浙教版七年级数学下册专题4.2因式分解-提公因式(知识解读)(原卷版+解析)

专题4.2因式分解-提公因式（知识解读）【学习目标】1.能说出平方差公式，完全平方公式的特点．2.能熟练地掌握应用平方差公式和完全平方公式分解因式．3.在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法．4.在运用平方差公式进行因式分解的同时培养学生的观察，比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式，可以提高学生的综合运用知识的能力，进一步体验“整体”思想和“换元”思想【知识点梳理】考点1：公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2考点2：提公因式与公式法综合先把公因式提出来，再运用公式法继续分解。【典例分析】【考点1因式分解-平方差】【典例1】（2023秋•富裕县期末）因式分解：（1）．（2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．【变式1-1】（2023春•杭州期末）多项式4﹣x2分解因式，其结果是（）A．（﹣x+2）2 B．（x+2）2 C．（4﹣x）（4+x） D．（2+x）（2﹣x）【变式1-2】（2023春•上城区校级月考）因式分解：m2﹣4n2＝（）A．（m﹣2n）2 B．（m﹣2n）（m+2n） C．（2m﹣n）（2m+n） D．（2m﹣n）2【变式1-3】（2023秋•闵行区期末）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．【考点2因式分解-完全平方】【典例2】（2023春•福田区校级期末）分解因式：y2+6y+9＝．【变式2-1】（2023•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2【变式2-2】（2023•富阳区二模）分解因式4y2+4y+1结果正确的是（）A．（2y+1）2 B．（2y﹣1）2 C．（4y+1）2 D．（4y﹣1）2【典例3】（2023春•威宁县期末）已知x2±kxy+64y2＝（x+8y）2，则k的值是（）A．±16 B．16 C．±8 D．8【变式3-1】（2023•保定一模）因式分解：x2﹣ax+4＝（bx+2）2，其中a，b是常数，则a+b＝（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．4【变式3-2】（2023春•龙岗区期末）若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（）A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11【考点3提公因式与公式法综合】【典例4】（2023春•徐州期中）分解因式：（1）x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）2x2y﹣4xy2+2y3．【变式4-1】（2023•临邑县模拟）把a3﹣4a分解因式正确的是（）A．a（a2﹣4） B．a（a﹣2）2 C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a+4）（a﹣4）【变式4-2】（2023秋•西平县期末）分解因式：a3﹣10a2b+25ab2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【变式4-3】（2023春•于洪区期末）因式分解：25x2（a﹣b）+49y2（b﹣a）．【变式4-4】（2023春•济阳区期末）因式分解：2x3﹣8x2y+8xy2．【变式4-5】（2023春•辰溪县期末）因式分解：（1）2ax2﹣2ay2；（2）3a3﹣6a2b+3ab2．【变式4-6】（2023春•巨野县期末）因式分解：（1）x3﹣2x2y+xy2（2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x）专题4.2因式分解-提公因式（知识解读）【学习目标】1.能说出平方差公式，完全平方公式的特点．2.能熟练地掌握应用平方差公式和完全平方公式分解因式．3.在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法．4.在运用平方差公式进行因式分解的同时培养学生的观察，比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式，可以提高学生的综合运用知识的能力，进一步体验“整体”思想和“换元”思想【知识点梳理】考点1：公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2考点2：提公因式与公式法综合先把公因式提出来，再运用公式法继续分解。【典例分析】【考点1因式分解-平方差】【典例1】（2023秋•富裕县期末）因式分解：（1）．（2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．【解答】解：（1）原式＝52﹣（）2＝（5+m）（5﹣m）．（2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2＝（a﹣2b+3a﹣2b）（a﹣2b﹣3a+2b）＝（4a﹣4b）•（﹣2a）＝﹣8a（a﹣b）．【变式1-1】（2023春•杭州期末）多项式4﹣x2分解因式，其结果是（）A．（﹣x+2）2 B．（x+2）2 C．（4﹣x）（4+x） D．（2+x）（2﹣x）【解答】解：4﹣x2＝（2+x）（2﹣x）．故选：D．【变式1-2】（2023春•上城区校级月考）因式分解：m2﹣4n2＝（）A．（m﹣2n）2 B．（m﹣2n）（m+2n） C．（2m﹣n）（2m+n） D．（2m﹣n）2【解答】解：原式＝m2﹣（2n）2＝（m+2n）（m﹣2n）．故选：B．【变式1-3】（2023秋•闵行区期末）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．【解答】解：原式＝[（3m﹣1）+（2m﹣3）][（3m﹣1）﹣（2m﹣3）]＝（5m﹣4）（m+2）．【考点2因式分解-完全平方】【典例2】（2023春•福田区校级期末）分解因式：y2+6y+9＝．【解答】解：y2+6y+9＝（y+3）2，故答案为：（y+3）2．【变式2-1】（2023•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2答案:D【解答】解：原式＝（x﹣2）2．故选：D．【变式2-2】（2023•富阳区二模）分解因式4y2+4y+1结果正确的是（）A．（2y+1）2 B．（2y﹣1）2 C．（4y+1）2 D．（4y﹣1）2答案:A【解答】解：4y2+4y+1＝（2y+1）2．故选：A．【典例3】（2023春•威宁县期末）已知x2±kxy+64y2＝（x+8y）2，则k的值是（）A．±16 B．16 C．±8 D．8【解答】解：∵x2±kxy+64y2＝（x+8y）2＝x2+16xy+64y2，∴±k＝16，∴k＝±16．故选：A．【变式3-1】（2023•保定一模）因式分解：x2﹣ax+4＝（bx+2）2，其中a，b是常数，则a+b＝（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．4【解答】解：根据题意得：x2﹣ax+4＝b2x2+4bx+4，∴b2＝1，﹣a＝4b，∴b＝±1，a＝﹣4b，当b＝1时，a＝﹣4，a+b＝﹣3；当b＝﹣1时，a＝4，a+b＝3；故选：A．【变式3-2】（2023春•龙岗区期末）若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（）A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11【解答】解：∵4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，∴k+1＝±12，解得：k＝﹣13或11，故选：C．【考点3提公因式与公式法综合】【典例4】（2023春•徐州期中）分解因式：（1）x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）2x2y﹣4xy2+2y3．【解答】解：（1）x2（x﹣y）+（y﹣x）＝x2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（x2﹣1）＝（x﹣y）（x+1）（x﹣1）；（2）2x2y﹣4xy2+2y3＝2y（x2﹣2xy+y2）＝2y（x﹣y）2．【变式4-1】（2023•临邑县模拟）把a3﹣4a分解因式正确的是（）A．a（a2﹣4） B．a（a﹣2）2 C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a+4）（a﹣4）答案:C【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2），故选：C．【变式4-2】（2023秋•西平县期末）分解因式：（1）a3﹣10a2b+25ab2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【解答】解：（1）a3﹣10a2b+25ab2＝a（a2﹣10ab+25b2）＝a（a﹣5b）2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．【变式4-3】（2023春•于洪区期末）因式分解：25x2（a﹣b）+49y2（b﹣a）．【解答】解：原式＝25x2（a﹣b）﹣49y2（a﹣b）＝（25x2﹣49y2）（a﹣b）＝（5x+7y）（5x﹣7y）（a﹣b）．【变式4-4】（2023春•济阳区期末）因式分解：2x3﹣8x2y+8xy2．【解答】解：2x3﹣8x2y+8xy2＝2x（x2﹣4xy+4y2）＝2x（x﹣2y）2．【变式4-5】（2023春•辰溪县期末）因式分解：（1）2ax2﹣2ay2；（2）3a3﹣6a2b+3ab2．【解答】解：（1）原式＝2a（x