专题5.5正方形专项提升训练（重难点培优）-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题5.5正方形专项提升训练（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•阜平县期末）下列说法正确的是（）A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解．【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故A选项符合题意；D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；故选：C．2．（2022春•巴中期末）下列说法正确的是（）A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定判断即可．【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，说法错误，不符合题意；B、对角线平分互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，不符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，说法正确，符合题意；D、对角线平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；故选：C．3．（2022春•唐河县期末）已知：如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC＝MD＝AD，则∠AMB的度数为（）A．120° B．135° C．145° D．150°【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得∠ADM＝30°，然后利用等腰三角形的性质求得∠MAD的度数，从而求得∠BAM＝∠ABM的度数，利用三角形的内角和求得∠AMB的度数．【解答】解：∵MC＝MD＝AD＝CD，∴△MDC是等边三角形，∴∠MDC＝∠DMC＝∠MCD＝60°，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADM＝30°，∴∠MAD＝∠AMD＝75°，∴∠BAM＝15°，同理可得∠ABM＝15°，∴∠AMB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，故选：D．4．（2022春•青秀区校级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF＝3，则OD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由题意可得，EF是△AOD的中位线，然后根据中位线的性质定理解答即可．【解答】解：∵E、F分别为AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线．∴EF＝OD，即OD＝2EF．∵EF＝3，∴OD＝6．故选：D．5．（2022春•肥城市期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE相交于点G，下列结论中正确的是（）①AF＝BE；②AF⊥BE；③AG＝GE；④S△ABG＝S四边形CEGF．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，在△ABF与△BCE中，，∴ΔABF≌ΔBCE，∴AF＝BE，故①正确；∵∠BAF+∠BFA＝90°，∠BAF＝∠EBC，∴∠EBC+∠BFA＝90°，∴∠BGF＝90°，∴AF⊥BE，故②正确；∵GF与BG的数量关系不清楚，∴无法得AG与GE的数量关系，故③错误；∵△ABF≌△BCE，∴S△ABF＝S△BCE，∴S△ABF﹣S△BGF＝S△BCE﹣S△BGF，即S△ABG＝S四边形CEGF，故④正确；综上可得：①②④正确，故选：B．6．（2022秋•舞钢市期中）如图，正方形ABCD中，点P和H分别在边AD、AB上，且BP＝CH，AB＝15，BH＝8，则BE的长是（）A． B．5 C．7 D．【分析】由正方形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，再根据全等三角形的性质可得∠ABP＝∠BCH，利用余角性质可得∠BEC＝90°，铕利用三角形面积法可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∵BP＝CH，∴Rt△ABP≌Rt△BCH（HL），∴∠ABP＝∠BCH，∵∠BCH+∠BHC＝90°，∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴BE⊥CH，∵AB＝BC＝15，BH＝8，∴CH＝＝17，∴，即，∴BE＝．故选：D．7．（2022•大渡口区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若，则线段AC的长为（）A． B． C． D．【分析】过点M作MF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可知FM＝BM，再由四边形ABCD为正方形，可得出∠FAM＝45°，在直角三角形中用∠FAM的正弦值即可求出AM的长度，结合边的关系即可得出结论．【解答】解：过点M作MF⊥AC于点F，如图所示．∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，∴∠CAB＝45°，FM＝BM＝2．在Rt△AFM中，∠AFM＝90°，∠FAM＝45°，FM＝2，∴AM＝FM＝2×＝4．∴AB＝AM+MB＝4+2．故选：A．8．（2021秋•吉州区期末）如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线CF滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形 B．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 C．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 D．四边形ACDF不可能是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、正确．∵∠ACB＝∠EFD＝30°，∴AC∥DF，∵AC＝DF，∴四边形AFDC是平行四边形．故正确．B、正确．B、E重合时，则FA＝FD，∵四边形AFDC是平行四边形，∴四边形AFDC是菱形，C、错误．当E是BC中点时，无法证明∠ACD＝90°，故错误．D、正确．当四边相等时，∠AFD＝60°，∠FAC＝120°，∴四边形AFDC不可能是正方形．故选：C．9．（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB＝DC时，不能判断它是菱形（对边相等是平行四边形的性质），故①错误，当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，当AC＝BD时，它是矩形，故④错误，故选：B．10．如图，在边长为15的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝3，则EF的长为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】作DG⊥EF于点G，根据直角三角形全等三角形判定定理“HL”证明Rt△DGE≌Rt△DCE，Rt△DGF≌Rt△DAF，得GE＝CE，GF＝AF，设GE＝CE＝x，则EF＝GF+GE＝3+x，BE＝15﹣x，由BE2+BF2＝EF2，且BF＝15﹣3＝12列方程求出x的值，即可求出EF的长．【解答】解：如图，作DG⊥EF于点G，∵四边形ABCD是边长为15的正方形，AF＝3，∴AB＝DA＝DC＝BC＝15，∠A＝∠B＝∠C＝∠DGE＝∠DCE＝90°，∵∠DEF＝∠DEC，DG⊥EF，DC⊥EC，∴DG＝DC＝AD，在Rt△DGE和Rt△DCE中，，∴Rt△DGE≌Rt△DCE（HL），∴GE＝CE，∴在Rt△DGF和Rt△DAF中，，∴Rt△DGF≌Rt△DAF（HL），∴GF＝AF＝3，设GE＝CE＝x，则EF＝GF+GE＝3+x，BE＝15﹣x，∵BE2+BF2＝EF2，且BF＝AB﹣AF＝15﹣3＝12，∴（15﹣x）2+122＝（3+x）2，解得x＝10，∴EF＝3+10＝13，∴EF的长为13，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•北京期中）如果正方形的一条对角线长为3，那么该正方形的面积为9．【分析】利用对角线乘积的一半即可求出正方形的面积．【解答】解：正方形的面积是：3×3×＝9．故答案为：9．12．（2021秋•太原期末）添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．【分析】根据正方形的判定方法添加即可．【解答】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．13．（2022春•岱岳区期末）如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为70度．【分析】根据正方形的对称性可知，△ABE与△ADE关于直线AC对称，得到∠AED＝∠AEB，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且AC为正方ABCD的对角线，∴△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB＝45°，∴∠AED＝∠AEB，∵∠AEB为△EBC的外角，∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝25°+45°＝70°，∴∠AED＝70°，故答案为70．14．（2022秋•和平区校级期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，BE＝1，则DF的长为．【分析】通过作辅助线，证明△ABF′≌△ADF和△EAF′≌△EAF，求出EF＝DF+BE，三角形的周长＝三边之和，由三角形的全等，通过等量代换，得出BE+BF′＝EF′，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：延长CB到F′，使BF′＝DF，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF′＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠D，在△ABF′和△ADF中，，∴△ABF′≌△ADF（SAS），∴AF′＝AF，∠1＝∠2，∴∠EAF′＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，在△EAF′和△EAF中，，∴△EAF′≌△EAF（SAS），∴EF′＝EF，设DF＝BF′＝x，∴CF＝3﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴（x+1）2＝（3﹣x）2+22，∴x＝，∴DF的长为；故答案为：．15．（2022春•吴中区校级月考）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H若AB＝2，AG＝，则EB＝．【分析】设BD与AC交于点O，在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，得到∠GAD＝∠EAB从而△GAD≌△EAB，即EB＝GD，由AB＝AD＝2在Rt△ABD中求得DB，利用勾股定理即可求得结果．【解答】解：如图，连接BD，BD与AC交于点O，在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD∴∠GAD＝∠EAB，∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，在△GAD和△EAB中，，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴EB＝GD在Rt△ABD中，DB＝＝2，∴AO＝，∴OG＝OA+AG＝+＝2，∴EB＝GD＝＝．故答案为：．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点F在边DC上运动（不包含两个端点），点E是边BC的中点，连接AE，AF，EF．当△AEF为等腰三角形，AE为底边时，CF的长为．【分析】根据正方形的性质可得AD＝DC＝BC＝AB＝6，∠D＝∠C＝90°，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝DC＝BC＝AB＝6，∠D＝∠C＝90°，∵点E是边BC的中点，∴CE＝BE＝3，∵当△AEF为等腰三角形，AE为底边时，∴FA＝FE，∴AD2+DF2＝CE2+CF2，∴62+（6﹣CF）2＝32+CF2，∴CF＝．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•周至县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AB上，且AF＝BE，AE、DF相交于点O．求证：∠BAE＝∠ADF．【分析】根据正方形的性质得∠B＝∠DAB，AB＝AD，再利用SAS证明△ABE≌△DAF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DAB，AB＝AD，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠BAE＝∠ADF．18．（2022•越秀区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．【分析】根据题意证明△ABQ≌△DAP即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DQ＝CP，∴AD﹣DQ＝CD﹣CP，∴AQ＝DP，∴△ABQ≌△DAP（SAS），∴∠DAP＝∠ABQ，∵∠DAP+∠BAP＝90°，∴∠ABQ+BAP＝90°，∴BQ⊥AP．19．（2021•陕西模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O．过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E，求证：DE＝CE．【分析】根据正方形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴四边形CODE是正方形，∴DE＝CE．20．（2022春•东莞市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；（3）当∠A＝45°，四边形BECD是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．21．（2022秋•牡丹区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上点，过点D作DE⊥BC交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC再满足等腰直角三角形条件时，四边形CDBE是正方形（直接填写答案）．【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；（2）先证出BD＝CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝BD，即可得出四边形BECD是菱形；（3）当△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形；理由如下：∵∠ACB＝90°，当△ABC是等腰直角三角形，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴四边形BECD是正方形，故答案为：等腰直角三角形．22．（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，点P在边BC的延长线上，连接AP交BD于F，过点C作CG∥AP交BD于点G，连接AG，CF．（1）求证：△ADF≌△CBG；（2）判断四边形AGCF是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定定理解答即可；（2）利用正方形的性质和菱形的判定定理解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DBC＝∠ADB＝45°，∵CG∥AP，∴∠BGC＝∠BFP，∵∠BFP＝∠AFD，∴∠AFD＝∠BGC．在△ADF和△CBG中，，∴△ADF≌△CBG（AAS）；（2）解：四边形AGCF是菱形，理由：连接AC，设AC与BD交与点O，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．由（1）知：△ADF≌△CBG，∴DF＝BG，∴OB﹣BG＝OD﹣FD．∴OG＝OF．∵OG＝OF，OA＝OC，∴四边形AGCF为平行四边形，∵AC⊥FG，∴四边形AGCF是菱形．23．（2021秋•宁阳县期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，且∠CGD＝∠DGE，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）猜想：△DEH的形状，