《1.2 空间向量的基本定理》考点复习与同步训练（含答案解析）

《1.2空间向量的基本定理》考点复习【思维导图】【常见考点】考点一基底的判断【例1】在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（）A． B．C． D．【一隅三反】1．下列说法正确的是（）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．基底中基向量与基底基向量对应相等2．设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()A． B．C． D．3．若a,A．b+cC．b+c考点二基底的运用【例2】如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（）A． B． C． D．【一隅三反】1．如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（）A． B．C． D．2．在平行六面体ABCD－中，用向量来表示向量（）A．B．C．D．3．在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（）A． B． C． D．考点三基本定理的运用【例3】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求【一隅三反】1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，设．（1）试用表示出向量；（2）求的长．2．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．3．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值.《1.2空间向量的基本定理》考点复习答案解析考点一基底的判断【例1】在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】:共面，排除A共面，排除B共面，排除D三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C空间向量基底.空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底【一隅三反】1．下列说法正确的是（）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．基底中基向量与基底基向量对应相等【答案】C【解析】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底,所以错.项，空间基底有无数个,所以错.项中因为基底不唯一，所以错.故选.2．设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】选项A,B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D中，，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．若a,A．b+cC．b+c【答案】A【解析】∵2b=b∵a+b+∵a+c=a考点二基底的运用【例2】如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】为的中点，．故选：．【一隅三反】1．如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】连接分别为中点故选：2．在平行六面体ABCD－中，用向量来表示向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，故选B3．（2020·江西吉安。高二期末（理））在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由共面知，故选：考点三基本定理的运用【例3】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）连接,，，如图：，，在，根据向量减法法则可得：底面是平行四边形且又为线段中点在中（2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是由（1）可知平行四边形中故：故：对角线的长为：.（3），又【一隅三反】1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，设．（1）试用表示出向量；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】（1）∵是PC的中点，∴（2）.2．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1），同理可得，．（2）因为，所以，因为，所以．异面直线与所成角的余弦值为．3．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】设，，由题可知：两两之间的夹角均为，且，（1）由所以即证.（2）由，又所以，又则又异面直线夹角范围为所以异面直线夹角的余弦值为.\《1.2空间向量的基本定理》同步练习【题组一基底的判断】1．已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（）A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2C．，2，﹣ D．，+，﹣2．已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是（）A． B． C． D．或3．已知是空间向量的一个基底，则与向量+，-可构成空间向量基底的是()A． B．C．+2 D．+24．为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A． B．C． D．5．若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A． B． C． D．【题组二基底的运用】1．如图，平行六面体中，与交于点，设，则（）A． B．C． D．2．若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为（）A．，， B．，，C．，， D．，1，3.如图所示，，分别是四面体的边，的中点，是靠近的三等分点，且，则__．4．在正方体中，点O是的中点，且，则的值为________.【题组三基本定理的运用】1．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足．（1）判断，，三个向量是否共面；（2）判断点是否在平面内．2．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为________．3．如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，求点与点之间的距离．4.已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．《1.2空间向量的基本定理》同步练习答案解析【题组一基底的判断】1．已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（）A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2C．，2，﹣ D．，+，﹣【答案】C【解析】对于A，因为2=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A不正确；对于B，因为2=（﹣）+（+2），得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B不正确；对于C，因为找不到实数λ、μ，使=λ•2+μ（﹣）成立，故、2、﹣三个向量不共面，它们能构成一个基底，C正确；对于D，因为=（+）﹣（﹣），得、+、﹣三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D不正确故选：C．2．已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是（）A． B． C． D．或【答案】C【解析】∵，即与，共面，∴与，不能构成空间基底；故选C.3．已知是空间向量的一个基底，则与向量+，-可构成空间向量基底的是()A． B．C．+2 D．+2【答案】D【解析】由题意，向量都有向量为共面向量，因此A、B、C都不符合题意，只有向量与向量属于不共面向量，所以可以构成一个空间的基底，故选D.4．为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，因为，所以共面，不能构成基底，排除A，对于B，因为，所以共面，不能构成基底，排除B，对于D，，所以共面，不能构成基底，排除D，对于C，若共面，则，则共面，与为空间向量的一组基底相矛盾，故可以构成空间向量的一组基底，故选：C5．若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】共面，故不能作为基底，故错误；共面，故不能作为基底，故错误；不共面，故可以作为基底，故正确；共面，故不能作为基底，故错误，故选C.【题组二基底的运用】1．如图，平行六面体中，与交于点，设，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，∴，故选D．2．若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为（）A．，， B．，，C．，， D．，1，【答案】A【解析】，由空间向量基本定理，得∴，，.3.如图所示，，分别是四面体的边，的中点，是靠近的三等分点，且，则__．【答案】【解析】因为，分别是四面体的边，的中点，是靠近的三等分点，所以，，，，所以，，，，故答案为：．4．在正方体中，点O是的中点，且，则的值为________.【答案】【解析】在正方体中得，又因为所以所以.故答案为：【题组三基本定理的运用】1．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足．（1）判断，，三个向量是否共面；（2）判断点是否在平面内．【答案】（1）共面（2）点在平面内．【解析】（1）如图，为的重心）为的三等分点）设中点为，则可知在上，且为的重心故知共面（2）由（1）知共面且过同一点.所以四点共面，从而点在平面内．2．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为________．【答案】【解析】如图所示,将直三棱柱补成直四棱柱,连接,则,所以或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为,所以,.在中,,所以所以故答案为:3．如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，求点与点之间的距离．【答案】或∴，∴或，故点与点之间的距离为或．4.已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．【答案】见解析【解析】连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|.又eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up7(→))＋\f(1,2)(\o(OB,\s\up7(→))＋\o(OC,\s\up7(→)))