陕西省延安市2023年八年级数学第一学期期末联考试题含解析

陕西省延安市区实验中学2023年八年级数学第一学期期末联考试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下列实数中是无理数的是（）

A.»B.、qC.0.38D.三

2.小明同学把自己的一副三角板（两个直角三角形）按如图所示的位置将相等的边叠放在一起，则a的度数（）

A.135°B.120°C.105°D.75°

3.已知：AABCgZ^DCB,若BC=10cm,AB=6cm,AC=7cm,贝!|CD为（）

A.10cmB.7cmC.6cmD.6cm或7cm

4.直线y=kx+2过点（T,0）,则k的值是（）

A.2B.-2C.-1D.1

3

5.如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数y=-2x+ll的图象交于点A,设x轴上有

4

3

一点P（«,0），过点p作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧）分别交y=J尤和y=-2x+H的图象与点3、C,连接OC,

4

若则AOBC的面积为（）

y

»x

A.44B.45C.46D.47

6.下列各式计算正确的是（）

6

尸广面厂[A

A.2=]B.（3孙）2-r（孙）=3xy

a

C.^Ja+y/2a=y/3aD.2x*3x5=6x6

7.一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）

A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形

8.在实数乃，?，-3,3诂，血，场中，无理数有（

）

6

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，CDLAB于点D,点E在CD上，下列四个条件：①AD=ED；②NA=NBED；③NC=NB；④AC=EB,

将其中两个作为条件，不能判定△ADCgAEDB的是

C.②③D.②④

10.已知a、ZAc为一个三角形的三条边长，贝!J代数式/+62-2-2"的值（）

A.一定为负数B.一定是正数

C.可能是正数，可能为负数D.可能为零

1x

11.若%+—=3,则------的值是（）

XX+X+1

11

A.-B.-C.3D.6

42

6x-4y

12.若把分式^^广中的x、y都扩大4倍，则该分式的值()

4x-5y

A.不变B.扩大4倍C.缩小4倍D.扩大16倍

二、填空题(每题4分，共24分)

13.在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A(-2,1),B(-3,-1),C(1,-1).若以A,B,C,

。为顶点的四边形为平行四边形，那么点。的坐标是.

14.如图，在第一个AABAi中，ZB=20°,AB=AiB,在4用上取一点C,延长A4到人，使得44=4。，得到第

二个及4142G在42c上取一点。，延长442=40;…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点4为顶点的

等腰三角形的底角的度数为.

15.如图，在AABC中，ZC=90°,ZA=30°,A5的垂直平分线交A3于。，交AC于E,S.EC=5cm,则AE

的长为.

n

16.如图，m445'。，其中NA=36，ZC'=24,则NB=

17.已知点M(a,T)与点N(6,b)关于直线工=2对称，那么4-5等于

18.点P(3,2)关于y轴的对称点的坐标是.

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为A(-1,-2),5(-2,T).

(1)画出线段AB关于％轴对称的对应线段A耳，再画出线段4线关于y轴对称的对应线段4为；

(2)点a的坐标为；

(3)若此平面直角坐标系中有一点/(。3)，先找出点〃关于X轴对称的对应点,再找出点"1关于y轴对称

的对应点”2，则点”2的坐标为；

20.(8分)解下列分式方程.

2

(1)-=

X1-2%

—2+x

(2)

5-2x2x-5

21.(8分)如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB〃OC,ZAOC=90°,

ZBCO=45°,BC=12夜,点C的坐标为(-18,0).

(1)求点B的坐标；

(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,ZOFE=45°,求直线DE的解析式;

(3)求点D的坐标.

22.(10分)如图，在AABC中，NACB=90°,AC=BC=A,点。是边A上的动点(点。与点4、B不重合),

过点。作交射线于点E，联结AE,点尸是AE的中点，过点。、斤作直线，交AC于点G,联结CF、

CD.

(1)当点E在边上，设。5=x,CE=y.

①写出V关于％的函数关系式及定义域；

②判断AC。尸的形状，并给出证明;

23.（10分）已知等腰三角形周长为IOCZM,腰3C长为xcni,底边AB长为yczn.

（1）写出y关于上的函数关系式；

（2）求自变量x的取值范围；

（3）用描点法画出这个函数的图象.

24.（10分）A4c是等边三角形，作直线AP，点。关于直线AP的对称点为。，连接A。，直线6。交直线AP

于点E,连接CE.

（1）如图①，求证：CE+AE=BE；（提示：在BE上截取M=Q石，连接AF.）

（2）如图②、图③，请直接写出线段CE,AE,破之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）、（2）的条件下，若3£>=2AE=6,则CE=.

25.（12分）如图,一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相较于点A,G,H,D,且NA=ND,ZB=ZC.试

判断N1与N2的大小关系，并说明理由.

26.学校举行广播操比赛，八年级三个班的各项得分及三项得分的平均数如下（单位：分）.

服装统一服装统一动作规范三项得分平均分

一班80848884

二班97788085

三班90788484

根据表中信息回答下列问题：

(1)学校将“服装统一”、“队形整齐”、“动作规范”三项按2:3:5的比例计算各班成绩，求八年级三个班的成绩；

(2)由表中三项得分的平均数可知二班排名第一，在(1)的条件下，二班成绩的排名发生了怎样的变化，请你说明二班

成绩排名发生变化的原因.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【解析】根据有理数和无理数的概念解答：无限不循环小数是无理数.

【详解】解:A、兀是无限不循环小数，是无理数；

B、、二=2是整数，为有理数；

C、0.38为分数，属于有理数；

D.一为分数，属于有理数.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是无理数，熟知初中范围内学习的无理数有：小2n等；开方开不尽的数；以及像0.101001000L..,等有

这样规律的数是解答此题的关键.

2、C

【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算，得到答案.

【详解】由题意得，ZA=60°,ZABD=90°-45°=45°,

.,.a=450+60o=105°,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

3、C

【分析】全等图形中的对应边相等.

【详解】根据△ABCgADCB,所以AB=CD,所以CD=6,所以答案选择C项.

【点睛】

本题考查了全等，了解全等图形中对应边相等是解决本题的关键.

4、A

【分析】把(-1,0)代入直线丫=匕+1,得-k+l=0,解方程即可求解.

【详解】解：把(-1,0)代入直线丫=1«+1,

得：-k+l=0

解得k=l.

故选A.

【点睛】

本题考查的知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式.

5、A

【解析】联立两一次函数的解析式求出x、y的值即可得出A点坐标，过点A作x轴的垂线，垂足为D,在RtZ\OAD

中根据勾股定理求出OA的长，故可得出BC的长，根据P(n,0)可用n表示出B、C的坐标，故可得出n的值，由

三角形的面积公式即可得出结论.

[3_.

y=—xrx=4

【详解】由题意得，'4，解得=,

y=-2%+11

AA(4,3)

过点A作x轴的垂线，垂足为D,在Rt^OAD中，由勾股定理得,

OA=yJoD2+AD2=A/42+32=L

:.BC=一OA=2.

5

VP(n,0),

3

AB(n,­n),C(n,—2n+ll),

4

311

:.BC=—n-(—2〃+11)=—n-11,

44

—n—11=2,解得口=8,

4

，OP=8

11

ASAOBC=-BC*OP=-X2X8=44

22

故选A.

【点睛】

本题考查的是两条直线相交或平行问题，根据题意作出辅助线.构造出直角三角形是解答此题的关键.

6、D

【分析】依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即

可得到结果.

力5

【详解】A.片火储尸)-2=々,故选项人错误；

a

B.(3xy)2+(xy)=9xy,故选项B错误；

C.6与而不是同类二次根式，不能合并，故选项c错误；

D.2x*3x5=6x6,正确.

故选：D.

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

7、D

【分析】先设这个多边形的边数为n,得出该多边形的内角和为（n-2）X180。，根据多边形的内角和是外角和的4

倍，列方程求解.

【详解】解：设这个多边形的边数为n,则该多边形的内角和为（n-2）X180°,

依题意得（n-2）X18O0=360°X4,

解得n=l,

•••这个多边形的边数是1.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，多边形内角和=（n-2）-180（n》3且n为整数），而多边形的外角

和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为360°.

8、B

【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无线不循环小数，③含有7T的数，找出无理数的个数即可.

【详解】解：瓜=2屈,飒=2,

无理数有：n,强共2个，

故选：B.

【点睛】

本题考查的是无理数的知识，掌握无理数的形式是解题的关键.

9、C

【分析】根据全等三角形的判定定理以及直角三角形全等判定定理依次进行判断即可.

【详解】A：VCD1AB

:.ZCDA=ZBDE

又：AD=ED；②NA=NBED

.,.△ADC^AEDB（ASA）

所以A能判断二者全等；

B：VCDXAB

/.AADC与4EDB为直角三角形

VAD=ED,AC=EB

/.△ADC^AEDB(HL)

所以B能判断二者全等；

C：根据三个对应角相等无法判断两个三角形全等，

所以c不能判断二者全等；

D：VCD1AB

.\ZCDA=ZBDE

又；NA=NBED,AC=EB

AAADC^AEDB(AAS)

所以D能判断二者全等；

所以答案为C选项.

【点睛】

本题主要考查了三角形全等判定定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

10、A

【分析】把代数式分解因式，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断.

【详解】a2+b2-c2-2ab

=(a-b)2-c2,

=(a-b+c)(a-b-c),

".,a+c-b>l,a-b-c<l,

(a-b+c)(a-b-c)<1,

即a2+b2-c2-2ab<l.

故选：A.

【点睛】

本题考查了利用完全平方公式配方，利用平方差公式因式分解，三角形的三边关系，利用完全平方公式配方整理成两

个因式乘积的形式是解题的关键.

11、A

【分析】将分式的分子和分母同时除以x,然后利用整体代入法代入求值即可.

X+X

X~+X+1)+X

1

=1

X+1H---

X

]

=1

XH-----F1

X

将x+^=3代入，得

X

原式==；

3+14

故选A.

【点睛】

此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的基本性质是解决此题的关键.

12、A

【分析】把x换成4x,y换成4y,利用分式的基本性质进行计算，判断即可.

6x4x-4x4y6x-4y

【详解】

4x4x-5x4y4x-5y

6x-4y

.♦•把分式^^广中的x,y都扩大4倍，则分式的值不变.

4x-5y

故选：A.

【点睛】

本题考查了分式的基本性质.解题的关键是掌握分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的

整式，分式的值不变.

二、填空题(每题4分，共24分)

13>(-6,1)或(2,1)或(0,-3)

【分析】如图，首先易得点D纵坐标为1,然后根据平行四边形性质和全等三角形的性质易得点D横坐标为2；同理

易得另外两种情况下的点D的坐标.

【详解】解：如图，过点A、D作AELBC、DF1BC,垂足分别为E、F,

•以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形，

；.AD〃BC,

VB(-3,-1)、C(1,-1)；

.♦.BC〃x轴〃AD,

VA(-2,1),

...点D纵坐标为1,

,.,□ABCD中，AE±BC,DF±BC,易得AABEdDCF,

，CF=BE=1,

...点D横坐标为1+1=2,

.,.点D（2,1）,

同理可得，当D点在A点左侧时，D点坐标为（-6,1）；当D点在C点下方时，D点坐标为（0,-3）；

综上所述，点D坐标为（-6,1）或（2,1）或（0,-3）,

故答案为：（-6,1）或（2,1）或（0,-3）.

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质，注意要分情况求解.

14、5°

【分析】根据第一个△AR41中，ZB=20°,AB=AtB,可得N34A=80。，依次得NO12Al=40。…即可得到规律，从

而求得以点4为顶点的等腰三角形的底角的度数.

【详解】•.•△45A1中，ZB=20°,AB=AiB,

180°-ZB

：.ZBAiA=---------------=80°,

2

,.,A1A2=A1C,ZBAiA是公AiA2C的外角,

ZBAA

...NCAMi=------=40°

2

同理可得:

/。4加=20。,

NEA4A3=10°,

...Z,A„=80°,

以点4为顶点的等腰三角形的底角的度数为:

80°

=5°.

故答案为5。.

【点睛】

此题主要考查三角形的角度规律的探究，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.

15>10cm

【分析】连接BE,由DE是AC的垂直平分线，可得NDBE=NA=30°,进而求得NEBC=30°.根据含30度角的

直角三角形的性质可得BE=2EC,AE=2EC,进而可以求得AE的长.

【详解】连接BE,

VDE是AB的垂直平分线，

；.AE=BE,

.,.NA=NABE=30°,

,.,ZC=90°,ZA=30°,

.\ZABC=60o,

ABE是/ABC的角平分线，

，DE=CE=5,

在4ADE中，ZADE=90°,ZA=30",

，AE=2DE=L

故答案为：1cm.

ft

【点睛】

此题主要考查线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质.熟练应用线段垂直平分线的性质是解题的关键.

16、120

【分析】根据全等三角形的性质求出NC的度数，根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】:△ABC也：.ZC=ZC'=24°,二N5=180°-NA-NC=120°.

故答案为120°.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键.

17、1

【分析】轴对称图形的性质是对称轴垂直平分对应点的连线，且在坐标系内关于x对称，则y相等，所以1=2,

-4=b.

【详解】点M(a,T)与点N(6,b)关于直线％=2对称

.••工2,-4=/,

2

解得。=一2,

=-2-(-4)=2

故答案为1.

【点睛】

本题考察了坐标和轴对称变换，轴对称图形的性质是对称轴垂直平分对应点的连线，此类题是轴对称相关考点中重要

的题型之一，掌握对轴对称图形的性质是解决本题的关键.

18、(-3,2).

【详解】解：点P(m,n)关于y轴对称点的坐标P，(-m,n),

所以点P(3,2)关于y轴对称的点的坐标为(-3,2).

故答案为(-3,2).

三、解答题(共78分)

19、⑴详见解析；(2)(1,2)；(3)

【分析】(1)根据轴对称图形的作图方法画对称线段即可；

(2)根据图像可得点4坐标；

(3)根据关于x轴对称的特点可得点A/1坐标，再根据关于y轴对称的特点可得点“2坐标•

【详解】解：(1)如图，线段4耳，线段4星即为所求.

(2)由图得4(1,2)

(3)由点M关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得对应点由"i关于》轴对称，纵坐

标不变，横坐标互为相反数可得其对应点“2(-。，-加.

所以点“2的坐标为(一。，―沙).

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中的轴对称，熟练掌握关于x轴和y轴的对称特点是解题的关键.

20、(1)%=-；(2)x=2

4

【分析】(1)根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可；

(2)根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可；

1?

【详解】解：(1)-

x1-2%

化为整式方程为：l—2x=2x

移项、合并同类项，得Tx=—1

解得：%=!

4

经检验：是原方程的解.

—2+x1.

(2)---------------------=1

5—2x2.x—5

化为整式方程为：—2+x+l=5—2x

移项、合并同类项，得3x=6

解得：x=2

经检验：*=2是原方程的解.

【点睛】

此题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决此题的关键，需要注意的是解分式方程要验根.

21、(1)(-6,12)；(2)y=-x+4；(3)D(-4,8)

【分析】(1)过B作BGLx轴，交x轴于点G,由题意得到三角形BCG为等腰直角三角形，根据BC的长求出CG

与BG的长，根据OC-CG求出OG的长，确定出B坐标即可；

(2)由题意得到三角形EOF为等腰直角三角形，确定出E与F的坐标，设直线DE解析式为丫=1«+1),把E与F代

入求出k与b的值，确定出直线DE解析式；

(3)设直线OB解析式为y=mx,把B坐标代入求出m的值，确定出OB解析式，与直线DE解析式联立求出D坐标

即可.

解：（1）过B作BG，x轴，交x轴于点G,

在R3BCG中，ZBCO=45°,BC=12后，

；.BG=CG=12,

VC(-18,0),即OC=18,

/.OG=OC-CG=18-12=6,

贝！IB=(-6,12)；

(2),.,ZEOF=90o,ZOFE=45°,

AOEF为等腰直角三角形，

/.OE=OF=4,即E(0,4),F(4,0),

设直线DE解析式为y=kx+b,

b=4

把E与F坐标代入得：〃j八，

4k+b=0

解得：k=-1,b=4,

.e*直线DE解析式为y=-x+4；

(3)设直线OB解析式为y=mx,把B(-6,12)代入得：m=-2,

J直线OB解析式为y=-2x,

y=-x+4

联立得：c，

Iy=-2x

则D（-4,8）.

【点睛】

此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，以及等腰直角三角形的

判定与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

、⑴①-缶（后）；②详见解析;473+4^473-4

22y=40<xK2(2)---------或二-----

33

【分析】(1)①先证4DEB为等腰直角三角形，设DB=x,CE=y^qEB=V2x,由EB+CE=4知&x+y=4,从而得出

答案；

②由NADE=90。，点F是AE的中点知CF=AF=^AE,DF=AF=-AE,据此得出CF=DF,再由NCFE=2NCAE,

22

ZEFD=2ZEAD知NCFD=NCFE+NEFD=2NCAE+2NEAD=2NCAD,结合NCAB=45。知NCFD=90。，据此可得答

案；

(2)分点E在BC上和BC延长线上两种情况，分别求出DF、GF的长，从而得出答案.

【详解】(1)①..,ZACB=90°,AC=BC=4,

:.AB=4逝,ZB=ZBAC=45。,

又,：DELAB,

ADEB为等腰直角三角形，

DB=x,CE=y,

EB=yf2,x»

又EB+CE=4,

0x+y=4,

y=4-忘x(0<x<20)；

②,.“LAB,NACB=90。，

;.ZADE=90。,

点口是AE的中点，

：.CF=AF=-AE,DF=AF=-AE,

22

:.CF=DF,ZCAF=ZACF,ZEAD=ZFDA,

NCFE=2NCAE,ZEFD=2ZEAD,

NCFD=Z.CFE+AEFD=2ZC4E+2ZEAD=2ZCAD,

ZCAB=45°,

.\ZCFD=90°,

.•.ACDE是等腰直角三角形；

⑵如图1,当点E在BC上时，AE=88,AC=4,

3

c

473

在R/AACE中，CE

亍

则AE=2CE,

sin^CAE=—

2

:.ZCAE^ZACF=30°,

23

由（2）得：NCFD=90。，

AZCFG=90o,

FG_FG__应

.tarflACF

承一理一百

亍

4

：.GF=-

3

DG=DF+FG=4用4；

3

如图2,当点E在BC延长线上时，ZCFD=90°,

同理可得CF=DF=工AE=—

23

4

在RfACFG中，GF=-

3

/.DG=DF-FG=-.....，

3

综上所述：DG的长为4G+4或4G-4.

33

【点睛】

本题主要是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半等知识点.

23、(1)j=10-2x；(2)2.5<x<5；(3)见解析.

【分析】(1)根据等腰三角形的周长公式求出y与x的函数关系式；

(2)求自变量x的取值范围，要注意三角形的特点，两边之和大于第三边；

(3)根据(1)(2)中所求画出图象即可.

【详解】解：(1)•••等腰三角形的周长为10cm,腰3c长为xcm,底边A3长为yc机，

/.2x+j=10,

.力关于X的函数关系式为j=10-2x；

(2)根据两边之和大于第三边：2x>10-2x,解得x>2.5,

2x<10,解得x<5,

故自变量x的取值范围为2.5<x<5；

(3)如图所示:

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，一次函数的应用，根据已知得出y与x的函数关系式是解题关键.

24、(1)见解析；(2)图②中，CE+BE=AE,图③中，AE+BE=CE；(3)1.1或4.1

【分析】(1)在BE上截取石，连接AF,只要证明4AED四△AFB,进而证出4AFE为等边三角形，得出

CE+AE=BF+FE,即可解决问题；

(2)图②中，CE+BE=AE,延长EB到F,使BF=CE,连接AF,只要证明△ACEgAAFB,进而证出4AFE为等

边三角形，得出CE+BE=BF+BE,即可解决问题；图③中，AE+BE=CE,在EC上截取CF=BE,连接AE,只要证

^△AEB^AAFC,进而证出4AFE为等边三角形，得出AE+BE=CF+EF,即可解决问题；

(3)根据线段CE,AE,BE,BD之间的数量关系分别列式计算即可解决问题.

【详解】(1)证明：在BE上截取M石，连接AF,

在等边4ABC中，

AC=AB,ZBAC=60°

由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD,ZEAC=ZEAD,

设NEAC=NDAE=x.

VAD=AC=AB,

/.ZD=ZABD=—(180°-ZBAC-2x)=60°-x,

2

.,.ZAEB=60-x+x=60°.

VAC=AB,AC=AD,

；.AB=AD,

二ZABF=ZADE,

■:BF=DE,

A△ABFAADE,

.♦.AF=AE,BF=DE,

.•.△AFE为等边三角形，

/.EF=AE,

TAP是CD的垂直平分线，

ACE=DE,

ACE=DE=BF,

.*.CE+AE=BF+FE=BE；

(2)图②中，CE+BE=AE,延长EB至!JF,使BF=CE,连接AF

在等边△ABC中，

AC=AB,ZBAC=60°

由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD,ZEAC=ZEAD,

.\AB=AD,CE=DE,

VAE=AE

JAACE^AADE,

・•・ZACE=ZADE

VAB=AD,

AZABD=ZADB

/.ZABF=ZADE=ZACE

VAB=AC,BF=CE,

/.△ACE^AABF,

AAE=AF,ZBAF=ZCAE

VZBAC=ZBAE+ZCAE=60°

:.ZEAF=ZBAE+ZBAF=60°

.-.△AFE为等边三角形，

AEF=AE,

AE=BE+BF=BE+CE,即CE+BE=AE；

图③中，AE+BE=CE,在EC上截取CF=BE,连接A尸，

在等边△ABC中,

AC=AB,ZBAC=60°

由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD,ZEA