2020-2021学年聊城市临清市九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年聊城市临清市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是

（0,2）,点。的坐标是（4次,2），点M和点N是两个动点，其中点M从

点B出发沿氏4以每秒1个单位的速度做匀速运动，到点4后停止,

同时点N从B点出发沿折线BC->CD以每秒2个单位的速度做匀

速运动，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动.设“、N

两点的运动时间为x,ZiBMN的面积是y,下列图象中能表示y与％的函数关系的图象大致是（）

2.则这两个三角形的相似

比为（)

A.2：1B.2

3.用配方法解方程2/—4x=6时，应将其变形为（)

A.(%—I)2=4B.(%—2)2=6C.(x—4)2=10D.(x-2)2=10

4.将y=3/的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（）

A.y=3(x—l)2—3B.y=3(x+1尸+3

C.y=3(x+I)2-3D.y=3(x-l)2+3

5.如图，扇形AOB中，。4=2,C为第上的一点，连接AC,BC,如果四边形AOBC为平行四边形,

则图中阴影部分的面积为（）

人q-有B胃-2遮C.y-V3D.与-2百

6.菱形4BCD的一条对角线长为6,边4B的长是方程M-7x+12=0的一个根，则菱形4BCC的周

长为（）

A.12B.14C.16D.12或16

7.如图，点。是NBAC的外角平分线上一点，且满足BD=CD,过点。作DE_LAC于点E,DFLAB

交84的延长线于点凡则下列结论：

①DE=DF；②4CDE34BDF；@CE=AB+AE;④乙BDC=KBAC.

其中正确的结论有（）

A.1个

8.若反比例函数y=：（kR0）的图象经过点P（—2,3）,则该函数的图象的点是（）

A.(3,-2)B.(1,-6)C.(-1,6)D.(-1,-6)

9.某校成立“情暖校园”爱心基金会，去年上半年发给每个经济困难学生400元，今年上半年发给

了500元.设每半年发给的资助金额的平均增长率为X,则下面列出的方程中正确的是（）

A.500(1+x)2=400B.400(1+x)2=500

C.400(1+2%)=500D.500(1+2%)=400

10.如图，PA切。。于点A,P0交。。于点B,点C是。。优弧凝上一点,

连接4C、BC,如果NP=NC,。。的半径为1,则劣弧筋的长为（）

A.)

A

B.-n

4

c.)

6

D-会

11.如图，双曲线y=:的一个分支为（）

A.①B.②C.③D.@

12.2.如果矩形的面积为6c/n2,那么它的长ysn与宽xcm之间的函数关系用图像表示大致是

A.

B.

D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.在AABC中，4c=90。，AC=4,BC=3,。是边4B上的一点，E是边AC上的一点（。、E与端

点不重合），如果ACDE与AaBC相似，那么CD的长是

14.如图，4B是。。的直径，延长OB至P,使BP=OB,点C为圆上

除4、B外的任一点.设NPCB=a,"OC=£.则tcma-tanq的值

为.

15.如图，是半。0的直径，点C、。均在半0。上，0D14C于

点E,若BC=3DE,则空的值为.

16,两个实数的和为4,积为-7,则这两个实数为.

17.在矩形ABC。中，连结AC,点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B-4-C的路径运动,

运动时间为t（秒）.过点E作EF1BC于点尸，在矩形ZBCD的内部作正方形EFGH.当力B=6,BC=

8时，若直线AH将矩形ABCC的面积分成1：3两部分，t的值为

备用图

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

18.如图所示，两个建筑物4B和CD的水平距离为3（hn,张明同学住

在建筑物AB内10楼P室，他观测建筑物CO楼的顶部。处的仰角

为30。，测得底部C处的俯角为45。，求建筑物CO的高度.（8取

1.73,结果保留整数.）

四、解答题(本大题共7小题，共61.0分)

19.解方程:

(l)x2-2x=0；

(2)2x(x+1)=3.

20.已知：如图，在。力BCD中，乙4BC、4/WC的平分线分别交4D、BC于

点E、F.求证：BE//DF.

21.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同,

求每次降价的百分率.

22.若关于x的方程/+2(m-l)x+m2-2m-3=0(?n为实数).

(1)求证：不论ni为何值，该方程均有两个不等的实根；

xX

(2)解方程求出两个根Xi，x2(l>2)>并求w=X1(X1+亚)+X女的最值•

23.如图，已知D,E分别为△力BC的边4B,BC上两点，点4,C,E在

QDE,点B,。在OE上.尸为第上一点，连接FE并延长交4c的

延长线于点N,交AB于点M.

⑴若4EBD为a,请将NCAO用含a的代数式表示；

(2)若EM=MB,请说明当NCAD为多少度时，直线EF为。。的切线;

(3)在(2)的条件下，若百，求矍的值.

24.如图，正比例函数为=kx与反比例函数y=?(久＞0)交于点4(2,3),

ABlx轴于点B,平移直线为=依使其经过点B,得到直线丫2,为与

y轴交于点C,与y=?交于点D.

(1)求正比例函数y1=kx及反比例函数y=?的解析式；

(2)求点。的坐标；

(3)求44co的面积.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过4(一1,0),8(4,0),

C(0,-4),0M是△ABC的外接圆，M为圆心.

(1)求抛物线的解析式；x

(2)求阴影部分的面积；

(3)在线段。8上有点P,作PQ_Lx轴交BC于Q,设PQ=k,hCPQtfy

面积为S,求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：

根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时△BMN的面积，再写出当点N在CD上运动时△BMN

的面积，即可得出本题的答案.

本题主要考查了动点问题的函数图象问题，根据几何知识求出函数解析式是解题的关键，要注意认

真总结.

解：当0<xW2时，此时M在4B上，N在BC上；

如图1：

图1

连接BD,AC,交于点0,连接NM,过点C作CPJLAB垂足为点P,

•••Z.CPB=90°,

•••四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(0,2),点。的坐标是(4g,2),

BO=2聒,CO=2,

BC=AB=VBO2+CO2=4.

•••AC=4,

•1•△48c是等边三角形，

・•・乙ABC=60。，

:.CP=BC-sin600=4x曰=2b，

BP=BC-cos600=2,

・・・BN=2x,BM=x,

,BM_xBN_2x_x

.,—，——，

BP2BC42

,.•BM_=BN,

BPBC

又乙NBM=乙CBP,

•••△NBMfCBP,

・・・乙NMB=Z-CPB=90°,

BM_BN_MN_X

BP-BC一CP-2’

：.MN=-CP=-x2\[3=V3x,

22

.・.y=-BMxMN=-xxxV3x=—%2;

z222

当2<%W4时，此时M在ZB上，N在CD上;

・・•四边形4BCD是菱形，

:・AB〃CD,

.・・NE=CP=2b，

BM=xf

-y="-%•2V3=V3x=V3x,

J2

停/(o<X<2)

,V3x(2<x<4)

故选D

2.答案:A

解析：

根据相似三角形的性质解答即可.

此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边之比即是相似比解答.

解：•••以A,B,C为顶点的三角形与以。，E,F为顶点的三角形相似，

.AC_BC_8_12_2

"EF~DF~4~6-1'

故选4.

3.答案:A

解析：解：2/-4X=6,

x2—2x=3,

x2—2x+l=3+l>

(x-l)2=4.

故选A.

根据配方法的步骤先把二次项的系数化为1，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，然后进

行整理即可.

本题考查了配方法解一元二次方程，关键是能正确配方，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号

的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

4.答案:D

解析：解：・•・二次函数y=3/的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，

所得图象的函数解析式是：y=3(x-l)2+3.

故选：D.

由二次函数y=3/的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，根据平移的性质，即可求得所

得图象的函数解析式.注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减

本题主要考查了函数图象的平移.要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函

数解析式.

5.答案：D

解析：解：连接0C,过点4作4D_LCZ)于点。，

•••四边形40BC是平行四边形，。4=0B,/

...四边形40BC为菱形，

・•・0A=AC=2.

C

•・・0A=0C,

・・・△40C是等边三角形，

・・・AAOC=乙BOC=60°,

力。。与4BOC为边长相等的两个等边三角形.

•：A0=2,

AD=0A-sin600=2x—2=V3.

"S阴影=S扇形AOB—2sA4℃=123602-2xix2xV3=y-2V3.

故选：D.

连接。C,过点4作4。1C。于点D,四边形40BC是菱形可知04=AC=2,再由。4=OC可知△AOC

是等边三角形，^AOC=^BOC=60°,故△4C。与ABOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐

角三角函数的定义得出4。的长，由S阴影=S扇形AOB-2sA4"即可得出结论.

本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键.

6.答案：C

解析：解：方程M-7X+12=0,

分解因式得：(x—3)(x-4)=0,

可得％—3=0或%—4=0,

解得：x=3或x=4,

当48=3时，3+3=6,不能构成三角形，舍去；

当48=4时，菱形周长为16.

故选：C.

求出已知方程的解确定出48的长，即可求出周长.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及菱形的性质，熟练掌握方程的解法是解本题的关键.

7.答案：D

解析：解：•・•点。是"AC的外角平分线上一点，DE1AC,DF1AB,口

・•,DE=DF,所以①正确；

VZ.CED=/LBFD=90°,CD=BD,DE=DF,

••Rt△CDE=Rt△BDF(HL)；所以(2)正确；-----------------——

・•・CE=BF,

同理可证明△ADE=LADF,

•.AF=AEf

CE=BF=AB+AF=AB4E,所以③正确；

CDE=^BDF,

・•・Z-FBD=Z.ECD,

vzl=z2,

Z.BDC=NB4C.所以④正确.

故选：D.

根据角平分线的性质对①进行判断;利用“HL”可对②进行判断；由^CDEaBDF得到CE=BF,

同理可证明△力DEWA力DF得至ijAF=AE,则可对③进行判断；利用△CZ)E=ABD/得到NFBD=

乙ECD,则可根据三角形内角和可对④进行判断.

本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已

知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组

对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻

边.

8.答案：D

解析：解：•.•反比例函数、=：(卜40)的图象经过点2(一2,3),

3=g解得k=-6.

A、•••3x(-2)=-6,.•.此点在反比例函数的图象上，故本选项错误；

B、♦•・1x(-6)=-6,.♦.此点在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C、•••(—1)x6=—6,.••此点在反比例函数的图象上，故本选项错误；

£＞、・・•(-l)x(-6)=6#—6,.••此点不在反比例函数的图象上，故本选项正确.

故选D.

先把点P(-2,3)代入反比例函数y=其卜清0)求出土的值，再对各选项进行逐一判断即可.

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数

的解析式是解答此题的关键.

9.答案：B

解析：解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为X，则去年下半年发放给每个经济困难学生

400(1+x)元，今年上半年发放给每个经济困难学生400(1+x)2元，

由题意，得：400(1+x)2=500.

故选B.

先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数,

令其等于500即可列出方程.

本题考查了列出解决问题的方程，解题的关键是正确理解“利润每月平均增长率为X”的含义以及找

到题目中的等量关系.

10.答案:A

解析：解：PA切。。于点a,

OA1PA,

•••Z.OAP=90°,

•••/C=沁，"=

:、Z-0=2乙P,

而4。+4P=90°,

・•・£.0=60°,

.・•劣弧⑪的长=誓中

故选：A.

利用切线的性质得N04P=90。，再利用圆周角定理得到NC=izo,加上4P=NC可计算写出乙。=

60°,然后根据弧长公式计算劣弧翁的长.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和弧长公式.

11.答案：D

解析：解：・在y=5中，fc=8>0,

••.它的两个分支分别位于第一、三象限，排除①②；

又当x=2时，y=4,排除③；

所以应该是④.

故选。.

此题可直接根据反比例函数的图象性质作答，主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质

才能灵活解题.

12.答案:C

解析：本题考查的是反比例函数的应用和反比例函数的图像.现实生活中存在大量成反比例函数的两

个变量，解答这类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的像

限.

解：由矩形的面积公式可得期=6

.•・y=9(X>0,y>0)图像在第一像限,

X

故选：C.

13.答案：|或募

解析：解：vZ.ACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=y/BC2+AC2=>/324-42=5»

当△ABC〜△CDE,如图1,JJIlJzCFD=Z.ACB=90°,^DCE=LA,

・・・△/DC为等腰三角形，

图1

・•・CE=AE，

•・・ED//BC,

.・.BD—AD,

CD=-AB=

22

当AABCFDCE,如图2,KkCFD=Z.ACB=90°,乙DCE=cB,

而488+4DCE=90°,

・・・乙B+乙BCD=90°,

图2

・•・CD1AB.

…BCAC12

ACD=-------=—,

AB5

当AABCfCED,如图3,Z-CDE=^LACB=90°,Z.DCE=Z.A,

・•・DC=DA,

・・・Z-A^-Z,B=90°,Z-DCE+乙BCD=90°,

・・・乙B+乙BCD=90°,

.・.DB=DC,

CD=DA=DB=-AB=

22

综上所述，CD的长为|或号.

故答案为:或冷.

分类讨论：当△ABC-ACDE,如图1,则4CED=NACB=90。，NDCE=乙4,证明BO=4。即可解

决问题；当△ABCs/kOCE,如图2,则4CE。=乙4。8=90。，乙DCE=AB,接着证明C014B,利

用面积法可计算出CD=甘；当4ABCfCED,如图3,/.CDE=乙ACB=90°,乙DCE=Z.A,证明CD

为斜边上的中线，则CD=DA=DB=\AB=|.

本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常

考题型.

14.答案：|

解析：

此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知/\

识.注意准确作出辅助线是解此题的关键.\0/

首先过点B作801BC,垂足为氏交CP于点D,连接4C,易证得BD〃4C,

证得△PBDFPAC,

然后由相似三角形的对应边成比例，求得BD：AC的值，又由tan]=^,tana=即可求得答

案.

解：过点B作BDLBC,垂足为B,交CP于点D,连接4C,

••,4B是。。的直径，

•••乙4cB=90°,

：.AC//BD,

PBD~APAC,

・••BD：AC=PB：PA,

・・•BP=OB,OA=OB,

BD_BP_1

AC~AP~3

-2LA=-Z-P0C=-

22

BC

・•.tan^S~AC"

BD

•・•tana=—,

BC

BBDBCBD_1

：•tana•tan-=--------

2BCAC~AC~3

故答案为

15.答案:4

解析：解：设BC=6Q,则DE=2a,

vOD1AC,

:・AE=EC,又AO=OB,

.-.0E=\BC=3a,

.・.OD=2Q+3Q=5Q,

^.Rt△AOE^,AE=y/OA2-OE2=4a，

・•・AC—8a,

则竺=四=4,

DE2a

故答案为：4.

根据垂径定理得到4E=EC,根据三角形中位线定理得到OE=：BC,根据勾股定理求出4E,计算即

可.

本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握三角形中位线定理、垂径定理是解题的关键.

16.答案：2+41和2-711

解析：解：设其中一个实数为工，则另一个实数为4-%,

xx(4—%)=—7,即/—4x—7=0.

则％=若I=2土ar,

当x=2+vn时，4-x=2-711.

当x=2-VIl时，4-x=2+V11.

所以这两个实数是2+aI和2-丁五.

故答案是：2+V1T和2-VTL

设其中一个实数为未知数，根据两实数和表示出另一个实数，根据积列出等量关系求解即可.

此题考查一元二次方程的应用；根据两数积的关系得到等量关系是解决本题的关键.

17.答案：耕密或手或12

解析：解：如图1，设直线4H交BC于M,当BM=CM=4时，直线将矩形ABCD的面积分成1：3两

部分.

VEH//BM,

AE_EH

•t•~~，

ABBM

6—tt

・•・——=

64

12

如图2,设直线长/”交CD于M交BC的延长线于K,当CM=DM=3时，直线将矩形/BCD的面积

分成1：3两部分，

・・•乙D=乙MCK=90°,乙AMD=乙KMC,

.^ADM=^KCM(ASA^

・・.AD=CK=8,

vEH//BK,

AE_EH

••—,

ABBK

6-tt

・••=-，

616

48

At=一.

11

如图3,当点E在线段4c上时，设直线力”交CD于M,交BC的延长线于N.当CM=DM时，直线4H将

矩形48CD的面积分成1：3两部分，

•・•乙D=乙MCN=90°,4AMD=乙NMC,

•­.AD=CN=8.

在RtaABC中，AC=V62+82=10,

vEF11AB,

•,*—CE=-E-F,

CAAB

.16-t_EF

----=—,

10----6

3

/.FF=|(16-t),

•・•EH//CN,

-E-H=—AE,

CNAC

.氧6-t)_£-6(

“8~10

解得t=y.

如图4,当E点AC上，且正方形EFGH在4c的左边时,

由器=算可得辿±=T，解得"12.

CNAC4io

图4

综上所述，满足条件的t的值为当或亲蜉或12.

分三种情形分别求解：①如图1中，延长4H交BC于M,当BM=CM=4时，直线4,将矩形4BCD的

面积分成1：3两部分.②如图2中，延长4H交CD于M交BC的延长线于K,当CM=OM=3时，直线

AH将矩形4BC。的面积分成1：3两部分.③如图3中，当点E在线段4C上时，延长4H交CO于M,交

BC的延长线于N.当CM=DM时，直线力”将矩形力BCD的面积分成1：3两部分.

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理

等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

18.答案：解：过点P作PE1CD于E,则四边形BCEP是矩形.

•••PE=BC=30.

在RtAPOE中，vZ.DPE=30°,PE=30,

•••DE=PExtan300=30x—=10V3.

3

在RMPEC中，v/.EPC=45°,PE=30,

:.CE=PExtan45°=30x1=30.

:•CD=DE+CE=3Q+1073=30*17.3*47(m)

答：建筑物CO的高约为47nl.

解析：过点P作PEICC于E,则四边形BCEP是矩形，得到PE=BC=30,在中，利用

/.DPE=30°,PE=30,求得DE的长；在RtAPEC中，利用4EPC=45。，PE=30求得CE的长，

利用CD=DE*CE即可求得结果.

本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数

解直角三角形.

19.答案：解：(1);％2一2%=0,

x(x-2)=0,

则x=0或x—2=0,

解；%!=0,x2=2；

(2)v2x(x+1)=3.

2x2+2%—3=0,

a=2,b=2,c=­3,

•••△=4—4X2X(-3)=28>0,

则％=Z^Z=±22

42

即Xl=芳2x2=y.

解析：(1)利用因式分解法求解可得；

(2)利用公式法求解可得.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

20.答案：证明：•.・四边形4BCD是平行四边形，

L.ABC=Z.ADC,AD//BC,

/.DE//BF,Z.EBC=Z.AEB,

•・,乙ABC、4/DC的平分线分别交4。、BC于点E、F,

1i

AZ.ADF=-ADC,乙EBC=±ABC,

22

••・Z.ADF=乙EBC,

，Z.AEB=Z-ADF,

，BE//DF.

解析：根据平行四边形的性质得出乙4BC=NADC,AD//BC,求出DE〃BF,zEBC=AAEB,根据

角平分线的定义求出44。尸=NE8C,求出4458=乙4。尸，根据平行线的判定得出BE〃。尸即可.

本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推

理是证题的关键.

21.答案：解：设每次降价的百分率为x,

由题意得，560(1-%)2=315.

解得：x=0.25=25%,或％=-2.25(舍去)

答：每次降价的百分比为25%.

解析：设每次降价的百分率为4,根据题意可得，560X(1-降价的百分率产=315,据此列方程求

解即可.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适

的等量关系，列出方程.

22.答案：(1)证明：△=[2(m-1)]2-4x1x(m2-2m-3)=16>0,

••・不论m为何值，该方程均有两个不等的实根；

(2)解：x2+2(m—l)x+m2-2m—3=0,

(%+m—3)(%+m+1)=0,

•­,X]>x2<

■,­%!=—m+3,x2=-m—1,

,,,w=x1(x1+x2)+Xl，

——(-Tn+3)(-2,m+2)+(—Tn+3)2,

=37n2-14m+15,

74

=3(『)o

•・•3>0,

••・w有最小值是一［.

解析：(1)根据坟-4ac与零的关系即可判断出的关于％的一元二次方程m%2,3(m-1)%+2m-

3=0(m为实数)有两个不相等的实数根的m的取值范围；

(2)用因式分解法求得方程的两个根，代入w中，化简并配方可得最小值.

本题考查了根的判别式、二次函数的最值和一元二次方程的解，在一元二次方程中，利用根的判别

式4=b2-4ac与0的关系来判断该方程的根的情况；同时熟练掌握配方法确定最值的方法.

23.答案：解：(1)连接CD、DE,OE中，•••£/)=EB,

•••乙EDB=Z.EBD=a,

・•・Z-CED=乙EDB+乙EBD=2a,

。。中，・・・。。=。9=4。，

，Z.CAD=Z.ACD,Z.DCE=乙DEC=2a,

△AC8中，Z.CAD+Z,ACD4-Z-DCE+Z.EBD=180°,

...乙CAD=18°°~3a=90°-—；

22

(2)设4MBE=%,

•・,EM=MB,

・•・乙MEB=乙MBE=%,

当EF为。。的切线时，Z,DEF=90°,

・・・Z.CED+乙MEB=90°,

・・・Z.CED=Z.DCE=90°-x,

△ACB中，同理得，/-CAD4-^ACD+Z-DCE+Z-EBD=180°,

・•・2乙CAD=180°-90°=90°,

・・・乙CAD=45°；

(3)由(2)得：Z.CAD=45°；

180°-3ZMBE

由⑴得：乙CAD=

2

・・・4MBE=30°,

・・・MED=2乙MBE=60°,

vCD=DE,

：.△OE是等边三角形，

：•CD=CE=DE=EF=AD=V3,

Rt△DEM中,乙EDM=30°,DE=V3.

EM=1,MF=EF-EM=y/3-

△4CB中，ZJVC8=45°+30°=75°,

△CNE中，Z.CEN=/.BEF=30°,

乙CNE=75°,

•••ACNE=乙NCB=75°,

•••EN=CE=y/3)

MNNE+EMV3+1.r7

=2o+V3•

—MF=---M--F---=-F遮--1

解析：(1)根据同圆的半径相等和等边对等角得：乙EDB=4EBD=a,/.CAD=^ACD,乙DCE=

乙DEC=2a,再根据三角形内角和定理可得结论；

(2)设/MBE=x,同理得：NMEB=NMBE=X,根据切线的性质知：ADEF=90°,所以/CED+

乙MEB=90°,同理根据三角形内角和定理可得NC4O=45°；

⑶由(2)得：4CAD=45。；根据⑴的结论计算ZMBE=30。,证明△CDE是等边三角形，得CD=CE=

DE=EF=AD=V3-求EM=1,MF=EF-EM=0-，,根据三角形内角和及等腰三角形的判

定得：EN=CE=g，代入化简可得结论.

本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键

是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.

24.答案：解:(1)将点4(2,3)分别代入乃=依、丫=潍3=2一、3=p

解得k=|,m=6.

正比例函数及反比例函数的解析式分别为yi=|x、y=

(2)1.,了2由治平移得到，所以设=|x+b,

•••AB，支轴，「.BQ,。)，将其代入丫2=|x+b得b=-3,

•••y2=-x-3,

f3VA

y=-x—o3%1=1+遮》2=1一遮/

22

由题意得：6解得：3V5-3，3追+3