数学文化 课件 10-悖论及其意义

数学文化第10章

悖论与三次数学危机

在数学史上，有三次数学危机，每一次都使数学陷入尴尬的境地，或说是危机的境地。而每一次危机都是由数学悖论引起的。

悖论,就是“自相矛盾的论述”，是一种说不明道不清的“荒谬”理论。悖论的通常形式是:“如果承认某命题正确，就会推出它是错误的；如果认为它不正确，就会推出它是正确的。”从而得出不符合排除律的矛盾命题。即由它的真，可以推出它的假;由它的假，则可推出它的真。

由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论，就会造成对数学可靠性的怀疑。因而引发人们认识上的危机。因此，在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。但是，悖论并非无稽之谈，它在荒诞中蕴含着哲理，给人以启迪。沿着它所指引的推理思路，可以使你走上一条貌似正确，在开始时觉得顺理成章，而后又使您在不知不觉中陷入自相矛盾的泥潭，但经过破译，将会使您感到回味无穷，并从中启迪思维，提高能力，给你以奇异的美感。

奥地利学者班格特·汉生(BenguetHansen)认为，一些常见的悖论，除了非直接的原因外，其性质就和数学上的方程没有解一样。在算术中是靠引进新数，扩大数系来解决的，例如：x+1=0，在正整数系里无解，扩大到有理数系便有解了；x2+1=0，在实数系里无解，扩大到复数系便有解了。同样，悖论的发生常常是与人们在相应的历史条件下的认识水平有着密切的关系。

由于悖论是与一定的历史条件相联系，是相对于某个理论体系的，因此，面对悖论，我们应努力去探寻或建立新的理论，使之既不损害原有理论的精华，又能消除悖论。因此，客观上，悖论推动了数学理论的研究与发展。章节目录10.1

历史上的几个有名悖论10.2

三次数学危机10.3

数学危机的文化意义

这是公元前4世纪希腊数学家欧几里得提出来的一个重要的语义学悖论，通俗的表述是“我正在说的这句话是谎话”。此话到底是真是假？

如果此话为真，则就肯定了他所说的这句话确实是“谎话”；如果此话为假，则又肯定了他说的这句话是真话。到底他说的是真话是谎话，谁也说不清了。10.1.1说谎者悖论10.1

历史上的几个有名悖论

这一悖论是针对“上帝是全能的”这一命题其意义为“全能就是可以办到世界上的任何事都。请问：上帝能创造出一个对手来击败他自己吗?”

如果说能，则上帝可以被对手击败，并非是全能的；如果说不能，则说明上帝并非是全能的。

这个悖论的特点是，上帝能肯定一切，也能否定一切，但他自己也在这一切之中，所以当他否定一切的时候，同时也就否定了自己。10.1.2上帝全能悖论

这是罗素(B.A.W.Russell)集合悖论的一种通俗说法。萨维尔村里的一名理发师，给自己定了一条店规:“我只给那些自己不给自己刮胡子的人刮胡子。”那么这位理发师的胡子该不该由他自己刮？

如果理发师的胡子由他自己刮，则他属于“自己给自己刮胡子的人”，因此，理发师不应该给自己刮胡子；如果理发师的胡子不由自己刮，则他属于“自己不给自己刮胡子的人”。因此，他的胡子可以由他自己刮。总之，他给自己刮也不是，不刮也不是。10.1.3理发师悖论

欧几里得第三公理为“整体大于部分”，从欧氏几何诞生起，这就是颠扑不破的真理。但是，伽利略却在1638年提出一个命题：“部分有时可以等于整体”。显然这二者组成了一对矛盾，俗称伽利略悖论。

其实，我们在第3章中已经看到过部分与整体“相等”的情形。如正偶数集合是正整数集合的一个真子集，但它们之间可以建立一一对应关系。所以，在对应的意义下，这两个集合的元素是一样多的，也就是“部分等于了整体”。10.1.4伽利略悖论

我们应当说，欧氏公理“整体大于部分”是从有限数量上总结出来的一条公理，但对于无限集合来说就不再适用。所以这个悖论实际上反映的是“有限”与“无限”之间的一种矛盾现象。由此，我们不能轻易地把有限集合中的公理、定理等套搬到无限集合中去。

数学是以严密的逻辑推理为基础，容不得任何自相矛盾的命题或结论。如果数学中出现了悖论，则就破坏了数学的严密性。数学悖论反映了数学科学的一些概念和原理之中还存在着不完善、不准确之处，有待于数学家们进一步探讨和解决。数学就正是在这不断发现和解决矛盾的过程中发展起来的。

在第1章中，我们曾介绍过毕达哥拉斯与他的学派，也介绍了毕达哥拉斯学派关于谐音的研究，从而引起了该学派“万物皆数”的核心思想。10.2.1希伯索斯悖论与第一次数学危机10.2

三次数学危机

毕达哥拉斯学派对几何学的贡献很大，最著名的是所谓的“毕达哥拉斯定理”（即勾股定理）的发现：任何直角三角形的两直角边a、b和斜边c，都有a2+b2=c2的关系。据说当时曾屠牛百头来欢宴庆贺该定理的发现。

毕达哥拉斯学派研究数学，把“几何、算术、天文学、音乐”称为“四艺”，倡导一种“唯数论”的哲学观，“数”与“和谐”是他们的主要哲学思想。他们认为，宇宙的本质是数的和谐。一切事物都必须而且只能通过数学得到解释。他们坚持的信条是：“宇宙间的开始现象都可归结为整数或整数的比。”也就是一切现象都可以用有理数来描述。图1例如他们认为“任何两条不等的线段，总有一个最大公度线段。”其求法如图10-1。设两条线段AB、CD(|AB|>|CD|)，在AB上用圆规从一端点A起，连续截取长度为CD的线段，使截取的次数尽可能的多。若没有剩余，则CD就是最大公度线段。图10-1

若有剩余,则设剩余线段为EB(|EB|<|CD|)，再在CD上截取次数尽可能多的EB线段，若没有剩余，则EB就是最大公度线段。若有剩余，则设为FD(|FD|<|EB|)，再在EB上连续截取次数尽可能多的FD线段，如此反复下去。由于作图工具的限制(仅用圆规)总会出现没有剩余的现象。也即最大公度线段总是可以求出的。例如图10-1中，最后有FD=2GB，所以GB就是AB和CD最大公度线段。并且有，即两个整数之比。即任何两条线段都可以有最大公度线段，亦即有可公度比。

然而就是由毕达哥拉斯学派所发现的毕达哥拉斯定理，也即是从直角三角形中，毕达哥拉斯学派发现了“不可公度比”,动摇了他们的哲学信念，产生了第一次数学危机。

相传，毕达哥拉斯学派的成员希伯索斯(Hippasus)通过逻辑推理方法发现:“等腰直角三角形的斜边和直角边是不可公度的，即不存在最大公度线段”。

希伯索斯从几何上的逻辑推理是基于如下的思考:如图2所示，在等腰直角三角形ABC中，按前面方法，为了求AC与AB的最大公度线段，取AD=AC，过D作DE⊥AB交BC于E，因为∠DCE=∠CDE=22.5°，所以|CE|=|DE|=|DB|。则问题转化为求DB与BE的最大公度线段，但△BDE又重新构成一个等腰直角三角形，往下，只能重复以上的作法。如此继续下去，始终求不出AC与AB的最大公度线段。这就是说,希伯索斯从几何上发现了线段的“不可公度”的存在。图10-2

这样一来就否定了毕达哥拉斯学派的信条一一宇宙间的一切现象都可归结为整数或整数之比。毕达哥拉斯学派不能接受这样毁灭性的打击，据说为封锁消息，竟然把希伯索斯抛进大海。还有一种说法是毕达哥拉斯本人已经知道不可公度比的存在，但要封锁这一消息，而希伯索斯因泄密而被处死。本来希伯索斯对数学的发展作出了重大的贡献，理应受到赞赏，谁知反而丧失了生命，希伯索斯是一个以身殉道的追求真理的先驱。

大约在公元370年，才华横溢的希腊数学家欧多克索斯和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相等的定义，从而消除了这一“丑闻”。他们给出的定义与涉及的量与“是否可公度”无关，借助几何的方法，通过避免直接出现无理数而实现的。欧多克索斯建立了一整套比例论，其本人著作已失传，幸而他的成果被保留在欧几里得《几何原本》一书的第五篇中。然而，第一次数学危机彻底消除是直到19世纪戴德金实数理论建立起来以后的事。

不可公度比(即无理数)的发现对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。

首先，它表明几何的某些性质与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示；反之，数却可以由几何量表示出来。

其次，希腊人从此发现了直觉和经验是不可靠的，推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“若干自明的公理和公设出发,通过演绎，建立起了庞大而严密的几何体系，形成了欧几里得的《几何原本》”。它不仅是第一次数学危机的自然产物，而且对西方近代数学的形成和发展产生了深远的影响。

第一次数学危机表明，当时希腊数学已经发展到这样的阶段:1)数学已由经验科学变为演绎科学；2)把证明引人了数学；3)演绎的思考首先出现在几何学中，而不是在算术中，使几何具有更加重要的地位。这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。

17世纪由牛顿和莱布尼茨建立起来的微积分学，由于在自然科学中的广泛应用，揭示了许多自然现象，而被高度重视。但是不管是牛顿还是莱布尼茨所创立的微积分都是不严格的，两人的理论都建立在无穷小分析上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。存在着明显的逻辑矛盾。例如，对求导数，根据牛顿的流数计算法，有（1）10.2.2贝克莱悖论与第二次数学危机（2）（3）（4）（5）

在上面的推导过程中，从(3)到(4)，要求△x不等于零，而从(4)到(5)，又要求△x等于零。正因为在无穷小量中存在着这类矛盾，因而微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击，其中攻击最猛烈的是当时颇具影响的英国红衣大主教贝克莱。贝克莱

1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书——《分析学家：或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象，原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这里，贝克莱指责牛顿，是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。

因为无穷小量在牛顿的理论中，一会儿说是0，—会儿又说不是0。因此，贝克莱主教嘲笑无穷小量是“逝去量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护宗教的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷。

贝克莱的指责在当时的数学界中引起混乱，这就是第二次数学危机的爆发。数学史上把贝克菜的问题称之为“贝克莱悖论”，笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竞是否为0”的问题。

针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼茨都曾试图通过完善自己的理论来解决，但都没有获得成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获成功，另一方面白己却存在着逻辑矛盾，这种情形下对微积分的取舍到底何去何从呢?

第二次数学危机的核心是微积分答础的不牢固。重建微积分基础的历史重任落在了柯西、魏尔斯特拉斯等人身上。柯西（Cauchy）的贡献是将微积分建立在极限论的基础上，而魏尔斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass)的贡献是逻辑地构造实数论，完成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积分这座人类数学史上空前雄伟的大厦建立在牢固可推的基础之上。

19世纪未，由于严格的微积分理论的建立，第二次数学危机已基本解决。数学表达的精确化和理论系统的公理化思想，深深渗透到人类知识的各个领域。严格的微积分理论是以实数理论为基础的，而严格的实数理论又以集合论为基础。集合论似乎给数学家带来一劳永逸地摆脱基础危机的希望，尽管集合论的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间早晚的问题。集合论成功地用到了各个数学分支，成为数学的基础。

10.2.3罗素悖论与第三次数学危机

数学家们为自己营造的以康托集合论为基础的数学大厦即将竣工而狂欢，认为数学理论的严密性已经完成，特别是基础理论已不成问题。1900年，在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱兴奋地宣布：“我们最终达到了绝对的严密吗？在数学发展前进的每一阶段，我们的前人都坚信他们达到了这一点。如果我们被蒙蔽了，我们是不是也像他们一样被蒙蔽了？如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结为纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称完全的严格性已经达到了。”

正当数学家们陶醉于胜利之中，为由康托所创立的集合论已为大家所接受，并深入到数学的各个分支而欢欣鼓舞时，数学史上的一场新的危机正在降临。仅仅过了两年，数学大厦受到了又一次强烈的冲击，人们再一次发现，数学大厦的基础出现了更大的裂痕，甚至有人认为，整个数学大厦的基石有崩塌的危险。这就是罗素悖论的出现。康托尔1902年6月罗素写信给德国数学家弗雷格(E.I.G.Frege)，告诉他自己发现这样一个悖论，意思是这样的：集合可以按以下的方法分为两类。一类集合是它本身不是自己的元素，如自然数集绝不是一个自然数；另一类集合是它本身是自己的元素，如一切集合组成的集合，仍是一个集合，因此它本身也属于这个集合。罗素

我们把所有属于第一类的集合归在一起，又可构成一个集合，不妨记作A。现在问，集合A属于上面的哪一类？如果A属于第一类，则A本身就是自己的元素，那么它应当属于第二类；如果A属于第二类，那么A当然不能属于第一类。也就是说，A本身不是自己的元素，而这样根据第一类集合的定义，A又应当属于第一类。因为A是康托尔意义下的集合，应当二者必居其一，于是这个问题的回答被弄得无所适从了。罗素这一悖论以其简单明了的方式，揭开了当时作为数学基础的康托尔集合论本身的矛盾重重的盖子，震惊了整个数学界。当弗雷格刚要出版《算术的基本法则》第二卷时，收到罗素的信后，他写道：“对一位科学家来说，最难过的事情莫过于在他的工作即将结束时，其基础崩溃了，罗素先生的一封信正好把我置身于这个境地。”

戴德金(J.W.R.Dedekind)也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳威尔(I.E.G.BrOuwer)，认为白己过去的工作都是“废活”，声称要放弃不动点理论。罗素

连大数学家庞加莱后来也不得不改口说：“我们设置栅栏，把羊群围住，免受狼的侵袭。但是很可能在围栅栏时就已经有一条狼被围在其中了。”

这一悖论使号称数学又一次陷入了自相矛盾的危机。为了使这个悖论更加通俗易懂，罗素本人在1919年将其改为前面提到的“理发师悖论”。

罗素悖论即是对于任一集合考虑其是否属于自身的问题，用数学语言写出来就是：设有集合

，由于是一个集合，

则有问题：“

是否属于自身？”如果

，由S0的定义知，

；如果

，

由的定义又知

，从而矛盾是不可避免的。

危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。

1908年策墨罗(E.Zen1elo)采用把集合论公理化的方法来消除悖论，即对集合论建立新的原则，这些原则一方面必须是够狭窄，以保证排除矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。

后来经过其他数学家的改进，演变为ZF或ZFS系统。冯·诺伊曼等开辟集合论的另一公理化的NBG系统也克服了悖论,但还仍有一些问题。

以后加上哥德尔(K.Godel)、科恩(Cohen)等人的努力，到1983年，建立了公理化集合论，即要求集合必须满是ZFG公理系统统中十条公理的限制，成功地排除了集合论中出现的悖论。

一般地，现今的普遍看法是，公理化集合论（ZF系统或BG系统）已经为目前的数学研究提供了一个合适的基础。这是因为：第一，所有已知的（逻辑-数学）悖论在这两个系统中都得到了排除；第二，在这两个系统中，至今尚未发现新的悖论；第三，公理化已是现代数学发展的一个重要倾向。

另一方面，罗素悖论对数学基础有着深远的影响，导致了数学家对数学基础的深入研究。

围绕数学基础之争，使得许多数学家卷入一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及到数学的根本。因此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。

在这场大辩论中。原来不明显的意见分歧扩展成为学派的争论，三大数学哲学学派应运而生：

一是以罗素为代表的逻辑主义学派。他们的基本观点是“数学即逻辑”。罗素说，“逻辑是数学的青年时代，数学是逻辑的壮年时代”，即认为数学是逻辑的延伸。只要不容许“集合的集合”这种逻辑语言出现，悖论就不会发生。

二是以布劳威尔(D.Brouwer)为代表的直觉主义学派。他们认为数学理论的真伪只能用人的直觉去判断。他们的名言是“存在必须是被构造”。他们认为“全体实数是不可接受的概念，“一切集合的集合”的概念更是不可理解，不承认这些，悖论就不会出现。

三是以希尔伯特为代表的形式主义。1904年，希尔伯特开始提出其著名的希尔伯特纲领，其基本思想是将古典数学表示成形式的公理系统，然后证明这一系统是相容的和完备的（即任一系统内可表命题都可在系统内得到判定），并寻找可以在有限步骤内判定一命题可证明性的方法。 他们认为公理只是一行符号，无所谓真假。只要能够证明公理系统是相容的，这个公理系统便得到承认，它便代表一种真理，悖论是公理系统不相容的一种表现。 1928年奥地利数学家和逻辑学家哥德尔在《数学物理月刊》上发表了《论〈数学原理>和有关系统中的形式不可判定命题》一文，提出了著名的哥德尔不完全性。定理大意是说，在一个形式系统中总存在一个不可判定的公式，而这个公式是真的。从该定理还可以推出这样一个结论，一个非常强的形式系统的相容性是不可证明的。

哥德尔定理告诉我们，即使在数学这样被认为最可靠的知识中，也不存在所谓的“终极真理”。这样以来，数学就只能从神坛上走下来，显露其文化本性。数学只是一种文化。数学知识无疑是真实的，有意义的，但这些都无疑与其文明和文化背景息息相关。数学不是科学王国中的神，它处于永远的创造之中。哥德尔

哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，使得哲学的争论黯淡下来，但此后，三大学派的研究工作，取得了不少积极成果。一个直接的结果，就是数理逻辑与计算技术、电子技术的结合，带来了20世纪最重要的一次技术革命——电子计算机的诞生。

数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突使得危机就不可避免，危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时甚至是革命性的变化。在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论，数理逻辑成为了数学有机整体的一部分；代数几何、微分几何、复分析已经推广到了高维。悖论给数学大厦造成的地震，不但没有摧垮这座历经数千年创造出来的宏伟建筑，而且引发出了一系列有意义的新创造：悖论的发现和消除成了数学发展的一种巨大的动力。

数学危机，不仅没有击垮数学，反而促使了数学的发展。数学危机具有丰富的文化内涵，它带来了人们对数学认识的改变。10.3

数学危机的文化意义

在整个数学发展史上，一直贯穿着矛盾的斗争和解决。而矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变更。在处理矛盾和危机的过程中，数学家们对数学进行了一系列创造，这首先表现在新概念的产生：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；笫二次数学危机促成了分析基础理论——实数理论与极限理论的诞生；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批新数学的诞生。新成果的不断出现，使数学呈现出无比兴旺发达的景象，矛盾促进了数学的发展。10.3.1数学悖论是数学发展的动力之一

数学的抽象性是数学的一个突出特征，数学对象的自由建构是现代数学的一个突出表现。由于数学是“人类创造性思维的产物，特别是，数学的客观内容不仅涉及到了客观的物质存在，而且也涉及到了人类自身的活动——如果考虑到数学的高