2022年高考数学试题(新高考Ⅰ卷)【含答案及解析】

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.若集合M={X|、6<4},N={X\3X>1},则MIN=()

A.{x|0<x<2}B.x—<x<2>C.{x|3<x<16}D.

3

x—<x<16■

3

2.若i(l—z)=l,则z+N=)

A.—2B.C.1D.2

uuur01X1ruuu

3.在VA3C中,点。在边A3上，BD=2DA.记CA=/n,CD=〃，则CB=()

A.3m-InB.—2m+3nC.3m+2nD.

2m+3n

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水

库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为"O.Okm?；水位为海拔157.5m时，相应水面

的面积为180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(J7=2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.

1.6xl09m3

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()

1112

A.—B.—C.-D.一

6323

(兀、27r

6.记函数/(x)=sina)x+—+。(0〉0)的最小正周期为T.若与-<T<%，且y=/(x)

’3万、(兀、

的图象关于点--,2中心对称，则/不二()

、2JI2,

1

35

A.1B.-C.一D.3

22

7.设a=0.1e°」力=§,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<b

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36兀，且

3</<3V3,则该正四棱锥体积的取值范围是()

8127812764

A.1O8,—B.C.D.

4T'T

[18,27]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.已知正方体ABCD-A4G〃，则()

A.直线2G与。A所成的角为90°B.直线BG与C4所成的角为90°

C.直线3G与平面B8QQ所成的角为45°D.直线3G与平面ABCD所成的角为45°

10.已知函数/(X)=V—X+1,则()

A.7(x)有两个极值点B.Ax)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

11.已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线。：％2=22火2>0)上，过点3(0,—1)的直线

交C于P,。两点，则()

A.C的准线为>=一1B.直线AB与C相切

2

C.|0P|.|0e|>|0A|D.\BP\\BQ\>\BA\1

(3

12.已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,记g(x)=「(x),若7-2x,

7

g(2+x)均为偶函数，则()

2

A./(0)=0B.g--=0C./(-l)=/(4)D.g(-l)=g⑵

I2J

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.1—上(x+y)8的展开式中的系数为_______________(用数字作答).

Ix)

14.写出与圆V+V=1和(X—3)2+(y—4)2=16都相切的一条直线的方程

15.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是.

22

16.已知椭圆。：=+==1(。>6>0),C的上顶点为A,两个焦点为耳，F2,离心率为

ab

y.过耳且垂直于A"的直线与C交于。，E两点，IDE|=6,则VAOE的周长是

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

fV11

17.记S”为数列｛4｝的前"项和，已知q=1，1是公差为一的等差数列.

3

(1)求｛4｝的通项公式；

111c

(2)证明：一+—+TL+—<2.

3

cosAsin2B

18.记VABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知

1+sinA1+cos25

2%

(1)若C=—，求&

3

2.r2

(2)求-的最小值•

19.如图，直三棱柱ABC—431G的体积为4,的面积为2及.

(1)求A到平面43c的距离；

(2)设£＞为4c的中点，AA1=AB,平面ABC,平面A344,求二面角A—BO—C

的正弦值.

4

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和

不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在

未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，3表示事件“选

到的人患有该疾病”.万P(丽5|与A)看方P的(B比IA值)是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程

度的一项度量指标，记该指标为R

P(A|5)P(X|豆)

(i)证明:

P(A|B)P(A|B)

(ii)利用该调查数据，给出尸(A|B),尸(A］耳)的估计值，并利用⑴的结果给出R的估

计值.

附K2=_______Md3_______

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

5

21.已知点42,1)在双曲线C：「——1=上，直线/交C于P,。两点，直线

a-tz"-1

AP,AQ的斜率之和为0.

(1)求/的斜率；

(2)若求△24。的面积.

22.已知函数y(x)=ex-ax和g(x)=ax-Inx有相同的最小值.

(1)求4；

(2)证明：存在直线y=",其与两条曲线y=/a)和y=g(%)共有三个不同的交点，并

且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

6

答案及解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

L若集合M={/6<4},N={x\3x>l},则MIN=()

A.{x|0<x<2}B.<x-<x<2\-C.{x|3<x<16}D.

3

《x—Wx<16>

I3J

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合后可求McN.

【详解】M={x|0<x<16},A^={x|x>j},故A/IN="xgwx<16”，

故选：D

2.若i(l—z)=l,则z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+2.

1,

［详解］由题设有l_z=_=g=_i,故Z=l+i,故Z+彳=(l+i)+(l—i)=2,

11

故选：D

uuuTuuLiruuui

3.在VA3C中，点。在边A5上，BD=2DA.记CA=根,CD=〃，则CB二()

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.

2m+3n

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

1

ULOuumLU!LUU,LUULUI、

【详解】因为点。在边AB上，BD=2DA，所以BD=IDA，即CD-CB=2[CA-CD),

UUHlULUUUU1ULL

所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.

故选：B.

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水

库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为"O.Okm?；水位为海拔157.5m时，相应水面

的面积为180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(J7=2.65)()

A.1.0xl09m1*3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.

1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的

体积V.

棱台上底面积S=140,0km2=140xl06m2，下底面积S?=180,0km2=180xl06m2，

AV=1/7(S+SZ+VSS7)=|x9x(140xl06+180X106+V140xl80xl012)

=3x(320+60V7)xl06=(96+18x2.65)xl07=1.437xl09«1.4xl09(m3).

/?

故选：C.

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为()

112

A.-B.-D.-

63cI3

2

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法,

若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,

21-72

故所求概率P=一=彳.

213

故选：D.

6.记函数/(x)=sin5+](①>。)的最小正周期为■若行-〈Tv%,且y=/(x)

的图象关于点--,2中心对称，则/—=()

k)I2,

35

A.1B.—C.—D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

2%2424

【详解】由函数的最小正周期T满足——<T<〃，得——<——<〃，解得2<①<3,

33(O

’37r、37rTT

又因为函数图象关于点—,2对称，所以—①+—二左心左wz,且8=2,

I2)24

125

所以①=---1—k,kEZ,所以①二一f(x)=sin———+2,

632”4j

所以/l—2J=sm1—4%+—4j+2=1.

故选：A

7.设。=0.1e°」力=g,c=—ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<b

【答案】C

【解析】

3

【分析】构造函数，(x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定仇c的大小.

1Y

【详解】设/(x)=In(l+x)-x(x>-l),因为/(x)=-----1=-----,

l+x1+X

当xe(—l,O)时，f(x)>0,当xe(0,+℃)时r(x)<0,

所以函数/(%)=ln(l+x)—x在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/d)</(0)=0,所以InW—J_<0,故工〉inW=-In0.9,即b>c,

99999

1919--1±1

所以/(—而)</(0)=0,所以In仿+历<0,故六<ei。，所以日6。<；,

故。<人，

1fr2-l)e'+l

v

设g(x)=xe'+ln(l-x)(0<x<1),则g\x)=(%+l)e+——=----------，

x-1x-1

令〃(x)=e^x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x-1),

当O<x<0—1时，h\x)<0,函数/2(x)=e%x2—1)+1单调递减，

当0—1<X<1时，〃(x)〉0,函数/z(x)=e*(x2—1)+1单调递增，

又"(0)=0,

所以当0<X<3—1时，/?(x)<0,

所以当O<x<0—1时，晨(以>0,函数g(x)=xe*+ln(l—X)单调递增，

所以g(01)>g(0)=0,即0.1e°」>一出0.9，所以。>c

故选：C.

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%,且

3</<3V3.则该正四棱锥体积的取值范围是()

'811「27811「2764一

A.18,—B.—,—C.—,—D.

L4JL44JL43J

[18,27]

【答案】C

【解析】

4

【分析】设正四棱锥的高为/?,由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系,

由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】•••球的体积为36%,所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,

则广=2/+丸2,32=2a2+(3-/z)2,

所以6丸=广,2a2=l2—h2

112/4/21

所以正四棱锥的体积V=二Sh=-X4<7"X/Z=—X(/^—=~

24-Z2

所以V'4户，

6

当3W/W2灰时，V'>0,当2瓜3M时,V'<0,

所以当/=2遥时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为《,

又/=3时，V=—,I=3A/3时，V=—

44

27

所以正四棱锥的体积V的最小值为一，

2764

所以该正四棱锥体积的取值范围是—.

L43J

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.已知正方体A3CD-A4c]〃，则()

A.直线BG与£气所成的角为90°B.直线2G与CA所成的角为90°

C.直线BG与平面所成的角为45°D.直线3G与平面ABC。所成的角为

45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

5

【详解】如图，连接用。、BG，因为必所以直线与3c所成的角即为直线

与0A所成的角，

因为四边形为正方形，则用C_LBG，故直线BG与£叫所成的角为90。，A正确;

连接4。，因为4片，平面BBCiC,BCiu平面BBCC,则其用1BQ,

因为用c，2G，ABJB]C=BI，所以BG，平面4qC,

又ACu平面A/C,所以BG，C4],故B正确；

连接4G，设4GlBR=o,连接BO,

因为3耳，平面A4G2，G。u平面，则G。1BXB,

因为G0L312，BQiCB]B=Bi，所以G。，平面BBQ。，

所以ZQB0为直线BQ与平面BBRD所成的角，

设正方体棱长为1,则和。=¥，BC1=V2,sinNC[B0=^=g,

所以，直线与平面BBQ。所成的角为30°，故C错误；

因为GC,平面ABC。，所以NGBC为直线BG与平面ABC。所成的角，易得

NCi3C=45°,故D正确.

故选：ABD

10.已知函数/(%)=%3—x+1,则()

A.Ax)有两个极值点B.Ax)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切

6

线

【答案】AC

【解析】

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合了⑶的单调性、极值可判断B,利用平移可判断

C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，f(x)=3x2-l,令f(x)>0得且或》<_@，

33

令广(x)<0得一旦x(立，

33

所以了⑺在(_'，,)上单调递减，在(_8,—2^),(#，+8)上单调递增，

所以X=是极值点，故A正确；

3

mj..V32V3V32-\/3r[V/C

因/(一丁)=1+丁>0，/(Y)=1__^->0'/(-2)=-5<0,

(J7A

所以，函数八》)在-8,-]一上有一个零点，

\7

r~(\

当xN@时，/(X)>/一>0,即函数在一，+8上无零点，

333

\7V7

综上所述，函数/(X)有一个零点，故B错误；

令人(%)=%3一%,该函数的定义域为R,A(-X)=(-X)3-(-X)=-X3+X=-/?(%),

则h(x)是奇函数，(0,0)是是奇的对称中心，

将〃(x)的图象向上移动一个单位得到了“)的图象，

所以点(0,1)是曲线、=/(尤)的对称中心，故C正确；

令/'(%)=3/一1=2,可得》=±1,又/'(1)=〃—1)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x—L当切点为(一1,1)时，切线方程为y=2x+3,

故D错误.

7

故选：AC

11.已知。为坐标原点，点A（l/）在抛物线。：/=20<0>0）上，过点8（0,—1）的直线

交C于P,Q两点，则（）

A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切

C.\OP\-\OQ\>\OA^D.\BP\\BQ\>\BA\1

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出抛物线方程可判断A,联立与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公

式及弦长公式可判断C、D.

【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2p,所以抛物线方程为尤2='，故准线方程为

y=--：'A错误；

4

l-（-n

kAB=—^=2,所以直线A8的方程为y=2x-l,

1—0

y=2x-l

联立<2，可得%2-2%+1=0,解得%=1,故B正确；

冗二y

设过3的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线。只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为丁二丘一1,尸（再,乂）,。（々/2），

y=kx—\

联立12，得/一日+1=0，

[%=y

A=Y-4>O

所以vx、+x?=k,所以左>2或攵<一2,%为二（玉％2）2=1，

XxX2-1

又IOP|=+=&+才'I。。1=&+找1

所以IOPI•I。。1=6％。+/）（1+%）=Jgxg=1左I〉2=|。4『，故C正确；

7

因为15Pl=Jl+3I%|BQ|=71+IIx2H

所以|BP|」BQ|=（1+42）|X[%曰+二>5,而|84|2=5,故D正确.

故选：BCD

8

(3、

12.已知函数Ax)及其导函数f(x)的定义域均为R,记g(x)=7'(x),若/--2%,

、2,

g(2+x)均为偶函数，则()

(n

A./(0)=0B.g--=0C./(-D=/(4)D.

I1)

g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质

逐项判断即可得解.

(3、

【详解】因为7--2x,g(2+x)均为偶函数，

(2)

所以/--2%=/万+2尤即7--x=f-+x,g(2+x)=g(2—x),

所以〃3—x)=〃x),g(4—x)=g(x),则/(—1)=/(4),故C正确；

3

函数,g(x)的图象分别关于直线式=—,x=2对称，

2

又g(X)=f(X),且函数/(x)可导，

「3、、、

所以g-=0，g(3-x)=—g(x),

所以g(4—x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

(1A,3、

所以g--=g-=0,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正确，D错误；

\L7\)

若函数Ax)满足题设条件，则函数f(X)+C(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定

的函数值，故A错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数

与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9

13.1—2(x+y)8的展开式中炉＞6的系数为________________(用数字作答).

Ix)

【答案】-28

【解析】

【分析】fl-2\x+y)8可化为(x+y)8-2(x+y)34*&,*结合二项式展开式的通项公式求解.

x

I)》

【详解】因为jl-，］(x+y)8=(x+y)8-1(x+y)8,

Ix)x

所以(l—l］(x+y)8的展开式中含的项为C52y6—江3y5=_28%2y6,

Ix)x

(、8

1-，(x+y)的展开式中炉＞6的系数为_28

Ix)

故答案为：-28

14.写出与圆V+V=1和(x-3)2+(y—4)2=16都相切的一条直线的方程

35725

【答案】尸一"+］或＞=五尸五或x=-l

【解析】

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】圆/+丁2=1的圆心为。(0,0),半径为1,圆(X—3)2+(y—4)2=16的圆心a为

(3,4),半径为4,

两圆圆心距为J32+42=5,等于两圆半径之和，故两圆外切,

如图，

433

当切线为/时，因为koq=§,所以勺=—z，设方程为y=—+＞0)

^=!==1535

d—

。到/的距离19,解得♦=所以/的方程为〉=一一X+—,

1+444

16

当切线为机时，设直线方程为区+y+p=。，其中p＞。，k＜0,

1

725

由题意V解得=—X-----

|3k+4+p\2424

Jl+l

当切线为"时，易知切线方程为x=-1,

15.若曲线丁=（%+①3有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是.

【答案】（―8,-4）u（O，+8）

【解析】

【分析】设出切点横坐标不，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到

关于占的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】・二y=（九+a）e",y'=（x+l+o）e',

设切点为（%,%）,贝=（%+。）6%，切线斜率左=（x（）+l+a）e丽,

x

切线方程为：y—（x（）+a）e与=（x0+l+tz）e°（x-x0）,

:切线过原点，；.一（5+。）1°=（%+1+。）6刈（一5）,

整理得：XQ+axQ—a=0,

1

•:切线有两条，，n=/+4〃〉0,解得〃<一4或〃>0,

。的取值范围是（一8,一4）D（。，+°°）,

故答案为：（-8,-4）D（0,+8）

22

16.已知椭圆。：二+==1（。>6>0）,C的上顶点为A,两个焦点为耳，F2,离心率为

ab

y.过耳且垂直于AK的直线与C交于£>,E两点，IDE|=6,则VAOE的周长是

【答案】13

【解析】

x22

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为—+工即3/+4/-12c2=0,根据离心

4c23c2

率得到直线A6的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线OE的

方程：x=S-c,代入椭圆方程3d+4y2—12o2=0,整理化简得到：

]313

13y2—6j§cy-9c2=0,利用弦长公式求得，得a=2c=二，根据对称性将VADE

84

的周长转化为△gDE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4。=13.

c1

【详解】・・•椭圆的离心率为e=—二—,・・・〃=2c,・・・/=/—°2=302,・・・椭圆的方程

a2

为hh即3炉+4丁2—12,2=0,不妨设左焦点为耳，右焦点为工，如图所示,

77

AF2=a,OF?=c,a=2c,NAg。为正三角形，•.•过耳且垂直

于A&的直线与C交于D,E两点，OE为线段的垂直平分线，.•.直线。E的斜率为

，，斜率倒数为G，直线。E的方程：x=—c,代入椭圆方程

3X2+4/-12C2=0,整理化简得到：13/—6gcy—9c2=0,

判别式n=（6百c）+4x13x9。？=62xl6xc2

1

=,1+(⑹|%一%|=2乂合=

2x6x4x—=6，

13

13得a=2c=U

1"4

•••DE为线段的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,AE=Eg,.♦.VADE的周长

等于△月DE的周长，利用椭圆的定义得到△月DE周长为

|+|研=||+|困=

\DF2\+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF21+|DFXD^|+|DF^|+|EFl2a+2a=4a=13

故答案为：13一

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

fS]1

17.记S”为数列｛4｝的前”项和，已知q=1,<二是公差为一的等差数列.

3

（1）求｛凡｝的通项公式；

111c

（2）证明：---1----+LTH-----<2.

【答案】（1）a'=」——-

2

（2）见解析

【解析】

1

【分析】⑴利用等差数歹峭通项公式求得:="3("一1)二审’得至电=—‘

利用和与项的关系得到当〃N2时，4=S〃-S〃产(〃+2)%一(〃+1)。修,进而得:

33

—=—,利用累乘法求得4=△——检验对于〃=1也成立，得到｛4｝的通项公

an-\〃一]2

式"〃=—2—

111(1>

(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到一+—+L+—=21-------,进而证得一

%〃2anV〃+1J

【小问1详解】

s}1

*.*q=1,Sx=ax=l,一=1

Si

又・・・1是公差为一的等差数列，

[ani3

・•金=1+1〃一1)二审,—=9^

4333

；.当心2时’品=1^,

._vc_(〃+2)45+1)1

・・〃.=3〃一3〃一1二

整理得：(〃一l)a〃=("+l)a'T,

n+1

即j二

4Tn—1

Ct-o

=qx—x—x...x峭X4

a

an-2n-\

nn+1n(n+l)

lxlxlx...x------x------

23n—2n—12

显然对于〃=1也成立,

1

，｛a,｝的通项公式an=""+1)

【小问2详解】

22住.1、

n（n+l）nn+1）

fYO、（

11T1（\1、1]

・・・一+—+L+—=21——+-+L21-<2

LI2j23nn+\〃+1）

。“7Z-1

cosAsin2B

18.记VA3C的内角A,B,C的对边分别为b,c,已知

1+sinA1+cos25

2%

(1)若。=——，求8；

3

2.T2

(2)求“的最小值.

7T

【答案】（1）

6

（2）472-5-

【解析】

ccs/Asin2H

【分析】(1)根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将广一^二;-----「化成

1+sinA1+COS2B

cos(A+B)=sinB,再结合OcBv^,即可求出；

（2）由（1）知，C=-+B,A=--2B,再利用正弦定理以及二倍角公式将矿1“化

22c2

,2

成4cos23+--——5,然后利用基本不等式即可解出.

COS2B

【小问1详解】

cosAsin252sinBcosBsin5幡

因为--------=----------=------5——=-----------------，即

1+sinA1+cos252cosBcosB

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=g,

JTrr

而0<B<—,所以3=

26

【小问2详解】

兀兀

由（1）知，sinB=-cosC>0,所以一<C<兀,0<5<—，

22

1

而sin3=-cosC=sinC——,

7TTT

所以c=—+5,即有A=——IB.

22

片+/sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

c2sin2Ccos2B

^2cos2B-1)+1-cos2B

=4COS2B+—-——5>2V8-5=4V2-5-

cos2Bcos-B

当且仅当cos25=/时取等号，所以"了的最小值为4起—5.

19.如图，直三棱柱A3C—4片e的体积为4,的面积为2及.

(1)求A到平面43c的距离；

(2)设。为4c的中点，AA1=AB,平面43cl.平面A3耳4,求二面角A—80—C

的正弦值.

【答案】(1)V2

⑵—

2

【解析】

【分析】(1)由等体积法运算即可得解；

(2)由面面垂直的性质及判定可得平面A344,建立空间直角坐标系，利用空间

1

向量法即可得解.

【小问1详解】

在直三棱柱ABC-431G中，设点A到平面A.BC的距离为h,

12J2114

^^A-AjBC=2SvAfBC.h=~-~h==2S'ABC.AA=3Kt5C-4§G=§

解得h=V2,

所以点A到平面ABC的距离为V2；

【小问2详解】

取43的中点E,连接AE,如图，因为A&=A3,所以AE，43,

又平面ABC,平面A3耳4,平面A6CI平面ABB1A=48,

且AEu平面A3耳4,所以平面43C,

在直三棱柱ABC-431G中，BBX1平面ABC,

由BCu平面ABC,BCu平面ABC可得AELBC,BBX1BC,

又AE,BBIu平面A3耳4且相交，所以平面A3耳4，

所以3cA4,33］两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得AE=0，所以A4]=A3=2,45=20,所以BC=2,

1

则4(0,2,0),4(0,2,2),5(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中点D(LLl),

UUL1UUUUULU

则3。=(1,1,1),痴=(0,2,0),3C=(2,0,0),

rUUUU

um-BD=x+y+z=Q

设平面A5Z)的一个法向量机=(羽y,z),则＜iram

mBA=2y=Q

可取上=(1,0,—1),

「ITUUU

i/、