河南省郑州市2024届高三毕业班第一次质量预测（一模） 数学试题（含解析）

郑州市2024年高中毕业年级第一次质量预测

数学试题卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

;20249

1.若2=^—则目=()

1-i

A.正B.走C.胆D.9

2222

2.已知全集。=R,集合A={%|y=ln(x+l)},5={%|x2-x-2<0^,贝lj{%|xv2}=()

A.(^A)uBB.(^B)nAC.D.^(AnB)

3.已知〃=(-3,4),。=(2,2),则向量〃在向量6方向上的投影向量为()

A.(-*B.(A/2,A/2)C.(1,1)D.

4.若函数满足〃x+l)=C-er)sin%,则/⑴二()

A.0B.1C.2D.-1

5.已知数列｛〃〃｝为等差数列，%+%+。3=7,。7+。8+%=13,则。13+〃14+15=()

A.19B.22C.25D.27

22

6.己知抛物线G：V=-2p无(P>0)的焦点与椭圆：5+2=1(a>6>0)的左焦点耳重

ab

合，点M为抛物线C1与椭圆C2的公共点，且轴，则椭圆的离心率为()

A.@B.交C.72-1D.73-1

32

7.已知函数/(x)=2sin]o尤-弓(。>0)在0鼻上的值域为[-1,2],则。的取值范围为

()

「4/「48]「24]「28-

A.彳,2B.—C.—D.—

1_3」|_33」|_33J|_33J

8.已知〃=1。8231=10845,(:=10867,则的大小关系是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.a>b>c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错

的得0分.

9.溶液酸碱度是通过pH来计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示

溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升，则

纯净水的pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH=7(例

如：纯净水)时，溶液呈中性.我国规定饮用水的pH值在6.5-8.5之间，则下列选项

正确的是()(参考数据：取炫2。0.3)

A.若苏打水的pH是8,则苏打水中的氢离子浓度为HZ'摩尔/升

B.若胃酸中氢离子的浓度为2.5x10-2摩尔/升，则胃酸的pH是1.6

C.若海水的氢离子浓度是纯净水的Ide倍，则海水的pH是8.6

D.若某种水中氢离子的浓度为4x10-摩尔/升，则该种水适合饮用

10.掷一枚骰子，记事件A：掷出的点数为偶数；事件8：掷出的点数大于2.则下列

说法正确的是()

A.P(A)>P(B)B.P(AB)>P(AB)

C.P(AB)>P(AB)D.P(B|A)>P(A|B)

11.如图，在长方体ABC。-4462中，AB=BC=2AAl=2,点尸为线段BQ上一动

点，则下列说法正确的是()

A.直线4尸〃平面ACQ

B.三棱锥尸-ACR的体积为:

C.三棱锥的外接球的表面积为葭

D.直线A7与平面BCG瓦所成角的正弦值的最大值为叵

6

12.在平面直角坐标系中，A(-2,0),动点p满足疗⑷=&|PO|,得到动点P的轨

迹是曲线C.则下列说法正确的是()

A.曲线C的方程为(x-2)2+_/=8

B.若直线、=狂+4与曲线C有公共点，则上的取值范围是[2-2+#]

C.当。三点不共线时，若点。(2-20,0),则射线PO平分NAPO

D.过曲线C外一点(。-4,a)作曲线C的切线，切点分别为M,N,则直线MN过定点

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分

（兀）

1+tana——

13.已知----7—Z=2,则sin2a=.

14.2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕.世界5G

大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办.本次大会以“5G变革共绘未来”

为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标.现场邀请全球有影响力的科学家、企业

家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨.为确保大会顺利进行，

面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作.现从包含甲、乙的6人中选派

4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个

组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种.（用数字

作答）

15.已知是正四面体ABCD的外接球的一条直径，点尸在正四面体表面上运动，正

四面体的棱长是2,则的取值范围为.

16.Vxe（0,+s）,不等式^+122（。*+£|皿办）恒成立，则正实数。的最大值是

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤.

17.某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力不断变化问题，在不同条件下

研究结构纤维按不同方向及角度黏合强度，在两条生产线上同时进行工艺比较实验，为

了比较某项指标P的对比情况，随机地抽取了部分甲生产线上产品该项指标的P值，并

计算得到其平均数元=74,中位数x=72,随机地抽得乙生产线上100件产品该项指标

的?值，并绘制成如下的频率分布直方图.

频率

（1）求乙生产线的产品指标。值的平均数歹与中位数y（每组值用中间值代替，结果精确

到0.01）,并判断乙生产线较甲生产线的产品指标P值是否更好（如果1歹一川＜17-x|,

则认为乙生产线的产品指标p值较甲生产线的产品指标。值更好，否则不认为更好）.

(2)用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取5件产品，抽出指标。值不小于70的产

品个数用X表示，求X的数学期望与方差.

18.已知,ABC中，内角A,2,C所对的边分别为GbcgsinB+cosBu也史包£.

sinA

(1)求角A的值；

(2)若点。满足8D=3OC，且AD=BD,求tanB的值.

19.如图，在多面体ABCDE产中，底面ABQ)为平行四边形，EF〃平面AB-CD,EAB

为等边三角形，BC=CE=2AB=2EF,ZABC=60°.

BC

(1)求证：平面E4B_L平面ABC。；

⑵求平面ECD与平面PCD夹角的余弦值.

20.已知正项数列｛4｝满足弓=2,d+i-d=4a,+「4,数列他,｝满足

]by&b

b,H----H---y+H--n--r=Q.

121222〃T

⑴求数列也｝和也｝的通项公式；

⑵在2和4+1之间插入"个数%,,,，,•%,使得为,,，…，1,2+1成等差数列,

设数列S.=%,+c,2+%++cn”,求数列⑸｝的前n项和Tn.

22

21.已知点A是双曲线C:二—二=1的上顶点.

42

(1)若点3的坐标为(0,1),延长A5交双曲线于点。，求点。的坐标；

(2)双曲线C与直线l'.y=kx+m(k^±3)有唯一的公共点P,过点尸且与/垂直的直线

分别交工轴，>轴于"(羽0),"(0»)两点，当点尸运动时，求点。(xy)的轨迹方程.

22.设函数/(%)=5办之+cosx-l.

⑴当.21时，证明：/W>o；

11112n

⑵证明：商r荔T+R++=>〃_0♦

23n

1.c

【分析】根据复数的运算求出z,进而得到忖.

/八1012

2024(广)+2：33(l+i)=3।3j

【详解】i+2

1-i1-i1-i(l-i)(l+i)22

故选：C.

2.A

【分析】先利用对数函数的定义域、一元二次不等式化简集合A、B,再根据集合的交并补

运算求解即可.

【详解】因为4={川y=ln（x+l）}={x|x>-l},B=|x|x2-x-2<01={x|-l<x<2},

贝（JAcB={x|-l<x<2},A<JB={X\X>-1],

因为全集。=11，所以eA={NxWT}，=xV-1或x22},

所以&A）u3={x|x<2},A正确；（gB）cA={x|xN2},B错误；

^（AuB）={x|x<-l},C错误；e（AcB）={x|xW-l或x22},D错误，

故选：A.

3.D

【分析】利用求投影向量的公式进行求解即可.

a-bb2（2,2）（\

【详解】向量d在向量b方向上的投影向量为WW=N万宝

故选：D.

4.A

【分析】根据给定条件，结合复合函数求导法则两边分别求导，再赋值计算即得.

【详解】由f{x+1)=(e*-e-*)sinx两边分别求导得：/'(尤+1)=(ex+e-J:)sinx+(ex-e7^)cosx,

当x=0时，f'(y)=(e°+e°)sin0+(e°-e°)cos0=0,

所以广⑴=0.

故选：A

5.A

713io

【分析】依题意由等差数列性质计算可得%=¥〃8=£，利用等差中项计算可得知=葭，

可求出/+/+/=3%=19.

【详解】根据等差数列性质，由%+%+%=7,%+〃8+〃9=13可得3a2=7,34=13,

所以可得%

,19

又生+%4=2%可%4=，

所以。13+。14+ai5=3。］4=19.

故选：A

6.C

【分析】设椭圆的右焦点为F?,易得p=2c,先求出|M周，再根据椭圆的定义求出|“耳|,

再在RtA.耳中，利用勾股定理求出关于a，c的齐次式即可得解.

【详解】设椭圆的右焦点为F?,

抛物线C:V=_2px（p>0）的焦点为［-壬o］,

22

椭圆C?:鼻+々=1（。>b>0）的左焦点为（—Go）,

ab

由题意可得-5=-c,所以P=2c,

将尤=-光代入抛物线方程解得y=±p,

所以卜p=2c,

由椭圆的定义可得|町|+|9|=2即所以|M|=2a-2c,

在Rt△叫耳中，由勾股定理得|出「+|耳用2=附&「，

gp4c2+4c2=（2a-2c）2,BPc^cr-lac,

所以+2---1=0,解得工=0-1（£=-3-1舍去），

Jaaa

即椭圆的离心率为0T.

故选：C.

7.B

jr71717ETTTTTT7T

【分析】根据题意可得GX-一工不3—工，再利用值域可限定3工兀+£，解

6|_626」2266

「481

得。的取值范围为.

jrTTIETT7T

【详解】由xw。，彳及口>。可得切工一工£一工，彳公一工，

2JoLo2o

根据其值域为［-1,2］,且2sin］qJ=T,

由正弦函数图象性质可得［4与0-^三兀+刍，

2266

即可得解得

32633

故选：B

8.D

【分析】对“，b,c进行变形，构造〃x)=ln(x+l),(x>2),求导后得到其单调性，从

Inx

而判断出。，b,。的大小.

【详解】a=l°g3=-b=lo§45=，c=log7=，

2lg2lg46lg6

令〃尤(x»2),

Inx

Inxln(x+l)

"Q=x_前尤-(\+1)1爪+1),

八六(Inx)2x(x+l)ln2x

因为xN2,所以尤(x+fjln2%,。,

令g(x)=xlnx,x>2,g'(%)=In/+1>0在［2,+oo)上恒成立，g(x)在［2,+。)上单调递增,

xlnx-(x+l)ln(x+l)

故xln%—(x+l)ln(%+l)<0,所以/(%)=<0在［2,+”)上恒成立,

x(x+l)ln2x

故〃尤人1115）在[2,y）上单调递减，

Inx

In3In5In7,

所以;——>~一~;―~，即Qrta>b>c,

In2In4In6

故选：D.

9.ABC

【分析】利用pH的计算公式pH=-lg[H+]可得A正确，将溶液中氢离子的浓度代入计算

式利用参考数据可分别求得选项BCD的pH值，可得结论.

【详解】对于A,若苏打水的pH是8,即pH=-lg[H+]=8,所以3+]=10一8,

即苏打水中的氢离子浓度为10一8摩尔/升，所以A正确；

对于B,若胃酸中氢离子的浓度为2.5x10-2摩尔/升，则

pH=-1g（2.5x10-2）=-1g2.5-1g10^2=2-（lgl0-lg4）=l+21g2«1.6,即B正确；

对于C,若海水的氢离子浓度是纯净水的10M倍，则海水的氢离子浓度是10-6.10-7=10一8.6,

因此pH=TglO-&6=8.6,即海水的pH是8.6,所以C正确;

对于D,若某种水中氢离子的浓度为4x10-摩尔/升，则

pH=-1g（4xIO-7）--1g4-lglO^7-7-21g2«6.4；

而6.4不在6.5-8.5范围内，即可得该种水不适合饮用，即D错误；

故选：ABC

10.CD

【分析】根据古典概型的概率公式结合事件的运算及条件概率公式逐一判断即可.

【详解】由题意〃（A）=3,〃（B）=4,基本事件的总数为6,

Q149

则尸（A）=：=：<尸（3）=2=：,故A错误；

o263

事件“表示掷出的点数为偶数且不大于2,则“（A耳=1,

事件初表示掷出的点数为奇数且大于2,则〃（初）=2,

_1-21

所以248）=2</43）=2=彳，故B错误；

663

事件AB表示掷出的点数为偶数且大于2,则“（钿）=2,

事件AB表示掷出的点数为奇数且不大于2,则〃0可=1,

21——1

所以尸(A5)=：=z>尸=故C正确;

636

11

（幽二端V」

P(vB|1A7)J,：)=]=2,P

P(A)132

23

所以尸（叫A）＞尸（A忸），故D正确.

故选：CD.

11.ABD

【分析】先证明平面ABC"/平面ACR,再根据面面平行得线面平行可判断A；由AP〃平

面ACR,VP_ACDi=VA.ACA,再利用等体积转换可求解判断B；三棱锥A-CG2的外接球即

长方体ABCD-4耳GR的外接球求解可判断C；直线A/与平面8CC内所成角即幺明,

当尸片最小时，sin/AJ用最大，求解可判断D.

【详解】对于A,由长方体性质可得BC"/AR,AC"/AC,

BCt<Z平面ACD],ADiu平面ACD[,

・•.8G〃平面ACR,同理，46//平面4（72，

又BG，4C|U平面ABG，且BGcAG=G，

所以平面ABC"/平面ACR,又4Pu平面ABC-

.­-4尸//平面4。口.故人正确；

对于B,由A选项，4尸〃平面ACR,所以点尸到平面AC2的距离和点4到平面AC，的

距离相等，

1112

=v=xS

则力一9=j-ACRc-\ADx~N\ADyxh=-x-x2xlx2=-.^B正确；

对于C,三棱锥A-CGA的外接球即长方体ABC。-AUG，的外接球，设外接球半径为r,

所以2r=V22+22+l2=3，所以外接球的表面积为S=4"？=9兀.故C错误;

对于D,因为a与，平面BCCXBX,连接A,P,BtP,则直线AtP与平面BCG4所成角即幺尸片,

在RtVA男尸中，4片=2,当PB1最小时，sinNAP^i最大,

A42屈

此时磬sinN24PBi=

1\P~2病一6

5

所以直线A7与平面BCG4所成角正弦值的最大值为叵.故D正确.

6

故选：ABD.

12.ACD

【分析】设点尸(x,y),根据题意可求出的方程可判A；根据直线与圆有公共点列方程判断

B；根据三角形内角平分线的性质可判断C；分析可得MN两圆的公共弦，求出公共弦所在

直线方程可判断D.

【详解谢于A,设点P(x,y),则由A(-2,0),|PA|=V2|PO|可得J(尤+2『+手=6Jx2+y2,

化简可得(尤-2)2+/=8,故A正确；

对于B,曲线C的方程为(x-2)2+V=8,圆心为(2,0),半径为2&,直线>=履+4,即

辰一y+4=0,

若直线>=履+4与曲线C有公共点，则圆心到直线的距离〃=等2420,

奴+1

解得心2-#或％22+6,则上的取值范围是卜双2-后][[2+痣,+°),故B错误;

对于C,当O,AJ三点不共线时，\P^=42\PO\,则磊=¥，

|44=4-2血，3|=2加-2,则万方二5~，所以五尸万万，

所以由角平分线定理的逆定理知射线尸。平分ZAPO,故C正确;

对于D,设曲线C外一点。5-4,P),因为00,00,CNLDN,所以M,N在以。为直

径的圆上.

线段8的中点坐标为［1-1，,

所以以CM为直径的圆方程为,4+1：+［一。='一1一21+］10：

彳七简/+/+（2——cty+-8—0,

因为MN两圆的公共弦，所以直线MN的方程为(。-6)犬+殁-2々+4=0,

2

x=—

x+y-2=0324

即（x+y-2）a-6x=4=0,令"4:0,解得:,则直线过定点,故D

y=—

3

正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法

(1)动直线/过定点问题.解法：设动直线方程(斜率存在)为>=履+乙由题设条件将f用

k表示为t=mk+n,^y=k^x+in)+n,故动直线过定点(-〃?,“)；

(2)动曲线C过定点问题.解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成

立，令其系数等于零，得出定点.

4

13.-##0.8

5

【分析】利用两角和的正切公式将式子化简可得tana=2,再由二倍角公式以及同角三角函

数之间的基本关系代入求值即可得出结果.

兀兀兀

l1+tana——tan—+tana——（、

［详解］由-----7——笠=2可得——-----7~=tany+|=tana=2,

兀）兀（兀）［）

I—tan|a—I1—tan—tancc—44

I44I4

2sinacosa2tancr_2x2_4

所以sin2a=2sinacosa=

~si~n2a+cos2atan2«+l22+15

BPsinla

4

故答案为：—

14.276

【分析】首先计算出所有的选派方式，再挑选出不合题意选派方式，即可计算出结果.

【详解】根据题意可知6人中选派4人参与选派方式共有A：=360种,

其中甲、乙都不参与的选派方式共有A：=24种，

其中甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有C；A；=60种，

所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有

A：—A：-A；=360—60—24=276种.

故答案为：276

15.卜-4则-

A反LlUUUUULlUUULUUUUUUUUL

【分析】根据题意可求得外接球半径为尺=半，利用「河=尸0+0暇,两=20+0?/可得

PM-PN=\PC^-^,由几何关系求出的最值即可求出产M/N的取值范围.

【详解】如下图所示:

设A点在平面BCD内的摄影为E,尸为。C的中点，易知E在8尸上，且平面BCD；

又正四面体的棱长是2,所以可得2尸=6，

在正△BCD中BE=：若，由勾股定理可得AE=卜-二2

设外接球半径为R,则可知（AE-A）?+BE2=店,

即]|#一括j=R2,解得R=乎;

易知.PN=（尸0+OM）・（PO+0N）=PO2+PO-[OM+ON^+OMON,

又因为MN是外接球的一条直径，所以OM+ON=0，且|。M|=|。叫=乎；

因此PM.PN=|尸0『_|0河'0必=|尸0『一|,

£

易知poL=\A°\=^\POL=I°I=\AE\-R=T'

20;

所以（PMJN：L=（KJ-|=：->T，（™-^L=（KJ-rl-r

「4一

因此可知PATPN的取值范围为一§，0.

-4-

故答案为：-§，0

1一-|2

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用极化恒等式将尸W./W化为|尸。|-；3，再利用正四面

体性质求出|尸。|的最值即可求出PM-PN的取值范围.

【分析】对不等式变形可得(e'+l)lne*N[(依)2+l]ln(依)2在(O,+s)上恒成立，构造函数

/(%)=(尤+l)lnx并利用导数判断可得外力在(0,+8)上单调递增，即等价于e'“oxy,因

XX

此可得aw巳对出e(0,+8)恒成立，构造函数人⑴=9,xc(0,+8)并求得其最小值即可得

XX

«<-1,可得结果.

2

【详解】将不等式e'+12212x+：|ln(办)变形可得尤(e，+l”(“2x2+i)in(")2,

即(e*+l)lne">[(axj+l]ln(a%y,

构造函数/(x)=(x+l)lnx,RT^#/，(^)=lnx+(x+l)--=lnx+—+1；

iiir_i

令g(无)=/'(x)=lnx+_+l,贝!]g'(x)=----T=—y-;

XXXX

所以当x«0,l)时,g，(无)=?<0,即g(x)在(0,1)上单调递减；

当当xe(l,+8)时，g，(x)=*>0,即g(x)在(1,+s)上单调递增，

所以g(x)Ng⑴=2,BPr(x)>2,所以函数〃x)在(0,+动上单调递增，

利用单调性并根据(e*+l)lne-1>[(ax)2+l]ln(ax)2可得/>(ax)2,

(X、

£2

即可得住〉〃丫，即J对Vxe(0,+co)恒成立，因此心—即可;

C/"人Ct--V-

X

V/min

,XX£

-v122P2|x-l

/、己2|7|||—一e'c

vh[x)=一,X£(0,+oo)，人=2________=一

xv7X2

显然当光£(0,2)时，〃(力<0,即函数万⑺在(0,2)上单调递减,

r

当无£(2,+00)时,/z(x)>0,即函数7z(x)在(2,+00)上单调递增,

所以M尤"„=可2)=；,即(

X/min

因此正实数”的最大值是9.

故答案为：—

【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式变形成(e，+l)lne―[(Qx)2+l]ln(ax)2,根据

x

同构函数可令"X)=(x+l)lnx,利用导数求得其单调性可转化为q<辿对Vxe(0,+8)恒成

X

x

立，求出函数人(力=已在(0,+8)上的最小值即可得出结论.

X

17.(1)7=75.60,y=75.88,乙生产线较甲生产线的产品指标0值更好

91

⑵E(X)，D(X)=.

【分析】(1)根据直方图估计平均数和中位数的公式计算即可，再判断即可；

(2)先求出指标P值不小于70的概率，由题意可得X服从二项分布，再根据二项分布的

期望与方差公式计算即可.

【详解】(1)^=10x(55x0.01+65x0.02+75x0.034+85x0.026+95x0.01)=75.60,

因为(0.01+0.02)xl0=0.3<0,5,(0.01+0.02+0.034)xlO=0.64>0.5,

所以中位数在区间[70,80)上，

贝1|(0.01+0.02)xl0+0.034x(y—70)=0.5,解得y«75.88,

即中位数y=75.88,

因为尸_yl=0-28<|-x|=2,

所以乙生产线较甲生产线的产品指标P值更好;

7

(2)指标P值不小于70的概率为(0.034+0.026+0.01)x10=仿,

由题意可得x台k,.)，

所以E(X)=5x工」,Z)(X)=5x工x(l一工］=".

V7102V710I10)20

18.(l)A=j

(2)tanB=

2

【分析】（1）由已知条件和三角形内角关系，利用两角和的正弦公式化简可得

6sinA-cosA=l,再由辅助角公式以及角的范围可得A：,

（2）根据向量定比分点以及4£>=跳>,在。C4Q中由正弦定理可得

3sing-“=sin-可，化简计算即可求得tan2=乎.

【详解】（1）由右sin8+cos2=sinB：；11。以及sinC=sin（A+3）可得

A/3sinAsinB+sinAcos3=sin3+sin（A+5）,

即y/3sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

可得百sinAsinB=sinB+cosAsinB，又sinBW0,

所以6sinA=1+cosA,BP5/3sinA-cosA=1,

可得2sin(A-胃=1,又Ae(O,7i),

解得A吗

(2)如下图所示：

712兀

由可得ZD4B=4,/CDA=2/B,ZCAD=――B,ZACD=——B；

33

CD4。

CDAD

在4c4。中，由正弦定理可得，即.(兀).(2TI

sin——Bsin----B

sinZCADsinZACDUJI3

由3O=3Z)C可得3sin[g_3j=sin[T_5j,

化简可得主8cosB-3sin8=^vos5+』sin3，整理可得Gcos3=2sin3，

2222

所以tanB.

2

19.（1）证明见解析

力3回

⑵丁

【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得平面平面ECD与平面的夹角的余

弦值.

【详解】（1）不妨设AB=1,则3C=CE=2,

在平行四边形ABCD中，BC=2,AB=1,NABC=60。，连接AC,

由余弦定理得AC2=『+22-2X1X1XCOS60°=3,即AC=6，

AC2+AB2=BC2,s.ACLAB.

又1AC2+AE2=CE2,:.ACLAE,ABAE=A,

AC_L平面又：ACu平面ABCD.

平面EAB_L平面ABCD.

取AB中点G,连接EG,EA=EB,:.EGLAB,

由（1）易知EG_L平面ABCD,且EG=立.

2

如图，以A为原点，分别以射线AB,AC所在直线为轴，竖直向上为z轴，建立空间直角

坐标系孙z,

则尸0弓,去,C（O,g,O）,3-1,6,0）,旦卜2,2a0）,C"T,2后⑹，

CD=（-1,0,0）,FC=0,乎，-乎,EC=指,

122J（22）

h-CD=0

设平面歹CD的法向量为“=（尤,y,z）,贝ij,

n•FC=0

一九二0

得<6#,令y=i,得w=(o,1,1),

——y------z=0

[2'2

m-CD=0

设平面ECD的法向量为m=（为,％4）,则＜

m-EC=0

得，令M=l,得机=（0,1,2）,

+6%~^2~Z[=0

/\m-n33jT6

cos(tn,〃)=,<~~/।.|=-7=-=---

、|ml,lnl0x610

所以平面ECD与平面FCD夹角的余弦值皿.

10

20.(1)。〃=2〃,么=2",〃EN*

⑵7；=(3〃-3>2"+3

【分析】（1）依题意由a；1+l-a：=4a„+1-4可得数列｛a〃｝是以4=2,公差为2的等差数列，

利用递推公式可得当心2时券=2,即可求出数列｛q｝和圾｝的通项公式；

（2）由等差数列性质可得斗=小+%+5++5/&+5）=*+岫）=3〃.2",再

由错位相减法求和即可求得Tn=（3«-3）-r+3.

【详解】（1）由嫌「。：=4%+尸4可得匕「4°田+4=d，即（°用一2）2=。；，

又数列｛%｝各项为正，且4=2,可得4用-2=见，即2+1-a“=2；

所以数列｛4｝是以首项为卬=2,公差为2的等差数列，

即an=q+2（〃-1）=2〃；

又4+/+*++白=%，所以*++如=*'〃22，

b

两式相减可得万普=an~an-\~2，

所以a=2・2〃T=2〃122；

b

当72=1时，j=%=2也符合上式，故a=2"；

所以数列｛%｝和也｝的通项公式an=In,bn=2",〃eN*；

(2)设等差数列J,•,的公差为d,

贝l|c“,=%+"，%=%-d;

1

所以S〃=g,+q,2+c„,++c%=|(c,；［+c“J=多年+d+%-〃)=冬2"+2向)=3j2"-；

可得r=3-2°+6-21+9-22++3(7L1>2"-2+3〃.2"T,

23,!1

2Tn=3-2'+6-2+9-2+.+3(«-1)-2-+3H-2"；

两式相减可得一7；=3.20+3・雪+3-2?++3-2,i~l-3»-2"=3x2-3n-2n

=3(2"-1)-322"=(3-3“卜2”-3；

所以《=(3"-3)・2"+3.

4010

21.(1)

(2)———=l(y5^0)

918'7

【分析】(1)求出直线A3的方程，联立双曲线方程，求出力=个，进而求出程，得到点。

的坐标;

2k4

(2)联立/与双曲线方程，由△=()得到2公+疗=4,求出尸和过点P且与/垂直的

mm

直线方程，表达出M(x,0),N(0,y)的坐标，结合2k2+苏=4得到轨迹方程，注意

【详解】(1)由题意得。(0,2),

故直线A8方程为二=土程，即x+0y-2夜=0,

2-10-72

22

联立工+岳-2&=0与--土=1得-39+16>-20=0,

42

由韦达定理得2%=^,解得力=?，

故租=2夜-血如=-勺2，则点。的坐标为-上■，当

（2）联立/:,=依+根（女W±0）与。：^--土=1得，

42

（左2—2）12+2knvc+m2—4=0,

k手上Ji，由A=4左2.—4（左2一2乂二一4）=0,解得2左2+根2=4,则加w0,

-km-km2k

Xp=2k2V+m24

又k2-2m2m，y=k-

Pm

2

2k4

故尸,由题可知ZwO,

mm

416

过点P且与l垂直的直线方程为y—一-x-\——

mkm

令x=0得,=色，令）=0得%=竺,

mm

,,6~,6,,7mx6xx_,,

因为y=7所以咱J故人不…然y町

2

代入2严