自动控制原理 课件 王军 第4、5章 根轨迹分析法、频率特性分析法

1《自动控制原理》

第四章根轨迹分析法4.1根轨迹法的基本概念4.2绘制根轨迹的基本条件和规则4.3特殊根轨迹4.4用根轨迹法分析系统性能4.1根轨迹法的基本概念对于如图所示单位反馈系统系统的开环传递函数为其中K称为根轨迹增益（注意和开环增益不同）系统的闭环传递函数为系统的特征方程为系统的特征根或闭环极点为闭环极点随变量K的变化而变化，从而影响系统的瞬态响应，系统具有不同的动态过程。因为系统闭环极点的位置影响系统的瞬态响应及品质指标。

1、当K=0时；系统特征根s1=0，s2=-2，与开环极点重合。2、当0<K<1时，系统特征根s1、s2均为负实根，系统呈过阻尼状态，阶跃响应单调变化。3、

当K=1时，s1=s2=-1，两根重合，系统呈临界阻尼状态，阶跃响应为等幅振荡过程。4、当1<K<

时，系统特征根sl、s2为一对共轭复根，且实部为负，虚部随K增大而增大。系统呈欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。当K从0

变化时，系统特征根在s平面上移动的轨迹如图所示，箭头表示K增大的方向。由此可见，当K由0至

变化时，特征根s1、s2均在s平面的左半平面，因此，系统对所有K值均是稳定的。但是系统在不同的K值下，其动态特性不同，为了使系统尽可能达到稳、准、快的要求，应多次改变K值，以调节闭环极点在s平面的位置，达到寻求理想的输出特性曲线的目的。但每改变一次K值，需重新求解一次闭环特征方程，这使得系统的分析、计算工作量很大，特别是当系统高于三阶时，求解特征根是非常困难的；特别是当参数变化时，要求出特征方程的根就更加困难了。4.2绘制根轨迹的基本条件和规则4.2.1根轨迹方程

所谓根轨迹就是当系统的某个参数从0

+

变化时，系统特征根在s平面上移动所形成的轨迹。而用图解的方法绘制根轨迹的依据是根轨迹方程。如图示系统结构图系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为：则系统的闭环特征方程为：

因此，满足开环传递函数等于-1的s，即为闭环特征根，也就是根轨迹上的一个点。一般系统的开环传递函数可表示成如下形式为开环传递函数的零点，为开环传递函数的极点，为根轨迹增益。因为开环传递函数G(s)H(s)为复变量s的函数，所以可以将其用幅值和相角表示，根据等式两边幅值和相角相等的条件，可将特征方程式表示成幅值条件和相角条件。幅值条件：相角条件：对于系统中某个参数从0

+

变化时，满足以上两式的所有s点，均为闭环极点，也就是根轨迹上的所有点。以上两式是绘制系统根轨迹及应用根轨迹分析和设计控制系统的重要依据。

复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足幅值条件和相角条件。由于根轨迹的幅值条件与根轨迹增益K有关，而相角条件与K无关。所以在绘制根轨迹时，一般先用相角条件（充分必要条件）确定轨迹上的点；然后利用幅值条件（必要条件）确定根轨迹上该点对应的K值；最后将复平面上所有满足相角条件的s点顺序连成曲线，这种方法被称为试探法。根据幅值条件与相角条件，采用试探法尽管可逐点精确绘制根轨迹，但它很麻烦，需要在s平面上任选足够多的实验点，来根据相角条件判断是否为根轨迹上的点，计算量大，不便于人工绘制，仅适用于计算机绘制。所以，人们根据相角条件和幅值条件推导出了若干绘制根轨迹的规则，利用这些规则可以简捷绘出根轨迹的大致图形，并为精确绘制根轨迹指明方向。4.2.2绘制根轨迹的基本规则1、根轨迹的分支数

根据根轨迹方程可得：

由于n

m，特征方程的阶次等于开环极点数n

，而n阶特征方程就对应有n个特征根或n个闭环极点，所以其根轨迹的分支数就等于开环极点数n

。当K从0

+

变化时，每个特征根都由起点向终点连续移动，形成一条根轨迹。2、根轨迹的起点与终点根轨迹的起点是指根轨迹上对应于K=0的点；终点是指根轨迹上对应K=+

的点。根据幅值条件式，可得当K=0时，上式的右边1/K

+

。上式的左边，只有s

pi(i=1,2,…,n)时为无穷大。也就是说，当K=0时，只有spi(i=1,2,…,n)时，等式才成立。所以，根轨迹的起点一定位于系统的n个开环极点处。当K+时，上式的右边1/K=0。而等式的左边，当szj时为0，即根轨迹终止于开环零点。另外，当n>m时，无穷远点，即s+时，等式故当n>m时，有m支根轨迹终止于开环零点，其余(n-m)支根轨迹趋向无穷远处。由此可见，n阶系统的n支根轨迹（n个分支）分别起始于n个开环极点，其中m支终止于m个开环零点，其余(n-m)支终止于无穷远处。如果把趋向无穷远处根轨迹的终点称为无限开环零点，有限数值的开环零点称为有限开环零点，那么可以说根轨迹必终止于开环零点处。3、根轨迹的对称性

由于系统闭环特征方程式是一实系数方程，其特征根为实根或共轭复根，所以当K从0

+

连续变化时，根轨迹必然对称于实轴，且连续变化。例4.1

已知系统开环传递函数为试确定系统的根轨迹。解：由开环传递函数知：n=3、m=2，因此系统有3条根轨迹；根轨迹的起点为p1=0，p2=-1，p3=-3；根轨迹的终点为z1=-1+j，z2=-1-j；另外n-m=1条根轨迹终止于无穷远点。其中，“X”表示开环传递函数的极点（根轨迹的起点）；“O”表示开环传递函数的零点（根轨迹的终点）。是否存在另一种画法呢？4、实轴上的根轨迹设系统的开环零点、极点分布如图所示，其零极点将实轴分成了若干个区间段。（1）在区间上取一点，由各开环零极点向该点分别引矢量，如图所示。设，则有：此时：可见满足相角方程，是根轨迹上的一个点。（2）在区间上取一点，由各开环零极点向改点分别引矢量，如图所示。设，则有：此时：可见不满足相角方程，不是根轨迹上的一个点。综上所述，实轴上的根轨迹只能是那些其右侧实数开环零点和开环极点总数为奇数的区间段。而s平面上的共轭复数开环零极点对确定实轴上的根轨迹没有影响。5、根轨迹的渐近线当n>m时，有n-m条根轨迹终止于无穷远点，其方向需要由根轨迹的渐近线来确定。（1）渐近线与实轴的夹角

设某无穷远点是根轨迹上的点，记为s，则其到各开环零极点与实轴正方向的夹角都可看做相等，记为θ。则s应该满足相角方程：即则显然，渐近线的数目等于终点在无穷远点的根轨迹的数目。（2）渐近线与实轴的交点

假设在根轨迹上无穷远处有一点s，即当s

时,由于系统开环零、极点到根轨迹上无限远s点构成的向量差别很小，几乎重合。因而,可以将从各个不同的开环零、极点指向s

点的向量,用从同一点

A处指向无限远s点的向量来代替,即用向量(s-

A)来代替向量(s-zi)和(s-pl)。由根轨迹方程，得：当s

时，认为带入得因为：将-K的表达式带入，得到为保证第二项系数相等，因此有例4.2已知系统的开环传递函数为试绘制出系统的根轨迹。解：n=3，m=0，系统有3条根轨迹，且全部终止于无穷远点；根轨迹的起点为p1=0，p2=-1，p3=-3；实轴上的根轨迹：[-1,0]，(-

,-3]区间段；渐近线与实轴的夹角：渐近线与实轴的交点：因此根轨迹如图所示，图中虚轴为根轨迹的渐近线。有两条根轨迹在[-1,0]的实轴上交汇，那交汇点的坐标是什么呢？6、根轨迹的分离点与会合点根轨迹在实轴相交后进入复平面的点称为根轨迹的分离点，而根轨迹由复平面进入实轴的交汇点称为根轨迹的会合点。分离点与会合点实际上是闭环特征方程的重根。鉴于分离点和会合点是特征方程的重根，因此，可用求解特征方程重根的方法对它们进行求解。设系统的开环传递函数为则，闭环特征方程为由代数方程式解的性质知，当化简方程可得：即可确定系统的分离点和会合点。应该注意，按照该式求出的根并非都是分离点和会合点，只有位于根轨迹上的那些重根才是真正的分离点和会合点。例4.3已知系统的开环传递函数为求解根轨迹的分离点和会合点。解：由系统的开环传递函数可得：因此求解得到s1在根轨迹的范围内，因此s1为分离点。而s2不在根轨迹上，故舍去。7、根轨迹的出射角与入射角根轨迹的出射角，是指起始于复数开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴方向的夹角。而根轨迹的入射角，是指终止于复数开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴方向的夹角。设某系统的开环零极点分布如图所示。其中起点p3的出射角为θ3，s1为根轨迹上的一点。则s1应该满足相角方程当s1

p3时，代入上式可得：即因此可推导出根轨迹出射角的一般公式式中，为待求开环复数极点的出射角；为其他开环极点到的矢量相角；

为开环零点到的矢量相角。同理，可计算入射角的公式为例4.4已知系统开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解：因为n=2，m=1，系统有两条根轨迹，且有n-m=1条无穷远点的终点；根轨迹的起点为p1=-(0.5+j)，p2=-(0.5-j)，根轨迹的一个终点为z1=-1；另一个终点为无穷远点；实轴上的根轨迹是(-

,-1]区间段；根轨迹有一条渐近线，为复实轴；根轨迹的会合点，根据公式求得两个跟分别为s1=-0.13，s2=-1.87；分析s1不在根轨迹上，舍去，s2是根轨迹在实轴上的会合点；因为求得根据上述分析与计算，可绘制系统的根轨迹，如图所示。8、根轨迹与虚轴的交点

由前可知，系统闭环极点的位置影响系统的瞬态响应及品质指标，特征根在s平面的左半平面时，系统处于稳定状态，根轨迹穿越虚轴进入右半平面，系统将不稳定，根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有一部分极点为纯虚数，系统处于临界稳定状态。为了判断系统的稳定范围，需确定根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点可采用以下两种方法确定：（1）利用劳斯判据，可求出系统临界稳定时的K值和根轨迹与虚轴的交点ω

值；（2）将s=jω

带入闭环特征方程，令其实部和虚部分别为零，从而求出相应的K和ω

。

即，令特征方程为即例4.5

试确定根轨迹与虚轴的交点。解：（1）根据劳斯判据写出劳斯表由劳斯表可知，当K=12时出现全零行。因此按照上一行组成辅助方程当K=12时，解得即系统的根轨迹中两条穿越虚轴的根轨迹分支与虚轴的交点为s1,2，对应的K值为12。（2）将s=jω代入特征方程求得根轨迹绘制的八条规则根轨迹绘制规则：规则1：根轨迹是对称于实轴的连续曲线，其分支数等于系统的开环极点数n。规则2：根轨迹起始于开环极点，而终止于开环零点。规则3：当系统的n>m时，根轨迹在K

+

时，有(n-m)支渐近线，它们与实轴的夹角

a分别为根轨迹绘制的八条规则其所有(n-m)支渐近线交于实轴上同一点，其交点坐标为规则4：若实轴上某点右边的所有开环零点和开环极点数目之和为奇数，则这一点就是根轨迹。规则5：根轨迹的分离（会合）点可由下式求解。根轨迹绘制的八条规则规则6：根轨迹与虚轴的交点可根据劳斯判据或将s=jω代入特征方程求解。规则7：根轨迹的出射角和入射角分别根据下式计算。规则8：当系统满足n

m+2时，根轨迹增益K变化时，闭环极点之和为常数，等于开环极点之和。系统闭环极点之积满足式例4.6已知单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的闭环特征轨迹图。解：（1）n=5，m=0，系统有5条根轨迹，且5条根轨迹均趋于无穷远点；（2）根轨迹的渐近线（3）根轨迹的分离点根据解得（4）根轨迹与虚轴的交点将s=jω代入系统的闭环特征方程，并令其实部和虚部分别为零，得求得根据以上分析和计算，画出根轨迹图9、根轨迹的平衡性系统的特征方程可表示为其中，pi

和zj

为开环极点和零点，pci

为闭环特征根。因此s的次高项系数为：若满足，m的最高阶次也影响不到a1因此有因此，当时，系统开环极点之和等于闭环极点之和。

对于一个给定的系统，其开环极点之和是一个常数。因此当增益发生变化时，虽然每个闭环极点都会随之变化，但它们之和却恒等于开环极点之和。同理，讨论上述高阶系统闭环特征方程的常数项，可得：

由此可见，当根轨迹增益K为确定值时，若已知部分闭环极点，利用根之和、根之积规则可以较方便地确定其它待求的根。4.3特殊根轨迹前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，是以根轨迹增益为可变参量，这是在实际中最常见的情况。通常将上述以根轨迹增益为可变参量的根轨迹称为常规根轨迹。在实际控制系统中，有时需要研究根轨迹增益以外的其它参数，如开环零点、开环极点、时间常数和反馈系数等对系统性能的影响，这时可绘制以其它参数为可变参数的根轨迹，称为参数根轨迹，或广义根轨迹。4.3.1参数根轨迹有时候除了根轨迹增益外，还需要了解其他一些参数如反馈系数，时间常数等对系统性能的影响。这时就需要绘制其他某个参数作为变化量的根轨迹，称为参数根轨迹。已知系统的闭环特征方程为：即

需要绘制以K*为可变参数的根轨迹时，可用上式中不含K*的各项来除该方程，得到等效变换：然后再按照前述根轨迹绘制的规则来绘制参数变化时的根轨迹。实质就是：将含有K*的项移到等式左边，不含K*的项移到等式右边，再将等式两端同时除以右边的项。例4.7

设系统的开环传递函数为试绘制变化时系统的根轨迹。解：系统的特征方程为做等价变化得到等效开环传递函数为n=2，m=1，有两条根轨迹，且一条趋近于无穷远点；实轴上的根轨迹是(-

,-4]；由求根轨迹的分离点，得到根轨迹的出射角因此根轨迹如图所示4.3.2正反馈系统根轨迹

前面提到的建立根轨迹的基本规则是针对负反馈控制系统而言的。而对下图所示的正反馈控制系统其闭环传递函数为其特征方程为正反馈和负反馈系统的幅值方程一致，都为因此其相角方程为可见相角条件并不是，而是，故正反馈的根轨迹又称为零度根轨迹。在绘制零度根轨迹时，因为相角方程不同，在绘制规则上有以下几点区别于负反馈系统：1、正反馈系统在实轴上的根轨迹是分布在其右边的开环实零、极点总数为偶数的线段上。2、正反馈系统根轨迹渐近线与实轴的夹角为3、根轨迹的出射角为根轨迹的入射角为例4.8一正反馈控制系统的回路框架图如图所示试绘制它的根轨迹。解：n=3，m=0，故系统有3条根轨迹；起点为p1=0，p2=-1，p3=-3，终点为无穷远点；实轴上的根轨迹为[-3,-1][0,+

)区间段；根轨迹的渐近线与实轴的夹角为渐近线与实轴的交点为：求得根轨迹的分离点为：求根轨迹与虚轴的交点，将s=jω

代入闭环特征方程求得无意义，舍去，故根轨迹与虚轴无交点。根据以上分析画出完整的根轨迹图。4.4用根轨迹法分析系统性能4.4.1闭环极点的位置与系统性能的关系取拉氏变化得到输出为

A0和Al由闭环零、极点决定系数只决定了输出的初值，影响较弱。闭环极点是决定系统性能的主要因素。对于一个二阶系统，若其闭环极点为则有根据第二章的知识，得到闭环极点的位置与系统性能指标之间的关系有：1、闭环极点的实部

反映了系统的过渡过程的长短；2、闭环极点的虚部

反映了系统振荡频率的快慢；3、闭环极点与坐标原点的距离即为系统的无阻尼自然振荡角频率；4、闭环极点与负实轴的夹角决定了系统阻尼比，进而影响系统超调量的大小。例4.10已知系统的闭环传递函数为试分析系统的性能指标。解：系统有三个闭环极点根据主导极点的理论，化简系统为一阶系统因此调整时间为3s，超调为零4.2.2增加开环零、极点对系统性能的影响1、增加开环零点设二阶系统的开环传递函数为分别增加零点-2和-0.5，得到的根轨迹如图由图可知：选择增加合适的开环零点，可使根轨迹生产向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。

但零点选择不当，则达不到改善系统性能指标的目的。2、增加开环极点在开环传递函数中增加极点时，会使系统的根轨迹向右弯曲，造成系统的稳定性变差。设系统的开环传递函数为增加开环极点，增加开环极点对系统根轨迹有以下影响：（1）改变了根轨迹在实轴上的分布（2）增加了根轨迹的条数，使根轨迹渐近线的条数、方向及与实轴的夹角等随之改变。（3）使根轨迹的走向向右偏移，削弱了系统的稳定性。4.4用根轨迹法分析系统性能4.4.1闭环极点的位置与系统性能的关系取拉氏变化得到输出为A0和Al由闭环零、极点决定系数只决定了输出的初值，影响较弱。闭环极点是决定系统性能的主要因素。对于一个二阶系统，若其闭环极点为则有根据第二章的知识，得到闭环极点的位置与系统性能指标之间的关系有：

1、闭环极点的实部

反映了系统的过渡过程的长短；2、闭环极点的虚部

反映了系统振荡频率的快慢；3、闭环极点与坐标原点的距离即为系统的无阻尼自然振荡角频率；4、闭环极点与负实轴的夹角决定了系统阻尼比，进而影响系统超调量的大小。例4.10已知系统的闭环传递函数为试分析系统的性能指标。解：系统有三个闭环极点根据主导极点的理论，化简系统为一阶系统因此调整时间为3s，超调为零4.2.2增加开环零、极点对系统性能的影响1、增加开环零点

设二阶系统的开环传递函数为分别增加零点-2和-0.5，得到的根轨迹如图由图可知：选择增加合适的开环零点，可使根轨迹生产向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。但零点选择不当，则达不到改善系统性能指标的目的。2、增加开环极点

在开环传递函数中增加极点时，会使系统的根轨迹向右弯曲，造成系统的稳定性变差。设系统的开环传递函数为增加开环极点，增加开环极点对系统根轨迹有以下影响：（1）改变了根轨迹在实轴上的分布（2）增加了根轨迹的条数，使根轨迹渐近线的条数、方向及与实轴的夹角等随之改变。（3）使根轨迹的走向向右偏移，削弱了系统的稳定性。89谢谢大家！90《自动控制原理》

第五章频率特性分析法5.1频率特性5.2典型环节的频率特性5.3系统开环频率特性图的绘制5.4频域稳定性判据5.5开环频率特性与系统动态性能的关系5.6系统的闭环频率特性频域分析法是一种图解分析方法，它依据系统的频率特性，对系统的性能进行分析。频域分析法的特点:1、可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能。2、能较方便地分析系统中参数对系统性能的影响。5.1频率特性5.1.1频率响应在正弦输入信号作用下，线性定常系统输出的稳态分量称为系统的频率响应。系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。根据微分方程解的理论，若输入信号为：则系统的稳态输出响应也为同一频率的正弦信号，但幅值和相位发生了变化：设线性定常系统的传递函数G(s)为：而正弦输入信号的拉氏变换为：则输出信号的拉氏变换为：两边取反拉氏变换得：对于稳定的系统，当t

+

时，此时系统的稳态分量为即：其中

因此其稳态输出表明，线性定常系统在正弦输入信号作用下，其输出的稳态分量是与输入正弦信号同频率的正弦信号，与输入正弦信号的幅值之比为|G(j

)|，相角之差为∠G(j

)，均与G(j

)有关。5.1.2频率特性通常定义为系统的频率特性，它反映了线性定常系统在正弦输入信号作用下，系统稳态输出信号与正弦输入信号之间的关系。A(

)=|G(j

)|系统稳态输出信号与正弦输入信号的幅值之比，称为系统的幅频特性，反映了系统对于不同频率正弦输入信号的幅值变化特性。

(

)=∠G(j

)系统稳态输出信号与正弦输入信号的相角之差，称为系统的相频特性，表示系统输出对于不同频率正弦输入信号的相位变化特性。因为频率特性G(j

)为复数，所以它还可以用如下的形式来表示，即式中，Re(

)为频率特性G(j

)的实部，它是频率

的函数，称为系统的实频特性；Im(

)为频率特性G(j

)的虚部，它也是频率

的函数，称为系统的虚频特性。显然，频率特性的极坐标和直角坐标表示形式的相互关系为5.1.3频率特性与传递函数的关系通过上述推导过程，可以看出系统的频率特性与传递函数的关系为

由于这种简单关系的存在，利用频率特性的频率分析法和利用传递函数的时域分析法在数学上是等价的，因此在系统分析和设计时，其作用也是类似的。但频率分析法有其独特的优势。因为该式不仅可以获得稳定系统的频率特性，而且也可获得不稳定系统的频率特性。稳定系统的频率特性还可以通过实验的方法获得，这对于那些内部结构未知以及难以用分析的方法列出动态方程的系统尤为重要。频率特性虽然是一种稳态特性，但它却不仅能够反映系统的稳态性能，而且还可以用来研究系统的稳定性和暂态响应。5.1.4频率特性的表示方法极坐标图幅相频率特性(Nyquist)对数坐标图对数频率特性(Bode)频率对数分度幅值/相角线性分度对数幅相图对数幅相频率特性(Nichols)以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L(

)—

(

)图1、幅相频率特性（奈氏图）奈氏图，又称为幅相频率特性曲线。它是当频率

从0变化时，G(j

)在极坐标复平面上的幅值A(

)=|G(j

)|与相角(

)=∠G(j

)的关系曲线。幅频特性为

的偶函数，相频特性为

的奇函数，则

从0+

和从0-

的幅相频率特性曲线关于实轴对称，因此只绘制

从0+

的曲线。2、对数频率特性(伯德图)伯德图，又称对数频率特性曲线。对数频率特性曲线就是将频率特性表示在对数坐标系中。它由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。对数幅频特性曲线：对数相频特性曲线：3、对数幅相频率特性(尼克尔斯图)尼克尔斯图，又称为对数幅相频率特性曲线。它以相位

(

)为横轴，为L(

)=20lgA(

)纵坐标，频率

为参变量的一种图示法。对数幅相图是在

为参变量的情况下，将对数幅频和相频特性两张图合成一张图。纵坐标为对数幅值L(

)(dB)，横坐标为相应的相角(

)()。5.2典型环节的频率特性5.2.1典型环节幅相频率特性（Nyquist图）1、比例环节比例环节的传递函数为其频率特性为幅频和相频特性分别为极坐标图为实轴上的一点2、积分环节传递函数为其频率特性为：幅频和相频特性分别为：当

从0变化时，A(

)由

0，相角(

)=-90

3、微分环节微分环节的传递函数为频率特性为幅频和相频特性分别为：当

从0变化时，A(

)由0，(

)=90

4、一阶惯性环节传递函数为频率特性为幅频特性为相频特性为实频和虚频特性分别为所以：当频率

从0

变化时，极坐标图如图中的实线所示，为一半圆。5、二阶振荡环节传递函数为频率特性为幅频和相频特性分别为：在欠阻尼情况下当

从01/T变化时，A(

)由11/(2

)

0，

(

)=0

-90

-180

A(

)和(

)也随着阻尼比

改变而改变。上图可以看出，二阶振荡环节的频率特性和阻尼比有关系，当阻尼比大时，幅值A(

)变化小；阻尼比小时，A(

)变化大。此外对于任意一个阻尼比都存在一个最大幅值Mr，称为谐振峰值，其对应的频率

r称为谐振频率。当阻尼比大于1时，幅相频率特性近似为一个半圆。当阻尼比足够大时，数值大的特征根对动态响应的影响很小，因此，此时的二阶振荡环节可近似为一个一阶惯性环节。6、延迟环节传递函数为频率特性为幅频和相频特性分别为：当频率

从0变化时，A(

)=1，相角(

)由0-

。5.2.2典型环节的对数频率特性（Bode图）频率特性对数坐标图是将开环幅相频率特性G(j

)H(j

)写成其中，A(

)为幅频特性，

(

)为相频特性。将幅频特性A(

)取以10为底的对数，并乘以20得L(

)，单位是分贝(dB)，即使用对数频率特性表示法的优点：1、在研究频率范围很宽的频率特性时，缩小了比例尺，将频率特性的低、中、高三种频段都描述在了一张图上；2、简化了绘制系统频率特性的工作。使用Bode图表示频率特性有如下特点：1、将串联环节幅值的乘除化为加减运算；2、可采用近似方法计算；3、可分别作出各环节的Bode图，再采用叠加的方式得出系统的Bode图；4、由于横坐标采用对数分度，因此能够将较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。下面介绍典型环节的对数频率特性。1、比例环节频率特性为对数幅频相频特性为：当

从0

+

变化时，对数幅频特性为一水平直线，相角

(

)

02、积分环节频率特性为对数幅频和对数相频特性分别为当

从0变化时，

每增大十倍，L(

)值下降20dB。L()是斜率为–20dB/dec的直线；相角

(

)=-90

。3、微分环节频率特性为对数幅频和对数相频特性分别为当

从0变化时，

每增大十倍，L(

)值增大20dB，L()是斜率为20dB/dec的直线，(

)=90

。4、一阶惯性环节频率特性为对数幅频和对数相频特性分别为当

从0变化时，根据以上两式可得惯性环节对数坐标图的精确曲线，但这样十分麻烦。可用渐近线的方法先画出曲线的大致图形，再加以精细化。（1）当频率

<<1/T时（2）当频率

>>1/T时低频段的渐近线是一条0分贝的水平线，高频段的渐近线是斜率为-20(dB/dec)且与

轴交于

T=1/T点的直线。交点处的频率

T=1/T，称为惯性环节的转折频率。在转折频率

=1/T处精确曲线L(

)与渐近线的误差最大，为：在频率

=1/(2T)处精确曲线L(

)与渐近线的误差为在频率

=2/T处精确曲线L(

)与渐近线的误差为可见，离转折频率越远误差越小，惯性环节的误差曲线如下图。当频率

从01/T

变化时，相角

(

)=0

-45

-90

5、一阶微分环节频率特性为对数幅频和对数相频特性分别为

一阶比例微分环节与一阶惯性环节的的函数关系只是符号相反。两者的对数频率特性曲线形状相同，只是对数幅频特性对称于横坐标轴0dB线，对数相频特性对称于0

线6、二阶振荡环节频率特性为对数幅频和对数相频特性分别为

当

从0变化，可根据上两式求得精确曲线，但麻烦。可先绘制渐近线，再在转折频率附近对曲线进行误差修正，便可得到精确曲线。（1）当频率

<<1/T时，可得低频段渐近线为（2）当频率

>>1/T时，可得高频段渐近线为低频段的渐近线是一条0分贝的水平线，高频段的渐近线是一条斜率为-40(dB/dec)且与

轴交于

=1/T点的直线。高、低频段渐近线交点处的频率

=1/T=

n称为二阶振荡环节的转折频率。在转折频率

=1/T附近，利用误差曲线对渐近线进行修正便可得到精确曲线L(

)；当

从01/T

变化时

(

)=0

-90

-180

在转折频率

=1/T处精确曲线L(

)与渐近线的误差最大，误差也随着阻尼比

改变而改变，离转折频率越远误差越小，如下图所示。7、延迟环节频率特性为对数幅频和对数相频特性分别为当频率

从0变化时，L(

)=0,相角

(

)由0-

5.3系统开环频率特性图的绘制采用频率分析法进行系统分析，可以用系统的开环频率特性分析闭环系统的性能，也可以根据开环频率特性和已有的频率特性曲线求得闭环频率特性，在利用闭环频率特性来分析闭环系统的性能。下面分别介绍Nyquist和Bode图的绘制方法。5.3.1Nyquist图的绘制绘制Nyquist图的概略图形一般步骤如下：1、将开环传递函数G(s)中的s由j代替，求得开环频率特性G(j)，由G(j)求出其实频率特性、虚频率特性和幅频、相频特性的表达式；2、求出若干特性点，如起点、终点与实轴、虚轴的交点，并标注在极坐标图上；3、根据实部、虚部等变化趋势以及G(j)所处的象限，画出Nyquist曲线的大致图形。例5.1绘制如下开环传递函数的Nyquist图解：写出3个环节的频率特性为：系统的开环幅频特性为开环相频特性为：通过描点法，将

从0变化的点描绘出来，画出Nyquist图。根据第3章所述，根据开环系统传递函数积分环节的数目v不同，控制系统可分为0型系统、I型系统、II型系统等。下面分别给出0型系统、I型系统、II型系统的开环频率特性极坐标图。1、0型系统的开环Nyquist图0型系统的开环传递函数为：其频率特性为：其中当2、I型系统的开环Nyquist图I型系统的开环传递函数为：其频率特性为：其中当3、II型系统的开环Nyquist图II型系统的开环传递函数为：其频率特性为：其中当4、总结假设系统的开环传递函数为便可求得开环频率特性（1）奈奎斯特曲线的低频段当频率

0时①当

=0时，即0型系统所以0型系统，曲线起始于正实轴上的K点。②当

=1时，即I型系统所以I型系统，曲线起始于负虚轴上的无穷远点。③当

=2时，即II型系统所以II型系统，曲线起始于负实轴上的无穷远点。由于开环频率特性的相位角还与分子和分母的时间常数以及系统类型有关，所以当

=1，2，3，4时，低频段的奈奎斯特曲线如图所示。（2）奈奎斯特曲线的高频段所以当n>m时，奈奎斯特曲线以顺时针方向收敛于原点，(n-m)值决定与哪个坐标轴相切。①当n-m=1时，曲线将与负虚轴相切；②当n-m=2时，曲线将与负实轴相切；③当n-m=3时，曲线将与正虚轴相切；④当n-m=4时，曲线将与正实轴相切。由于开环频率特性的相位角还与分子和分母的时间常数以及系统类型有关，所以当n-m=1，2，3，4时，高频段的奈奎斯特曲线如图所示。（3）中频段的奈奎斯特曲线假设开环频率特性为求与坐标轴的交点

令开环频率特性G(j)H(j)的实部Re(

)和虚部Im(

)分别为零，便可得到开环频率特性与虚轴和实轴的所有交点。其中，实部等于零的解，是与虚轴的所有交点；虚部等于零的解，是与实轴的所有交点。5.3.2Bode图的绘制绘制对数幅频特性渐近线的步骤：1、将开环频率特性化成典型环节之积的形式：求出各环节的转折频率，标注在对数坐标图上。2、确定低频段的渐近线假设系统的开环频率特性为若因子

和因子

中的最小转折频率为

，则当

<<

min时：即低频段(

<<

min)的渐近线方程为当

=1时，有L(

)=20lgK当L(

)=0时，有20lgK=

20lg

，即所以低频段的渐近线是斜率为-

20(dB/dec)，且通过

=1，L(

)=20lgK点(或与轴交于点)的直线。它从低频段开始一直到最小转折频率处。系统低频段的渐近线：0型系统是一条水平直线；I型系统是一条斜率为-20(dB/dec)的直线；II型系统是一条斜率为-40(dB/dec)的直线；依次类推。3、L(

)从低频段开始向高频段延伸时，每经过一个转折频率，渐近线斜率的改变量为该转折频率所属典型环节的高频渐近线斜率。4、在各转折频率附近对渐近线作合理修正，便可得到精确的L(

)曲线。系统开环对数相频特性的绘制，先分别画出各典型环节的对数相频特性，然后将各曲线进行叠加。实际画图时，可先写出总的系统开环相频特性表达式，然后每隔十倍频程或倍频程计算出一个点，最后用光滑曲线连接。（借助Nyquist图画对数相频特性）例5.2

作下述系统的Bode图。其传递函数为解：将传递函数化为标准型系统的频率特性为：写出各阶段的转折频率惯性环节惯性环节微分环节根据书上的步骤，首先绘制对数幅频特性的渐近线，并对误差进行修正；然后将各环节的对数幅频特性进行叠加；最后得到系统的对数幅频特性。对各环节的相频特性进行叠加，得到系统的对数相频特性。例5.3

绘制开环传递函数为的系统开环对数频率特性。解：标准化传递函数后写出系统的频率特性求出转折频率在处，在第一个转折频率左边作斜率为-20dB/dec的直线，在经过第一个转折频率后斜率为-40dB/dec，直至第二个转折频率变为-20dB/dec，在经过第三个转折频率后斜率再次变为-40dB/dec。系统的开环对数相频特性为：5.3.3最小相位系统和非最小相位系统若系统开环传递函数在右半s平面上没有零、极点，则称为最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统，例如：反之，称为非最小相位系统，例如：G1(s)和G2(s)的幅频特性相同当其相频特性却不一样：当

=0时，当

时，对于最小相位系统G1(s)来说，相角变化了90

；而非最小相位系统G2(s)相位则变化了270

。可见，最小相位系统的相角变化为最小。对于G3(s)，则其相位变化为270

，也是非最小相位系统的特性。控制系统相位滞后越大，系统稳定性越差。5.4频域稳定性判据5.4.1奈奎斯特稳定性判据的基本原理对于复变函数

若在s平面上任意选择一封闭的曲线，只要不经过F(s)的极点，则对应的F(s)平面上的曲线也是一条封闭的曲线。当s按顺时针方向变化了一周，F(s)将按顺时针方向旋转N周。若令：Z为包围在s平面上封闭曲线内F(s)的零点数，P为包围在s平面上封闭曲线内F(s)的极点数，则N=Z-P5.4.2奈奎斯特稳定判据1、Nyquist稳定判据（一）假设系统的开环传递函数在s平面的原点和虚轴上没有极点。则系统的闭环传递函数为特征方程为令则：其中si

为闭环传递函数的极点。为了使得系统稳定，闭环传递函数全部的根应具有负实部，即si均具有负实部。当

由-+变化时，若开环频率特性G(j)H(j)顺时针方向包围(-1,j0)点的圈数N等于G(s)H(s)在s平面的右半平面的极点P时，有N=-P，由N=Z-P知Z=0，故闭环系统稳定。其中Z为在s平面右半平面的零点数，对于开环稳定的系统，有P=0，此时，闭环系统稳定的充要条件是：系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围(-1,j0)点。理解：因为闭环特征函数的频率特性为

闭环特征函数的频率特性由单位1和G(j)H(j)组成，将[F]平面上的F(j)曲线向左平移1个单位，便得[GH]平面上的G(j)H(j)曲线。这样，[F]平面上的原点就对应于[GH]平面上的(-1,j0)点。所以，F(j)曲线在[F]平面上顺时针方向包围原点的次数N，就对应于G(j)H(j)曲线在[GH]平面上顺时针方向包围(-1,j0)点的次数N。例5.4设控制系统的开环传递函数为用Nyquist稳定性判据判别闭环系统的稳定性。解：G(j)H(j)曲线不包括(-1,j0)点，即N=0。而开环传递函数的极点为-0.5，-1，-2，都位于s平面左半部分，故P=0，则Z=N+P=0。由Nyquist判据可知，该闭环系统是稳定的。例5.5设控制系统的开环传递函数为用Nyquist稳定性判据判别闭环系统的稳定性。解：G(j)H(j)曲线顺时针包含(-1,j0)点两次，即N=2。而开环传递函数的极点为-1，-2，-3，都位于s平面左半部分，故P=0，则Z=N+P=2。由Nyquist判据可知，该闭环系统是不稳定的。例5.6设控制系统的开环传递函数为用Nyquist稳定性判据判别闭环系统的稳定性。解：G(j)H(j)曲线逆时针包含(-1,j0)点两次，即N=-2。而开环传递函数的极点中有两个位于s平面右半部分，故P=2，则Z=N+P=0。由Nyquist判据可知，该闭环系统是稳定的。2、Nyquist稳定性判据（二）当系统的开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点上有极点时，要对s平面上的Nyquist路径进行修正，使其不通过G(s)H(s)的极点。假设系统的开环传递函数为若G(s)H(s)在s平面的原点有极点，为使s平面上的Nyquist路径不通过原点，可对Nyquist路径在原点附近进行修正：以原点为圆心，做半径为无穷小的右半圆弧，如图

将此半圆弧作为Nyquist路径的一部分，从而将原点归入了左半s平面。

将Nyquist路径在G(s)H(s)平面上的映射中，位于原点附近的小半圆可表示为

从-900

+90

考虑

0，有映射为半径为无穷大的圆弧，从+v90

开始，顺时针经0

，结束于-v90

。对不同类型的系统分别讨论如下：（1）I型系统对于I型系统，应该补充半径为

的圆弧，从G(j)H(j)曲线上的点开始，按顺时针方向到达的点为止，相应的复角从90

到-90

。（2）II型系统对于II型系统，应该补充半径为

的圆弧，从G(j)H(j)曲线上的点开始，按顺时针方向到达的点为止。对于s平面虚轴上的开环极点，在虚轴上的极点处作半径为无穷小的右半圆，即在极点附近，取（

0，

从-900

+90

），使Nyquist路径不通过虚轴上的极点但仍包围整个s右半平面，修改后的奈奎斯特判据仍可用。

修改后的Nyquist路径在[GH]平面上的映射，一般称为增补的Nyquist曲线。例5.7设控制系统的开环传递函数为用Nyquist稳定性判据判别闭环系统的稳定性。解：G(j)H(j)曲线顺时针包含(-1,j0)点两次，即N=2。而开环传递函数的极点中没有位于s平面右半部分，故P=0，则Z=N+P=2。由Nyquist判据可知，该闭环系统是不稳定的。例5.8设控制系统的开环传递函数为用Nyquist稳定性判据判别闭环系统的稳定性。解：G(j

)H(j

)曲线不包含(-1,j0)点，即N=0。而开环传递函数的极点中没有位于s平面右半部分，故P=0，则Z=N+P=0。由Nyquist判据可知，该闭环系统是稳定的。3、系统开环传递函数极点都在s平面左半部分的稳定性判据对于最小相位系统，即P=0，在画奈奎斯特图时，只需作出

由0+的部分即可，不必再计算包围(-1,j0)的次数。4、系统具有延迟环节的稳定性分析对于具有延迟环节的控制系统，其开环传递函数包含有延迟环节其开环传递函数为：可改写为：则系统的开环频率特性为：则系统的幅值和相角分别为：则相对于G(s)H(s)而言，幅值没有变化，相角在其基础之上转动的角度。5.4.3频域法分析系统的相对稳定性对于最小相位系统，若Nyquist曲线不包围(-1，j0)点，则系统稳定。若系统稳定，Nyquist曲线离(-1，j0)点越远，闭环系统稳定程度越高，反之，稳定程度越低。由此可见，奈氏图不仅表明了系统是否稳定，而且还表明了稳定系统的稳定程度，这就是所谓的相对稳定性。

由于(-1，j0)点可表示幅值为1，相角为-180

的向量，即s=-1+j0，所以Nyquist曲线对(-1，j0)的靠近程度，即系统的稳定裕量可从幅值和相角两个方面来考虑。一般用相位裕量

和增益裕量Kg表示最小相位系统的Nyquist曲线对临界稳定边界点(-1，j0)靠近程度的定量关系，它反应了系统的相对稳定性。

c处的相角

G(jc)H(jc)与-180的相位差称为相位裕量或相角裕量，用

表示，即

c满足

设G(j

)H(j)曲线，在极坐标图中与单位圆交于C点，C点处的频率

c称为增益穿越频率(也称剪切频率)。如图：1、相位裕量（PhaseMagin，简称PM）相位裕量

表示在增益穿越频率

c处，G(jc

)H(jc)与-180的接近程度。当

>0时，表示相位裕量是正的，闭环系统稳定；

<0时，表示相位裕量是负的，闭环系统不稳定；

=0时，表示相位裕量为零，闭环系统属于临界稳定。2、增益裕量（GainMargin，简称GM）设G(j

)H(j)在极坐标图中与负实轴相交于G点，G点处的频率

g称为相位穿越频率。如图|G(jg)H(jg)|的倒数称为增益裕量或幅值裕量，用Kg表示。当Kg>1时，表示增益裕量大于1，系统稳定；Kg

<1时，表示增益裕量小于1，系统不稳定；Kg

=1时，表示增益裕量等于1，系统临界稳定。5.5开环频率特性与系统动态性能的关系5.5.1开环对数频率特性与闭环稳定性的关系1、用伯德图确定稳定裕量

c

在Bode图中对应零分贝的点，即L()与轴的交点。

g在Bode图中对应相角为-180的点，即开环对数相频特性曲线与-180水平直线的交点。在Bode图中，相位裕量和增益裕量的定义仍同上，但增益裕量通常以分贝数来表示，即对于稳定的系统，增益裕量为正，如图G1(j)H1(j)所示；不稳定的系统，如图G2(j)H2(j)所示；临界稳定系统，如图G3(j)H3(j)所示：增益裕量反映系统开环增益对闭环系统稳定性的影响，相位裕量反映理论上只改变开环频率特性的那些参数的变化对稳定性的影响。因此增益裕量大的系统其相位裕量不一定大。所以一般需同时利用增益裕量和相位裕量两种性能指标来衡量系统的相对稳定性。

一般相位裕量

应当在3060

之间，而增益裕量Kg

应大于2或6dB，因20lg2=6dB。2、伯德定理介绍

闭环系统稳定的充要条件是：在Bode图上，当

由0变为+时，开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对-180线正穿越与负穿越次数之差为P/2时，闭环系统稳定；否则不稳定。其中P为系统开环传递函数在s平面右半面的极点数。对于最小相位系统，P=0，此时开环对数幅频特性比其对数相频特性先交与横轴，即

c<

g时，一定存在

>0和Kg

>1，所以系统必然稳定。当

c>

g时，一定存在<0和Kg

<1，系统不稳定。当

c

=

g

时，一定满足

=0和Kg

=1，系统临界稳定。此条件为开环最小相位系统的闭环系统稳定的充要条件。对于多个剪切频率的问题，则取最大的剪切频率进行分析。5.5.2系统开环对数频率特性与闭环稳态误差的关系1、0型系统0型系统的开环幅相频