山东省济宁市2023-2024学年高三年级上册质量检测数学试题及答案

2023—2024学年度第一学期高三质量检测

数学试题

2024.01

本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名，考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本

试卷上无效。

-'单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足z（l+i）-l+2i=0,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A={xe可――3x<0},集合3={.y|y=log2X,xeA},则AC_B=（）

A.{1}B.{2}C.{0,l}D.。

3.“a=l”是“直线/i:ax—y+l=0与直线/2:x+/丁—1=0垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知椭圆E：F+金=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为Fi、F2,点P为椭圆E上位于第一象限内的一

点，若|尸乙|=3归工|,\OP\=\OFi\（。为坐标原点），则椭圆E的离心率为（

CliZ.

.2

5.如图，已知圆锥SO的母线长为2、5,AB是底面圆。的直径，且A3=4,点C是弧内|勺中点，D是

SA的中点，则异面直线S。与CD所成角的大小为（）

6.定义在R上的函数y=/(x)和y=g(x)的图象关于y轴对称，且函数y=/(x—1)+2是奇函数，则函数

y=g(x)图象的对称中心为()

A.(l,2)B.(-L2)C.(l,-2)D.(-1,-2)

什(由cmSina(l-sin2a),、

7.若tana+=「2,贝I'=()

I才Icosa—sina-----

6

D.-_

5

8.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2,/2，E为棱P3的中点，若FALCE,则三棱锥P—ACE的外

接球的表面积是()

9兀8171

A.——B.9TTC.——D.367T

24

二'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中正确的是()

A.若ac2>be2,则a〉6

B.若a〉〃且c〉d,则a-c〉6-d

C.若a〉0,b>Q,且a+28=l,则1+1的最小值为3+2、$

9ab

D.若a〉0,则4a+------的最小值为4

<7+2

10.已知函数f(x)=sin(wx+s)(3〉0,0«p<7T)的最小正周期为兀且函数f(x)的图象关于直线

x=—!对称，则下列说法正确的是()

12

A.函数/(x)的图象关于点I"°对称

B.函数/(X)在区间，单调递减

c.函数/1)在区‘有恰有两个零点

I4

n

D.函数/(x)的图象向右平移一个单位长度可以得到函数g(x)=cos2x的图象

12

1

11.己知数列｛a｝的前〃项和为S,且满足a=1,aa=2〃，b=数列｛6-b｝的前n项

nn1nn+1”nn+1

g%

和为，，则下列说法正确的是()

n+l

A.%T=2"」B.a2ll=2

1012

C.S2024=3-2-3D.T„<1

)y2

12.已知双曲线E:*-?_=1的左、右焦点分别为K、F2,过左焦点Fl的直线与双曲线E的左支相交于

两点(A在第二象限)，点C与3关于坐标原点对称，点”的坐标为(0,2、.§),则下列结论正确的是

()

1

A.记直线AB、AC的斜率分别为kr左2，则匕・内=]

B.若CP]•BF]=0,贝1]SACB耳=3

C.|A/q+|Q矶的最小值为6

-------->(3)

D.AFi-AF2的取值范围是J

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知指数函数y=/(x)的图象经过点(3,27),则/(21og32)=.

->TTTTfT-T

14.已知平面向量a,6满足㈤=1,b=(1,2),a_L(a—20),则向量a力夹角的余弦值为.

15.已知圆。：f+y2=4,过点尸(3,1)作两条与圆。相切的直线，切点分别为A,3,则|AB|=.

16.若函数/。)=炉+以(6*-1)-/e》恰有两个不同的零点，则实数。的取值范围是.

四'解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明'证明过程或演算步骤。

17.(本题满分10分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,Z?,c,己知。cosC+ccos3+——--=0.

2cosA

(1)求角A的大小；

(2)若S4MC=13,求。的最小值.

18.(本题满分12分)

已知数列｛服｝为公差大于0的等差数列，其前n项和为Sn,55=15,。2•。4=8.

(1)求数列｛飙｝的通项公式；

(2)设b=2"〃求数列｛~｝的前100项和T.

n

n-2-100

19.(本题满分12分)

如图，已知三棱柱A3C—4打。1各棱长均为2,D,E分别是线段AC,A4的中点，平面A3C.

(1)求证：平面ABCi±平而BDE；

(2)求平面BiBD与平面BDE夹角的大小.

20.(本题满分12分)

如图，点P是圆心角为竺半径为1的扇形圆弧婚上的一动点(与A,3不重合)，C在线段上且

3

CP//OA,记NPQ4=9,线段。C,CP及圆弧法的长度之和为了(伪.

(1)求函数/(⑦关于0的解析式;

(2)求力为何值时，函数/(处取得最大值.

21.(本题满分12分)

已知抛物线C:x2=2PMp>0)的焦点到C的准线的距离为1.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若经过定点。(0,4)的直线/与抛物线C交于A,3两点，”为弦A3的中点，过“作与x轴垂直的直

线与抛物线C交于点N,当ANL3N时，求直线/的方程.

22.(本题满分12分)

1+lnx

已知函数/(%)=------.

x

(1)求函数/(%)的单调区间;

men-nem

(2)若实数机，〃满足机<〃<0,证明:-------->14；

e"—e〃

(3)证明：当％〉0时，/(%)<4。

JC

2023—2024学年度第一学期高三质量检测

数学试题参考答案及评分标准

说明：（1）此评分标准仅供参考：

（2）学生解法若与此评分标准中的解法不同，请酌情给分。

-'单项选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分。

l.C2.A3.A4.D5.B6.C7.C8.B

二'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.AC10.ABDll.ACD12.BD

12.提示：设3（x2,V）,C（-X2,-y2）

555

由于A,B两点均在双曲线的左支上，所以％4<—I，%B<—I，>I

对于A：设3(x2,?),C(-X2,-”)

77

y-yy+yy-y

则，k-kLi_上-J——=——%

12-x-%X+xX-x

121212

A,均在双曲线上，2，所以M—々=—（M—%）

3-匕=1一3、

V3

所以，依•左2=3,A错误.

对于B：由知，CFj1BF,

由对称性得，CF{1CF2且S^cBF=S^CFF

112

计算可得，SACBF=S"FF=3,B正确

112

对于C:|=|MC|+|CBI+2

当M,C,反三点共线时，园。|+|加矶=|〃。|+|。后|+2=6

=

此时，xc(与无c〉矛盾，故C错误

对于=+2,y)-(x-2,y)=x2+y2-4

12111111

又，丁2=3(%2—1),所以，AF.AF=4X2_7

1V17121

5--'—'(3)

结合，—4得，•AB的取值范围是1—q,+8卜故D正确.

综上，正确答案为：BD

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.414.-15,——>0或4=

105Mej

16.提示：/（x）=x2+。冗（匕"-l^-tz2ex=（%-。）（元+。9）

x

令/（%）=0,则无=〃或—。=一

e%

记g（x）=r_,g'a）=，g（x）在（0/）上单调递增；在（1,+8）上单调递减

e*e*

.1.g（x）最大值为g（l）=l.

e

当。=0时，/（x）只有一个零点，x=0,显然不合题意

要使/Q）恰好有两个零点，则方程-a=弓只有一个实根，另一个零点为x=a.

故a的取值范围为：（0,w）u1—1]

I勺

四'解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明'证明过程或演算步骤。

17.（10分）

a

解：⑴bcosC+ccosB+一-=0

2cosA

sinA

由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB+------=0

2cosA

.,.sin（3+O+sm"=sinA+sm）=0，又sinA>0,:.cosA=-l,

2cosA2cosA2

Ae（0,7i）,A=生

3

113「

（2）SAABC=-bcsinA=-bc-^—=,be=4-

由余弦定理得：a2=b2+c1-2bccosA=b2+c2-be>3bc=12

当且仅当6=c=2时等号成立.

.•.a22、々即。的最小值为2、与.

18.（12分）

解（1）设数列｛斯｝的公差为d（d>0）

因为S5=15,<22-04=8

［a\=1［ai=5

解得Li或L1(舍去)

\d=\\d=-1

所以，a"=〃i+(〃-l)d=1+(〃-1)x1,即为=〃.

(2)由(1)得a=2%・cos竺三2"-COSML

22

(4左+I)7T(m

当〃=4左+1,ZeN时，cos___=cos(2E+尸］0,所以狐+i=0；

当〃=4左+2,左eN时，cos""；2加=COS(2E+TT)=—1,所以6必+2=—2"+2

(4左+3)/1(3亩

当〃=4左+3,ZEN时，cos-----2-----=cos［26r+__j=0,所以狐；+3=。；

当”=4(左+1),左eN时，cos4(%；l)"=cos(2配+2兀)=1,所以“”=24k+4；

•••^100=-22+24-26+28-+2100

Tx「［l—(T)5。］2102-4

=」(-22)

19.(12分)

(1)证明：平面ABC,BDu平面ABC,:.AXDLBD

AB=AC=BC=2,。为AC的中点，..3。LAC

ACCtAlD=D,r.3£)_L平面ACGAi,BD±AQ

在平行四边形ACGA］中，AC=CCl=ClAl=AlA=2,

四边形ACQAj为菱形，AQ1A1。

又分别为AC,A%的中点，C

AG-LDE,AG-L平面BDE,AGu平面ABCX

平面AB”平面BDE

(2)由(1)可知，DB,DC,D4i两两相互垂直，故建立以。为坐标原点，以DB,DC,DAi所在直

线分别为X轴，y轴，Z轴的如图所示的空间直角坐标系

由三棱柱的所有棱长均为2得，DB=乃,DA=1,DAi=3

..£)(0,0,0),A(0,-l,0),即瓦0,0),Bi(63屈,G(0,2,6

/.DB=(七3,0,0),DB]=(<'3,1,73),ACX=(0,3,、3)

设平面BiBD的法向量为m=(x,y,z)

\m-DB=0[=0

则----->一.""l

|[mDB1=0||v*3x+y+\?3z=0

令z=l,则y=-«3,x=0

T

所以，平面BbBD的一个法向量为m=(0,-x,3,l)

由(1)知ACi1平面BDE

所以，平面3DE的一个法向量为ACi=(0,3…曷

设平面B\BD与平面BDE的夹角为力

71

\m■ACiI13万+V3|]

则cos氏L.|>,=J------------」=_，.■.氏_

|m|-ACd2x2出23

71

所以，平面为3。与平面3DE的夹角为1.

20.(12分)

Tl27T

解：(1)在△PC。中，由题可知。尸=1,ZCPO=0,ZOCP=ZCOP=—-0

33

1=OCLCP

由正弦定理得，一有sin白二一■——4

sinasinI-i71

331I

在扇形POA中，记弧PA的长度为/,贝U/=0

2sin^7T-i^Izx

2sin力32(31

所以，f(&)=OC+CP+0=—k+—J——^+0=,।_sin0+^^os力他

J3J3」3(22)

「m(2m

所以，/(i9)=2sin|i7+64+^i7e|0,3|—

(2)由⑴得，/@)=23，+必+1「加’0,肝

I'I

令r(力=2cos'+1=0,得以71

I6)2

(m

当猴|0,-।时,/e）〉o,八切单调递增

I2J

/,<0,/（切单调递减

71L,兀

所以，当心一时,/（力取最大值，且最大值为、3+--

2

21.（12分）

角单（1）因为抛物线C的焦点到C的准线的距离为

1,所以，p=1

所以，抛物线C的方程为x2=2〉.

（2）由题意可得，直线/存在斜率，又直线/过。（0,4）,

故设直线/的方程为y=kx+4,

fx2=2y

由《'，消去y并整理得f—2立—8=0,

y=kx+4"

△=4/+32〉0,所以直线/与抛物线C恒有两个交点.

设3（x2,>2）,则XI+X2=2左，xi%2=-8,

y+y=%（%+x）+8=2左2+8,yy=电2=（8）二建

所以,

121212224

因为,M为弦AB的中点，过M作x轴垂直的直线与抛物线C交于点N，

x+X,_您_k2

所以,x=x==k,yv————一

NM2N22

所以,N的坐标为［匕5）

-----"（k2f女21

所以,I,

AN=\k-x1,--ylBNk-x2,--y2I

V2）

因为AN1BN

—>—>（k2Yk2）

所以，A7V,BN=（左一8）（左一］2）十|