2024届浙江省金华市义乌市中考五模数学试题含解析

2024届浙江省金华市义乌市中考五模数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在平面直角坐标系中，AABC位于第二象限，点A的坐标是（-2,3）,先把AABC向右平移3个单位长度得

到AAgG，再把A4131G绕点G顺时针旋转90。得到AA与C，则点A的对应点上的坐标是（）

C.(0,0)D.(4,2)

2.如图，在4ABC中，ZC=90°,将小ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN/7AB,

MC=6,NC=2j§",则四边形MABN的面积是（）

A.6石B.12小C.186D.24^/3

3.下列实数中，最小的数是（）

A.拒B.-71C.0D.-2

4.下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是（）

A.-2B.-1C.0D.1

5.已知。O及。O外一点P,过点P作出。O的一条切线（只有圆规和三角板这两种工具），以下是甲、乙两同学的作

业:

布

图1

甲：①连接OP,作OP的垂直平分线1,交OP于点A；

②以点A为圆心、OA为半径画弧、交。O于点M；

③作直线PM,则直线PM即为所求（如图1）.

乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P;

②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O,直角顶点落在。O上，记这时直角顶点的位置为点M；

③作直线PM,则直线PM即为所求（如图2）.

对于两人的作业，下列说法正确的是（）

A.甲乙都对B.甲乙都不对

C.甲对，乙不对D.甲不对，已对

6.下列各数中，相反数等于本身的数是（）

A.-1B.0C.1D.2

7.如右图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（）

8.如图，DE是线段AB的中垂线，AE//BC,/AEB=120，AB=8,则点A到BC的距离是（

D

CB

A.4B.473C.5D.

9.下列各组数中，互为相反数的是（)

2与;

A.-1与(-1)2B.(-1)2与1C.D.2与|-2|

10.为了开展阳光体育活动，某班计划购买键子和跳绳两种体育用品,共花费35元，键子单价3元，跳绳单价5元,

购买方案有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

11.若关于X的一元二次方程（k-1）X2+2X-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

111r1日

A.Jt>-B.k>-C.且厚1D.后一且到1

222

12.如图，AB〃CD,FE±DB,垂足为E,Zl=60°,则N2的度数是（)

A.60°B.50°C.40°D.30°

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.化简/(l&-\210)17(/V[2―+1\)2018的结果为

14.如图，在AABC和AEDB中，ZC=ZEBD=90°,点E在AB上.若△ABC义^EDB,AC=4,BC=3,则AE

15.在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（m,7）,（3m-1,7）,若线段AB与直线y=-2x-1相交，则m

的取值范围为

16.如图，在△ABC中，AB=AC,D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：@AADF^AFEC；②四

边形ADEF为菱形；③5%分：5l^=1：4.其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

D

BEC

17.如图，一）。的半径为3,点A,B,C,。都在。上，ZAOB=3Q°,将扇形绕点。顺时针旋转120。后

恰好与扇形C。。重合，则A。的长为,（结果保留万）

18.如图，已知。O是△ABD的外接圆，AB是。。的直径，CD是。O的弦，ZABD=58°,则/BCD的度数是

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1,在△ABC中，点O在线段BC上，ZBAO=30°,ZOAC=75°,AO=34，BO：CO=1：3,求AB的长.

经过社团成员讨论发现，过点B作BD〃AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）.

请回答：ZADB=。，AB=.请参考以上解决思路，解决问题：

如图3,在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC±AD,AO=36,ZABC=ZACB=75°,BO：OD=1：

3,求DC的长.

D（图2）

i（图3）

20.（6分）如图，AB是。。的直径，弦DE交AB于点F,。。的切线BC与AD的延长线交于点C,连接AE.

（1）试判断NAED与NC的数量关系，并说明理由；

（2）若AD=3,ZC=60°,点E是半圆AB的中点，则线段AE的长为

c

21.（6分）某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记机分（609W100）,组委会从1000篇征文中

随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如图不完整的两幅统计图表.

征文比赛成绩频数分布表

分数段频数频率

60<m<70380.38

70<m<80a0.32

80<m<90bc

90<m<100100.1

合计1

请根据以上信息，解决下列问题：

（1）征文比赛成绩频数分布表中c的值是；

（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；

（3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数.

22.（8分）在小ABC中，AB=AC=BC,点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC,ZBAC=a,ZDBC=p,且a+p=110°,

连接AD,求NADB的度数.（不必解答）

D'

小聪先从特殊问题开始研究，当a=90°,0=30。时，利用轴对称知识,

以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD，，连接C»（如图1）,然后利用a=90。，0=30。以及等边三角形等相

关知识便可解决这个问题.

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：AD，BC的形状是三角形；NADB的度数

为.在原问题中，当NDBCVNABC（如图1）时，请计算NADB的度数；在原问题中，过点A作直线AE±BD,

交直线BD于E,其他条件不变若BC=7,AD=1.请直接写出线段BE的长为.

23.（8分）问题提出

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD,E为CD的中点，贝！J/AEBZACB（填

问题探究

（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，NAPB最大？并说明理由；

问题解决

（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的

距离BD=11.6米.如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果」最

好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离.

A

24.（10分）如图，△ABC中AB=AC,以AB为直径的。O交BC边于点D,连接AD,过D作AC的垂线，交AC

边于点E,交AB边的延长线于点F.

（1）求证：EF是。。的切线；

（2）若NF=30。，BF=3,求弧AD的长.

25.(10分)已知：如图1,抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B(点A在点B左侧)，根

据对称性AAMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称AAMB为该抛物线的“完美三角形”.

(1)①如图2,求出抛物线丁=好的“完美三角形，，斜边AB的长；

②抛物线y=Y+1与y=好的，，完美三角形，，的斜边长的数量关系是_；

(2)若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4,求a的值；

(3)若抛物线〉=咫2+2%+〃_5的“完美三角形”斜边长为11,且,=如2+2彳+〃—5的最大值为-1,求m,n的值.

26.(12分)平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=ax?+bx+3与y轴相交于点C,与x轴正半轴相交于点A,

OA=OC,与x轴的另一个交点为B,对称轴是」直线x=L顶点为P.

(1)求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；

(2)抛物线的对称轴与x轴相交于点M,求NPMC的正切值七

(3)点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标.

4-

3-

2-

1-

।।।ill1.

-3-2-101234x

27.(12分)已知AB是。。的直径，PB是。。的切线，C是。O上的点，AC/7OP,M是直径AB上的动点，A与

直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.

(1)求证：PC是。。的切线；

3

(2)设OP=-AC,求NCPO的正弦值；

2

(3)设AC=9,AB=15,求d+f的取值范围.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、D

【解析】

根据要求画出图形，即可解决问题.

【详解】

解：根据题意，作出图形，如图：

观察图象可知：A2(4,2)；

故选：D.

【点睛】

本题考查平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是正确画出图象，属于中考常考题型.

2、C

【解析】

连接CD,交MN于E,

•.,将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处,

/.MN±CD,且CE=DE./.CD=2CE.

VMN/7AB,ACDIAB.AACMN^ACAB.

•「ACMN

^ACAB

，

•..在ACMN中，NC=90。，MC=6,NC=2豆，•«SACMN=1-?

S^CAB=4SACMN=4义6yfF=1•

,"S四边形MABN=SACAB-SACMNi.故选c.

3、B

【解析】

根据正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较.

【详解】

*/一兀<-2<0<6,

二最小的数是-7T,

故选B.

【点睛】

此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法.（1）正实数都大于0,负实数都小于0,

正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上

表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

4、A

【解析】

由于要求四个数的点中距离原点最远的点，所以求这四个点对应的实数绝对值即可求解.

【详解】

V|-11=1,|-1|=1,

.,.|-1|>|-1|=1>0,

...四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是-1.

故选A.

【点睛】

本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，也利用了数形结合的思想.

5、A

【解析】

(1)连接。M,0A,连接0P,作0P的垂直平分线/可得04=MA=AP,进而得到NO=NAM。，ZAMP^ZMPA,

所以NOMA+NAMP=NO+NMR4=90。，得出MP是。。的切线，(1)直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的

另一条直角边过圆心。，直角顶点落在。。上，所以NOMP=90。，得到MP是。。的切线.

【详解】

证明：(1)如图1,连接。M,0A.

•.•连接0P,作。尸的垂直平分线/,交QP于点A,••.04=4P.

•••以点4为圆心、为半径画弧、交。。于点

OA=MA=AP,；.NO=NAMO,ZAMP^ZMPA,：.ZOMA+ZAMP=ZO+ZMPA=90°,J.OM1MP,；.MP是。。

的切线；

(1)如图1.

•.•直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的另一条直角边过圆心0,直角顶点落在。。上，••.NOMP=90。，.•.”产

是。。的切线.

故两位同学的作法都正确.

故选A.

【点睛】

本题考查了复杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性.

6、B

【解析】

根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数.

【详解】

解：相反数等于本身的数是L

故选B.

【点睛】

本题考查了相反数的意义.注意掌握只有符号不同的数为相反数，1的相反数是1.

7、B

【解析】

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有从正面看到的棱都应表现在主视图中.

【详解】

解：从正面看该几何体，有3列正方形，分别有：2个，2个，2个，如图.

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看到的视图，属于基础题型.

8、A

【解析】

作AHBC于H.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题.

【详解】

解：作AHLBC于H.

DE垂直平分线段AB,

r.EA=EB，

=^EBA.,

•.•NAEB=120,

.•./EAB=/ABE=30,

AE//BC,

.•./EAB=/ABH=30，

/AHB=90，AB=8,

.•,AH=-AB=4,

2

故选A.

【点睛】

本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

9、A

【解析】

根据相反数的定义，对每个选项进行判断即可.

【详解】

解：A、(-1)2=1,1与-1互为相反数，正确；

B、(-1)2=1,故错误；

C、2与,互为倒数，故错误；

2

D、2=|-2|,故错误；

故选：A.

【点睛】

本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义.

10、B

【解析】

首先设键子能买x个，跳绳能买y根，根据题意列方程即可，再根据二元一次方程求解.

【详解】

解：设例子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：

3x+5y=35,

3

y=7-gx,

•••x、y都是正整数,

，x=5时，y=4；

x=10时，y=l；

二购买方案有2种.

故选B.

【点睛】

本题主要考查二元一次方程的应用，关键在于根据题意列方程.

11、C

【解析】

根据题意得k-1加且△=22-4（k-1）x（-2）>0,解得：k>L且kWL

2

故选C

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a邦）的根的判别式A=bJ4ac,关键是熟练掌握：当△>0,方程有两个不相等

的实数根；当小=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.

12、D

【解析】

由EFJ_BD,Nl=60。，结合三角形内角和为180。即可求出ND的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论.

【详解】

解：在ADEF中，Nl=60°,ZDEF=90°,

ZD=180°-ZDEF-Zl=30°.

；AB〃CD,

/.Z2=ZD=30°.

故选D.

【点睛】

本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180。,解题关键是根据平行线的性质，找出相等、互余或互补的角.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、72+1

【解析】

利用积的乘方得到原式=[-1）（行+1）]2°"・（后+1）,然后利用平方差公式计算.

【详解】

原式=[（&T）（&+D]2017-（V2+1）=（）2。"・（&+i）

2-1=A/2+1.

故答案为：V2+1.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰

当的解题途径，往往能事半功倍.

14、1

【解析】

试题分析：在RtAACB中，ZC=90°,AC=4,BC=3,由勾股定理得：AB=5,

VAABC^AEDB,

.*.BE=AC=4,

AAE=5-4=1.

考点：全等三角形的性质；勾股定理

15、-4<m<-1

【解析】

先求出直线y=7与直线y=-2x-l的交点为（-4,7）,再分类讨论：当点B在点A的右侧，贝!|mW-4W3m-1,当

点B在点A的左侧，则3m-lW-4Wm,然后分别解关于m的不等式组即可.

【详解】

解：当y=7时，-2x-l=7,解得x=-4,

所以直线y=7与直线y=-2x-1的交点为（-4,7）,

当点B在点A的右侧，则mW-4W3m-l,无解；

当点B在点A的左侧，则3m-1<-4<m,解得-4WmW-1,

所以m的取值范围为-4WmW-1,

故答案为-4WmW-1.

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据直线y=-2x-1与线段AB有公共点找出关于m的一元一次不等式

组是解题的关键.

16、①②③

【解析】

①根据三角形的中位线定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC,进而可证出AADFgaFEC（SSS）,结论①正确；

②根据三角形中位线定理可得出EF〃AB、EF=AD,进而可证出四边形ADEF为平行四边形，由AB=AC结合D、F

分别为AB、AC的中点可得出AD=AF,进而可得出四边形ADEF为菱形，结论②正确；

③根据三角形中位线定理可得出DF〃BC、DF--BC,进而可得出AADFs^ABC,再利用相似三角形的性质可得出

2

S]

诚”=1,结论③正确.此题得解.

3ABC4

【详解】

解：①•.•»、E、F分别为AB、BC、AC的中点，

ADE,DF、EF为△ABC的中位线，

111

.\AD=-AB=FE,AF=-AC=FC,DF=-BC=EC.

222

在AADF和AFEC中，

AD=FE

<AF=FC,

DF=EC

/.△ADF^AFEC(SSS),结论①正确；

②；E、F分别为BC、AC的中点，

AEF为4ABC的中位线，

1

，EF〃AB,EF=-AB=AD,

2

四边形ADEF为平行四边形.

VAB=AC,D、F分另lj为AB、AC的中点，

AAD=AF,

四边形ADEF为菱形，结论②正确；

③；D、F分别为AB、AC的中点，

.^.DF为△ABC的中位线，

1

.•・DF〃BC,DF=-BC,

2

.,.△ADF^AABC,

ADF、2

葭S结/D论F③1正确.

故答案为①②③.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，逐一分

析三条结论的正误是解题的关键.

5

17、-71.

2

【解析】

根据题意先利用旋转的性质得到NBOD=120。，则NAOD=150。，然后根据弧长公式计算即可.

【详解】

解：•.,扇形AOB绕点O顺时针旋转120。后恰好与扇形COD重合,

.,.ZBOD=120°,

.,.ZAOD=ZAOB+ZBOD=30°+120°=150°,

.150•乃•35

..AD的长=--------=一乃•

皿1802

故答案为::乃.

【点睛】

K.7T.R

本题考查了弧长的计算及旋转的性质，掌握弧长公式1=----------（弧长为L圆心角度数为n,圆的半径为R）是解题

180

的关键.

18、32°

【解析】

根据直径所对的圆周角是直角得到NAOB=90。，求出NA的度数，根据圆周角定理解答即可.

【详解】

是。。的直径,

ZAZ>B=90°,

,:ZABD=58°,

/.ZA=32°,

:.ZBCD^32°,

故答案为32°.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)75；473;⑵CD=4而.

【解析】

（1）根据平行线的性质可得出NADB=NOAC=75。，结合NBOD=NCOA可得出△BODs^cOA,利用相似三角形

的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出NABD=75o=NADB,由等角对等边可得

出AB=AD=46,此题得解;

(2)过点B作BE〃AD交AC于点E,同(1)可得出AE=4白，在RtAAEB中，利用勾股定理可求出BE的长度,

再在RtACAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解.

【详解】

解：⑴VBD/7AC,

.,.ZADB=ZOAC=75°.

,-,ZBOD=ZCOA,

/.△BOD^ACOA,

.OPOB1

"'~OA^~OC^3'

又•：AO=3#),

/.OD=-AO=J3.

3

，AD=AO+OD=4g.

VZBAD=30°,/ADB=75°,

.,.ZABD=180°-ZBAD-ZADB=75°=ZADB,

，AB=AD=46.

(2)过点B作BE〃AD交AC于点E,如图所示.

VAC1AD,BE/7AD,

/.ZDAC=ZBEA=90o.

VZAOD=ZEOB,

.'.△AOD^AEOB,

.BOEOBE

"DO~AO~DA'

VBO：OD=1：3,

.EOBE_1

VAO=3^,

.,.EO=g,

/.AE=4V3.

VZABC=ZACB=75°,

/.ZBAC=30°,AB=AC,

/.AB=2BE.

在RtAAEB中，BE2+AE2=AB2,即(473)2+BE2=(2BE)2,

解得：BE=4,

；.AB=AC=8,AD=1.

在RtACAD中，AC2+AD2=CD2,即82+l2=CD2,

解得：CD=4V13.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：(1)利用相

似三角形的性质求出OD的值；(2)利用勾股定理求出BE、CD的长度.

20、(1)ZAED=ZC,理由见解析；(2)卡

【解析】

(1)根据切线的性质和圆周角定理解答即可；

(2)根据勾股定理和三角函数进行解答即可.

【详解】

(1)ZAED=ZC,证明如下：

连接BD,

可得NADB=90。,

.,.ZC+ZDBC=90°,

；CB是。O的切线,

.,.ZCBA=90°,

；.NABD+NDBC=90°,

:.ZABD=ZC,

VZAEB=ZABD,

/.ZAED=ZC,

(2)连接BE,

:.ZAEB=90°,

VZC=60°,

.\ZCAB=30o,

在RtADAB中，AD=3,ZADB=90°,

・AD_A/3

••cosDAB------------,

AB2

解得：AB=2g,

；E是半圆AB的中点，

；.AE=BE,

VZAEB=90°,

；./BAE=45°,

在RtAAEB中，AB=26，ZADB=90°,

・A/2

・•cos2_EAB-------f

AB2

解得：AE=V6.

故答案为逐

【点睛】

此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌

握辅助线的作法.

21、(1)0.2；(2)答案见解析；(3)300

【解析】

第一问，根据频率的和为1,求出c的值；第二问，先用分数段是90到100的频数和频率求出总的样本数量，然后再

乘以频率分别求出a和b的值，再画出频数分布直方图；第三问用全市征文的总篇数乘以80分以上的频率得到全市

80分以上的征文的篇数.

【详解】

解：(1)1-0.38-0.32-0.1=0.2,

故答案为0.2；

(2)10^0.1=100,

100x0.32=32,100x0.2=20,

补全征文比赛成绩频数分布直方图：

征文比赛成绩辍分布百方宦

(3)全市获得一等奖征文的篇数为：1000x(0.2+0.1)=300(篇).

【点睛】

掌握有关频率和频数的相关概念和计算，是解答本题的关键.

22、(1)①△D'BC是等边三角形，②NADB=30。(1)NADB=30。；(3)7+若或7-73

【解析】

(1)①如图1中，作NABD，=NABD,BDr=BD,连接CD，，AD，，由AABD丝ZkABD。推出△ABC是等边三角

形；

②借助①的结论，再判断出△AD'Bg^ADC,得NAD，B=NAD，C,由此即可解决问题.

(1)当60。＜014110。时，如图3中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD，，AD%证明方法类似(1).

(3)第①种情况：当60。〈(1勺10。时，如图3中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD，，ADS证明方法类似

(1),最后利用含30度角的直角三角形求出DE,即可得出结论；第②种情况：当0。＜01＜60。时，如图4中，作NABD，

=ZABD,BD，=BD,连接CD，，AD\证明方法类似(1),最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.

【详解】

(1)①如图1中，作NAB»=NABD,BDf=BD,连接CD，，ADJ

图2

VAB=AC,ZBAC=90°,

.\ZABC=45°,

■:ZDBC=30°,

/.ZABD=ZABC-ZDBC=15°,

AB=AB

在4ABD和小ABD，中，\NABD=ZABD'

BD=BD'

.,.△ABD^AABDS

.,.ZABD=ZABD,=15O,ZADB=ZADfB,

ZD,BC=ZABD,+ZABC=6J0°,

VBD=BD,,BD=BC,

；.BD，=BC,

...△D，BC是等边三角形，

②是等边三角形，

/.D,B=D,C,NBD，C=60。，

AD=AD'

在△AD'B和△ADC中，\D'B=D'C

AB=AC

.'.△AD'B^Z\AD'C,

.,.ZADrB=ZADrC,

1

:.ZADB=-NBD'C=30。，

2

.,.ZADB=30°.

(1)VZDBC<ZABC,

.,.60°<a<110°,

如图3中，作NABD，=NABD,BDf=BD,连接CD，,AD',

图3

VAB=AC,

/.ZABC=ZACB,

■:ZBAC=a,

.\ZABC=-(180°-a)=90°--a,

22

1

；.NABD=NABC-ZDBC=90°--a-B,

2

同(1)①可证△ABD义ZkABD。

1

AZABD=ZABD,=90°--a-B,BD=BD',NADB=NAD'B

2

AZD,BC=ZABD,+ZABC=90°-ya-p+90°-ga=180°-(Ja+p),

,.,a+P=110°,

:.ZD,BC=60°,

由(1)②可知，AAD'B四△ADC,

：.ZAD'B=ZAD'C,

1

:.ZADB=-NBD'C=30°,

2

/.ZADB=30°.

(3)第①情况：当60。<(1<110。时,如图3-1,

图3-1

由(1)知，ZADB=30°,

作AE±BD,

在RtZkADE中，ZADB=30°,AD=1,

;.DE=G

•.•△BCD，是等边三角形，

.*.BD'=BC=7,

.,.BD=BD'=7,

BE=BD-DE=7-；

第②情况：当（FVa<60。时,

如图4中，作NABD，=NABD,BD，=BD,连接CD，，AD\

同理可得：ZABC=-(180°-a)=90°--a,

22

:.ZABD=ZDBC-ZABC=p-(90°-ya),

同(1)①可证△ABD四△ABD。

AZABD=ZABDf=p-(90°-ya),BD=BD,,ZADB=ZAD,B,

AZDfBC=ZABC-ZABDf=90°-ya-|p-(90°-ya)]=180°-(a+p),

.•.D，B=DC,NBD，C=60。.

同(1)②可证△AD'B四△AD，C,

：.ZAD'B=ZAD'C,

•/NAD'B+NAD'C+NBD'C=360°,

:.ZADB=ZAD,B=150°,

在RtAADE中，ZADE=30°,AD=1,

;.DE=G

，BE=BD+DE=7+5

故答案为：7+若或7-V3.

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质.等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

23、(1)＞；(2)当点P位于CD的中点时，NAPB最大，理由见解析；(3)4丽米.

【解析】

(1)过点E作于点尸，由矩形的性质和等腰三角形的判定得到：AAE尸是等腰直角三角形，易证NAEB=90。,

而NACBV90。，由此可以比较NAEB与NAC5的大小

(2)假设尸为CZ>的中点，作AAP3的外接圆。。，则此时C。切。。于P,在CZ>上取任意异于P点的点E,连接

AE,与。。交于点F,连接BE、BF；由NAFB是△E尸5的外角，^ZAFB>ZAEB,且NAf8与NAP5均为。O

中弧AB所对的角，贝JNA尸3=NAPB,即可判断NAP3与NAEB的大小关系，即可得点P位于何处时，NAPB最大;

(3)过点E作CE〃。匕交4。于点C,作A5的垂直平分线，垂足为点Q,并在垂直平分线上取点0,使O4=CQ,

以点。为圆心，08为半径作圆，则。。切CE于点G,连接0G,并延长交O尸于点P,连接。4,再利用勾股定理

以及长度关系即可得解.

【详解】

解：(1)ZAEB>ZACB,理由如下:

如图1,过点E作EFLAB于点F,

,••在矩形ABCD中，AB=2AD,E为CD中点，

**.四边形ADEF是正方形，

；.NAEF=45。，

同理，/BEF=45。，

:.ZAEB=90°.

而在直角小ABC中，ZABC=90°,

.\ZACB<90°,

.\ZAEB>ZACB.

故答案为：>;

(2)当点P位于CD的中点时，NAPB最大，理由如下：

假设P为CD的中点，如图2,作AAPB的外接圆。O,则此时CD切。O于点P,

图2

在CD上取任意异于P点的点E,连接AE,与。O交于点F,连接BE,BF,

VZAFB是小EFB的外角，

/.ZAFB>ZAEB,

VZAFB=ZAPB,

/.ZAPB>ZAEB,

故点P位于CD的中点时，NAPB最大：

(3)如图3,过点E作CE〃DF交AD于点C,作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q,并在垂直平分线上取点O,

使OA=CQ,

A)、

以点O为圆心，OA长为半径作圆，则。O切CE于点G,连接OG,并延长交DF于点P,此时点P即为小刚所站的

位置，

由题意知DP=OQ=JOA2_AQ〃

；OA=CQ=BD+QB-CD=BD+*AB-CD,

BD=11.6米，2AB=3米，CD=EF=1.6米，

2

.\OA=11.6+3-1.6=13米，

•*-DP=V132-32=4尼米，

即小刚与大楼AD之间的距离为4瓜米时看广告牌效果最好.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，勾

股定理等知识，难度较大，熟练掌握各知识点并正确作出辅助圆是解答本题的关键.

24、（1）见解析；（2）27r.

【解析】

证明：（1）连接OD,

VAB是直径，

...NADB=90°,即AD_LBC,

VAB=AC,

AAD平分/BAC,

/.ZOAD=ZCAD,

VOA=OD,

AZOAD=ZODA,

.*.ZODA=ZCAD,

；.OD〃AC,

VDE±AC,

/.OD±EF,

；OD过O,

，EF是。O的切线.

(2)VOD1DF,

NODF=90。，

,:ZF=30°,

.,.OF=2OD,即OB+3=2OD,

而OB=OD,

.,.OD=3,

VZAOD=90o+ZF=90°+30o=120°,

....12°x〃x3_c

••AD的长度=———=2万•

loU

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助

线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了弧长公式.

[38

25、(1)AB=2；相等；(2)a=±—；(3)m=---,n=—.

243

【解析】

(1)①过点B作BN，x轴于N,由题意可知△AMB为等腰直角三角形，设出点B的坐标为(n,—n),根据二次函

数得出n的值，然后得出AB的值,②因为抛物线y=x2+l与y=x2的形状相同，所以抛物线y=x2+l与y=x2的“完美三角

形”的斜边长的数量关系是相等；

(2)根据抛物线的性质相同得出抛物线的完美三角形全等，从而得出点B的坐标，得出a的值；根据最大值得出mn

—4m—1=0,根据抛物线的完美三角形的斜边长为n得出点B的坐标，然后代入抛物线求出m和n的值.

(3)根据y=iwc2+2x+n-5的最大值为-1,得至产(”9-4=_i化简得mn-4m-l=0,抛物线y=nvc2+2x+〃-5的

4m

“完美三角形"斜边长为n,所以抛物线y=2的“完美三角形"斜边长为n,得出B点坐标，代入可得mn关系式，

即可求出m、n的值.

【详解】

(1)①过点B作BN，x轴于N,由题意可知AAMB为等腰直角三角形，AB〃x轴，

易证MN=BN,设B点坐标为(n,-n),代入抛物线y=f,得”=〃2,

：.n=\,n=0(舍去)，二抛物线y=f的“完美三角形，，的斜边AB=2

②相等；

图2

(2)•.•抛物线丁=以2与抛物线>=以2+4的形状相同，

抛物线y=ax2与抛物线y=+4的“完美三角形“全等，

•••抛物线y=ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4,.•.抛物线y=a£的“完美三角形”斜边的长为4,

，B点坐标为(2,2)或(2,-2),a=±—.

2

(3),:y=+2X+“—5的最大值为-1,

.4m(n-5)-4

••----------------=-1,

4m

/.mn—4m—1=0,

•••抛物线y=wix2+2x+n-5的“完美三角形"斜边长为n,

二抛物线y=mx2的“完美三角形"斜边长为n,

••・B点坐标为-

••・代入抛物线丁=