部编《幂函数》教学设计

《3.3幂函数》教学设计内容和内容解析1．内容幂函数的定义，五个幂函数的图象与性质。2.内容解析幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数及其他基本的初等函数经过运算、复合得到的.幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数.学生已学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，等都是学生很熟悉的.因此幂函数的学习是在学生已有的函数学习经验上的拓展，主要是在归纳五个具体函数共性基础上的数学抽象.“幂函数”的内容安排在“函数的概念与性质”一章的第3节，是在学习完一般函数的概念以及函数的基本性质后，选取一类简单的基本初等函数进行研究，使学生明确一类具体函数的研究内容（定义、表示一图象与性质一应用)，并体会如何在一般函数的概念及基本性质的指导下展开研究.因此幂函数的学习既是对前面所学内容的巩固，也为后面指数函数、对数函数的学习打下基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点：幂函数的概念、图象与性质.二、目标与目标解析1.目标(1)通过具体实例，了解函数的定义，会画五个幂函数的图象，理解它们的性质；(2)通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1)能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂函数的一般形式；会利用幂函数的定义识别给出的函数是否为幂函数；会画出五个具体幂函数的草图，并利用图象得到它们定义域、值域、单调性、奇偶性等性质；能利用幂函数的性质解决一些简单的问题，如比较大小等。结合对幂函数的研究，体会从定义、表示——图象与性质——应用的研究具体函数的方法。三、教学问题诊断分析学生在初中已经学习过一些具体的幂函数，但缺乏对研究一类函数的内容和方法的认识，教学时应联系初中学习函数的经验，以及前面学习过的一般函数的概念和性质，让学生尝试构建本节课的学习思路，从而体会研究一类函数的内容、思路和方法。画出和的图象会有一定难度，教学时应该先引导学生观察函数解析式的特点得出是奇函数，的定义域为非负数的集合等；然后让他们思考如何取点，并利用描点法作图，分析五个函数图象的共性和差异性而得出性质，同时，还要加强信息技术的应用。在归纳性质时，学生对从哪些方面进行归纳会存在困惑，教师要引导学生思考研究函数的一般方法及所要研究的内容，结合前面函数性质的研究，为这里性质的归纳作好铺垫。基于以上分析，确定本节课的教学难点：观察五个幂函数的解析式的共性，抽象幂函数念；观察函数图象的内容和方法.四、教学支持条件分析利用信息技术，可以将五个具体幂函数的图象画在同一个坐标系中，以利于观察、归纳函数的性质.教学过程设计（一）幂函数定义的抽象问题：我们知道函数可以来刻画现实世界中的实际问题，请看下面几个例子：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜kg，那么她需要支付元，(2)如果正方形的边长为，那么正方形的面积，(3)如果正方体的边长为，那么正方体的体积，(4)如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，(5)如果某人s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度km/s，即km/s观察这五个函数的解析式，从解析式的结构上看，它们有什么共同点呢?师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题，根据学生的回答，教师进行必要的补充.最后指明；这几个函数解析式都具有幂的形式，幂的底数是变量，指数为常数.教师给出幂函数的定义，并进行板书，追问：根据幂函数的定义判断下列函数是否为幂函数。（1）（2）y=x-2（3）（4）（5）师生活动：学生抢答。教师引导学生总结归纳出幂函数解析式的特点：（1）系数为1（2）底数为自变量，指数为常数设计意图：通过学生熟悉的实际问题引出幂函数；通过追问1使学生建立幂函数与之前已学函数的联系；追问2、3使学生加深对幂函数定义的理解。（二）幂函数的图象与性质前面我们学习了函数的概念，研究了函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等内容问题：有了幂函数的定义，接着应该研究什么?请你根据已有的经验说一说。师生活动：学生回答.教师在学生回答的基础上进行补充，最后指出：根据我们学习过的函数的知识，应该研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等内容。追问：以、、、、这五个幂函数为例，其中、、我们已经很熟悉，回顾这三个幂函数的性质。师生活动：学生回答，并填入表格。追问：那我们怎样研究、的性质呢？大家先观察解析式，能说出它的一些性质吗？师生活动：学生回答。最后使学生认识到通过解析式，可以得到两个函数的定义域，并可以知道是奇函数，既不是奇函数不是偶函数。追问：那我们再怎样研究这两个函数其他的一些性质呢？师生活动：根据初中学习函数的经验，我们可以先用描点法画出函数的图象，再利用图象得函数的性质。教师指出是奇函数，图象关于原点对称，所以我们只需要画轴右侧的图象就可以了。教师展示学生的画图成果。设计意图：引导学生体会研究一类函数的方法，其中，让学生先观察函数和y=x解析式的特点，对函数的定义域、奇偶性等进行初步判断，这样可以使学生提高取点的目的性，使图象更好地反映函数的特征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点.问题：请大家在同一直角坐标系下画出这五个函数的图象，观察这五个函数图象，它们有哪些共同的性质?有哪些不同的性质?师生活动：学生回答，通过交流补充归纳得到五个幂函数的性质，并将这些性质填入表格中.定义域值域奇偶性单调性五个幂函数的图象分开看：追问（1）：这些函数图象都过第几象限？追问（2）：是奇函数，是偶函数，大家归纳一下当α∈Z时，α取什么值时，y=xα在同一直角坐标系下观察五个幂函数的图象：追问（3）：这三个函数的图象在第一象限的变化趋势有什么区别？的图象在第一象限的变化趋势又是怎样的呢？追问（4）：幂函数在上的单调性又怎样的规律呢？师生活动：教师提问，学生讨论归纳出幂函数的性质：图象都经过第一象限，并且图象都通过点(1,1);图象都不过第四象限当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数；特别地，当时，在上上凸递增；当时，在上下凸递增；（4）如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，图象无限地逼近坐标轴；（5）在第一象限内，当x>1时，α越大图象越高；当0<x<1时，α越大图象越低设计意图：引导学生通过观察函数的图象，得出五个函数各自性质的基础上，归纳共性和差异性，得出幂函数的一些基本性质.追问（5）：利用函数图象我们得到了五个幂函数的上述性质。事实上，观察得到的结论有时候是不可靠的，我们还应该对其进行严格的证明。你能证明幂函数在上是增函数吗？设计意图：引导学生对观察得到的性质进行理性思考，利用解析式对结论进行严格证明，提高学生思维的严谨性。同时引导学生认识到用抽象语言表述的单调性定义在证明中的重要作用。（三）新知应用1.已知幂函数图象过点，求这个函数的解析式。2．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小。（1）（2）设计意图：第1题考查学生对幂函数定义的理解；第2题考查学生应用幂函数,的单调性的运用。（四）课堂小结引导学生回顾课本，并回答下列问题：什么是幂函数？结合具体的幂函数，你能说一说幂函数有