放的错误概率，故B正确；对于C：该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是“可回收垃圾”，故C正确；对于D：厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数，所以，故D错误．故选：ABC．17．（多选题）一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球.下面几个命题中正确的是（）A．如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件B．如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率C．如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是D．如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是【答案】CD【分析】对于A，利用对立事件的概念判断即可；对于B，分别计算出第2次取到红球的概率和第1次取得红球的概率进行比较即可；对于C，有放回地抽取，取出1个红球1个白球包括第1次为红球第2次为白球、第1次为白球第2次为红球，然后求出概率；对于D，有放回地抽取，至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球包括第1次红球第2次白球、第1次白球第2次红球、两次都是红球，从而可求得其概率【详解】对于A，不放回地抽取两个球，包括两个都是红球、两个都是白球和一个红球一个白球，共3种情况，所以取出两个红球和取出两个白球不是对立事件，所以A错误；对于B，不放回地抽取，第2次取到红球的概率为，第1次取得红球的概率为，所以第2次取到红球的概率等于第1次取到红球的概率，所以B错误；对于C，有放回地抽取，取出1个红球1个白球包括第1次为红球第2次为白球、第1次为白球第2次为红球，所以所求概率为，所以C正确，对于D，有放回地抽取，至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球包括第1次红球第2次白球、第1次白球第2次红球、两次都是红球，所以所求概率为，所以D正确，故选：CD18．（多选题）如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（）A．甲从到达处的方法有120种B．甲从必须经过到达处的方法有9种C．甲、乙两人在处相遇的概率为D．甲、乙两人相遇的概率为【答案】BD【分析】对选项A，利用组合数原理即可判断A错误，对选项B，利用分步计数原理即可判断B正确，对选项C，利用古典概型公式计算即可判断C错误，对选项D，首先计算甲、乙两人相遇的走法数，再利用古典概型公式计算即可得到D正确.【详解】对选项A，甲从到达处，需要走步，其中向上步，向右步，所以从到达处的方法有种，故A错误.对选项B，甲从到达，需要走步，其中向上步，向右步，共种，从到达，需要走步，其中向上步，向右步，共种，所以甲从必须经过到达处的方法有种，故B正确.对选项C，甲经过的方法数为，乙经过的方法数为，所以甲、乙两人在处相遇的方法数为种，故甲、乙两人在处相遇的概率，故C错误.对选项D，甲、乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3步，乙经过处，则前三步必须向左走，两