安徽省示范高中培优联盟2023-2024学年高一年级上册冬季联赛数学试题（含答案）

安徽省示范高中培优联盟2023年冬季联赛（高一）

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第3页，第II卷

第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡

上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答第H卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹

清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清

楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答

题无效.

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

1.已知集合A=,（x—2乂3「27）=。},B={xeZ|（^lnx1},则AB=（）

A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{1,2,3}

2.若命题：3%>0,2x?-如+L,0是真命题，则实数加的取值范围是（）

A.[l,+oo）B.[2,+oo）

C.〔20,+oo）D.[3,+oo）

3

3.已知函数y=/（2x）的定义域为-于2则函数y=x）的定义域为（）

ln（x+2）

7

A.0,—B.[—3,—1)(—1,4]

C.（-2,4]D.（-2,-l）（-1,4]

4.若夕：〃>3,q：关于x的方程V+G；+1=0有两个不相等的实数根，则p是q成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1

5.已知定义域为R的函数〃尤)和g(x),函数图象关于原点对称，函数g(x)满足g(x)—g(—x)=0,

若/(x)+g(%)=2，+/—1,则/(1)与g(—2)的大小关系为()

A./(l)>g(-2)B./(l)<g(-2)

C〃l)=g(-2)D.不确定

6.已知b>l,logfl10=lgZ?,\ga+lgZ?„2,则〃+/?=()

A.2B.5C.10D.20

7.已知函数/(x)定义域为。，若对于Vx1?x2eD,当玉w々时，都有

/龙2"(石)+/(龙2)]-尤)(％)—才/(/)<0成立，则称函数〃%)是“共建”函数，则下列四个函数中是“共

建”函数的是()

A./(%)=%(4'+2)B./(九)=xlog](2左一1)

2

C./(%)=X2+X,X£(0,+8)D./(%)=A：2,XG(0,+00)

c7如,/\81A+4,9A+4,3A+1,,[/土曰、

8.函数/(x)=--->+23T-----的取s小值是(z)

A.2A/2B.3C.-D.—

33

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

9.若实数x,y满足—l<x<y<2,则下列说法中正确的是()

1c，

A.—<-1B.-2<x+y<4

x

C.—1<%—y<0D.—3<%—y<。

10.若点(。,8)在幕函数/("=(。-1)/的图象上，则以下关于函数g(x)=J^9-的说法中正确的

是()

A.g(x)的定义域是[1,2]B.g(尤)的值域是[-1,1]

C.g(x)是增函数D.g(5-x)+g(x)=0

11.若函数〃力的零点与g(x)=4x+hw—2的零点之差的绝对值不超过g,则可以是()

A./(x)=4x-lB./(x)=x3+x-2

2

xx

C.f(x)=3-3-D./(x)=log2(3x-2)

12.定义在R上的函数了（尤），当x>0时，/（x）=2|x—2|,当茗,0时，f（x）=2x+1,若关于x函数

丁=产（力+时（力+1在定义域内有四个零点，则实数m的取值可以是（）

26105

A.----B.-5C.——D.——

532

第n卷（非选择题共加分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知函数/（尤）=2尤—斤^,则“力的值域为.

14.已知函数/（x）=log〃（x+A）的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组（a,。）的值

15.设点4（1,0），5（0,1）,点C是函数y=x+轰此11图象上一点，则八钻。面积的最小值为.

16.若函数/（X）=（x+3乂2炉+3+〃）对于\/无61t都有/（2-x）+/（x）=0,则2m+n=.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）

某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表

月份1月2月3月

小型汽车数量X（辆）306080

创造的收益y（元）480060004800

（1）根据上表数据，从下列三个函数模型中：®y=ax+b,@y^ax~+bx+c,③y=a*+6选取一个恰

当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量x（辆）与创造的收益y（元）之间的关系，并写出这个函

数关系式；

（2）利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它

在一周内大约应生产多少辆小型汽车？

18.（12分）

（1）已知6>a>0,求证"+1>4；

b+1b

(2)利用(1)的结论，证明：1--Y1--Y1--|x.x|l~—|<.1(〃eN*且〃..2).

2Ml2人4人6)I2nJ出+1

19.（12分）

我们知道存储温度x（单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间T（单位：h）,温度越高，保鲜时间越短.已知

3

X与T之间的函数关系式为T（x）=e""+"（e为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为180h,在

25℃的保鲜时间为45h.（参考数据：72«1.41）

（1）求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；

（2）若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h,那么对存储温度有怎样的要求？

20.（12分）

定义在R上的函数八》）,满足对于任意的都有1可（肛）=成立，并且茄>0,

使得=

（1）判断函数的单调性，并证明；

（2）若Vxw[—2,—1],不等式/+必）..1恒成立，求实数4的取值范围.

21.（12分）

已知函数/'（D=卜2+2工-3,毛,0;

-2+lux,x>Q.

（1）请在网格纸中画出了（九）的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）;

/(x)-x2-4x+l,-2轰!k0;

（2）定义函数g（x）=<—2在定义域内的％,若满足，则称与为函

0<兀，2.

[2

数g（x）的一阶不动点，简称不动点；若满足g（g（%o））=%，则称/为函数g（x）的二阶不动点，简称稳定

点.

①求函数g（x）的不动点;

②求函数g（x）的稳定点.

4

22.(12分)

已知函数/(%)=log“x,其中a＞L

(1)若存在西＜%2，使得=|/(%2)1求2%1+々的最小值;

(2)令g(x)=/(x)/，若关于X的方程g(x)=〃2有两个根毛和％2，求当三〉时，实数加的取值

X1

范围.

2023冬季联赛高一数学参考答案

123456789101112

ACDAADBDBDBCDABDAB

一、选择题(本大题共8个题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.)

1.【答案】AA={2,3}-5={xeZ|lWxWe},所以A6={2},故选A.

A=nr-8>0

2.【答案】C\m即me12J5,+oo),故选C.

—>0

14

-3<l-x<4

3.【答案】DVXG2,/.2xe[-3,4],

-r无+2>0且x+2wl

-3<x<4

即＜口，故选D.

X〉一2H.Xw—1

4.【答案】A由△=/一4＞0解得。＞2或。＜一2,故夕是q成立的充分不必要条件，选A.

5.【答案】A因为y(x)+/(-x)=0,g(x)-g(-x)=0,/(x)+g(x)=2A+x3-1，故

3

Ior

/(-x)+g(-x)=2-'-x3-l,即-/(x)+g(x)=2--x3-l,所以/(x)=——---

g(x)=---，计算可得7•⑴=1，g(—2)=/故选A.

24o

6.【答案】D•••log010=Igb，，^=3，即Ig。•辿=1，由基本不等式可知Iga+Igb>2^lga-lgb=2,

5

又因为Iga+lg匕<2,所以lga+lg匕=2,即满足基本不等式取等条件lga=lgh=l,即a=b=10,故选

D.

7.【答案】B<0,设

g(x)=,即玉%—%2)[g(%)—g(%2)]<0，选项B中，g(x)=log](2x—1)在定义域上是单调

X2

递减函数，满足“共建”函数的定义，故选B.

〃+:+4/+1卜+3+121

8.【答案】D设t=3x,则/(7)=-J—=——=r+-+--,因为

,2I2/2I't«2\Z

Z2+—=^2+-+->3-----=3,所以/(%)23+工=电，选D.

titytt33

二、选择题：本大题共4个题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得

5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9.【答案】BD当x=l时，工=1>—1,故A错误；因为一l<x<y<2,根据同向可加性易知—2〈尤+y<4,

X

故B正确；因为—l<x<y<2,所以—lvX<2,—2<—y<1,则—3<x—y<。，故C错误，D正确，故

选BD.

10.【答案】BCD因为/(x)=(a—为幕函数，所以a—1=1,则a=2,由点(2,8)在/(%)=f的图

象上得6=3,故g(无—51.由1解得2<x<3,故A错误；易知函数

-[%-2>0

g(无)=JT与—J三单调递增，故C正确；当24尤<3时，求得值域为[—1,1],故B正确；由

g(%)=yjx-2-y/3-x,Wg(5-x)=A/3-X-x/x-2,则g(5_%)+g(x)=0,故选BCD

11.【答案】ABD计算可得A,B,C,D选项中的零点分别为1,0,1,根据二分法以及零点存在性定

4

理可求出g(l)=4-2=2>0,gf|l=2+ln1-2=ln1<0,

12.【答案】AB令/=/(%),则丁=产+79+1,由题意原函数有4个零点，结合函数/=图象可知函

6

数y=r+加/+1有两个不同零点.和,不妨设.</2，且：+%2=一加，巾2=1，分析函数，=/(%)的图

11717

象可知，'4,则—机=%]+%2——F，解得m«——,故选AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.y,+ooj14.(2,1)15.点—g16.-14

15

13.【答案】—,+8令，=y/x—1,则，20,%二r+1,

8

2

115

y=/(x)=2(/+i)-t=2\t--I+—,易得值域为—,+oo

I488J

14.【答案】(2,1)只要满足。>1,〃=1即可

15.【答案】V2--,如图所示,

2

11£]_

S/XABC~^/\ACO+S^BCO~/\ABO=]x+工+—X——2xH—因为-<x<l，所以

X222X22

2x+->2.2x--=2y/2,当且仅当％=正时取等号，此时ZkABC面积的最小值为四―L.(另解：利用

x\x22

点到直线距离公式亦可解决)

16.【答案】—14,因为对于V尤eR都有“2—x)+/(x)=0,所以函数/(%)的对称中心为(1,0),又因为

/(-3)=0,所以/(5)=0,故/(X)=2(X+3)(X-1)(X-5)=(X+3)(2X2-12X+10),即

2m+n=—24+10=—14.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.(10分)【答案】

7

（1）选取②y=以2+法+0,由题表可知，随着x的增大，y的值先增大后减小，而函数y=ox+匕及

>=优+6均为单调函数，故不符合题意，

所以选取②y=or?+6x+c2分

将（30,4800）,（60,6000）,（80,4800）三点分别代入函数解析式丁=以2+法+0,可得二次函数对称轴为

^=30+80=55>故可将函数解析式设为丁=心一55）2+//,即得到（'；+,=6000,解出［2,

225?。+/-4800h=6050

y——2（x—55『6050——2x2+220%—tzx2+bx+c,

工a=-2,b=220,c=0；5分

（2）设在一周内大约应生产x辆小型汽车,根据题意,可得—2/+220%>6020,即-2x2+220%-6020>0,

BPX2-110X+3010<0,6分

因为△=n（）2—4x3010=60>0,所以方程110尤+2800=0有两个实数根%=55—JE,

x2=55+y/15,由二次函数y=V—n0x+3010的图象可知不等式的解为55—岳<x<55+&?.8

分

因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量534xV58之间时，这家工厂能够获

得6020元以上的收益.10分

18.（12分）【答案】

（1）证明：因为b>。>0,所以但_幺=/.―,〉o,于是但>q.4分

b+1b（b+l）bb+\b

-i[a<oii

(2)证明：即证一^<—(〃eN*且2)

262462n4+1

In-22n-lIn

由（1）式可知,------<------<------故

2«-1In2n+l

2

1352n—l1352n—l1242n—2111*

—x—x—x-------->—x—x—x--------—x—x—x---=------x-—=—QneN且〃22)

2462n2462n2352n—l22n4n

2

1352n—l1352n—l2462n1*

—x—x—x-----<---—x—x—x-----——---x——x——x----------------(neN且〃22)

2462n2462n3572〃+l2n+l

即一/<—X—3X—5x――/1—(〃wN*且〃22),

原式得证.12分

2yJn2462nv2n+l

19.（12分）【答案】

8

’5加+〃_1OQ

⑴根据题意，将（5,180）,（25,45）分别代入T（x）=e'"+"得25",+「，2分

e+"二45

所以e2°”，=吏_=_L,所以e5"=正，m＜0,

18042

当x=0时，T（x）=e"=粤=里=180挺a180x1.41=253.8,

I7e5mV2

此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间为254小时.6分

（2）根据题意，即要求丁（"=y+”290,由⑴可知即'"=g,所以e5"'+"-ei°"=ei5"+"180-g=90,

故e^"'即即尔215m,因为加＜0,所以x415,

所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h,存储温度要低于15℃12分

20.（12分）【答案】

（1）函数/（X）单调递减.，证明如下：

由时（孙）=加/'（力得,/（孙）="（%）］＞，则%,%JR当玉＜%2时

升"

/（再）-/（4）=/（M-f（砌㈣了=

因为％＜%2，所以加7＜加?，则avb,故

"为）-/（爸）=出-出＞。

所以函数/（九）单调递减.6分

（2）不等式/［a+/（―/）21可等价变形为f［a+^＞1

/（T

因为/（盯）="（x）F，所以同口=［/H）『=/（x?）,则不等式可变为/［。+鼻］2/卜2）8分

由⑴知，函数在定义域内单调递减，故2,—1］恒成立，

则■-彳］,解得aW—11分

12人n2

因此实数a的取值范围是［-8,g.12分

9

21.（12分）【答案】

，y

(1)

〃力的单增区间为[—1,0],（0,+8）,“X）的单减区间为（—8,T]5分

-2x-2,-2<%<0

(2)易知g(x)=<

19

-X2-2,0<X<2

12

2

①当一2</<0时，g(%)=-2/一2,令g(%)=Xo得一2%-2=%,解得/=-耳；

11L

2

当0</«2时，^(%0)=—%0-2,令g(xo)=%o得5%02_2=尤0,解得入o=l±j5(舍)

2

综上所述：函数g(x)的不动点为-8分

②当一2</<-1时，g(x0)=-2x0-2,且0<g(x())W2,则

g(g(%))=g(-2%-2)=；(-2%-2)2-2=2%+4%0

令g(g(X0))=%0得，2%o+4x0=