2024年内蒙古自治区通辽中考数学模拟试卷

第1页（共1页）2024年中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）每年4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米．将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×1053．（3分）下列运算中，正确的是（）A．5a﹣2a＝3 B．（x+2y）2＝x2+4y2 C．x8÷x4＝x2 D．（2a）3＝8a34．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．（3分）下列说法正确的是（）A．打开电视，它正在播天气预报是不可能事件 B．要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查 C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确 D．甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2＝2，S乙2＝1，说明甲的射击成绩比乙稳定6．（3分）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．70° B．50° C．40° D．140°7．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（）A．|a|＞|b| B．a＞b C．ab＞0 D．a+b＞08．（3分）某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，7.5小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，5小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，可列方程（）A． B． C． D．9．（3分）如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，P为优弧ADB上一点，则∠APB＝（）A．36° B．54° C．30° D．26°10．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（3分）如图，在△ABC中，D，M是边AB的三等分点，N，E是边AC的三等分点．连接ND并延长与CB的延长线相交于点P．若DE＝4，则线段CP的长为（）A．5 B．7 C．6 D．812．（3分）如图，点A是射线y＝（x≥0）上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD，过点A的双曲线y＝交CD边于点E，则的值为（）A． B． C． D．1二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）13．（3分）若有意义，则x的取值范围是．14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．15．（3分）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是．16．（3分）如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分的面积为．17．（5分）如图，在△OAB中，∠AOB＝90°，，P是OB的中点，若点D在直线AB上运动，连接OD，以OD为腰，向OD的右侧作等腰直角三角形ODE，连接PE，则在点D的运动过程中，线段PE的最小值为．三．解答题（本大题共9个小题，共69分）18．（5分）计算：．19.（5）先化简，再求值：，其中．20．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且CE⊥BD，AF⊥BD．（1）求证：△CDE≌△ABF；（2）求证：四边形CEAF是平行四边形．21．（9分）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：（1）参加问卷调查的同学共名，补全条形统计图；（2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数；（3）学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同学的概率．22．（6分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量某广场花坛的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在距地面63m高的点C处，测得花坛顶部点B处的俯角为70°，沿水平方向由点C飞行43m到达点D，测得花坛底部点A处的俯角为45°，其中点A，B，C，D均在同一竖直平面内．请根据以上数据，求花坛AB的高度．（结果精确到1m；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）23．（8分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，已知点A坐标为（3，1），点B的坐标为（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；（2）观察图象直接写出满足ax+b＞时的x的取值范围；（3）P为x轴上一动点，当三角形OAP为等腰三角形时，求点P的坐标．二．解答题（本大题共3个小题，共36分）24．（9分）某学校为筹备初三同学们的毕业活动，学校准备为同学们购进A，B两款T恤，每件A款T恤比每件B款T恤多10元，用500元购进A款T恤和用400元购进B款T恤的数量相同．（1）求A款T恤和B款T恤每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买T恤，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，求m值．25．（9分）如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：CG＝BG；（3）若∠DBA＝30°，CG＝4，求阴影部分的面积．26．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），点M（1，﹣4）为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，D是第四象限内抛物线上一点，分别连接DA，DB，DC，AC．若2S△ACD＝S△ABD，求点D的坐标；（3）如图2，直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2024年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【分析】根据绝对值的意义解答即可．【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．2．（3分）每年4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米．将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×105【分析】根据科学记数法：a×10n（1≤|a|＜10，n为正整数），先确定a的值，再根据小数点移动的数位确定n的值即可解答【解答】解：439000＝4.39×105，故选：C．【点评】本题考查了科学记数法，根据科学记数法确定a和n的值是解题的关键．3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．5a﹣2a＝3 B．（x+2y）2＝x2+4y2 C．x8÷x4＝x2 D．（2a）3＝8a3【分析】根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方，即可解答．【解答】解：A、5a﹣2a＝3a，故错误；B、（x+2y）2＝x2+4xy+4y2，故错误；C、x8÷x4＝x4，故错误；D、正确；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方，解决本题的关键是熟记合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方．4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．该图形是不轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．5．（3分）下列说法正确的是（）A．打开电视，它正在播天气预报是不可能事件 B．要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查 C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确 D．甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2＝2，S乙2＝1，说明甲的射击成绩比乙稳定【分析】利用随机事件、调查的方式、样本估计总体及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、打开电视，它正在播天气预报是随机事件，故错误；B、要考察一个班级中学生的视力情况因调查范围小适合用全面调查，故错误；C、在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，正确；D、甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2＝2，S乙2＝1，说明乙的射击成绩比甲稳定，故错误，故选：C．【点评】本题考查了随机事件、调查的方式、样本估计总体及方差的知识，属于基础知识，比较简单．6．（3分）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．70° B．50° C．40° D．140°【分析】由平角的定义可得∠BEF＝140°，由角平分线的定义可得∠BEG＝∠FEG＝70°，再利用两直线平行，内错角相等即可求解．【解答】解：∵∠1＝40°，∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠FEG＝70°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEG＝70°．故选：A．【点评】本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键．7．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（）A．|a|＞|b| B．a＞b C．ab＞0 D．a+b＞0【分析】根据a，b两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．【解答】解：A．由数轴可知|a|＞|b|，故符合题意；B．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故不符合题意；C．∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故不符合题意；D．∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断a，b的正负，以及绝对值的大小．8．（3分）某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，7.5小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，5小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，可列方程（）A． B． C． D．【分析】利用七年级完成的工作量+八年级完成的工作量＝总工作量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：+＝1，即++＝1．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．9．（3分）如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，P为优弧ADB上一点，则∠APB＝（）A．36° B．54° C．30° D．26°【分析】连接AO，BO，则，则可由圆周角定理得到．【解答】解：如图所示，连接AO，BO，则，∴，故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．【解答】解：由图象开口向下可知a＜0，由对称轴，得b＞0．∴一次函数y＝x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a、b的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．11．（3分）如图，在△ABC中，D，M是边AB的三等分点，N，E是边AC的三等分点．连接ND并延长与CB的延长线相交于点P．若DE＝4，则线段CP的长为（）A．5 B．7 C．6 D．8【分析】利用已知条件得到，再利用相似三角形的判定与性质得到DE∥BC，最后利用三角形的中位线定理解答即可得出结论．【解答】解：∵D，M是边AB的三等分点，N，E是边AC的三等分点，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC．∵NE＝EC，∴DE为△NPC的中位线，∴PC＝2DE＝2×4＝8．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的中位线，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．12．（3分）如图，点A是射线y＝（x≥0）上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD，过点A的双曲线y＝交CD边于点E，则的值为（）A． B． C． D．1【分析】设点A的坐标为：（m，m），得到正方形的边长，根据点A在双曲线上，得到k关于m的表达式，根据点A的横坐标和正方形的边长，得到点C，D，E的横坐标，代入反比例函数的解析式，得到点E的纵坐标，即EC的长度，结合正方形的边长，得到DE的长度，即可得到答案．【解答】解：设点A的坐标为：（m，m），∵点A在双曲线y＝上，∴k＝mm＝m2，即反比例函数的解析式为：y＝，AB＝AD＝CD＝BC＝m，点C，D，E的横坐标为：m+m＝m，把x＝m代入反比例函数y＝得：y＝m，即EC＝m，DE＝m﹣m＝m，＝，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握代入法和数形结合思想是解题的关键．二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）13．（3分）若有意义，则x的取值范围是x≥0且x≠3．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣3≠0，解得x≥0且x≠3．故答案为：x≥0且x≠3．【点评】本题考查的是二次根式以及分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为4．【分析】一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答．【解答】解：Δ＝16﹣4m＝0，∴m＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了根的判别式，属于基础题．15．（3分）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是6≤a＜9．【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．【解答】解：，解不等式①，得：x＞﹣1，解不等式②，得：x≤，∵不等式组有且只有3个整数解，∴2≤＜3，解得：6≤a＜9，故答案为：6≤a＜9．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能得出关于a的不等式组．16．（3分）如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分的面积为．【分析】由于AF＝CF，在Rt△ABF中由勾股定理求得AF的值，证得△ABF≌△AGE，有AE＝AF，即ED＝AD﹣AE，再由直角三角形的面积公式，求得Rt△AGE中边AE上的高，即可计算阴影部分的面积．【解答】解：由题意知，AF＝FC，AB＝CD＝AG＝4，BC＝AD＝8在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2＝AF2，即42+（8﹣AF）2＝AF2，解得AF＝5，∵∠BAF+∠FAE＝∠FAE+∠EAG＝90°，∴∠BAF＝∠EAG，∵∠B＝∠AGE＝90°，AB＝AG，∴△BAF≌△GAE（AAS），∴AE＝AF＝5，ED＝GE＝3过G作GH⊥AD，垂足为H∵S△GAE＝AG•GE＝AE•GH∴4×3＝5×GH∴GH＝，∴S△GED＝ED•GH＝×3×＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了翻折变换，解决问题的关键是利用矩形的性质和轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质进行求解．解题时注意：翻折前后的对应边相等，对应角相等．17．（3分）如图，在△OAB中，∠AOB＝90°，，P是OB的中点，若点D在直线AB上运动，连接OD，以OD为腰，向OD的右侧作等腰直角三角形ODE，连接PE，则在点D的运动过程中，线段PE的最小值为1．【分析】取AO的中点Q，连接DQ，先证得△OQD≌△OPE，得出QD＝PE，根据点到直线的距离可知当QD⊥AB时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥AB时QD的值，即可求得线段PF的最小值．【解答】解：如图，取AO的中点Q，连接DQ，∵△DOE为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠DOE＝90°，DO＝DE，∴∠AOD＝∠BOE，∵，P为BO中点，Q是AO的中点，∴，在△ODQ和△OPE中，，∴△OQD≌△OPE（SAS），∴QD＝PE，∵点D在直线AB上运动，∴当QD⊥AB时，QD最小，∵∠AOB＝90°，，∴∠A＝45°，∵QD⊥AB，∴△QAD是等腰直角三角形，∵，∴AD＝DQ＝1，∴线段PE的最小值是为1．故答案为：1．三．解答题（本大题共9个小题，共69分）18．（5分）计算：．【分析】先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算乘方运算，负整数指数幂，再合并即可；【解答】解：（1）＝＝＝．19.（5分）先化简，再求值：，其中．【分析】先把除法化为乘法运算，再结合分配律进行简便运算即可，最后代入计算即可．＝＝＝＝＝，当时，原式＝．【点评】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式的化简求值，掌握运算顺序是解本题的关键．20．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且CE⊥BD，AF⊥BD．（1）求证：△CDE≌△ABF；（2）求证：四边形CEAF是平行四边形．【分析】（1）由平行四边形的性质得CD∥AB，CD＝AB，则∠CDE＝∠ABF，而∠CED＝∠AFB＝90°，即可根据“AAS”证明△CDE≌△ABF；（2）由CE⊥BD，AF⊥BD，证明CE∥AF，由全等三角形的性质得CE＝AF，即可证明四边形CEAF是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∴∠CDE＝∠ABF，∵CE⊥BD，AF⊥BD，∴∠CED＝∠AFB＝90°，在△CDE和△ABF中，，∴△CDE≌△ABF（AAS）．（2）证明：∵CE⊥BD，AF⊥BD，∴CE∥AF，∵△CDE≌△ABF，∴CE＝AF，∴四边形CEAF是平行四边形．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明△CDE≌△ABF是解题的关键．21．（9分）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：（1）参加问卷调查的同学共60名，补全条形统计图；（2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数；（3）学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同学的概率．【分析】（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数；用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可．（2）根据用样本估计总体，用1500乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案．（3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）参加问卷调查的同学的人数为12÷20%＝60（名）．故答案为：60．喜爱柔道的人数为60﹣18﹣12﹣14＝16（名）．补全条形统计图如图所示．（2）1500×＝450（人）．∴该校1500名同学中喜爱篮球活动的人数大约450人．（3）画树状图如下：由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．22．（6分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量某广场花坛的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在距地面63m高的点C处，测得花坛顶部点B处的俯角为70°，沿水平方向由点C飞行43m到达点D，测得花坛底部点A处的俯角为45°，其中点A，B，C，D均在同一竖直平面内．请根据以上数据，求花坛AB的高度．（结果精确到1m；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】延长AB交DC于点E，根据题意可得：AE⊥DE，AE＝63米，CD＝43米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出CE的长，再在Rt△EBC中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：延长AB交DC于点E，由题意得：AE⊥DE，AE＝63米，CD＝43米，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴DE＝＝63（米），∴CE＝DE﹣CD＝63﹣43＝20（米），在Rt△EBC中，∠ECB＝70°，∴EB＝EC•tan70°≈20×2.75＝55（米），∴AB＝AE﹣BE＝63﹣55＝8（米），∴花坛AB的高度约为8米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（8分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，已知点A坐标为（3，1），点B的坐标为（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；（2）观察图象直接写出满足ax+b＞时的x的取值范围；（3）P为x轴上一动点，当三角形OAP为等腰三角形时，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；（2）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应x的取值；（3）存在三种情况：OA＝OP，OA＝AP，AP＝OP，根据点A的坐标综合图形可得点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A坐标为（3，1），把点A的坐标代入得：k＝3，∴反比例函数的解析式是；把点B的坐标为（﹣2，m）代入得：﹣2m＝3，解得：，∴；把A、B两点的坐标代入y＝ax+b中得：，解得：，∴一次函数的解析式为：；（2）由图象得：时x的取值范围是：x＞3或﹣2＜x＜0；（3）当△AOP是等腰三角形时，存在以下三种情况：①当OA＝OP时，如图2，∵A（3，1），∴，∴或；②当OA＝AP时，如图3，设P（x，0），∴，解得：x＝6或x＝0（不符合题意舍去），∴P（6，0）；③当OP＝AP时，如图4，过A作AE⊥x轴于E，设OP＝x，则AP＝x，PE＝3﹣x，∴AP2＝AE2+PE2，∴12+（3﹣x）2＝x2，，∴；综上，P的坐标为或或（6，0）或．【点评】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，反比例函数与一次函数图象与性质，反比例函数与一次函数交点问题，本题难度适中，运用分类讨论思想是解答本题的关键．24．（9分）某学校为筹备初三同学们的毕业活动，学校准备为同学们购进A，B两款T恤，每件A款T恤比每件B款T恤多10元，用500元购进A款T恤和用400元购进B款T恤的数量相同．（1）求A款T恤和B款T恤每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买T恤，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，求m值．【分析】（1）设A款T恤每件x元，则B款T恤每件（x﹣10）元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的T恤的数量相同列出方程求解即可；（2）设购买A款T恤a件，则购买B款T恤（300﹣a）件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买T恤列出不等式组求解即可；（3）设购买资金为W元，购买A款T恤a件，则购买B款T恤（300﹣a）件，求出W＝（m﹣5）a+12000﹣300m，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出m＝5．【解答】解：（1）设A款T恤每件x元，则B款T恤每件（x﹣10）元，由题意得，，解得x＝50，检验，当x＝50时，x（x﹣10）≠0，∴x＝50是原方程的解，∴x﹣10＝40，∴A款T恤每件50元，则B款T恤每件40元，答：A款T恤每件50元，则B款T恤每件40元；（2）设购买A款T恤a件，则购买B款T恤（300﹣a）件，由题意得，14750≤50a+40（300﹣a）≤14800，解得275≤a≤280，∵a是正整数，∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，∴一共有六种购买方案；（3）设购买资金为W元，购买A款T恤a件，则购买B款T恤（300﹣a）件，由题意得，W＝0.7×50a+（40﹣m）（300﹣a）＝（m﹣5）a+12000﹣300m，∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴W的取值与a的值无关，∴m﹣5＝0，∴m＝5．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键．25．（9分）如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：CG＝BG；（3）若∠DBA＝30°，CG＝4，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，根据∠A＝∠CBD可得，从而证明OC⊥DB，再根据DB∥CE可得OC⊥CE，即可得出结论；（2）根据AB为直径可知∠ACB＝90°，然后进一步利用∠ACB＝∠CFB＝90°进行等量代换，从而得出∠CAB＝∠BCG，据此进一步即可证明结论；（3）连接AD，根据圆周角定理得出∠ADB＝90°，即可求得∠BAD＝60°，根据圆周角定理得出∠DAC＝∠BAC＝30°，解直角三角形求得＝，然后根据三角形相似和等腰三角形的性质即可求得BC的值，再进一步求解即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵∠A＝∠CBD，∴，∴OC⊥DB，∵DB∥CE，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵CF⊥AB，∴∠ACB＝∠CFB＝90°，∴∠ABC+∠BCF＝90°＝∠ABC+∠CAB，∴∠CAB＝∠BCF，∵∠CAB＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CBD，∴CG＝BG；（3）连接AD，∵AB