第19章矩形 菱形与正方形单元测试卷2023-2024学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形单元测试卷一、单选题1．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分C．四条边相等 D．对角线平分一组对角2．下列说法中，不正确的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等4．如图，在矩形中，，则的度数是（）A．45° B．55° C．65° D．70°5．如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动．设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（）A．8 B．3 C．6 D．126．如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形的周长是（）A．24 B．48 C．40 D．207．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC=BD时，它是正方形C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形8．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（）A． B． C． D．9．有下列命题：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线垂直且相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形．其中，真命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），则点D的坐标是（）A．（6，8） B．（10，8） C．（10，6） D．（4，6）二、填空题11．如图，菱形的周长为，对角线与相交于点，，，垂足为，则.12．如图，在矩形ABCD中，点B的坐标为（1，3），则矩形OABC的对角线长是；13．如图，在矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△CBE沿CE翻折得到△CFE，连接AF，若∠EAF=70°，那么∠BCF=度.14．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．三、解答题15．在矩形中，，E是的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与、分别相交于点M，N时，观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论.16．已知如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，若点B、E、F在同一直线上，求∠EAB的度数．17．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AE＝AB，过E作EF⊥AC，交BC于点F.求证：BF＝EF.18．如图，在中，，分别是，上的点，且.求证：四边形是平行四边形.四、综合题19．我们已经知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家已发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．（1）DE的长为．（2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；否则，说明理由．20．如图，菱形ABCD的边长为2，，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．（1）求对角线AC的长；（2）求EF的长．21．如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接.（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形；（3）若，求的长.22．如图，在中，，点是边的中点，过点，分别作与的平行线，相交于点，连接，，与交于点．（1）求证：四边形是矩形；（2）当时，求证：四边形是正方形．23．如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA，PB，PC，若有PA2＝PB2+PC2则称点P为△ABC关于点A的勾股点.（1）如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC关于点的勾股点；在点E，F，G三点中只有点是△ABC关于点A的勾股点.（2）如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，①求证：CE＝CD；②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度数.（3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，若△ADE是等腰三角形，直接写出AE的长.

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A：对角线相等是正方形具有而菱形不具有的性质，所以A符合题意；

B：对角线互相垂直平分是菱形和正方形都具有的性质，所以B不符合题意；

C：四条边相等是正方形和菱都具有的性质，所以B不符合题意；

D：对角线平分一组对角是正方形和菱都具有的性质，所以D不符合题意；故答案为：A.

【分析】根据正方形和菱形的性质分别进行判断即可得出符合题意的选项。2．【答案】B【解析】【解答】B.应该是对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故答案为：B．

【分析】根据菱形的判定与性质以及矩形的性质分别对各个选项进行判断即可得出结论。3．【答案】B【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．

故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．故答案为：B.【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，两组对角大小相等，相邻的两个角互补，对角线互相平分；矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等，对角线互相平分；菱形的性质：对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角，四条边都相等，对角相等，邻角互补；正方形的性质：两组对边分别平行，两组对边分别相等，四条边都相等，四个角也分别相等，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；即可得出答案.4．【答案】D5．【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于O，由图②可知，BC＝CD＝4，BD＝14－8＝6，∴BO＝BD＝×6＝3，在Rt△BOC中，CO＝，AC＝2CO＝2，所以，菱形的面积＝AC•BD＝×2×6＝6，当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为b，所以，b＝×6＝3．故答案为：B．

【分析】如图，连接AC交BD于O，根据图②可知，BC＝CD＝4，BD＝14－8＝6，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，再求出AC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求出菱形的面积，当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为b，即可求解。6．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=3，OD=OB=4，在Rt△AOD中，AD===5，∴菱形ABCD的周长为20，故选D．【分析】利用菱形的性质，、结合勾股定理求出AD，即可解决问题．7．【答案】B【解析】【解答】A、因为“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以A中结论正确，A不符合题意；B、因为“对角线相等的平行四边形是矩形，但不一定是正方形”，所以B中结论不正确，B符合题意；C、因为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，所以C中结论正确，C不符合题意；D、因为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以D中结论正确，D不符合题意.故答案为：B.【分析】平行四边形要满足正方形的条件，除了对角线相等外，还需一组邻相等才行.8．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S菱形ABCD==×6×8=24，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE==，故选D．【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．9．【答案】B【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；

③对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题；

④四边相等的四边形是菱形，是真命题；故答案为：B.【分析】根据矩形的判定定理即可判断①；根据菱形的判定定理即可判定②④；根据正方形的判定定理即可判定③。10．【答案】B【解析】【解答】解：∵B（﹣6，0），C（4，0），∴BC＝10，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝10，在Rt△ABO中，OA＝＝＝8，∴A（0，8），∵AD∥BC，∴D（10，8），故答案为：B.【分析】根据点B、C的坐标可得BC，由菱形的性质可得AB＝BC＝10，在Rt△ABO中，应用勾股定理求出OA的值，得到点A的坐标，然后根据AD∥BC就可得到点D的坐标.11．【答案】2.4【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，∴BC=5，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，AC=2OC=8，在Rt△BOC中，OB=＝3，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE=＝2.4.故答案为2.4.【分析】先根据菱形的性质得BC=5，利用勾股定理得出OB=3，OA=OC=AC=4，再利用面积法计算OE的长.12．【答案】【解析】【解答】解：连接OB，AC，过B作BM⊥x轴于M，∵点B的坐标是（1，3），∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB=，∵四边形OABC是矩形，∴AC＝OB，∴AC＝，故答案为：．

【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案。13．【答案】40【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵E为边AB的中点，∴AE=BE，由折叠的性质可得：∠EFC=∠B=90°，∠FEC=∠CEB，∠FCE=∠BCE，FE=BE，∴AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=70°，∴∠BEF=∠EAF+∠EFA=140°，∴∠CEB=∠FEC=70°，∴∠FCE=∠BCE=90°-70°=20°，∴∠BCF=20°+20°=40°；故答案为：40.【分析】根据折叠的性质，可得∠EFC=∠B=90°，∠FEC=∠CEB，∠FCE=∠BCE，FE=BE，从而求出AE=FE，利用等边对等角可得∠EFA=∠EAF=70°，根据三角形外角的性质可得∠BEF=∠EAF+∠EFA=140°，即得∠CEB=∠FEC=70°，根据三角形内角和可求出∠FCE=20°，继而求出∠BCF的度数.14．【答案】16或4【解析】【解答】（1）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13．由翻折的性质，得B′E=BE=13，∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，∴B′G===12，∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，∴DB′===；（2）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）；（3）当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为16或．故答案为：16或．【分析】本题没有说明是哪两条边相等，所以应该分三种情况说明：（1）当=时，过点做AD、BC的平行线GH；所以HG也是CD边和AB边的中垂线，可知EG=5，由勾股定理可知的值，进一步可知的值，再用勾股定理即可知.

（2）当时，此时；

（3）当时，有翻折的性质可知此时点F与点C会重合，所以不成立.15．【答案】解：，证明：过E点作于点F，∵为矩形，∴，∴为矩形，又∵，E是的中点，∴∴为正方形，∴，，又∵，∴，∴，∴∴.【解析】【分析】过E点作EF⊥BC于点F，由矩形的性质可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠EFN=90°，AB=CD，根据矩形的判定可得四边形ABEF、EFCD是矩形，结合已知和线段中点的定义可得AB=AE=DE=DC=EF=AD，根据一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形ABEF、EFCD是正方形，由正方形的性质可得AE=EF，AB=FC由同角的余角相等可得∠AEM=∠FEN，用角边角可证，由全等三角形的性质可得AM=FN，则可得BM=CN.16．【答案】解：如图，连接BD与AC相交于O，过点E作EH⊥AC于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形ACFE是菱形，∴AC⊥BD，AC∥BF，∴四边形OBEH是矩形，∴EH=OB=AC=BD，∵四边形ACFE是菱形，∴AC=AE，∴EH=AE，∴∠HAE=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=45°，∴∠EAB=∠CAB﹣∠HAE=15°【解析】【分析】连接BD与AC相交于O，过点E作EH⊥AC于H，可得四边形OBEH是矩形，根据矩形的对边相等可得EH=OB，再根据菱形的四条边都相等可得BD=AE，然后求出EH=AE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠HAE=30°，根据正方形性质求出∠CAB，即可求出答案．17．【答案】证明：方法一：连接AF，∵四边形ABCD为正方形，EF⊥AC，∴∠B＝∠AEF＝90°.又∵AB＝AE，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AEF.∴BF＝EF.方法二：连接BE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.∵四边形ABCD为正方形，EF⊥AC，∴∠ABC＝∠AEF＝90°.∴∠ABC－∠ABE＝∠AEF－∠AEB.∴∠FBE＝∠FEB.∴BF＝EF.【解析】【分析】方法一：连接AF，根据正方形的性质及垂直的定义得出∠B＝∠AEF＝90°，根据HL可证Rt△ABF≌Rt△AEF，可得BF=EF.

方法二：连接BE，根据等边对等角得出∠ABE＝∠AEB，根据正方形的性质及垂直的定义得出∠B＝∠AEF＝90°，由等式的性质得出∠ABC－∠ABE＝∠AEF－∠AEB，即得∠FBE＝∠FEB，利用等角对等边即得结论.

18．【答案】证明：四边形为平行四边形，，.即.又，四边形是平行四边形.【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，结合已知条件DE=BF可推出AF=CE，然后利用平行四边形的判定定理进行证明.19．【答案】（1）5（2）解：若△ABP与△DCE全等∴BP＝CE或AP＝CE当BP＝CE＝3时，则t＝＝3秒当AP＝CE＝3时，则t＝＝13秒∴求当t为3秒或13秒时，△ABP和△DCE全等．（3）解：若△PDE为等腰三角形则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE当PD＝DE时，∵PD＝DE，DC⊥BE∴PC＝CE＝3∵BP＝BC﹣CP＝3∴t＝＝3当PE＝DE＝5时，∵BP＝BE﹣PE∴BP＝9﹣5＝4∴t＝＝4当PD＝PE时，∴PE＝PC+CE＝3+PC∴PD＝3+PC在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2∴PC＝∵BP＝BC﹣PC∴BP＝∴t＝＝综上所述：当t＝3秒或4秒或秒时，△PDE为等腰三角形．【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC在Rt△DCE中，DE＝＝＝5故答案为5．【分析】（1）根据题意可得：CD＝4，根据勾股定理可求DE的长；（2）若△ABP与△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根据时间路程的关系可求r的值；（3）分PD＝DE，PE＝DE，PD＝PE三种情况讨论，可求t的值．20．【答案】（1）解：四边形ABCD是菱形，∴，，∵，∴是等边三角形∴．（2）解：∵E，F分别为AB，AD的中点，∴是中位线，∴．又∵四边形ABCD是菱形，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，，∴，∴（负舍）∴∴．【解析】【分析】（1）先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得；

（2）先证明，再利用勾股定理可得，将数据代入计算求出，所以，再结合可得答案。21．【答案】（1）证明：∵AB//DC，∴∠OAB=∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA；（2）证明：∵∠DAC=∠DCA，AB=AD，∴CD=AD=AB，∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，∴OE=OA=2.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得：∠OAB=∠DCA，根据角平分线的概念可得∠OAB=∠DAC，据此证明即可；

（2）根据（1）的结论以及已知条件可得CD=AD=AB，结合AB∥DC推出四边形ABCD是平行四边形，然后根据AD=AB证明即可；

（3）由菱形的性质可得OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，结合CE⊥AB、BD=2可求出OB的值，然后在Rt△AOB中，由勾股定理求得OA的值即可.22．【答案】（1）证明：，点是边的中点，，，．，，四边形为平行四边形，，又，四边形是平行四边形，，四边形是矩形（2）证明：设与相交于点．，，，即，又由（1）知四边形是矩形，四边形是正方形．【解析】【分析】（1）根据三角形中线性质，可得，继而得出四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理：有一个角为直角的平行四边形为矩形，即可求出答案。

（2）设与相交于点，根据题意可得到，根据正方形的判定定理：对角线互相垂直的矩形为正方形，即可求出答案。23．【答案】（1）B；F（2）解：①证明：如图3中，∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CA2＝CB2+CE2∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝90°∴CA2＝AD2+CD2＝CB2+CD2∴CB2+CE2＝CB2+CD2∴CE＝CD②如图3中，设∠CED＝α，则∠CDE＝∠CED＝α∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°﹣α∵∠AEC＝120°∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝120°﹣α∵DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA＝120°﹣α∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°∴2（120°﹣α）+（90°﹣α）＝180°解得：α＝50°∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°（3）AE=或.【解析】【解答】（1）∵DA2＝12+22＝5，DB2＝12+32＝10，DC2＝DA2＝5∴DB2＝DC2+DA2∴点D是△ABC关于点B的勾股点∵EA2＝42+42＝32，EB2＝22+52＝29，EC2＝4∴点E不是△ABC的勾股点∵FA2＝32+42＝25，FB2＝22+42＝20，FC2＝12+22＝5∴FA2＝FB2+FC2∴点F是△ABC关于点A的勾股点∵GA2＝42+22＝20，GB2＝22+32＝13，GC2＝22+22＝8∴点