甘肃省平凉市崆峒区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

甘肃省平凉市峪帽区2023-2024学年九年级上学期期末数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.一元二次方程2d-2x=l的一次项系数和常数项依次是（）

A.—2和一1B.-2和1C.2和1D.2和1

2.下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）

3.点A0,-3）在反比例函数y=:的图象上，则实数上的值为（）

A.3B-1C.-3

4.下列成语所描述的事件是必然事件的是（)

A.心想事成B.守株待兔C.水涨船高D.画饼充饥

5.在抛物线y=-x2+l上的一个点是（）.

A.(1,0)B.(0,0)C.(0,-1)D.(1,I)

6.已知点AQM）、点5（02）关于原点对称,贝!Ja+Z?的值为（）

A.3B.-3C.-1D.1

7.如果关于x的方程（。-5）必-4彳-1=。有实数根，贝/满足条件是（）

A.。片5B.。>1且。大5C.且。大5D.a>\

8.如图，。。是△ABC的外接圆，已知/AC2=60。，则NA8。的大小为（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

9.如图5的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只上虫同时出发，以相同的速度从A点到B

点,甲虫沿ADA、4造、4哙、AJGB、路线爬行,乙虫沿AC2路线爬行，则下列结

论正确的是()

A.甲先到B点B.乙先到B点;

C.甲、乙同时到B点D.无法确定

10.如图，已知二次函数>=存2+笈+。的图象与x轴分别交于A、3两点，与y轴交于

C点，OA=OC,则由抛物线的特征写出如下结论：①他c>0；②③

a+b+c>0；®ac+b+l=Q.其中正确的个数是()

3个C.2个D.1个

二、填空题

11.小明制作了十张卡片，上面分别标有I〜10这10个数字.从这十张卡片中随机抽

取一张恰好能被3整除的概率是.

12.用一个圆心角为120。，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半

径是—.

13.如图，直线Ux轴于点P,且与反比例函数y=&(x>0)及%=8(x>0)的

X无

图象分别交于A、8两点，连接。4、OB,已知A0LB的面积为4,则勺-心=

14.如图，在半径为6的：O中，点A,B,C都在;。上，四边形Q4BC是平行四边形,

则图中阴影部分的面积为.

试卷第2页，共6页

15.二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c<mx+n时,

x的取值范围是.

16.如图，边长为6的正方形A3CD的边8c上有一点E,若线段AE绕点A顺时针旋

转90。与线段"重合，则四边形AEC尸的面积.

17.半径为2的圆内接正六边形的面积为.

18.现定义运算“★”，对于任意实数a、b,都有4★6=。2-30+6,如：3*5=32-3x3+5,

若x^2=6,则实数尤的值是—.

三、解答题

19.解方程：

(1)-2)+x—2=0；

(2)(3尤-1)?=25.

20.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系

中，Q4B的三个顶点。(0,0)、4(4,1)、3(4,4)均在格点上.

⑴画出，。钻关于y轴对称的。4月，并写出点A的坐标;

⑵画出.。R绕原点o顺时针旋转90°后得到的△。&当，并写出点4的坐标；

（3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留兀）.

21.已知关于x的一元二次方程：x2-（唐-3）尤-«i=0.

（1）试判断原方程根的情况；

（2）若抛物线y=x2-（%-3）x-〃z与x轴交于A（xi,0）,B（孙0）两点，则A,B

两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.

（友情提示：AB=\X2-XI\）

22.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为8cm,

水面最深地方的高度为2cm.

⑴用尺规作图法找出该圆形截面的圆心，保留作图痕迹；

⑵求该输水管的半径.

23.在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，

其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个.现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸

球游戏定输赢（赢的一方得电影票）.游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱

里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球.若两人

摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢.这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树

试卷第4页，共6页

状图或列表法说明理由.

24.如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）,

余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m-求道路的宽.

25.如图，一次函数好奴+》与反比例函数y=±的图象交于4（m,4）、3（2,〃）两点，与

X

4

（2）根据图象直接写出"+6-->0中x的取值范围;

x

（3）求一A03的面积.

26.如图所示,

①②③④⑤

（1）观察图①〜④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：

（2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出

的两个共同特征.（注意：新图案与图①〜④的图案不能重合）

27.如图，。。的直径为10c〃z,故BC为6cm,D,E分别是的平分线与。。，

直径的交点，尸为A8延长线上一点，且PC=PE.

（1）求AC、A。的长；

（2）试判断直线PC与。。的位置关系，并说明理由.

D

28.如图，已知抛物线，=以2+法+5经过4(-5,0),8(-4,-3)两点，与x轴的另一

个交点为C,顶点为D连结CD

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点尸为该抛物线上一动点(与点8、C不重合)，设点尸的横坐标为九

①当点尸在直线BC的下方运动时，求AP3C的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P,使得NPBC=NBCD若存在,求出所有点P的坐标；若不

存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是：62+笈+,=0（",

6,。是常数且。/0）特别要注意。/0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般

形式中办2叫二次项，区叫一次项，。是常数项.其中。，瓦。分别叫二次项系数，一次项系

数，常数项.

根据一元二次方程的一般形式进行选择.

【详解】一元二次方程2/一2尤=1可化为：2元2一2元-1=0的一次项系数和常数项依次是-2

和-1.

故选：A.

2.A

【分析】根据轴对称图形概念和中心对称图形的概念即可得到正确选项.

【详解】解：A、项是中心对称图形，不是轴对称图形，故A项符合题意；

B、项不是中心对称图形，是轴对称图形，故B项不符合题意；

C、项不是中心对称图形，不是轴对称图形，故C项不符合题意；

D、项不是中心对称图形，不是轴对称图形，故D项不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，理解轴对称图形概念和中心对称图

形的概念是解题的关键.

3.C

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征;把点A的坐标代入反比例函数y=（是

X

解决问题的关键.

k

把点A的坐标代入反比例函数y=—可求出左的值.

X

k

【详解】•・,点41,-3）在反比例函数》=—（人工0）的图象上，

k=1义（—3）=—3,

故选：C.

4.C

【分析】本题考查了随机事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

【详解】解：A、心想事成是不可能事件，故A不符合题意；

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B、守株待兔是随机事件，故B不符合题意；

C、水涨船高是必然事件，故C符合题意；

D、画饼充饥是不可能事件，故D不符合题意；

故选：C.

5.A

【分析】根据几个选项，分别将x=l或x=0代入y=-x2+l中，求y的值即可.

【详解】解：,当x=l时,y=-x2+l=-1+1=0,

当X=0时，y=-x2+l=o+l=l,

抛物线过（1,0）或（0,1）两点.

故选A.

6.B

【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出。、匕的值即可.

【详解】解：点41,。）、点BS,2）关于原点对称，

a--2,b=-l,

a+Z?=-3.

故选：B.

【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相

反数，纵坐标也互为相反数.

7.D

【分析】本题考查了一元一次方程的定义及一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当

A20时，方程有实数根”是解题的关键.由二次项系数非零及根的判别式即可得出关

于。的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围.

【详解】解：当4=5时，关于x的方程（。一5）/一4彳-1=0化为Tx—1=0,解得x=j

即当a=5时，关于x的方程（。-5）f—4x-1=0有实数根，

当aw5时，关于X的一元二次方程（a-5）x2-4%-1=0有实数根，

4）-4x（Q-5）x（-1）20,

解得：。之1且aw5,

综上所述，〃加时，关于1的方程（。-SR—4%-1=。有实数根，

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故选D.

8.A

【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半可得NAOB=120。，再根据三角形内角和定理可得答案.

【详解】VZACB=60°,

/.ZAOB=120°,

VAO=BO,

；./ABO=(180°-120°)+2=30°,

故选A.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆

周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

9.C

【分析】分别计算两种路线的长度即可得出答案.

【详解】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，

那么应该是g兀(AAi+AiBi+BiCi+CiB)兀'AB,

因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点.

故选C.

【点睛】本题是弧长公式的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出

现，难度一般.

10.C

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质.理解并掌握，二次函数解析式中a的正负

决定了抛物线的开口方向，A的取值范围决定了抛物线与x轴的交点个数，及二次函数图象

上点的坐标的特征，是解决本题的关键.

结合图象和二次函数的性质判断即可；

【详解】①观察图象可知，开口方上，即a>0,

与y轴交于负半轴，即c<o,

对称轴在y轴右侧，即6<o,

：.abc>0,故①正确；

②：抛物线与*轴有两个交点，

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A=Z?2—4ac>0,BP4ac—b2<0,故②错误；

③当x=l时，y^a+b+c,

由图象知，(lm+6+c)在第四象限，

/.a+b+c<0,故③错误；

④设C(O,c)(c/O),则OC=|C|,

OA=OC^c\,

：.A(c,O),

将(G。)代入抛物线，得碇2+儿+°=0,

ac+b+l=O,故④正确；

综上所述，正确的结论有①④三个，

故选：C.

H.A

10

【分析】本题考查了概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有〃种可能,

而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现加种可能，那么事件A的概率P(A)=—.

n

先求出1〜10这十个数字中能被3整除的数，再根据概率公式求解即可.

【详解】解：:I〜10这十个数字中能被整除的数为：3,6,9三个数，

・・・从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被3整除的概率是：言.

3

故答案为证.

12.2

【详解】解：・扇形的弧长=号誉=2兀r,

圆锥的底面半径为r=2.

故答案为2.

13.8.

【分析】根据反比例函数上的几何意义可知：AAO尸的面积为:左，ABQP的面积为:自，

然后两个三角形面积作差即可求出结果.

【详解】解:根据反比例函数上的几何意义可知：A40P的面积为:勺，ABO尸的面积为:网,

**•^AOB的面积为—~~^293k].-3k2=4，:♦k]-k?=8.

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故答案为8.

【点睛】本题考查反比例函数%的几何意义，解题的关键是正确理解人的几何意义，本题属

于基础题型.

14.6万

【分析】连接根据平行四边形的性质得到A3=0C,推出△A05是等边三角形，得到

ZAOB=60°,根据扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：连接05,

・・・四边形048。是平行四边形，

：.AB=0C,

：.AB=OA=OB,

是等边三角形，

・•・ZAOB=60°,

•.*OC//AB,

：.SAAOB=SAABC,

•••图中阴影部分的面积=s蹒AOB=也£=6z,

360

故答案为：6兀.

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的

关键.

15.-2<x<l

【分析】求关于x的不等式依2+法+°4〃a+〃的解集，实质上就是根据图像找出函数

y=Q2+6x+c的值小于或等于y=：加+〃的值时x的取值范围，由两个函数图像的交点及

图像的位置，可求范围.

【详解】解：依题意得求关于x的不等式◎?+法+°4如+〃的解集，

实质上就是根据图像找出函数y=ax2+6x+c的值小于或等于y=加+"的值时x的取值范

答案第5页，共16页

围，

由两个函数图像的交点及图像的位置可以得到此时X的取值范围是-24XW1.

故答案为：-2<x<l.

16.36

【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，根据正方

形的性质得到NZMB=90。，AD=BA,再由旋转的性质得到AF=/E4r=90。，由此

推出=则可证明AD户均ABE(SAS)得到S△皿=S△旗E，据此可得

S四边形AECF=S正方形ABCO=36.

【详解】解：：四边形ABCD是正方形，

/.ZDAB=90°,AD=BA,

由旋转的性质可得AF=AE；ZEAF=90°,

：.ZDAF+ZDAE=90°=ZBAE+ZDAE,

：.ZDAF=ZBAE,

.ADF^ABE(SAS),

,・―0AABE，

••S四边形AECF=S四边形AEC。+

=S四边形MC。+^AABE

=S正方形ABCD

=6x6

=36,

故答案为：36.

17.6A/3

【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的性质和计算公式是解题的关键.

连接OAO3,作OCL4?,根据垂径定理求出AC,根据勾股定理求出OC,根据三角形的

面积公式，正六边形的性质计算.

【详解】连接0A作OC_LAB于C,

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B

则AC」AB,ZA03=360°+6=60°,

2

故AB=OB=OA=2,

JAC=1

由勾股定理得，oc=VOA2-AC2=V3,

.,.正六边形的面积=6XS.AOB=；x2xV^x6=6A/3,

故答案为：6\[3.

18.-1或4

【详解】解：根据题中的新定义将.v*2=6变形得：N-3x+2=6,即N-3尤-4=0,

将左边因式分解得：(尤-4)(x+1)=0,

解得：Xl=4,X2=-1.

•••实数X的值是-1或4.

故答案为：-1或4

19.(1)占=-1,3=2

4

(2)%-2,X2

【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，熟练掌握因式分解和直

接开平方法是解本题的关键；

(1)方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一

元一次方程来求解；

(2)方程直接开平方后，转化为两个一元一次方程来求解；

【详解】⑴因式分解，得(x-2)(x+l)=0

于是得x+l=0或x-2=0,

即％=-l,x2=2；

答案第7页，共16页

(2)解：直接开平方得3x-1=±5

即3x-l=5或3x-l=-5,

4

即玉=2,无，=-§.

20.(1)作图见解析，(-4,1)

(2)作图见解析，(1,T)

⑶手

【分析】(1)根据题意，可以画出相应的图形，并写出点A的坐标;

(2)根据题意，可以画出相应的图形，并写出点&的坐标；

(3)根据题意可以求得的长，从而可以求得线段在旋转过程中扫过的面积.

【详解】(1)解：如图所示，点A的坐标是(T』)；

(2)解：如图所示，点4的坐标是(1,T)；

⑶解:点4(4,1),

...O4=Vl2+42=5^7-

线段。4在旋转过程中扫过的面积是：90x7IX(^)_17^.

3604

【点睛】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

答案第8页，共16页

21.(1)原方程有两个不等实数根；(2)20

【分析】(1)根据根的判别式，可得答案；

(2)根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案.

【详解】(1)△=[-(m-3)]2-4(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8,

I(m-1)2>0,

△=(m-1)2+8>0,

・,・原方程有两个不等实数根；

(2)存在，

由题意知打，X2是原方程的两根，

xi+x2=m-3,xi9X2=­m.

\9AB=\X2-xi\,

AB2=(X2-Xl)2=(X/+X2)2-4x1X2

=(m-3)2-4(-m)=(m-1)2+8,

.••当g时，有最小值8,

」.AB有最小值，即AB=&=2a.

【点睛】考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式.

22.⑴见详解

(2)5cm

【分析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角

形是解答此题的关键.

(1)先做线段AB的垂直平分线，交圆于区F两点,作线段的垂直平分线两条

线£F,MZV的交点即为圆心0；

(2)先过点。作钻于点D,连接。4,由垂径定理可知AD=1A2,设OA=r,则

OD=r-2,在放AOD中，利用勾股定理即可求出厂的值，从而得出该输水管的半径的长.

【详解】(1)如图，先做线段48的垂直平分线，交圆于区/两点，作线段斯的垂直平分

线MN,两条线EF,的交点即为圆心0；

答案第9页，共16页

设OA=r,

贝lj8=r-2,

在RfAOD中，O^=OD2+AD2,

即r2=(r-2)2+42,

解得r=5cm.

故该输水管的半径为5cm.

23.不公平

【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是

否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.

【详解】解：此游戏不公平.

理由如下：列树状图如下，

开始

红红黄蓝

/Ax

红红黄蓝红红黄蓝红红黄蓝红红黄蓝

由上述树状图知：所有可能出现的结果共有16种.

答案第10页，共16页

P（小明赢）=二=],P（小亮赢）=瞿=，，故此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大.

168168

24.2m

【分析】设道路的宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，则所有草坪面积之和

就变为了（32-x）（20-x）m2,进而即可列出方程，即可求出答案.

【详解】解：利用平移，原图可转化为下图，

设道路的宽为无米,

根据题意得：（32-耳（20-x）=540,

整理得d-52x+100=0,

解得x=2或x=50,

因为50>32,则x=50不符合题意，舍去，

所以道路的宽为2m.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想,

需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案.另外还要注意解

的合理性，从而确定取舍.

25.（l）y=-2x+6；（2）x<0或l<x<2；（3）3.

【分析】（1）将点A、点、B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；

（2）由图直接解答；

（3）将△AOB的面积转化为SAAON-SABON的面积即可.

4

【详解】（1）：点A在反比例函数y=—上，

X

4

—=4,解得m=l,

m

•••点A的坐标为（L4）,

4

又•・•点5也在反比例函数》=—上，

x

4

=n,解得n=2,

答案第11页，共16页

•••点3的坐标为(2,2),

又,点A、B在>=丘+》的图象上,

k+b=4,解得[k"=6-2

2左+6=2

一次函数的解析式为>=-2元+6.

4

(2)根据图象得：kx+b一一>0时，x的取值范围为x<0或l<x<2；

x

(3)：直线y=-2x+6与x轴的交点为N,

.•.点N的坐标为(3,0),

SAAOB=S/\AON~S/\BON=~x3x4--x3x2=3.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图

像解不等式，及割补法求图形的面积，数形结合是解题的关键.

26.(1)一、都是轴对称图形；二、阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和

(2)见详解

【分析】本题主要考查从不同图形中寻找共同特征的能力，考查观察能力、抽象概括能力、

数学语言表述能力和空间观念；

(1)可以从图形的对称性和图形阴影部分的面积来考虑；

(2)根据两个特征设计出一个图案即可；

【详解】(1)所给的四个图案具有的共同特征：一都是轴对称图形；二，阴影部分面积都等

于四个小正方形的面积之和；

27.(1)AC—8cm；AD=cm；(2)PC与圆。。相切，理由见解析

【分析】(1)连接BD,如图，根据圆周角定理由AB为直径得NACB=90。，则可利用勾股

定理计算出AC=8；由DC平分NACB得NACD=/BCD=45。，根据圆周角定理得/DAB

答案第12页，共16页

=ZDBA=45°,则△ADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长；

(2)连接0C,由PC=PE得/PCE=NPEC,利用三角形外角性质得/PEC=NEAC+NACE

=ZEAC+45°,加上/CAB=90°-/ABC,ZABC=ZOCB,于是可得到/PCE=90°-

ZOCB+45°=90°-(ZOCE+450)+45°,则NOCE+NPCE=90。，于是根据切线的判定定

理可得PC为0O的切线.

【详解】(1)连接班)，如图1所示，

图1

为直径，

ZACB=90°,

在R3AC8中，AB=10cm,BC=6cm,

-'-AC=^AEP-BC1=83w)；

NACD=NBCD=45。,

/DAB=/DBA=45°

AADB为等腰直角三角形，

万

:.AD=^AB=5五(cm)；

(2)PC与圆。。相切.理由如下：

连接0C,如图2所示：

图2

答案第13页，共16页

•:PC=PE,

：.ZPCE=ZPEC,

•・•NPEC=NEAC+/ACE=NEAC+45。,

而NCAB=90o-ZABC,NABC=NOCB,

：.NPCE=9。。-ZOCB+45°=90°-(ZOCE+450)+45°,

：.ZOCE+ZPCE=9Q°f

即NPCO=90。，

・•・OC.LPC,

・・・PC为。。的切线.

【点睛】本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，圆周角定理，是圆的综合题，综合性

比较强，难度适中，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键.

28.(1)y=x2+6x+5；(2)①.;②存在，尸卜|，一j或(0，5).

【分析】(1)将点42坐标代入二次函数表达式，即可