2024年浙江省杭州市拱墅区中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年浙江省杭州市拱墅区中考数学二模试卷一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）下列实数比较大小正确的是（）A．0＜﹣1 B．2＜﹣1 C．﹣1＞﹣2 D．﹣1＞12．（3分）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上（）A． B． C． D．03．（3分）如图是一个三通水管，如图放置，则它的俯视图是（）A． B． C． D．4．（3分）已知直线a∥b，将含有60°的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若∠1＝44°20'（）A．44°20' B．46°40' C．45°20' D．45°40′5．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣1＝0的根的判别式的值为5，则m的值为（）A．±3 B．3 C．1 D．±16．（3分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，下周三十步，径十六步，弧长30步，其所在圆的直径是16步（）A．120平方步 B．240平方步 C．平方步 D．平方步7．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则（）A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＜0时，y1＞3，y2＜3 C．b﹣n＝2（m﹣a） D．关于x，y的方程组的解为8．（3分）如图，某数学实践小组测量操场的旗杆AB的高度，操作如下：（1）在点D处放置测角仪，量得测角仪的高度CD为a；（2）测得仰角∠ACE＝α；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离BD为b．则旗杆的高度可表示为（）A．a+btanα B．a+bsinα C． D．9．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，分别以点B、D为圆心的长为半径在BD两侧作圆弧，交于点E，分别交AB，BC于点G，H，DH．设△ADG的面积为S1，四边形BGDH的面积为S2，若，则的值为（）A． B． C． D．110．（3分）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n）（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（）A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。11．（3分）计算：12a2b÷（4a）＝．12．（3分）小凡家今年1～4月份的用电量情况如图所示，则2月到3月之间月用电量的增长率为．13．（3分）某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同本．14．（3分）如图，已知AD是⊙O的弦，且AD＝4，切点为E，则⊙O的半径为．15．（3分）已知a+b＝5，a+c＝12，且为正整数．16．（3分）如图，在边长为10的正方形ABCD内部（不含边界）有一点E，且AF＝CE．连结EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，则EC的长为．三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（6分）化简：2（x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）圆圆的解答如下：2（x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）＝2x2+2x+1﹣x2﹣9＝x2+2x﹣8．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的答案．18．（6分）在四边形ABCD中，AD∥BC．连结对角线AC，BD交于点E（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．（2）若AC⊥BC，已知AB＝5，AC＝419．（8分）某校为调查学生对禁毒知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了部分学生进行禁毒知识的测试，并将测试成绩x分为五个等级：A（90＜x≤100），B（80＜x≤90），C（70＜x≤80），D（60＜x≤70），E（50＜x≤60）（1）求测试等级为B的学生人数，并补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中等级为A所对应的扇形圆心角的度数．（3）若全校900名学生都参加测试，请依据抽样测试的结果估计该校测试等级为C的学生有多少人？20．（8分）小凡驾驶汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为240千米，设小汽车的行驶时间为t小时，且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式．（2）小凡上午9点驾驶小汽车从A地出发，需在当天12点之前（含12点）到达B地21．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，AC＞BC．以点C为圆心，交边AB于点D，连结CD．点E是CB延长线上的一点，若AB平分∠CAE．（1）求证：△ACD∽△AEB．（2）当，求的值．22．（10分）设二次函数y＝（x﹣a）（x+a﹣2）（a为实数，且a≠0）．（1）若该函数图象经过点（2，0），求二次函数表达式．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）．（3）若该函数图象经过点（3，m），且满足m≥4，求a的值．23．（12分）综合与实践如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），过点B作BG⊥CF交FC的延长线于点G，过点F作FH⊥BE交BE的延长线于点H．点P是线段CF的一点探究发现：（1）点点发现结论：△BCG≌△FEH．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由．深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答．①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，AE＝2，ED＝4②“武林小组”提出问题：如图2，连结EP和BF，若∠PEF＝∠EFB，AD＝6，求tan∠HBF的值．24．（12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠DAB+∠ABC＝90°，连结BD．延长AD，BC相交于点F，与CD相交于点G，与BD相交于点H．（1）求证：CD⊥EF．（2）若点C是BF的中点，，求的值．（3）连结OE，探究OE与CD之间的等量关系，并证明．

2024年浙江省杭州市拱墅区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）下列实数比较大小正确的是（）A．0＜﹣1 B．2＜﹣1 C．﹣1＞﹣2 D．﹣1＞1【解答】A、0＞﹣1；B、6＞﹣1；C、∵|﹣1|＝5，1＜2，则该选项正确；D、﹣6＜1；故选：C．2．（3分）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上（）A． B． C． D．0【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是，∴抛掷第11次出现正面朝上的概率是．故选：C．3．（3分）如图是一个三通水管，如图放置，则它的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上面看，是一个矩形．故选：D．4．（3分）已知直线a∥b，将含有60°的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若∠1＝44°20'（）A．44°20' B．46°40' C．45°20' D．45°40′【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠1＝44°20'，∴∠3＝45°40'，∵a∥b，∴∠7＝∠3＝45°40'，故选：D．5．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣1＝0的根的判别式的值为5，则m的值为（）A．±3 B．3 C．1 D．±1【解答】解：∵关于x的方程x2+mx﹣1＝8的根的判别式的值为5，∴Δ＝m2﹣6×1×（﹣1）＝8，解得m＝±1．故选：D．6．（3分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，下周三十步，径十六步，弧长30步，其所在圆的直径是16步（）A．120平方步 B．240平方步 C．平方步 D．平方步【解答】解：∵扇形所在圆的直径是16步，∴扇形所在圆的半径是8步，∵弧长是30步，∴扇形的面积＝弧长×半径＝，即这块田地的面积为120平方步，故选：A．7．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则（）A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＜0时，y1＞3，y2＜3 C．b﹣n＝2（m﹣a） D．关于x，y的方程组的解为【解答】解：A、由图象得：当x＞2时，y1＞y7，故A不符合题意；B、由图象得：当x＜0时，y1＜5，y2＞3，故B不符合题意；C、由图象得：当x﹣7时，y1＝y2，即6a+b＝2m+n，∴b﹣n＝2（m﹣a），故C是符合题意；D、由图象得：关于x的解为．故选：C．8．（3分）如图，某数学实践小组测量操场的旗杆AB的高度，操作如下：（1）在点D处放置测角仪，量得测角仪的高度CD为a；（2）测得仰角∠ACE＝α；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离BD为b．则旗杆的高度可表示为（）A．a+btanα B．a+bsinα C． D．【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图由题意，知四边形BDCF是矩形，∴FC＝BD＝b，FB＝CD＝a，在Rt△ACF中，∵tanα＝＝，∴AF＝btanα，∴AB＝BF+AF＝a+btanα，故选：A．9．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，分别以点B、D为圆心的长为半径在BD两侧作圆弧，交于点E，分别交AB，BC于点G，H，DH．设△ADG的面积为S1，四边形BGDH的面积为S2，若，则的值为（）A． B． C． D．1【解答】解：由作图得：EF垂直平分BD，∴BG＝DG，BH＝DH，∵BD是△ABC的角平分线，∴BG＝BH，∴BG＝DG＝BH＝DH，∴四边形BHDG是菱形，∴DG∥BC，DH∥AB，∴△ADG∽△ACB，△CDH∽△CAB，设CH＝2a，△ABC的面积为S3，则DH＝DG＝BH＝7a，∴S1＝S，S8＝S，∴S2＝S﹣S7﹣S2＝S，∴S1：S3＝S：，故选：C．10．（3分）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n）（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（）A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6【解答】解：由题意，二次函数a，b为实数，∴当点（m，n）在y1上时，有（m+25上，且平移后对称轴是直线x＝4．∵点（m﹣2，n）在y3上，∴的对称轴是直线．∴点（2，n），n）在．∴方程a（x﹣2）2+b（x﹣7）＝n的解是x1＝2，x8＝6．故选：D．二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。11．（3分）计算：12a2b÷（4a）＝3ab．【解答】解：原式＝（12÷4）•（a2÷a）•b＝8ab，故答案为：3ab．12．（3分）小凡家今年1～4月份的用电量情况如图所示，则2月到3月之间月用电量的增长率为25%．【解答】解：设2月到3月之间月用电量的增长率为x，根据题意得：80（8+x）＝100，解得：x＝0.25＝25%，∴2月到5月之间月用电量的增长率为25%．故答案为：25%．13．（3分）某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同40本．【解答】解：设该书店第一次购进x本，则第二次购进（x+10）本．依题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，即该书店第一次购进40本，故答案为：40．14．（3分）如图，已知AD是⊙O的弦，且AD＝4，切点为E，则⊙O的半径为．【解答】解：连接EO并延长交AD于H点，连接OA，∵BC边与⊙O相切，切点为E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，AB＝AD＝4，∴EH⊥AD，∴AH＝DH＝AD＝2，∵∠B＝∠BAH＝∠AHE＝90°，∴四边形ABEH为矩形，∴BE＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，在Rt△OAH中，72+（4﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．15．（3分）已知a+b＝5，a+c＝12，且为正整数4．【解答】解：∵a+b＝5，a+c＝12，∴b＝5﹣a，c＝12﹣a，∴＝＝＝1+，∵，a均为正整数，∴a＝4，故答案为：4．16．（3分）如图，在边长为10的正方形ABCD内部（不含边界）有一点E，且AF＝CE．连结EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，则EC的长为2．【解答】解：设EC＝a，如图，连接PF，∴∠EDP＝90°，DP＝DE，∠DAP＝∠DCE＝∠BAF，∴∠DAP+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠PAF＝90°，∴∠AFP＝∠APF＝45°，∴，由旋转的性质可知，∠DEF＝90°，∵∠DEF+∠EDP＝180°，∴DP∥EF，又∵EF＝DP，∴四边形DEFP是平行四边形，又：∠DEF＝90°，EF＝DE，∴四边形DEFP是正方形，∴∠DFP＝45°，∠DPF＝90°，，∠AFD＝∠AFP+∠DFP＝90°，由勾股定理得，，解得，，∴，故答案为：．三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（6分）化简：2（x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）圆圆的解答如下：2（x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）＝2x2+2x+1﹣x2﹣9＝x2+2x﹣8．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的答案．【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确步骤如下：原式＝2（x2+4x+1）﹣（x2﹣4）＝2x2+7x+2﹣x2+6＝x2+4x+11．18．（6分）在四边形ABCD中，AD∥BC．连结对角线AC，BD交于点E（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．（2）若AC⊥BC，已知AB＝5，AC＝4【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCE，在△DAE与△BCE中，，∴△DAE≌△BCE（ASA），∴BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE＝DE，CE＝AE＝2，∵AC⊥BC，AB＝5，∴BC＝，∴BE＝，∴BD＝2BE＝2．19．（8分）某校为调查学生对禁毒知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了部分学生进行禁毒知识的测试，并将测试成绩x分为五个等级：A（90＜x≤100），B（80＜x≤90），C（70＜x≤80），D（60＜x≤70），E（50＜x≤60）（1）求测试等级为B的学生人数，并补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中等级为A所对应的扇形圆心角的度数．（3）若全校900名学生都参加测试，请依据抽样测试的结果估计该校测试等级为C的学生有多少人？【解答】解：（1）抽取的学生人数为15÷25%＝60（人），∴测试等级为B（80＜x≤90）的学生人数为60﹣10﹣15﹣8﹣17＝10（人）．补全频数分布直方图如图所示．（2）扇形统计图中等级为A所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝102°．（3）900×＝120（人）．∴该校测试等级为C的学生约120人．20．（8分）小凡驾驶汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为240千米，设小汽车的行驶时间为t小时，且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式．（2）小凡上午9点驾驶小汽车从A地出发，需在当天12点之前（含12点）到达B地【解答】解：（1）∵vt＝240，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v关于t的函数表达式为：v＝（t≥0）；（2）根据题意可知：9点至12点时间长为7小时，将t＝3代入v＝，得：v＝80，∵全程速度限定为不超过120千米/小时，∴汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤120．答：汽车行驶速度v的范围是80≤v≤120．21．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，AC＞BC．以点C为圆心，交边AB于点D，连结CD．点E是CB延长线上的一点，若AB平分∠CAE．（1）求证：△ACD∽△AEB．（2）当，求的值．【解答】（1）证明：∵以点C为圆心，BC长为半径画弧，∴CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠ADC＝∠ABE，∵AB平分∠CAE，∴∠BAD＝∠CAD，∴△ACD∽△AEB；（2）解：∵△ACD∽△AEB，∴＝＝而，∴＝，∴＝．22．（10分）设二次函数y＝（x﹣a）（x+a﹣2）（a为实数，且a≠0）．（1）若该函数图象经过点（2，0），求二次函数表达式．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）．（3）若该函数图象经过点（3，m），且满足m≥4，求a的值．【解答】解：（1）由题意，把点（2（2﹣a）（3+a﹣2）＝0，∴a（3﹣a）＝0．∴a＝0（舍去）或a＝7．∴二次函数为y＝x（x﹣2）＝x2﹣6x．（2）由题意，令y＝（x﹣a）（x+a﹣2）＝0，∴x＝a或x＝3﹣a．∴抛物线的对称轴是直线x＝＝4．∵抛物线开口向上，∴该函数的最小值为（1﹣a）（1+a﹣4）＝1﹣a2﹣6（1﹣a）＝﹣a2+8a﹣1．（3）由题意，当x＝3时，m＝（7﹣a）（1+a）＝3+4a﹣a2＝﹣（a2﹣2a+1）+4＝﹣（a﹣3）2+4．由对于任意的a都有m≤5，又m≥4，∴m＝4，此时a＝4．23．（12分）综合与实践如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），过点B作BG⊥CF交FC的延长线于点G，过点F作FH⊥BE交BE的延长线于点H．点P是线段CF的一点探究发现：（1）点点发现结论：△BCG≌△FEH．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由．深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答．①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，AE＝2，ED＝4②“武林小组”提出问题：如图2，连结EP和BF，若∠PEF＝∠EFB，AD＝6，求tan∠HBF的值．【解答】解：（1）点点发现的结论正确，理由如下：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF∥BE，∴四边形EBCF是平行四边形，∴EF∥BC，EF＝BC，∵AD∥BC，∴∠HEF＝∠HBC，∵CF∥BE，∴∠HBC＝∠BCG，∴∠HEF＝∠BCG，∵BG⊥CF，FH⊥BE，∴∠EHF＝∠G＝90°，∴△BCG≌△FEH（AAS），所以点点发现的结论正确．（2）①在Rt△CDF中，CP＝FP，∴CP＝DP＝FP，∴∠PFD＝∠FDP，∵CF∥BE，∴∠HED＝∠PFD，∵∠FDP＝∠HDE，∴∠HED＝∠HDE，∴HE＝HD，∵四边形EBCF是平行四边形，∴EF＝BC，∵AD＝BC，∴EF＝AD，∴AE＝DF＝2，如图，过点H作HT⊥ED，∵HE＝HD，∴ET＝DT＝2，TF＝7，∵∠EHF＝90°，∴∠HEF+∠HFE＝90°，∵HT⊥ED，∴∠FHT+∠HFE＝90°，∴∠HEF＝∠