北京市海淀区2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

初三4月阶段性练习

数学

（清华附中初21级）

一、选择题（本大题共24分，每小题3分）

1.2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号厂遥十七运载火箭在酒泉

卫星发射中心点火发射，长征二号尸（CZ—2尸）是捆绑四枚助推器的两级运载火箭，

采用7V204/t©〃H推进剂，起飞重量约为480000千克，将480000用科学记数法表示应

为（）

A.48x105B.4.8x105C.48x104D.4.8xlO4

2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

3.如图，±AOC=±30D=900,±3OC=440,则上40。的大小为（）

4.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

ab

1I4I114

-3-2-I0I23

A.a+>0C.b—a<0D.—a>b

5.若关于x的一元二次方程%2—2x+m=0有两个实数根，则实数用的取值范围为

（）

A.m<\B.m<1C."?41且加HOD.〃？<1且机H0

6.正十二边形的一个内角等于（）

A.300B.1500C.1440D.1200

7.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字除数字外两个小球无其他

差别，从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球,

记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）

试卷第1页，共8页

8.如图“3C中，7/CS=90O,AC-\-BC=8,分别以NB、/C、8c为半径作半圆,

若记图中阴影部分的面积为y,NC为x,则下列关于y的图像中正确的是()

二、填空题(本大题共24分，每小题3分)

♦?；工在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.分解因式：x2y—y3=.

11.写出一个大小在-、和2■之间的整数.

12.若反比例函数1二'的图像经过点，(3,—4)和点8(2,〃)，则〃=

13.下表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳

定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择.

试卷第2页，共8页

甲乙丙T

平均数（秒）11.211.311.311.2

方差5.55.55.85.9

14.如图，在RtA48C中，7ACB=90。，D、E、尸分别为NB、BC、C4的中点，若EF=3,

15.如图，0/的圆心/的坐标是）3,0（,在直角坐标系中，0/半径为1,P为直线

V=J3x+J3上的动点，过尸作。/的切线，切点为Q,则切线长尸。的最小值

.

16.在矩形台球桌面48co中，点4、B、C、D、E、b处为球袋，其大小不计，如图

1,点M处的台球撞击台球桌边上的点。后经过点N,台球的运行线路满足反射角等于

入射角，即72=71,如图2,AB=4,BC=6,在矩形台球桌面N8CD的内部有尸、Q

两点，点Q到CO、AD的距离都为1,若在图中的点尸处放一台球，则该台球

（填“能”或“不能”）依次撞击3C、边后经过点0.若放在点P处的球能够依次撞

击BC、CD边后经过点°,则满足条件的所有点尸构成的区域面积为.

三、解答题（本题共72分，第17〜19题，每小题5分，第20题6分，第21

-23题，每小题5分，第24题6分，第25—26题，每小题7分，第27—28

题，每小题8分）

试卷第3页，共8页

17.计算：，­.2'+|1-<•|-3tan30o.

5工-2<3(»1)

18.解不等式组：2.V-2

3

19.已知/+2〃-3=0,求代数式一［----土T的值.

20.如图，在四边形N8CD中，ABHDC,ABAD,对角线NC,3。交于点。，AC

平分<BAD,过点C作CEJ.AB交AB的延长线于点E.

⑴求证：四边形/BCD是菱形；

「，若48=石，BD=2,求BE的长.

21.初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体

票是否可以优惠，售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全

体人员可打8折；方案二：若打9折，有4人可以免票.一班班主任思考一会儿说，我

们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数.

22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数歹=fcr+6(左，0)的图象由函数y=x的图象平

移得到，且经过点(1,2).

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x>l时，对于x的每一个值，函数y=H0)的值大于一次函数y=foe+b的值,

直接写出加的取值范围.

23.新年伊始，中国电影行业迎来了开门红.春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总

票房超过80亿元.以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息.

a.两部影片上映第一周单日票房统计图

试卷第4页，共8页

，票房/亿元

IAA』[工』14

2月12日2月13日2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日日期

b.两部影片分时段累计票房如下

2月12日—18日累计票房2月19日—21日累计票房

上映影片

（亿元）（亿元）

甲31.56

乙37.222.95

根据以上信息，回答下列问题:

（1）2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为二

（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是」

①甲的单日票房逐日增加；

②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；

③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大.

⑶截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日一21

日三天内影片甲的累计票房应超过_亿元.

24.根据材料提供的信息，解决下面问题.

在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时

不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）.

图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动.不同高度

的喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落

地点都在喷水管的右侧.

试卷第5页，共8页

图1

图2是当喷水头在地面上时(喷水头最低)，其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷

水口的距离为。忖=4m,水柱最高点离地面3m.

图2

图3是某一时刻时，水柱形状的示意图.为喷水管，3为水的落地点，记03长度为

图3

如图4,安全通道CD在线段08上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CZ＞上

图4

(1)在图2中，以。为原点，加所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的

函数表达式；

(2)若喷泉跨度08的最小值为3m,求喷水管CM高度的最大值；

(3)在(2)的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为二'm,直接写出此时

试卷第6页，共8页

安全通道CD的宽度.

25.在平面内，给定不在同一条直线上的三点4,B,C,如图所示，点。到点4B,C

的距离均等于。（“为常数），到点。的距离等于“的所有点组成图形G,连接点。与

48的中点。，点E花48的延长线上，连接。C,CE,±.CED+1_COD=1800.

(1)

画出图形G,并依题意补全图形；

（2）求直线CE与图形G的公共点个数；

（3）连接05,若OBIICE,a=J5,OD=2,求CE的长.

26.已知抛物线,=ax'+bx+c[a＞0）,

（1）若抛物线过点（7,机），（5,m）,求抛物线的对称轴；

⑵已知点（0,%）,自，为），（T,%），（2,"）在抛物线上，其中＜＜两＜—1,若存在％使

%＞n,试比较加九%的大小关系.

27.如图，在正方形/3CZ）中，E、/分别为8C上的点，作DAfJLE尸于

（1）求证：上CDM=上BFE；

（2）在上截取DM,连接5N,G为8N中点，连接CG,CM.

①依题意补全图形，

②用等式表示线段CG和CN的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xQy中，关于点P和图形G给出如下的定义：若在图形G上存

在两点M,N使得上900,作尸于。，则称0为尸关于图形G的射影

试卷第7页，共8页

点.

(1)当。。的半径为2时，

①在点尸(1,1),P2(0,-2),尸30,3)中，关于。。的射影点存在的有二

②点P在直线I=上，若尸关于0。的射影点。存在且唯一，求点P的坐标；

(2)®7的圆心在x轴上，半径为、W，直线=x+；与x轴、y轴交于点/、B.若线段N8

上存在点P,使得点P关于。T的射影点Q满足T0=2,直接写出圆心T的横坐标t的

取值范围.

试卷第8页，共8页

1.B

【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为。X10"的形式，其中1<|“|<10,

〃为整数，正确确定〃的值是解题的关键.

将480000写成ax10“其中1<|a|<10,n为整数的形式即可.

【详解】解：480000=4.8x105.

故选B.

2.A

【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重

合.

【详解】解：A中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；

B中图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；

C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

故选：A.

3.C

【分析】本题考查了角的运算，先求<4。。与的度数差即可得出的度数，

再求。03与上。QB的和即可.理解题意，利用数形结合是解决问题的关键.

【详解】解：•.•上40。=上50。=900,上3。。=440,

:±AOB=上4OC-±BOC=900-440=460,

:±AOD=±SOD+±AOB=900+460=1360,

故选：c.

4.D

【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据题意可得

—2<a<—1<1<b<2,,且进而得至Ua+b<0,b—a>0,—a>b,是解决问题的关

键.

【详解】解：有数轴可知，一2<a<—1<1<6<2,且|。|>也，

■.a+b<0,b—a>0,—a>b,

故选：D.

答案第1页，共22页

5.A

【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数人的范围，解题的关键是熟练掌握

一元二次方程+c=0(4H0)根的判别式△=b2-4ac,当方程有两个不相等的实数根

时，△>();当方程有两个相等的实数根时，△=();当方程没有实数根时，△<().

【详解】解：••・关于x的一元二次方程――2x+m=0有两个实数根，

:△=(―2)2—4x1x加=4-4">0,

解得：m<1,

故选：A.

6.B

【分析】本题考查了多边形外角的的问题，首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻

的内角互为邻补角即可求解.正确理解内角与外角的关系是关键.

【详解】解：正十二边形的每个外角的度数是：-=300,

I?

则每一个内角的度数是：1800—300=1500.

故选：B.

7.C

【分析】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键.

画出树状图，找到满足题意的情况，再根据概率公式即可得出答案.

【详解】解：画树状图如下：

所以共4种情况：其中满足题意的有2种，

所以两次记录的数字之和为3的概率是:二：，

故选：C.

8.A

r.］由NC+3C=8,AC^x,得至I」3c=8-x,AB=；-------再表示出阴影部分的面

积即可得到答案.

【详解】解：■.-AC+BC=8,AC=x,

答案第2页，共22页

:BC=8-x.

又•.•在A48C中，乙4CB=90°,

即》=-yM+iltOVxv81.

则该函数图像是开口向下的抛物线，且自变量的取值范围是0<x<8.

故选A

【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，勾股定理，圆的面积公式等知识，解题关键是正确

的表示出阴影部分的面积.

9.工工-2

【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题

的关键.

根据分式有意义的条件结合已知条件列式计算即可.

【F】W--；在实数范围内有意义，

ir4-2

:x+2H0,即》,一2.

故答案为“乜.

10.y(x+y)(x—y)

【详解】试题分析：原式提公因式得：y(x2-y2)=Xx+v)(x-y)

考点：分解因式

点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握.需要运用

平方差公式.

11.2(答案不唯一，也可以写3)

【分析】本题考查了无理数的估算，先估算1<../3<2,9<2-r=.'<4.可得符合题意的整

数k满足，写出一个即可，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键.

【详解】解：<1</3<2,9<2-r.=•,7<4,

:符合题意的整数有2,3,

故答案为：2(答案不唯一，也可以写3).

答案第3页，共22页

12.-6

【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标

一定满足此函数的解析式是解答此题的关键.

[】解：把点代2=A得：k=3x(-4)=-12,

T

12

y■■,

x

把点5(2,ri)代入得：n-—二=f,

故答案为：~6.

13.甲

【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表

明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据

分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【详解】解：•••从平均数看，甲、丁成绩更好，

••.从甲和丁中选择一人参加竞赛，

又•••甲的方差较小，

二选择甲参加比赛，

故答案为：甲.

14.3

【分析】根据三角形中位线定理得到Fb='AB=3,则=6，再根据直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半得到CD的长.此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线

的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键.

【详解】解：•••£、尸分别为3C、。的中点，

EF-gAB=3,

AB-6,

•.,在中，1ACB=900,D为的中点，

".(D=:，48=31

故答案为:3

15.J11

【分析】本题主要考查切线的性质，特殊角的三角函数值.如图1,连接4尸、AQ,根据切

答案第4页，共22页

线的性质得月0_1_尸。，则利用勾股定理得到尸0=产一1，则当AP最小时，尸。最小，如图

2,直线y=Jix+J3与y轴交于3”与x轴交于点C,利用垂线段最短得到当NP±BC于尸

时，/P最小，利用特殊角的三角函数值，从而得到尸0的最小值.

【详解】解：如图1,连接4P、AQ,

•••P0为切线,

-,AQ.LPQ,

在Rt△'尸Q中，PQ=I，」v

当4P最小时,PQ最小，

直线y=y3x+v3与y轴交于3,与X轴交于点C,贝！C（—1,0）,

：.OB=•串,OC=1,

tanZ.BCO■■—■—,

nrI

.•.±SCO=600,

当4PJ_8C于P时，/P最小，如图2,

：.AP=NC.sin600=2-J3,

-PQ的最小值・■布.

故答案为：

答案第5页，共22页

M

16.能

【分析】由题意可知。处的球依次撞击CD、2C边后经过点尸，找到零界点：当球从。出

发撞击S边的点尸后，反射到达点3,然后讨论当球从0出发撞击S边的点歹上方时，

当球从。出发撞击CD边的点尸下方时，是否去撞击3C边，由此可知，当球从0出发撞击

CD、BC边,球所到达的区域为四边形在根据相似三角形的判定及性质求解即

可.

【详解】解：若点P处的球能够依次撞击3C、s边后经过点0,

则反过来，。处的球依次撞击CO、3c边后经过点尸，

RC

过点。作0GTAO,QE1CD,贝|7QE尸=73CD=90。，QG=QE=\,

则四边形0GDE是正方形，

:.CE=CD-DE=3,

当球从。出发撞击C。边的点尸后，反射到达点3,

此时，】QFE=1BFC,

■■■/\QFE^ABFC,

Q€EFQEIEF

。.RaDni

Hi(I用'ArF

当球从。出发撞击CD边的点尸上方时，撞击路线与CD的夹角大于70FE,则反射时的夹

角也会大于＜3月C,则显然不会再撞击3C,故不符合题意；

当球从。出发撞击CD边的点尸下方时，撞击路线与CD的夹角小于70FE,则反射时的夹

角也会小于＜8尸。，则显然会再撞击3C,且再次反弹，

当球从。出发撞击点C时，显然不符合题意，

连接C0并延长交4D于H,

由此可知，当球从。出发撞击CD、BC边,球所到达的区域为四边形

即点尸从四边形N8CH所在区域内任意位置依次撞击8C、CD边后都能经过点。，

答案第6页，共22页

由正方形的性质可知IIAD,

•\/\CQE^/\CDH,

0E日n§

=，即：=，

///ji/"）1

HD=",贝Ij/H=AD-AHJ：,

所有点尸构成的区域面积为四边形48s的面积，

即：所有点P构成的区域面积=]1"+欣）48=：

故答案为：能，-y--

【点睛】本题考查相似三角形的判定，矩形的性质，正方形的判定及性质，能通过Q处的球

依次撞击CD、BC边后经过点P,找到点P构成的区域是解决问题的关键.

17.2+3J3

【分析】本题考查了特殊角三角形函数值，负整数指数幕，实数的运算.代入特殊角三角形

函数值，根据实数的运算法则计算即可求解.

[】解：、]，I、-3tan30。

（3/।

—3+3y3+V3—1—3x

5

=3+3-涓+》—涓

=2+3j3.

18.x<I

【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出两个不等式，再取公共部分即可.

|[5x—2<3（x+1）①

【…解]誓…②

解①得：x<2.5,

解②得：x<l,

二原不等式组的解集是：x41.

19.

【分析】本题考查分式化简求值，先计算除法，再计算加法即可化简，然后把〃+2〃-2=0

变形为4+2°=2,代入化简式计算即可.熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.

答案第7页，共22页

【详解】解：。

a♦1a*-I

II(u-lf

a+l(a・lf

(a+lf(a+l)1

(a+lf

,•1a2+2a-3=0

:a2+2a=3,

:原式K5

20.⑴见解析

(：►«£=—

【分析】本题考查了平行线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和

性质，勾股定理是解题的关键.

(1)利用平行线和角的平分线，证明ND=CO,继而判断四边形是平行四边形，结

合=4)得证.

I1

(2)由菱形的性质得。4=OC=、/C,BD工AC,OB=OD=BD=1,AB=CB=.

由勾股定理可得：OA=■/AB2-OBi=2,在RtABCE中，CE2=BC1-BE2,在Rt^/CE中，

CE1=AC2~AE2=AC2-(AB+BEY,即BC2-BE2=AC2-(4B+BE)1,求解即可.

【详解】(1)证明：・•♦ABmC,

-.±.OAB=±DCA,

4C平分<D4B,

-±OAB=^DAC,

答案第8页，共22页

±DCA=±DAC,则=CD,

又<AB=AD,

CD=AD=AB,

■,­ABlICD,

••・四边形/2CO是平行四边形,

•・,AB=AD,

.••四边形/BCD是菱形.

(2)解：•••四边形N8C〃是菱形，

(14=OC='、AC,BD_LAC,OB=0D=BD=1,AB=CB=、一.

由勾股定理可得：。4=加去".2.

■：CE_LAB,

在RXBCE中，CE2=BC2-BE2,

在Rt"C£中，CE2=AC2-AE2=AC2-(AB+BE)1,

•••BC2-BE2=AC2-(AB+BE^,即：5-BE2=16-(\i5+BE^,

解得：/小二里.

4

21.一班有36名学生

【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据“两种方案费用一样”列出方程是解题的

关键.

【详解】解：设一班有x名学生，

由题意可知：0.8x50x=0.9x50(x-4),

解得：x=36,

答：一班有36名学生.

22.(l)y=x+1

(2)m>2

【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的

关键.

(1)先根据直线平移时左的值不变得出左=1,再将点/(1,2)代入y=x+b,求出6的值，即

答案第9页，共22页

可得到一次函数的解析式；

(2)根据点(1,2)结合图象即可求得.

【详解】(1):一次函数y=而+6(人/0)的图象由直线y二x平移得至I」,

:左二1,

将点(1,2)代入y=x+b,

得1+6=2,解得6二1,

:一次函数的解析式为歹=%+1；

(2)把点(1,2)代入y=mx,求得m=2,

:当x>1时，对于％的每一个值，函数y=mx(m/0)的值大于一次函数y=x+I的值,

,.m>2.

23.(1)4.36

⑵②③

(3)8.61

【分析】(1)影片乙单日票房从小到大排序，根据中位数定义求解即可；

(2)①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①；

②先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式、-=张-刁HXj-X)+…+卜”-X)］求出

甲、乙的方差，可判断②；

③根据折线图，分别求出15日，16日，17日，18日甲与乙的差值，可判断③；

(3)利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可.

【详解】(1)解：影片乙单日票房从小到大排序为1.63,2.32,3.13,4.36,7.49,8.18,

答案第10页，共22页

10.11一共7个数据，

所以影片乙单日票房的中位数为：4.36,

故答案为：4.36；

(2)解：①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，

:甲的单日票房逐日增加说法不正确；

一

②工甲=_12.91+3.02+4.55+5.38+5.90+5.52+4.28)~4.51,

，-一II1''qk…：I；----I'.-1-5.32,

S^=1|1,62+1.492+0.042+0.872+1.392+1.012+0.232)~1.22,

、，=1(4X6;-21炉+3：+3收卜995.

:甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；

③甲超过乙的差值从15日开始分别为，

15日：5.38-4.36=1.02,

16日：5.90-3.13=2.77,

17日：5.52-2.32=3.2,

18日：4.28-1.63=2.65,

:在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确.

综上，说法中所有正确结论的序号是②③，

故答案案为：②③；

(3)解：乙票房截止到21日收入为:37.22+2.95=40.17亿,

甲票房前7天达到31.56亿，

：2月19日—21日三天内影片甲的累计票房至少为：40.17-31.56=8.61亿.

故答案为：8.61.

【点睛】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估

算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题

关键.

24.।11=-Hi2r-3

(2)喷水管。4的高度最大值为“m

(3)此时安全通道的宽度为2m

答案第11页，共22页

【分析】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是

解题的关键.

（1）根据题意可知抛物线的对称轴为直线X=2,顶点坐标为（2,3）,设抛物线的函数表达式

为y=a（x-2）2+3,代入（0,0）即可求解；

（2）设抛物线解析式为：代入x=3时，y=0,即可求抛物线解析式，从

而求。4的值；

（3）求出当】=二时，点尸落在r=—（'—2|2+3上，点E落在I=—11——3上时两

1644

个点的横坐标即可求解.

【详解】（1）解：：点。坐标为（0,0）,点M坐标为（4,0）,

:抛物线的对称轴为直线x=2,

:抛物线的最高点为3,

:顶点坐标为（2,3）,

设抛物线的函数表达式为y=a（x-2）2+3过点（0,0）,

解得：»=—,

4

••・抛物线的函数表达式为'='-二『+3.

•1

（2）•・・喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，

12

・•・设喷泉跨度05的最小值为3m时，抛物线的函数表达式为1=-［（（-帆）+3,m＜2

当x=3时，＞=0,得-jJ/”）？+3=0,解得：m-1或加=5•,A.

贝!］）=一jx-l）+3

由x=0,得y=-j一『+3=］

即：喷水管CU的高度最大值为“m；

（3）由题意得：当点尸落在y=-2）2+3上，

当1=」''•1.—＜、一12+3=—,解得：-'kx=-.

1641622

答案第12页，共22页

当点E落在歹=--o-U2+3上时,

当1=」中[.一二口一|『+3二」，解得：.二、或1=-1

16416，3

贝！I,CD=EF=

即：此时安全通道8的宽度为2m.

25.⑴见解析；

⑵直线CE与图形G的公共点只有1个；

【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定与性质，解直角三

角形，掌握相关性质是解题的关键.

(1)点。至必、B、。的距离均等于“，则/、B、C三点共圆，可得图形G是圆心为。，半

径为a的圆；

(2)先求得上OCE=90。，得到0cJ_CE,加上。。为半径，得出CE为。。切线，即可得出

结论;

(3)过点B作3尸_]_CE于点尸，四边形尸C是正方形，分别求出CF、EF,即可求

解.

【详解】⑴解：•・•点。到/、B、C的距离均等于

:0A=OB=OC=a,

B、。三点共圆，

:到点。的距离等于。的所有点都在圆心为O,半径为a的圆上，

:图形G是圆心为。，半径为。的圆，如图：

(2)解：直线CE与图形G的公共点个数为1个,

答案第13页，共22页

连接CM、OB,

,•,在四边形。EC。中，ICED+1COD=1800,

ICED+7COD+1OCE+7ODE=3600

:1OCE+7ODE=1800,

•••CM=。8,点。为48中点，

■.OD1AB,

:7ODE=900,

:7OCE+900=1800,

:7OCE=900,

­.OCXCE,

又「oc为半径，

:CE为。。切线，

:直线CE与图形G公共点个数为1个.

(3)解：如图，过点3作3尸TCE于点产，

由(2)知7。砥=900,

•••OBIICE,

:7BOC+7OCE=1800,

答案第14页，共22页

.-.±3OC=90O,

■：BFA_CE,

；.±^FC=±BFE=900,

■■■±BOC=±OCF=±BFC=900,

.•.四边形。8尸。是矩形，

"•1OC=OB-a-'J5,

••.四边形。AFC是正方形，

CF-BF--J5,

•.-±0/28=900,

在RtZ\OD8中，BD=JOB1-OD-=j5)2一*

OD2

*•tanZf)HD=—=—=2.

/</>i

•・•OBIICE,

.,.±JOBD=HEB,

•••tanJz(95D=tan_t£=2,

♦.・上近二900,

nr

・•.在Ri△班片中，tarctF='.

EF

tan上E=2,

：.2EF=BF,

:.EF=；B卜.

•▲•ELFL・-।BCFL•-।xyS/Z,--V-5•

222

L<1

••・CE=CF+EFx15+—=■—.

22

26.(l)x=1；

(2)乃>%•

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与工轴的交点问题，掌握二次函数的图

答案第15页，共22页

象与性质是解题的关键.

（1）抛物线过点（-3,m）,（5,m）,可知（-3,冽）,（5,加）关于对称轴对称,即可求解;

（2）设抛物线夕=办2+乐+。（°>0）的对称轴为》=/,先求出，的取值范围，再根据函数的

增减性即可求解.

【详解】⑴解：•・抛物线过点（3m）,（5,m）,

:（-3,m）,（5,〃?）关于对称轴对称，

:抛物线的对称轴是，=1*=1.

（2）解：设抛物线y-ax+fex+cQ>0）的对称轴为x=t,

由题知，（2,外在，的右侧，（/，为）在x二，的左侧，

V6Z>0,存在必>n,

:点（修,%）至1卜=，大于点（2,〃）至1卜=t的距离，

：（xP乃）至心二，的距离为：，-修，点（2,自至1卜二，的距离为：2-t,

\t-xi>2-t,

v-2<xY<-1,

2t覆I

.%O<-----<—,

cI

・・・（）<，<一,

：（o,%），&，%），（-4,%）都在函数的左侧，

：Q>0,

:抛物线yax2+bx+c开口向上，在对称轴左侧函数随着x的增大而减小,

,•--4<X]<0,

:为>vi>y0■

27.⑴见解析

答案第16页，共22页

(2)①见解析；②CM=FCG

【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识,

解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线.

（1）根据正方形的性质及直角三角形两锐角互余即可证明结论；

（2）①根据题意补全图形即可；

②连接MG并延长使得MG=G”,利用SAS可证2△NGW,再结合全等三角形的性

质和正方形的性质证明AC8〃gAC£>M（SAS）,进而可证明△MS,ZkCGM是等腰直角三

角形，即可得CM=■RCG

【详解】（1）证明：•••四边形/BCD是正方形，

\ADIIBC,±ADC=900,

:±^FE=±DEM,±.CDM+1JEDM=900,

又:DM_LEF,

:±DEM+±£DM=900,

:hCDM=上DEM,

:上caw=上BFE;

（2）解：①根据题意补全图形如图所示：

©CM=­yCG,

证明：连接MG并延长使得MG=GH,

,・,点G为BN的中点，

;BG=NG,

答案第17页，共22页

又,:上BGH=上NGM,

A3G*ANGM（SAS）,

HG=MG,BH=NM,±^HG=±NMG,则BH//NM,

:.上CBH=±BFE,

由（1）可知，上CDM=tBFE,

±.CBH=上CZW，

•・•MN=DM,

：.BH=DM,

由正方形的性质可知，CB=CD,

・・・△CBH学△CDAf（SAS）,

・•・CH-CM,±BCH=±J）CM,±_BCD=90o,

贝二±Z）CM+±5cAi二±58=90。,

・•.△MCH是等腰直角三角形，

,:HG=MG,

：.CG_LMH,则△CG"也是等腰直角三角形，则CG=MG,

・•・CM=・W=,二CG.

28.⑴①QT,1）,尸KO,-）;②点尸的坐标为（一J或（一，一）

（2）圆心T的横坐标/的取值范围为一‘</<-:或JW；

【分析】（1）①作出图形，过点尸作两条相互垂直的直线判断即可；

②由①可知，当点P在圆内或圆上时，必存在。。的射影点，但由于过点产作两条相互垂

直的直线，有无数种情况，故此时射影点。不唯一,则点P必定在圆外时，过点尸作与。。

相切的两条切线尸X,PY,分三种情况：当上KPY<90。时，当上冲丫=90。时，当上冲丫>90。

时，分别进行讨论即可求解；

（2）结合（1）可知点P在以点T为圆心，・],|为半径的圆内，再证尸。=1,进而由三角形

三边关系可知，TQ—PQ<PT<TQ+PQ,即1"7V3,在根据零界点位置当点尸在线段端点3

处，当点尸在线段端点A处，找到符合题意的点T的位置即可求解.

答案第18页，共22页

【详解】（1）解：①如图，点R（T,1）在圆内，则过点R作两条相互垂直的直线，与。。都

有交点，则存在。。的射影点，

点尸在圆上，当是直径时，±MPN^900,则存在。。的射影点，

点尸30,3）在圆外,作尸3s_Lx轴,则。S=2,

•■•00的半径为2,

与。。相切，贝I]tan上。、:1,

上。尸$<450,

作RZ与。。相切于点Z,则USO=上=900,

RtRtAP3SO（HL）,

上