广东省七校2024年高考数学倒计时模拟卷含解析

广东省七校2024年高考数学倒计时模拟卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数〃X）=2x3-依2+］在（0,+。）内有且只有一个零点，则。的值为（）

A.3B.-3C.2D.-2

2x+l,x<0__

2.已知函数/（%）=||lnv*〉0，则方程/■［/（%）］=3的实数根的个数是（）

A.6B.3C.4D.5

3.已知函数/（x）=log/|x-2|—a）（a>0,且”1）,则“7（x）在（3,+s）上是单调函数”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.a为正实数，i为虚数单位，—=2,则a=（）

I

A.2B.GC.y/2D.1

5.已知函数〃x）=无3+asinx,xwH,若/（—1）=2,则”1）的值等于（）

A.2B.-2C.l+aD.1-a

6.已知正项等比数列｛aj中，存在两项勾,使得J%=3q,tz6=2a5+3a4,则工+3的最小值是（）

mn

379

A.—B.2C.—D・一

234

7.盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取*『=1,2）个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后

放回，此时盒中黑球的个数X,«=1,2）,贝！）（）

%〉％

A.P（X1=3）>P（X2=3）,B.P（X1=3）<P（X2=3）,EXX>EX2

C.P（X1=3）>P（X2=3）,EXX<EX,D.P（X1=3）<P（X2=3）,EXX<EX2

8.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

15

D.

16

9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）

4032201520162015

A.-------B.-------C.-------D.-------

2017201620171008

10.已知角戊的终边与单位圆/+丁=i交于点尸„,则cos2i等于（）

1721

A.—B.——C.----D.—

9933

=1+二（i为虚数单位），

11.若复数z贝！|z的共辗复数的模为（)

1+Z

出

A.B.4C.2D.小

~T

12.已知集合A={1,3,5},5={1,2,3},C={2,3,4,5},则(4c5)uC=()

A.{1,2,3,5}B.[1,2,3,4)C.[2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值上上，类比上述结论，利用

2

等体积法进行推导，在棱长为。的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是

102

14.^（V^+x）=a0+a1x+a2x+时/。，则生=，

（.a。+a,+%+—（q+/+%+•••+佝）~的值为•

15.若直线丘-y-左+2=。与直线x+份—2左—3=。交于点尸，则。尸长度的最大值为.

16.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acosC=Z2COsC+ccos6,则。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知。为坐标原点，点耳（—0,0）,K（V2,0）,S（30,O）,动点N满足|g|+|NS|=4百，点P

为线段N片的中点，抛物线C：/=2my（〃z〉0）上点A的纵坐标为太，0Aos=6瓜

（1）求动点P的轨迹曲线W的标准方程及抛物线。的标准方程；

11

（2）若抛物线C的准线上一点。满足OPLOQ,试判断不演r+是否为定值，若是，求这个定值；若不是，

请说明理由.

18.（12分）在①姑3=%，②,=%2,③85-83=48这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整

数人存在，求上的值；若不存在，说明理由.

设正数等比数列也｝的前〃项和为S“，｛4｝是等差数列，,4=%，4=2,%+%+%=30,是否存

在正整数也｝,使得$+产SA+4+32成立？

19.（12分）在AABC中，ZB=1,匕=J7,.求边上的高.

①sinA=@,②sinA=3sinC,③a—c=2,这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

7

20.（12分）如图，已知四棱锥尸—A5CD的底面是等腰梯形，AD//BC,AD=2,BC=4,ZABC=60°,APAD

为等边三角形，且点P在底面ABC。上的射影为AD的中点G,点E在线段6C上，且CE:EB=1:3.

（1）求证：£>E_L平面上4D.

（2）求二面角A—PC—。的余弦值.

21.（12分）如图，在四棱锥尸-A3CD中，侧面R4D为等边三角形，且垂直于底面ABC。,

AB=BC=1,ZBAD=ZABC=90,ZADC=45，分别是AD,的中点.

p

Bc

(1)证明：平面CMN//平面MB；

2

(2)已知点£在棱PC上且。£=—C尸，求直线N石与平面P43所成角的余弦值.

3

—1

22.(10分)已知函数/(%)=ln----cue9+x{a>0).

2x

(1)讨论函数/(x)的极值点的个数；

/(x)+/(x)3

(2)若二“)有两个极值点%,％2,证明:2>]一M2.

.V]Ii"

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

求出了'(幻=6公-2ax,对。分类讨论，求出(0,+g)单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.

【详解】

f'(x)=6x2-2ax=6x(x-f,

若oVO,xG(0,+oo),f'(x)>0,

/(x)在(0,+a)单调递增，且/'(0)=l>0,

在(0,+。)不存在零点；

若。>0,xw(0,至,r(x)<0,xe(0,+oo),f'(x)>0,

/(x)=2x3-a/+1在(0,+“)内有且只有一个零点,

f(―)=—a3+1=0,.'.a=3.

故选:A.

【点睛】

本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.

2、D

【解析】

2x+l,xK0ri/、/、

画出函数，（x）=＜|lnx|x〉0，将方程/［y（x）］=3看作/=/（耳"（。=3交点个数，运用图象判断根的个数.

【详解】

2x+1,x<0

画出函数/"（x）=

|lnx|,x>0

令仁/（。；./（。=3有两解％«0,1）/2«1,+8），则4=/（可"（%）=/2分别有3个，2个解，故方程

/"（%）］=3的实数根的个数是3+2=5个

本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题.

3、C

【解析】

先求出复合函数/（X）在（3,+8）上是单调函数的充要条件，再看其和0＜。＜1的包含关系，利用集合间包含关系与充

要条件之间的关系，判断正确答案.

【详解】

/(%)=logfl(|X-21-a)(a>0,且awl),

由,一2|—0>0得％<2—。或无>2+。，

即f(x)的定义域为{%|九<2—。或x>2+a},(a〉0,且awl)

令f=|x—2|—a,其在(—8,2—a)单调递减，(2+a,+a>)单调递增，

2+a<3

/(x)在(3,+oo)上是单调函数，其充要条件为<。〉0

awl

即0<a<1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.

4、B

【解析】

|"+’|=2[a2+1=2:.a=士6a>0,.1.a=A/3,选B.

i

5、B

【解析】

由函数的奇偶性可得，/d)=-/(-l)=-2

【详解】

V/(%)=x3+asinx

其中g(x)=d为奇函数，l(x)=asinx也为奇函数

/./(X)=g(x)+/(x)也为奇函数

⑴=-/(-1)=-2

故选：B

【点睛】

函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数土奇函数=奇函数；②奇函数x奇函数=偶函数;

③奇函数+奇函数=偶函数；④偶函数士偶函数=偶函数；⑤偶函数x偶函数=偶函数；⑥奇函数x偶函数=奇函数；⑦奇函

数十偶函数=奇函数

6、C

【解析】

由已知求出等比数列｛〃〃｝的公比，进而求出租+〃=4,尝试用基本不等式，但根/EN*取不到等号，所以考虑直

接取m,n的值代入比较即可.

【详解】

2

a6=2a5+3a4,q-2q-3=09q=3^q=-1（舍）.

｛c1mq=3%,/.am.an=a；.3，〃+〃-2_9〃;，：,m+n=4.

147

当zn=l,〃=3时—1--=—；

mn3

145

当m=2,〃=2时—F—=­•

mn2

14137

当根=3,〃=1时，-+-=^,所以最小值为一.

mn33

故选:C.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.

7、C

【解析】

根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.

【详解】

「1=g.%=2表示取出一个黑球,「1

用=3表示取出的为一个白球,所以P（X=3）=d尸（X=2）W所以

de48

*2=3表示取出两个球，其中一黑一白，P（X2=3）=-^=—,x?=2表示取出两个球为黑球,

1「26

X?=4表示取出两个球为白球,尸匹=4）=太所以

1515

石区）=3><弓+2><t+4><白吟.所以P（X]=3）>P（X2=3）,

EXX<EX2.

故选:C

【点睛】

本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.

8、D

【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论.

【详解】

执行该程序可得S=0+5+9+'+。

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图.解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然

后求解.

9、D

【解析】

循环依次为s=l/=l,，=2;S=3/=1H—,，=3;S=6J=1H—I—,，=4;

336

一，111

直至。=1+----+-----------++，=2016;结束循环，输出

1+21+2+31+2++2015'

,111“11111

t=l+---------1-----------------1-H-----------------------------=2(1——+------++)

1+21+2+31+2++201522320152016

=2』）=粉选口

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环

结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问

题，是求和还是求项.

10、B

【解析】

先由三角函数的定义求出sina,再由二倍角公式可求cos2cr.

【详解】

解：角。的终边与单位圆炉+y2=l交于点

1

cosa=一

3

cos2«=2cos2tz-l=2xW-1=--,

⑴9

故选：B

【点睛】

考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.

11、D

【解析】

由复数的综合运算求出z,再写出其共轨复数，然后由模的定义计算模.

【详解】

2i21(1-i)..「

Z=l+-一7=1+7：一TT：一T=2+Z,.-.z=2-z,.-.z=V5.

1+z(1+z)(1-z)

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的运算，考查共轨复数与模的定义，属于基础题.

12、D

【解析】

根据集合的基本运算即可求解.

【详解】

解：A={1,3,5},B={1,2,3),C={2,3,4,5},

则(Ac3)dC={1,3}D⑵3,4,5}={1,2,3,4,5}

故选：D.

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

nV6

13、---a

3

【解析】

计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果.

【详解】

作尸0,平面ABC,。为AA5C的重心

如图

A

AD=ABsinNABD=«-sin60=——a

2

则AO=2AD=且a,

33

所以PO=飞AP?—AO?=&a

3

设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为x

则|,SAABC,尤=；,SAABC.POnx=(~a

故答案为：旦a

3

【点睛】

本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题.

14、7201

【解析】

rnrr

利用二项展开式(«+by的通式4+1=Cna-b可求出出；令(0+%尸=%+^x+%*+q0旷。中的X=1,

x=—1得两个式子，代入%+%+/+—+〃io)—(q+a3+%+—+%)可得结果，

【详解】

利用二项式系数公式，(二品(0)8%2=720/，故%=720,

%+4+...+40—(A/2+1严,%—%+〃2一.••十%()—(A/2-1严，

故(%+%+%+••,+40)—(4+/+。5+•,,+”9)

=(a。++...+tZjg)(a。—%+a,_...+)=(,\/2+1)1°(A/2-1)1°=1,

故答案为：720；1.

【点睛】

本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题.

15、25/2+1

【解析】

根据题意可知，直线/-y-k+2=0与直线%+6一2左—3=0分别I过定点，且这两条直线互相垂直，由此可知，其交

点P在以为直径的圆上，结合图形求出线段OP的最大值即可.

【详解】

由题可知,直线依一y_k+2=0可化为左(x_l)+2_y=0,

所以其过定点A(l,2),

直线%+@-2左-3=0可化为x-3+Z(y-2)=0,

所以其过定点8(3,2)，且满足左•1+(―1)・左=0,

所以直线依一,一左+2=。与直线为+外一2左一3=0互相垂直，

其交点P在以A5为直径的圆上，作图如下：

结合图形可知，线段OP的最大值为|。。|+1,

因为C为线段AB的中点，

所以由中点坐标公式可得C(2,2),

所以线段OP的最大值为2&+1.

故答案为：20+1

【点睛】

本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定

义得到交点P在以A6为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.

16、-

3

【解析】

利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果.

【详解】

由正弦定理可知，2sinAcosC=sinBcosC+sinCcos=sinA

iJI

sinAACOSC=—,即C=1.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)曲线W的标准方程为《+9=1.抛物线C的标准方程为必=2#A(2)见解析

【解析】

(1)由题知IPFil+甲尸2|」NS|：N4|=2百>|尸说I，判断动点尸的轨迹W是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面

向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程；(2)设出点P的坐标，再表示出点N和。的坐标，根

11

据题意求出底产+储所的值，即可判断结果是否成立.

【详解】

(1)由题知「阊=与1,[P用

所以「耳|+「用=回?包=26>|耳闾，

因此动点P的轨迹卬是以耳，工为焦点的椭圆，

又知2。=26，2c=2后，

所以曲线W的标准方程为二+丁2=1.

3.

又由题知4（5,、/4）,

所以。4。5=鼠，6M3后，0）=3忘5=6而，

所以%=2百，

又因为点4（2出,而）在抛物线C上，所以根=卡,

所以抛物线C的标准方程为x2=2&y.

/

（2）设。（马，%），Qx。,一

由题知OPLOQ,所以勺％—普殳=o,

即x="，尸（%尸w0）,

Q2xp

1111

--1------=13+2,Xp

所以I。。「|。。『君+疗---------3

2Xp2

又因为i+近=1,嵋=1-[，

3+2xj>3+2xp]

所以3（片+常）3I+1—胃），

I'3J

11

所以口而+储所为定值，且定值为L

【点睛】

本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能

力，是中档题.

18、见解析

【解析】

根据等差数列性质及4=2、%+%+%=30,可求得等差数列｛4｝的通项公式，由&=%即可求得&的值；根据

等式1+]=8太+4+32,变形可得4+i=仄+32,分别讨论取①②③中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检

验是否存在正整数k的值即可.

【详解】

■:在等差数列｛。“｝中，%+%+%=3%=30,

**•。5=1。，

.•.公差〃=%二幺=2,

5-1

:.an=a1+（〃一l）d=2n,

4—〃4—8,

若存在正整数3使得几1=8k+4+32成立，即配1=4+32成立，设正数等比数列的公比为何｝的公比为

4（4＞。），

若选①，•：b2b3二%69

/.b2=49

“3=2

..心=2"，

.•・当左=5时，满足4=&+32成立.

若选②，,:=（7p=24,

.•山=8.3-3,

A8-3"-2=8-3"-3+32,

=2方程无正整数解，

不存在正整数k使得瓦“=bk+32成立.

若选③，；$5_$3=48,

/.u+4=48,

8q+8q~=48,

q2+q_6=0,

.•.解得“=2或q=-3（舍去），

:，勿=2"，

，当左=5时，满足%=4+32成立.

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后

求参数的值，属于中档题.

19、详见解析

【解析】

选择①，利用正弦定理求得。，利用余弦定理求得。，再计算边上的高.

选择②，利用正弦定理得出a=3c,由余弦定理求出c,再求8C边上的高.

选择③，利用余弦定理列方程求出c,再计算边上的高.

【详解】

_ah

选择①，在AABC中，由正弦定理得——=——，

sinAsinB

a币

即J五_石»解得a=2；

7

由余弦定理得U=。2+02-2accosB，

即（甘『=22+C2-2X2XCX1,

化简得C?—2c—3=0,解得c=3或c=—1（舍去）；

所以边上的高为/i=csin5=3x18=".

22

ac

选择②，在AABC中，由正弦定理得——=-----,

sinAsinC

ac

又因为sinA=3sinC,所以------=——，即a=3c；

3sinCsinC

由余弦定理得尸=«2+c2-2accosB,

即（甘了=（3C）2+C2-2X3CXCX1,

化简得7c2=7,解得c=l或c=—1(舍去)；

所以边上的高为h=csinB=lx18=

22

选择③，在AABC中，由a-c=2,得。=。+2；

由余弦定理得k=4+°2—2accosB，

即(Sj=«+2)2+c2_2x(c+2)xcxg,

化简得c?+2c—3=0,解得c=l或c=—3(舍去)；

所以8C边上的高为h=csinB=lx

22

【点睛】

本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.

20、(1)证明见解析(2)叵

13

【解析】

(1)由等腰梯形的性质可证得DEYAD，由射影可得PG±平面ABCD，进而求证；

(2)取8C的中点F,连接GF，以G为原点,G4所在直线为x轴,GF所在直线为y轴,GP所在直线为z轴，建立空间直

角坐标系,分别求得平面APC与平面DPC的法向量，再利用数量积求解即可.

【详解】

(1)在等腰梯形ABC。中，

点E在线段6C上，且CE:£B=1:3,

二点E为上靠近C点的四等分点，

AD=2,BC=4,CE^1,

DE±AD,

点P在底面ABC。上的射影为AD的中点G,连接PG,

,PG_L平面ABCD,

ZJEu平面ABCD,:.PG±DE.

又A£>cPG=G,ADu平面RS,PGu平面。AD,

二。石工平面PAD.

(2)取6C的中点工连接GF,以G为原点,G4所在直线为x轴,GF所在直线为y轴,GP所在直线为z轴，建立空间直

由(1)易知,£)E1_C5,CE=1,

又ZABC=ZDCB=S°,；.DE=GF=5

AD=2,八PAD为等边三角形,PG=出,

则G(0,0,0),A(l,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,G),C(—2,瓜0),

AC=(-3,^,0),AP=(-l,Q,y/3),DC=(-W,0),£)P=(1,0,73),

设平面APC的法向量为m=(%,%,Z1),

m-AC=0-3石+y/3y=0

则,即

m-AP=0-X]+\f3zy=0

令％=则M=3,4=l,；/=(点3,1),

设平面。PC的法向量为〃=(々,%，22),

n-DC=0—x+=0

则…c，即2「，

n-DP=0+V3Z2=0

令％=百，则丫2=l,z2=-1n=(>/3,l,-l),

设平面APC与平面DPC的夹角为，，则

|m-n||3+3-l|765

cos6=

舟同岳x非-13

..・二面角A-PC-D的余弦值为工二.

13

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查运算能力与空间想象能力.

21、(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)由平面几何知识可得出四边形A3CM是平行四边形，可得。///430。0〃面243,再由面面平行的判定

可证得面面平行；

(2)由(1)可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面”的法向量，再运用线面角的向

量求法，可求得直线NE与平面R钻所成角的余弦值.

【详解】

(1)ZBAD=ZABC^90，AD//BC,XZADC=45°»AB=BC=1,:.AD=2,

而M、N分别是AD、PD的中点，.•.加//%,故MN//面巴钻，

又AM/ABC且3=30,故四边形ABQW是平行四边形,.•.。^//450。^//面上45,

又MN,CM是面CMN内的两条相交直线，故面CMV//面

(2)由(1)可知，两两垂直，故建系如图所示，则

A(O,-1,O),B(1,-1,O),C(1,O,O),D(O,1,O),P(0,0,0),N(0,1,

212

AB=(1,0,0),PA=(0,-1,-,CE=-CP,:.E-,0,—y

x=0

设”=(%,y,z)是平面PAB的法向量,，＜

—y—A/3Z=0

6A/3

+

~T~6~A/3

令z=1,则〃=(0,-6,1),cos(NE,")

c111

2,A/—I—+—

V9412

1

直线NE与平面PAB所成角的余弦值为

2

z

【点睛】

本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.

22、(1)见解析(2)见解析

【解析】

⑴求得函数/(X)的定义域和导函数/(力，对。分成a=0,a2：,0<a<：三种情况进行分类讨论，判断出/(九)

88

的极值点个数.

1f(x1)+f(x9)a1

(2)由(1)知ae(O,—),结合韦达定理求得M，々的关系式，由此化简1一的表达式为2aln3+—+2a,

8X]+x222

a13