2024届辽宁省沈阳市中考数学适应性模拟试题含解析

2024届辽宁省沈阳市南昌中学中考数学适应性模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在正方形45。中，E为A8的中点，G,F分别为AO、8c边上的点，若AG=LBF=2,ZGEF=90°,则

2.如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）

4.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简|a+cHa-2b|-|c+2bl的结果是（）

1

A.4b+2cB.0C.2cD.2a+2c

5.一个圆锥的底面半径为°,母线长为6,则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（）

2

A.180°B.150°C.120°D.90°

6.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进

件数比第一批多40%,每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x

件衬衫，则所列方程为（）

10000147001000014700

A，x1U-(l+40%)xx+”(1+40%口

1°°°°147001°°°°14700

°(1—40%)x1。-xD-(l-40%)x+10=x

7.如图，正六边形ABCDEF内接于。O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM的长为（）

A.2B.273C.6D.473

8.如图，在AABC中，AB=AC,5C=4,面积是16,AC的垂直平分线硬分别交AC,边于E,尸点，若点。

为8C边的中点，点〃为线段EE上一动点，则ACDM周长的最小值为（）

C.10D.12

9.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外

一点有且只有一条直线与已知直线垂直;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.为了解某小区小孩暑期的学习情况，王老师随机调查了该小区8个小孩某天的学习时间，结果如下（单位：小时）:

1.5,1.5,3,4,2,5,2.5,4.5,关于这组数据，下列结论错误的是（）

A.极差是3.5B.众数是1.5C.中位数是3D.平均数是3

11.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有（）个0.

O

OO

OOO

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

OOOO

第1个第2个第3个幽个

A.6055B.6056C.6057D.6058

12.如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确

解释这一现象的数学知识是（）

A.垂线段最短B.经过一点有无数条直线

C.两点之间，线段最短D.经过两点，有且仅有一条直线

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.ABC中，AB=15,AC=13,高">=12,则ABC的周长为«

14.受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展.预计达州市2018年快递业务量将达到5.5

亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为

15.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E、F,若

点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,尸分别在x轴、y轴上，ZAPO=30°.先将线段BL沿y轴翻折得到线

段PB,再将线段如绕点P顺时针旋转30。得到线段PC,连接BC.若点A的坐标为（-1,0）,则线段BC的长为

17.如图，在梯形ACDB中，AB//CD,NC+ND=90。，AB=2,CD=8,E,F分别是AB,CD的中点，贝EF=

18.若一个多边形的每一个外角都等于40。，则这个多边形的内角和是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的

方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问

题：

就统堰副统十图

“基本了解，，部分所对应扇形的圆心角为度；请补全条形统计图；若该中学共有学生900人，请根据上述调查结

果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数.

20.（6分）如图，ZA=ZB=30°

（1）尺规作图：过点C作CD±AC交AB于点D；

（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）

21.（6分）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升

费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用』为625万元，乙种套房费用为700万元.

（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？

（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于

甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？

（3）在（2）的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高a万元

（a>0）,市政府如何确定方案才能使费用最少？

22.（8分）综合与实践——折叠中的数学

在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究.

问题背景：

在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的动点，且BE=DF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在

点处，点D落在点D，处，射线EO与射线DA相交于点M.

猜想与证明：

(1)如图1,当EO与线段AD交于点M时，判断△MEF的形状并证明你的结论；

操作与画图：

(2)当点M与点A重合时，请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形(要求：尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹，标注相应的字母)；

操作与探究：

(3)如图3,当点M在线段DA延长线上时，线段分别与AD,AB交于P,N两点时，CE与AB交于点Q,

连接MN并延长MN交EF于点O.

求证：MO_LEF且MO平分EF；

(4)若AB=4,AD=46,在点E由点B运动到点C的过程中，点D，所经过的路径的长为

23.(8分)如图，ABAO是由ABEC在平面内绕点8旋转60。而得，BE=CE,连接。E.求证:

4BDE公ABCE；试判断四边形A3EO的形状，并说明理由.

24.(10分)综合与探究

如图，抛物线y=-走必-冬8%+6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,直线1经过

33

B,C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM,将线段MC绕点M顺时针旋转

90。得到线段MD,连接CD,BD.设点M运动的时间为t(t>0),请解答下列问题：

(1)求点A的坐标与直线1的表达式；

（2）①直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线1上时的t的值;

②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；

（3）在点M运动的过程中，在直线1上是否存在点P,使得ABDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标;

若不存在，请说明理由.

25.（10分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQLBE于点Q,DPLAQ于点P.求证：AP=BQ；

在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.

26.（12分）2019年我市在“展销会”期间，对周边道路进行限速行驶.道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）.已

知C、D、B在同一条直线上，且ACL3C,CD=400米，tanZADC=2,N4BC=35。.求道路AB段的长；（精确到1

米汝口果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由.（参考数据：

sin35°«0.57358,cos35°«0.8195,tan35°«0.7）

AB

3

27.（12分）某纺织厂生产的产品，原来每件出厂价为80元,成本为60元.由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.5m

的污水排出，现在为了保护环境，需对污水净化处理后再排出.已知每处理In?污水的费用为2元，且每月排污设备损耗为

8000元.设现在该厂每月生产产品x件，每月纯利润y元：

（1）求出y与x的函数关系式.（纯利润=总收入-总支出）

（2）当y=106000时，求该厂在这个月中生产产品的件数.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

•••四边形ABCD是正方形，

.,.ZA=ZB=90°,

/.ZAGE+ZAEG=90°,ZBFE+ZFEB=90°,

VZGEF=90°,

...NGEA+NFEB=90°,

/.ZAGE=ZFEB,ZAEG=ZEFB,

/.△AEG^ABFE,

.AEAG

••一,

BFBE

又；AE=BE,

.*.AE2=AG»BF=2,

/.AE=V2（舍负），

/.GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=l+2+2+4=9,

AGF的长为3,

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEGSABFE.

2、A

【解析】

分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

详解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，

故选：A.

点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

3、B

【解析】

由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.

【详解】

A、C、O经过折叠均能围成正方体，3•折叠后上边没有面，不能折成正方体.

故选瓦

【点睛】

此题主要考查平面图形的折叠及正方体的展开图，熟练掌握，即可解题.

4、A

【解析】

由数轴上点的位置得：b<a<O<c,且|b|>|c|>|a|,

/.a+c>0,a-2b>0,c+2b<0,

则原式=a+c-a+2b+c+2b=4b+2c.

故选：B.

点睛：本题考查了整式的加减以及数轴，涉及的知识有：去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本

题的关键.

5、B

【解析】

解：27x3=3*,解得n=150°.故选B.

2180

考点：弧长的计算.

6,B

【解析】

根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可.

【详解】

解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：

10000—1470°_

丁+%+4。％)"

故选B.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键.

7、B

【解析】

分析：连接OC、OB,证出ABOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可.

详解：

如图所示，连接OC、OB

,/多边形ABCDEF是正六边形，

.,.ZBOC=60°,

VOC=OB,

.,.△BOC是等边三角形，

:.ZOBM=60°,

:.OM=OBsinNOBM=4x3=2G.

2

故选B.

点睛：考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出

OM是解决问题的关键.

8、C

【解析】

连接AD,AM,由于△ABC是等腰三角形，点D是BC的中点，故ADL3C,在根据三角形的面积公式求出AD的

长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C,MA=MC,推出

MC+DM^MA+DM>AD,故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论.

【详解】

连接AD,MA

•••△ABC是等腰三角形，点D是BC边上的中点

:.ADLBC

:.SAABC=-BC-AD=-x4xAD=16

22

解得AD=8

VEF是线段AC的垂直平分线

...点A关于直线EF的对称点为点C

■:AD<AM+MD

AAD的长为BM+MD的最小值

/.△CDM的周长最短

=(CM+MD)+CD

=AD+-BC

2

=8+-x4

2

=10

故选：c.

【点睛】

本题考查了三角形线段长度的问题，掌握等腰三角形的性质、三角形的面积公式、垂直平分线的性质是解题的关键.

9、C

【解析】

根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解.

【详解】

解:在同一平面内，

①过两点有且只有一条直线，故①正确；

②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；

③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，

综上所述，正确的有①③④共3个，

故选C.

【点睛】

本题考查了平行公理，直线的性质，垂线的性质，以及相交线的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键.

10、C

【解析】

由极差、众数、中位数、平均数的定义对四个选项一一判断即可.

【详解】

A.极差为5-1.5=3.5,此选项正确；

B.L5个数最多，为2个，众数是1.5,此选项正确；

C.将式子由小到大排列为：1.5,1.5,2,2.5,3,4,4.5,5,中位数为'x（2.5+3）=2.75,此选项错误；

2

D.平均数为：-x（1.5+1.5+2+2.5+3+4+4.5+5）=3,此选项正确.

8

故选C.

【点睛】

本题主要考查平均数、众数、中位数、极差的概念，其中在求中位数的时候一定要将给出的数据按从大到小或者从小

到大的顺序排列起来再进行求解.

11>D

【解析】

设第n个图形有a“个O（n为正整数），观察图形,根据各图形中O的个数的变化可找出"a“=l+3n（n为正整数）”，再代入

a=2019即可得出结论

【详解】

设第n个图形有小个0（"为正整数），

观察图形，可知：ai=l+3xl,02=1+3x2,03=1+3x3,44=1+3x4,…，

.'.a„=l+3n（n为正整数），

/•〃2019=1+3x2019=1・

故选：D.

【点睛】

此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到规律

12、C

【解析】

用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，

二线段AB的长小于点A绕点C到5的长度，

二能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，

故选C.

【点睛】

根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于

点A绕点C到8的长度，从而确定答案.本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础

知识，比较简单.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、32或42

【解析】

根据题意，分两种情况讨论：①若NACB是锐角，②若NACB是钝角，分别画出图形，利用勾股定理，即可求解.

【详解】

分两种情况讨论：

①若NACB是锐角，如图1,

VAB=15,AC=13,高AD=12,

•••在RtAABD中，AD~+BDr=AB2，

即：BD=y/AB2-AD2=A/152-122=9>

同理：CD=ylAC2-AD2=V132-122=5»

,ABC的周长=9+5+15+13=42,

②若NACB是钝角，如图2,

VAB=15,AC=13,高AD=12,

:.在RtAABD中，AD-+BD-=AB\

即：BD=yjAB2-AD2=A/152-122=9>

同理：CD=ylAC2-AD-=7132-122=5»

/.ABC的周长=9-5+15+13=32,

故答案是：32或42.

【点睛】

本题主要考查勾股定理，根据题意，画出图形，分类进行计算，是解题的关键.

14、5.5x1.

【解析】

分析：科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lw|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小

数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值VI时,

n是负数.

详解：5.5亿=550000000=5.5x1,

故答案为5.5x1.

点睛:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axl°n的形式，其中lw|a|V10,n为整数，表示时

关键要正确确定a的值以及n的值.

15、2

【解析】

连接AD交EF与点连结AM,由线段垂直平分线的性质可知AM=MB,则BM+DM=AM+DM,故此当A、M、

D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据

三角形的面积为12可求得AD的长.

【详解】

解：连接AD交EF与点连结AM.

•..△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

AADIBC,

11

ABC=-BC・AD=-x4xAD=12,解得AD=1,

22

VEF是线段AB的垂直平分线，

；.AM=BM.

/.BM+MD=MD+AM.

当点M位于点处时，MB+MD有最小值，最小值1.

AABDM的周长的最小值为DB+AD=2+1=2.

【点睛】

本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析.

16、2-

【解析】

只要证明4PBC是等腰直角三角形即可解决问题.

【详解】

解：VZAPO=ZBPO=30°,

...NAPB=60°,

VPA=PC=PB,ZAPC=30°,

.,.ZBPC=90°,

/.△PBC是等腰直角三角形，

VOA=1,NAPO=30。，

/.PA=2OA=2,

/.BC==PC=2

"■-

故答案为2「.

【点睛】

本题考查翻折变换、坐标与图形的变化、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明APBC是等腰直角

三角形.

17、3

【解析】

延长AC和BD,交于M点，M、E、F三点共线，EF=MF-ME.

【详解】

延长AC和BD,交于M点，M、E、F三点共线，VZC+ZD=90°,二4MCD是直角三角形，.-.MF=-CD,同理

2

ME=-AB,r.EF=MF-ME=4-l=3.

2

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边中线的性质.

18、12600

【解析】

根据任何多边形的外角和都是360度，先利用360。+40。求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n-2）・180。

计算即可求解.

【详解】

解：多边形的边数是：360。+40。=9,

则内角和是：(9-2)•和0。=1260。.

故答案为1260°.

【点睛】

本题考查正多边形的外角与边数的关系，求出多边形的边数是解题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)60,90；(2)见解析;(3)300人

【解析】

(1)由了解很少的有30人，占50%,可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应

扇形的圆心角；

(2)由(1)可求得了解的人数，继而补全条形统计图；

(3)利用样本估计总体的方法，即可求得答案.

【详解】

解：⑴•••了解很少的有很人,占50%,

接受问卷调查的学生共有：304-50%=60(人)；

二扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：—x360°=90°；

60

故答案为60,90；

(2)60-15-30-10=5；

补全条形统计图得：

翱前十图

则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人.

【点睛】

本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点.

20、见解析

【解析】

(1)利用过直线上一点作直线的垂线确定D点即可得；

(2)根据圆周角定理，由NACD=90。，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质得到NDCB=NA=30。，推出

△CDB-AACB,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】

(1)如图所示，CD即为所求；

(2)VCD1AC,

:.NACD=90。

；NA=NB=30。，

/.ZACB=120°

.,.ZDCB=ZA=30°,

VZB=ZB,

/.△CDB^AACB,

.BCAB

••=9

BDBC

.*.BC2=BD»AB.

【点睛】

考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质和作图：在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何

图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图

拆解成基本作图，逐步操作.

21、(1)甲：25万元；乙：28万元；(2)三种方案；甲种套房提升50套，乙种套房提升30套费用最少；(3)当a=3

时，三种方案的费用一样，都是2240万元；当a>3时，取m=48时费用最省；当0VaV3时，取m=50时费用最省.

【解析】

试题分析：(1)设甲种套房每套提升费用为x万元，根据题意建立方程求出其解即可；

(2)设甲种套房提升m套，那么乙种套房提升(80-m)套，根据条件建立不等式组求出其解就可以求出提升方案，

再表示出总费用与m之间的函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论；

（3）根据（2）表示出W与m之间的关系式，由一次函数的性质分类讨论就可以得出结论.

（1）设甲种套房每套提升费用为x万元，依题意，

得士—

UU4J

解得：x=25

经检验：x=25符合题意,

x+3=28；

答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元.

（2）设甲种套房提升套，那么乙种套房提升（m-48）套，

2如+28乂(80-M22090

依题意，得

25»i+28x(80-w)<2096

解得：48<m<50

即m=48或49或50,所以有三种方案分别

是：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套.

方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升1.

套方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套.

设提升两种套房所需要的费用为W.

25m+28x（80-w）=-3m+2240

所以当，，•时，费用最少，即第三种方案费用最少.（3）在（2）的基础上有：

r=（25+a）w+28x（80-m）=（a-3）m+2240

当a=3时，三种方案的费用一样，都是2240万元.

当a>3时，取m=48时费用W最省.

当0<a<3时，取m=50时费用最省.

考点：1.一次函数的应用；2.分式方程的应用；3.一元一次不等式组的应用.

22、（1）AMEF是等腰三角形（2）见解析（3）证明见解析（4）与万

【解析】

（1）由AD〃BC,可得NMFE=NCEF,由折叠可得，ZMEF=ZCEF,依据NMFE=NMEF,即可得到ME=

MF,进而得出AMEF是等腰三角形；

（2）作AC的垂直平分线，即可得到折痕EF,依据轴对称的性质，即可得到D，的位置；

(3)依据ABEQ义ZVCfFP,可得PF=QE,依据△NCP之4NAP,可得AN=CN,依据R3MCN义RtAMAN,

可得NAMN=NCMN,进而得到△MEF是等腰三角形，依据三线合一，即可得到MOLEF且MO平分EF；

(4)依据点D，所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240。的扇形的弧，即可得到点D，所经过的路径的长.

【详解】

(1)AMEF是等腰三角形.

理由：•.•四边形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,

ZMFE=ZCEF,

由折叠可得，ZMEF=ZCEF,

，ZMFE=ZMEF,

.\ME=MF,

.'.△MEF是等腰三角形.

(2)折痕EF和折叠后的图形如图所示：

VFD=BE,

由折叠可得，D，F=DF,

.,.BE=D'F,

在4NC'Q和4NAP中，NCNQ=N」ANP,NNCQ=NNAP=90。,

.*.ZC'QN=ZAPN,

VZC'QN=ZBQE,NAPN=ND'PF,

:.ZBQE=ZD'PF,

在小BEQ^lADTP中，

ZBQE=ZDPF

{BE=D'F,

AP=C'Q

.♦.△BEQg△D'FP(AAS),

；.PF=QE,

•.•四边形ABCD是矩形，

.,.AD=BC,

AAD-FD=BC-BE,

；.AF=CE,

由折叠可得，C'E=EC,

.,.AF=C'E,

.,.AP=C'Q,

在4]\€：9和4NAP中，

ZC'NQ=ZANP

{ZNC'Q=ZNAP,

AP=C'Q

AANCP^ANAP(AAS),

/.AN=C'N,

在RtAMC'N和RtAMAN中，

MN=MN

'AN=CN'

/.RtAMC'N丝RtAMAN(HL),

,,.ZAMN=ZC'MN,

由折叠可得，ZC'EF=ZCEF,

•.•四边形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,

.*.ZAFE=ZFEC,

.•.ZC'EF=ZAFE,

/.ME=MF,

/.△MEF是等腰三角形，

AMO1EF且MO平分EF；

(4)在点E由点B运动到点C的过程中，点D，所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240。的扇形的弧,

如图:

240x万x416

故其长为L=一71

180

故答案为与■万.

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、弧长计算公式，等腰三角形的判定与性质以及全等

三角形的判定与性质的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定定理和性质定理是解本题的关键.

23、证明见解析.

【解析】

(1)根据旋转的性质可得DB=CB,NABD=NEBC,ZABE=60°,然后根据垂直可得出NDBE=NCBE=30。，继而可

根据SAS证明△BDE^ABCE；

(2)根据(1)以及旋转的性质可得，△BDE/^BCEgABDA,继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形.

【详解】

(1)证明：••,△BAD是由ABEC在平面内绕点B旋转60。而得，

.\DB=CB,ZABD=ZEBC,ZABE=60°,

VAB±EC,

.\ZABC=90°,

.\ZDBE=ZCBE=30°,

在/kBDEWABCE中,

DB=CB

■:JZDBE=ZCBE,

BE=BE

/.△BDE^ABCE；

(2)四边形ABED为菱形;

由⑴得ABDE^4BCE,

VABAD是由△BEC旋转而得，

.1△BAD之△BEC,

/.BA=BE,AD=EC=ED,

又；BE=CE,

/.BA=BE=ED=AD

:.四边形ABED为菱形.

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.

24、(1)A(-3,0),y=-小+也;(2)①D(t-3+石，t-3),②CD最小值为"；(3)P(2,-四)，理

由见解析.

【解析】

(1)当y=0时，-立V—2叵x+G=o,解方程求得A(-3,0),B(1,0),由解析式得C(0,小),待定系

33

数法可求直线1的表达式；

(2)分当点M在AO上运动时，当点M在OB上运动时，进行讨论可求D点坐标，将D点坐标代入直线解析式求

得t的值；线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，根据勾股定理可求点M运动的过程中

线段CD长度的最小值；

(3)分当点M在AO上运动时，即0VtV3时，当点M在OB上运动时，即时，进行讨论可求P点坐标.

【详解】

(1)当y=0时，-^-x13.+6=0,解得xi=i,X2=-3,

33

•••点A在点B的左侧，

AA(-3,0),B(1,0),

由解析式得C(0,若)，

设直线1的表达式为y=kx+b,将B,C两点坐标代入得b=占mk-四，

故直线I的表达式为y=-A/3x+73；

(2)当点M在AO上运动时，如图:

由题意可知AM=t,OM=3-t,MC±MD,过点D作x轴的垂线垂足为N,

ZDMN+ZCMO=90°,ZCMO+ZMCO=90°,

/.ZMCO=ZDMN,

在小MCO与4DMN中，

MD=MC

[ZDCM=ADMN,

ZCOM=ZMND

/.△MCO^ADMN,

/.MN=OC=V3>DN=OM=3-t,

•"•D(t-3+s/3，t-3)；

同理，当点M在OB上运动时，如图，

OM=t-3,△MCO^ADMN,MN=OC=GON=t-3+BDN=OM=t-3,

AD(t-3+73,t-3).

综上得，D(t-3+6,t-3).

将D点坐标代入直线解析式得t=6-2若，

线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小,

；M在AB上运动,

.•.当CM_LAB时，CM最短，CD最短，即CM=CO=6,根据勾股定理得CD最小指

(3)当点M在AO上运动时，如图，即0Vt<3时,

..oc

•tanNCBO=-----=J3r,

OB、

AZCBO=60°,

VABDP是等边三角形，

AZDBP=ZBDP=60°,BD=BP,

LLDN

：.ZNBD=60°,DN=3-t,AN=