《2.3 直线的交点及距离公式》考点复习与同步训练（含答案解析）

《2.3直线的交点及距离公式》考点复习【思维导图】【常见考点】考点一直线的交点【例1】如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【一隅三反】1．直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为（）A． B． C． D．2．直线和的交点在y轴上，则k的值为（）A．-24 B．6 C． D．-63．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A． B．C．或 D．或考点二三种距离问题【例2】（1）已知点，的距离是17，则a的值是（）A．8 B．6 C．±8 D．±6（2）原点到直线的距离为（）A． B． C． D．（3）直线与直线平行，则它们的距离为（）A． B． C． D．【一隅三反】1．若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=()A．0 B．1 C．-2 D．-12．到直线的距离等于的直线方程为()A．B．C．或D．或3．过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为_______________.考点三对称问题【例3】（1）若点P（3，4）和点Q（a，b）关于直线对称，则（）A．， B．，C．， D．，（2）直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（）A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9【一隅三反】1．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（）A． B． C． D．2．点关于直线对称的点´的坐标是A． B． C． D．3．直线关于直线对称的直线方程是（）A． B． C． D．4．已知直线l：x＋2y－2＝0.（1）求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．《2.3直线的交点及距离公式》考点复习答案解析考点一直线的交点【例1】如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由，解得，所以，．故选：D．求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标【一隅三反】1．直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】联立方程，解得：所以两直线的交点为，所以直线的斜率为，则直线的方程为：，即.故选：B2．直线和的交点在y轴上，则k的值为（）A．-24 B．6 C． D．-6【答案】C【解析】因为两条直线和的交点在轴上，所以设交点为，所以，消去，可得．故选：．3．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】设直线方程为，即令，得，令，得.由，得或.所以直线方程为或.故选：C.考点二三种距离问题【例2】（1）已知点，的距离是17，则a的值是（）A．8 B．6 C．±8 D．±6（2）（2018·福建高一期末）原点到直线的距离为（）A． B． C． D．（3）直线与直线平行，则它们的距离为（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）D（3）B【解析】（1），即，.故选：C（2）由点到直线距离可知所求距离.故选：.（3）直线，即，与直线平行，，根据两条平行直线之间的距离公式得.故选：B.【一隅三反】1．若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=()A．0 B．1 C．-2 D．-1【答案】C【解析】由，得，解得，即直线，两直线之间的距离为，解得(舍去)，所以故答案选C.2．到直线的距离等于的直线方程为()A．B．C．或D．或【答案】D【解析】因为所求与直线的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为，，解得或，故所求直线方程为或.故选：D.3．过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为__________________.【答案】或【解析】由，得，所以，直线与的交点为.当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为，点到该直线的距离为，不合乎题意；当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为，即，由于点到所求直线的距离为，可得，整理得，解得或.综上所述，所求直线的方程为或.故答案为：或.考点三对称问题【例3】（1）若点P（3，4）和点Q（a，b）关于直线对称，则（）A．， B．，C．， D．，（2）（2020·河北高一期末）直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（）A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9【答案】（1）A（2）C【解析】（1）由，解得，故选A．（2）设直线上的点关于点的对称点的坐标为，所以，，所以，，将其代入直线中，得到，化简得，故选：C．点关于直线对称，可以利用对称点的坐标，两点连线的斜率与直线垂直，然后两点中点在直线上，联立两个一元两次方程求解即得。2.点关于直线对称，可以利用对称点的坐标，两点连线的斜率与直线垂直，然后两点中点在直线上，联立两个一元两次方程求解即得。2.关于直线成轴对称问题，由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”，利用“垂直”即斜率关系，“平分”即中点在直线上这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．【一隅三反】1．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设,则，选D.2．点关于直线对称的点´的坐标是A． B． C． D．【答案】C【解析】设点，则线段的中点为，又点在直线上，所以因为直线，，所以.联立，解得，.故选C.3．直线关于直线对称的直线方程是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，直线与直线的交点为，直线的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．直线的斜率为2，故所求直线的斜率为，所以所求直线方程是，即．选C.4．已知直线l：x＋2y－2＝0.（1）求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．【答案】（1）7x－y－14＝0；（2）x＋2y－4＝0.【解析】（1）由解得交点P(2,0)．在l1上取点M(0，－2)，M关于l的对称点设为N(a，b)，则,解得，所以，又直线l2过点P(2,0)，所以直线l2的方程为7x－y－14＝0.（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，所以,所以m＝－4，即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.《2.3直线的交点及距离公式》同步练习【题组一直线的交点】1.若三条直线，和相交于一点，则（）A． B． C． D．2．过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为（）A． B．C． D．3．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（）A． B． C． D．4．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A． B． C． D．5．在直线上求点，使点到的距离为，则点坐标是（）A． B． C．或 D．或【题组二三种距离问题】1．点到直线的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．42．两平行直线与的距离是______.3．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（）A． B． C． D．4．过点和的直线与直线平行，则的值为_______．5．设，若直线与线段相交，则的取值范围是（）A． B．C． D．【题组三对称问题】1．如果关于直线的对称点为，则直线的方程是()A．B．C．D．2．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点（）A．B．C．D．3．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是____________．4．点关于直线的对称点是______.5．直线y=x关于直线x＝1对称的直线方程是________；6．已知点A(4，－1)，B(8,2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，求PA＋PB的最小值．《2.3直线的交点及距离公式》同步练习答案解析【题组一直线的交点】1.若三条直线，和相交于一点，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】联立，解得，即直线与直线交于点，将点的坐标代入直线的方程中，得，解得.故选：B.2．过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】两直线：，：的交点为解得，即；设与平行的直线方程为则解得所求的直线方程为.故选：D3．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得：，解得，直线的斜率是，故其垂线的斜率是：，∴所求方程是：，即，故选：D4．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.故选：C.5．在直线上求点，使点到的距离为，则点坐标是（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】设，所以，即，又因为点在直线上，所以，两式联立解得或，所以点坐标是或.故选：C【题组二三种距离问题】1．点到直线的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，答案为B2．两平行直线与的距离是______.【答案】【解析】方程化为，所以所求距离为．故答案为：．3．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵直线和互相平行，则，将直线的方程化为，则两条平行直线之间的距离，＝＝＝.故选：D．4．过点和的直线与直线平行，则的值为_______．【答案】【解析】直线的斜率为1，过点和的直线与直线平行所以，即所以故答案为：5．设，若直线与线段相交，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，直线，即，所以直线经过定点，又由斜率公式，可得，．∵直线与线段相交，∴或，则的取值范围是．故选：．【题组三对称问题】1．如果关于直线的对称点为，则直线的方程是()A．B．C．D．【答案】A【解析】因为已知点关于直线的对称点为，故直线为线段的中垂线，求得的中点坐标为，的斜率为，故直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：A.2．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点（）A． B．C． D．【答案】B【解析】直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).3．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是____________．【答案】(－4，－1)【解析】设对称点的坐标为，则，解得，所以所求对称点的坐标为．4．点关于直线的对称点是______.【答案】【解析】设点M（﹣1，1）关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标（x，y）则MN中点的坐标为（，），利用对称的性质得：KMN==﹣1，且﹣﹣1=0，解得：x=2，y=﹣2，∴点N的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．5．直线y=x关于直线x＝1对称的直线方程是________；【答案】【解析】由题得对称的直线的斜率为，解方程组得两直线的交点为，所以对称直线的方程为.故答案为6．已知点A(4，－1)，B(8,2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，求PA＋PB的最小值．【答案】eq\r(65)【解析】设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，∴P0A1＝P0A，PA1＝PA.在△A1PB中，PA1＋PB>A1B＝A