空间点、线、面的位置关系（十年高考）-2024高考数学

空间点、线、面的位置关系

考点一点、线、面的位置关系

1.（2015安徽理,5,5分）已知m,n是两条不同直线,a,3是两个不同平面,则下列命题正确的是（）

A.若a,0垂直于同一平面，则a与口平行

B.若m,n平行于同一平面，则m与n平行

C.若a，B不平行，则在a内不存在与B平行的直线

D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面

答案D若a邛垂直于同一个平面Y，贝g邛可以都过Y的同一条垂线，即a,B可以相交，故A错;若m,n平行

于同一个平面，则m与n可能平行，也可能相交，还可能异面,故B错;若a邛不平行，则a,B相交,设anp=l,

在a内存在直线a,使a〃1,则a〃因故C错;从原命题的逆否命题进行判断，若m与n垂直于同一个平面,由

线面垂直的性质定理知m〃n,故D正确.

2.（2015浙江文,4,5分）设a,B是两个不同的平面,1,m是两条不同的直线,且lua,mu&（）

A.若1_L0,贝!]a_L08.若&_1因则l_Lm

C.若1〃0,贝!]a〃0D.若。〃0,则l〃m

答案A对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若a,B，lua,muB，则1与ni

可能平行，可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当1平行于a与0的交线时,1〃自但此时a与

侨目交,所以选项c错误;对于选项D,若a〃因贝I]1与m可能平行，也可能异面，所以选项D错误.故选A.

3.（2015广东,6,5分）若直线1,和卜是异面直线,L在平面a内,卜在平面0内,1是平面a与平面0的交线,则

下列命题正确的是（）

A.1与1“b都不相交

B.1与LJ都相交

C.1至多与中的一条相交

D.1至少与L,L中的一条相交

答案D解法一:如图1,L与L是异面直线11与1平行,L与1相交，故A,B不正确;如图2,L与L是异面

直线,L,L都与1相交，故C不正确,选D.

图1图2

解法二:因为1分别与11,12共画故1与L,12要么都不相交,要么至少与L,12中的一条相交.若1与L,12

都不相交,则1/711,1//12,从而11/712,与L,k是异面直线矛盾,故1至少与L,卜中的一条相交,选D.

4.（2014辽宁,4,5分）已知m,n表示两条不同直线,C（表示平面.下列说法正确的是（）

A.若m//a,n〃a贝m//n

B.若m±a,nca,则m±n

C.若m±a,m±n,贝[]n//a

D.若m//a,m±n,贝!]n±a

答案B若m〃a,n〃Ct,贝!]m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m_La,mJ_n，则n〃C（或nca,

故C错误;若m〃a,m±n,则n与a可能平行、相交或nca,故D错误.因此选B.

5.（2014广东理,7,5分）若空间中四条两两不同的直线11,12,13,L,满足12±13,13114,则下列结论一

定正确的是（）

A.1.114

B.11〃L

C.L与L既不垂直也不平行

D.L与L的位置关系不确定

答案D由可知1与L的位置不确定，

若li〃1s,则结合I3-LL,得li-LL,所以排除选项B、C,

若LIU则结合知L与L可能不垂直,所以排除选项A.故选D.

评析本题考查了空间直线之间的位置关系，考查学生的空间想象能力、思维的严密性.

6.（2014浙江文,6,5分）设m,n是两条不同的直线,a,0是两个不同的平面.（）

A.若m±n,n//a,贝！]m±a

B.若m〃B，0_La，则m±a

C.若m±P，n±P，n±a,则m±a

D.若m±n,n±p,p±a,贝!]m±a

答案C对于选项A、B、D,均能举出m〃a的反例;对于选项C,若m_LB，n_LB，则m〃n,又n，a,「.ni_La,

故选C.

7.（2013课标口理,4,5分）已知m,n为异面直线,m_L平面a,n_L平面0.直线1满足l_Lm,l_Ln,1曲,1邛,则

A.a〃阻l〃a

B.且l±p

C.a与0相交,且交线垂直于1

D.a与0相交,且交线平行于1

答案D若a〃B，则m〃n,这与吹n为异面直线矛盾，所以A不正确,a与侨目交.将已知条件转化到正方体

中,易知a与6不一定垂直，但a与0的交线一定平行于1,从而排除B、C.故选D.

导师点睛对于此类题,放入正方体中判断起来比较快捷.

8.（2013广东理,6,5分）设m,n是两条不同的直线,a,0是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）

A.若mea,nc0,则m±h

B.若。〃0,mea,nc0,则m//n

C.若tn±n,mea,nc0,则a_L0

D.若m±a,m//n,n〃0,则0（_1_0

答案D若a邛,mua,nu因则m与n可能平行，故A错;若0（〃0,mua,nu0,则m与n可能平行,也可能

异面,故B错;若m_Ln,mea,nc0,贝［Ja与0可能相交,也可能平行,故C错;对于D项,由m_La,m〃n,得n，a,

又知n〃的故a,0,所以D项正确.

9.（2011辽宁理,8,5分）如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SDL底面ABCD,则下列结论中不对确的是

（）

A.AC±SB

B.AB〃平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

答案D1•四边形ABCD是正方形,.\AC_LBD.

又；SD_L底面ABCD,/.SD±AC.

其中SDnBD=D,.,次（：_1面SDB,从而AC±SB.故A正确.易知B正确.

设AC与DB交于。点连接SO.

则SA与平面SBD所成的角为NASO,SC与平面SBD所成的角为NCSO,

又OA=OC,SA=SC,.-.ZASO=ZCSO.故C正确.

由排除法可知选D.

评析本题主要考查了线面平行与垂直的判断及线面角、线线角的概念.属中档题.

10.（2016浙江,2,5分）已知互相垂直的平面a邛交于直线1.若直线m,n满足m〃a,n±p,贝卜）

A.m//1B.m//nC.n±lD.m±n

答案C/anp=l,/.Ie|3,Tn邛,.,.n_Ll.故选C.

11.（2020新高考/,16,5分）已知直四棱柱ABCD-AiBiCiDi的棱长均为2,NBAD=6O。.以为球心,遥为半

径的球面与侧面SCCiBi的交线长为.

答案亨

解析易知四边形4B1GD1为菱形,4814。1=60。,连接BiDi,则ABiGDi为正三角形，

取BiCi的中点O,连接DiO,易得DiO±BiCi,

.,.DiO_L平面BCG8,

取BBi的中点E,CCi的中点尸,连接DiE,DiF,OE,OF,EF,易知DiE=D\F=^,

易知以Di为球心,逐为半径的球面与侧面BCCiBi的交线为以O为圆心,OE为半径的碎■,

'：BiE=BiO=l,：.OE=V2,

同理OF=^2,易知EF=2,

：.ZEOF=90°,

：.前的长/x(2irxV2)=—,

42

解题关键利用题设条件证明。1。，平面BCCiBi,从而说明球面与侧面BCCiBi的交线是以。为圆心,OE

为半径的前是解题的关键.

12.（2016课标口，14,5分）a,0是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:

①如果m_Ln,m±a,n〃0,那么a_L0.

②如果n〃a,那么m_Ln.

③如果a〃0,mea,那么m//p.

④如果m〃n,a〃B，那么m与a所成的角和n与0所成的角相等.

其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）

答案②③④

解析若m_Ln,m，a,n〃0,贝！Ja与0可能平行或相交，故①错误;②显然成立;若。〃0,mua,则m与0无公共

点,因而m〃自故③正确;由线面角的定义、等角定理及面面平行的性质可知④正确.

考点二异面直线所成的角

1.（2021全国乙理,5,5分）在正方体ABCD-4BGD1中，尸为BiDi的中点,则直线PB与ADi所成的角为

（）

A.-B.-C.-D.-

2346

答案D解题指导:利用平移法，连接BC1,则BCi〃ADi,得NGBP（或其补角）就是异面直线ADi与PB

所成的角.

解析如图所示，连接BG,GP,易知四边形ABGDi是平行四边形，...NGBP（或其补角）就

是异面直线AD1与BP所成的角，设正方体的棱长为a,则BCi=y/2a,3P与,连接AC.BD,设AC交80于

点O,连接OP,贝!JOP_L平面A8CD,•.,O8u平面ABCD,：.OPA.OB,：.PB=^a*2+(ya)=当a在AGBP

中，cosNPBCiW襄尹=与：.NP8G=g即直线PB与ADi所成的角为£故选D.

Z.Dr'D26O

方法总结:用几何法求异面直线所成角的具体步骤：

、平移的方法一般有三种类型：⑴利用图中已

不法］-有的平行线平移；⑵利用特殊点（线段的端点

—或中点）作平行线平移；⑶补形平移

［证明H证明所作的角是异面直线所成的角或其补角:

L在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角

厂［形，并解之J

,、因为异面直线所成角0的取值范围是0。＜0C

［取舍》90。，所以所作的角为钝角时，应取它的补

角作为异面直线所成的角

2.（2016课标工，理11,文11,5分）平面a过正方体ABCD-ABCD的顶点A,a〃平面CBD,an平面ABCD二叫a

A平面ABBA二n,则m,n所成角的正弦值为（）

1

V3_

AV3VT2-

TB.3D.3

答案A如图,延长BA至A2,使AZALBA,延长DA至Ah使ASALDA,连接AA2,AA3,A2A3,A】B,A.D.易证AA2//

A1B/7D1C,AA3〃AID〃BC

平面AA2A3〃平面CBiDb即平面AA2A3为平面0（.

于是m//A2A3,直线AA,即为直线n.显然有AAFAAFAA,于是m,n所成的角为60°,其正弦值为5.选A.

3.（2014大纲全国理,11,5分）已知二面角。-1邛为60°48匚a,AB_L1,A为垂足,CDup,Cel,NACD=135°,则

异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）

1遮1

-V2-

4TTD.2

答案B在平面a内过点C作CE〃AB,则NECD为异面直线AB与CD所成的角（或其补角），不妨取CE=1,过

点E作EO_L0于点0.

在平面B内过点0作0H1CD于点H,连接EH,则EH±CD.

因为AB//CE,AB_L1,所以CE±1,又因为EO_L0,所以C0±l.

所以NEC。为二面角a-1邛的平面角，即NEC0=60°.

因为NACD=135°,CD±1,所以N0CH=45°.

1

在RtAECO中,CO=CEcosZECO=lxcos60°=-.

I

在RtACOH中，CH=COcosZOCH=-cos45°=—.

24

CH逗鱼

在RtZkECH中,cos/ECH嘿?

所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为选B.

4.（2014大纲全国文,4,5分）已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为

（）

答案B如图，取AD的中点F,连接EF、CF.

A

1

因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF尹）,故NCEF或其补角是异面直线CE、BD所成的角.

设正四面体ABCD的棱长为a,易知CE二CF=苧a,EF=1a.在ACEF中，由余弦定理可得cosZ

故选B.

6

5.（2015浙江,13,5分）如图,在三棱推A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点，则异

面直线AN,CM所成的角的余弦值是.

7

答案

8

解析连接DN,取DN的中点H,连接HM,由N、M、H均为中点，知|cosNHMC1即为所求.因为

AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,又M,N为AD,BC的中点，所以CM±AD,AN_LBC,所以

CM=y/CD2-MD2=2A/2,