江西省各地2024届高三第二次联考数学试卷含解析

江西省各地2024届高三第二次联考数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列｛风｝中，«1=1,g=2,且当九为奇数时，4+2-。“=2；当”为偶数时，a„+2+l=3（a„+l）.则此数

列的前20项的和为（）

ol1o1ool2ool2o

A.^—^+90B.^—^+100C.^—^+90D.^-—^+100

2222

qinx

2.已知函数/（x）=-------的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合

1+2sinx

的变换方式有（）

①绕着x轴上一点旋转180。；

②沿x轴正方向平移；

③以％轴为轴作轴对称；

④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.

A.①③B.③④C.②③D.②④

3.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登

山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村

汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：

甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；

乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；

丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；

事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）

A.甲走桃花峪登山线路B.乙走红门盘道徒步线路

C.丙走桃花峪登山线路D.甲走天烛峰登山线路

4.函数"x）=sin2x+wsinx+3x在［工二］上单调递减的充要条件是（）

63

A.m<-3B.mW—4C.m<-^-D.m<4

3

x,x<0

5.已知wR,函数/（%）=1131z八2八，若函数y=/（x）—依—匕恰有三个零点，则（）

—X--（Cl+1）X+6ZX,X0

132

A.a<-l,b<0B.a<-l,b>Q

C.a>-l,b<0D.a>-l,b>0

6.设命题P：\/a,b&R,|a-Z?|<|a|+1/?|,则为

A.X/a,beR,,一百习a|+网B.Ba,beR,|tz-Z?|<|tz|+|Z?|

C.3a,b&R,|a-/?|>|a|+|/?|D.3a,b&R,|a-Z?|>|a|+|/?|

7.给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；

④垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

x-y<0,

8.若X,y满足约束条件卜+》《2,则年x+3

c的取值范围为（）

y+2

x+1>0,

24242

A.[—,—]B.[—3]C.[-,2]D.[-,2]

535935

9.已知〃x）=</（"I）

,若方程/（%）—2a%=a—1有唯一解，则实数。的取值范围是（）

—,0<x<1

12

B.{-16}UQ,1U（2,+CO）

A.{-8}O（1,-HX））

C.{-8}u-,1u（2,+co）D.{-32}o[l,2]o（4,+w）

v2y2

10.设双曲线二=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C

ab2

分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于而寿，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

()

A.(-1,0)(0,1)

B.(-oo,-l)(l,+oo)

C.(-A/2,0),1(0,V2)

D.(-8,-&)U(0,+8)

11.已知定义在R上的函数/(x)=2""—1(m为实数)为偶函数，记a=/(logo.53),6=/(k)g25),c=f(2+m)

则a,bfc的大小关系为()

A.a<b<CB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

12.已知定义在H上的奇函数/(%)满足：f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.71828且在区间［e,2e］上是减函数，

令b-,c=等，则/(a),f(b),/(c)的大小关系(用不等号连接)为()

乙33

A./(Z7)>/(«)>/(c)B.f(b)>于(c)>f(a)

C.于(a)>于电)于(c)D./(«)>/(c)>/(/?)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.给出下列等式：V2=2cos-,J2+V2=2cos-,也+0=2cos2,…请从中归纳出第〃个等式：

4816

J2+…+^2+yf2=

〃个2

14.若叫eR,*-W/2+1+5<0为假,则实数。的取值范围为.

15.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体)，观察向上的点数，则

事件“点数之积是3的倍数”的概率为一.

54322345

16.设(x—2y)s=aQx+axxy+a2xy+a3xy+a4xy+a5y,则旬+4+%=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知矩形纸片ABC。中，AB=6,AQ=12,将矩形纸片的右下角沿线段MN折叠，使矩形的顶点8落

在矩形的边AD上，记该点为E,且折痕MN的两端点M,N分别在边A58c上.设=，，跖V=/,AEMN的

面积为S.

(1)将/表示成。的函数，并确定。的取值范围；

(2)求/的最小值及此时sin8的值；

(3)问当。为何值时，AEMN的面积S取得最小值？并求出这个最小值.

18.(12分)语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的，，小爱同学，，智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵，，智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了

了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精

灵”的人，具体数据如下：

“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计

男4560105

女554095

合计100100200

(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性

比购买“天猫精灵”的女性多多少人？

(2)根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？

n(ad-be)"

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会沟通的一个平台.校

团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下:

愿意不愿意

男生6020

女士4040

(1)根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；

(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人.若从这10人中

随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X,写出X的分布列，并求E(X).

2n(ad-bc)2

附：K=-------------------------，其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.050.010.001

3.8416.63510.828

20.(12分)如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,点E是边AD上一点，S.AE=2ED,点"是的的中点,

将八45£沿着座折起，使点A运动到点S处，且满足SC=SD.

(1)证明：平面3CDE；

(2)求二面角C—S3—E的余弦值.

21.(12分)为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部

选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过

程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普

查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：

普查对象类别顺利不顺利合计

企事业单位401050

个体经营户10050150

合计14060200

(1)写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；

(2)根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；

(3)以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利

的对象数记为X,写出X的分布列，并求X的期望值.

附：E=n(adbc)2

(〃+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

pgk。)0.100.0100.001

k。2.7066.63510.828

22.(10分)在①袖3=%，②”=«12,③85-83=48这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整

数上存在，求左的值；若不存在，说明理由.

设正数等比数列也｝的前〃项和为,｛q｝是等差数列，,b.=a4,q=2,%+%+%=30,是否存

在正整数也｝,使得几产S.+4+32成立？

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据分组求和法，利用等差数列的前〃项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前〃项和公式求出前20项

的偶数项的和，进而可求解.

【详解】

当〃为奇数时，。“+2-=2,

则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列，

当〃为偶数时，4窿+1=3(%+1),

则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列.

所以S*2Q=q+%+++〃20=%+/+++%+“4+’+。20

10x9

=10x1+--—x2+(a2+1)+(tz4+1)+(a20+1)-10

3(1—3)3n-3

=100+-^-------^--10=--------+90-

1-32

故选：A

【点睛】

本题考查了数列分组求和、等差数列的前〃项和公式、等比数列的前〃项和公式，需熟记公式，属于基础题.

2、D

【解析】

n/|+xj,故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像

计算得至!!"x+2而)=/(x),f--x

知①③错误，得到答案.

【详解】

sinxsin(x+2丘)sinx

〃x)=于(x+Zki)==〃x),keZ,

1+2sinxl+2sin(x+2^)1+2sinx

当沿x轴正方向平移2左肛左wZ个单位时，重合，故②正确;

.(n)

、sin——Fx

万+_cosx

2J^.(n>1+2cosx'

'1+2sin—+x

(2)

故/—=+,函数关于X对称，故④正确；

根据图像知：①③不正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.

3、D

【解析】

甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线，由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的，再分情况讨论即可.

【详解】

若甲走的红门盘道徒步线路，则乙，丙描述中的甲的去向均错误，又三人的陈述都只对一半，则乙丙的另外两句话“丙走红

门盘道徒步线路”，“乙走红门盘道徒步线路”正确，与“三人走的线路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路,，正确，故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误，“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中

“甲走桃花峪登山线路”错误，“丙走红门盘道徒步线路”正确.

综上所述，甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路

故选：D

【点睛】

本题主要考查了判断与推理的问题，重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论，属于基础题型.

4、C

【解析】

先求导函数，函数在上单调递减则/(x)<0恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质

63

和图象，列不等式组求解可得.

【详解】

依题意，/(x)=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1,

令cosx=r,则止也走］,故4/2+Y+IWO在止,上恒成立;

2222

“11,C

4x—+mx—+L,0孙，一4

42

结合图象可知，，厂，解得

36…

44x—+mx--Fl,0――3~

42

.-8百

rum<----.

3

故选：C.

【点睛】

本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法：

⑴代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角比(或力)，利用基本三角函数的单调性列不等

式求解；

⑵图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.

5、C

【解析】

当％<0时，y=/(无)一公一人=%—依一人=(1一4)兀一人最多一个零点；当乂.0时，

y=f(x)-ax-b=^xi-^(a+l)x2+ax-ax-b=^x3-^(a+V)x2-b,利用导数研究函数的单调性，根据单调

性画函数草图，根据草图可得.

【详解】

当％<0时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b^(l-a)x-b=o,得苫=----；y=/(%)—依一人最多一个零点；

i-a

当x..0时，y=f(x)——b=_—(a+l)x"+ax—ctx—b=_JC1—(a+l)x——b>

3232

y'-x2-(a+l)x,

当a+L,0,即④一1时，y..0,y=f(x)-ax-b^[Q,+s)上递增，y=/(x)—依—人最多一个零点.不合题意;

当a+l>0,即a>—1时，令V>0得xe[a+l,+8),函数递增，令V<0得尤e[0,a+1),函数递减；函数最

多有2个零点；

根据题意函数y=/(x)-依-。恰有3个零点=函数y=/(尤)-以-。在(-8,0)上有一个零点，在[0,+⑹上有2

个零点，

如图：

卜。>0

—<o且h「19,

l-tz—(a+炉——(a+l)(a+l)--b<0

、32

—1[

解得6<0,1—41>0»0>b>—(4z+1)'a>—1.

【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及。力两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中

有可能分类不全面、不彻底.

6、D

【解析】

直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

【详解】

因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题，：ya,beR,|a-Z?|<|a|+|/?|,则"为：3a,beR,|a-Z?|>|a|+|Z?|.

故本题答案为D.

【点睛】

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.

7、B

【解析】

用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对

④进行判断.

【详解】

①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.

②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.

③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么

这两个角相等或互补，故③错误.

④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.

故选：B

【点睛】

本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能

力，考查数形结合思想，化归与转化思想.

8、D

【解析】

%+3

由题意作出可行域，转化目标函数z=7瓦为连接点。(-3,-2)和可行域内的点(x,y)的直线斜率的倒数，数形结合

即可得解.

【详解】

由题意作出可行域，如图,

x+3

目标函数Z=不5可表示连接点r>(-3,-2)和可行域内的点(x,y)的直线斜率的倒数,

由图可知，直线ZM的斜率最小，直线。8的斜率最大，

由二;二可得A")，由可得咱,3),

1—1+213+252

所以kZM=1=7'kDB=12=不，所以£<z<2・

—1+3Z—1+J，2)

本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.

9、B

【解析】

求出/'(X)的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出。的范围即可.

【详解】

解：令贝UO<x+l<l,

贝！I加+1)=9，

—--l,-l<x<0

故/(%)=Al，如图示：

—,0„x<1

12

由f(x)-2ax=a-1,

得F(X)=Q(2]+1)—1,

函数y=a(2x+l)-l恒过A(-g,-1),

由8（1,},C（O,1）,

-+1=_1+1=

可得^AB=~—r=1>koA=2,工,

1+

2万

若方程f（x）-2ax=a-l有唯一解，

则1<2%2或2a>4,即工<a”1或〃>2；

2

2

当2ax+a-1=--------1即图象相切时，

x+1

根据A=0,9/一8〃（。—2）=0,

解得，=-16（0舍去），

则a的范围是{-16}u[g,lu（2,+s）,

【点睛】

本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题.

10、A

【解析】

由题意4（”.⑴1,「（《二-'），

aa

根据双曲线的对称性知。在x轴上，设。（羽0）,则由

b2b2

得：aa./，

-------=-1.c-.t-----------------

c-xc-aa*（a-c）

因为。到直线5C的距离小于〃十行两，所以

Z?b

即0<—<1,所以双曲线渐近线斜率左=±‘£(-1,0)口(0,1),故选A.

aa

11、B

【解析】

根据/(x)为偶函数便可求出帆=0,从而/GO=2凶-1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.

【详解】

解：・・1(X)为偶函数；

.•./(-x)=f(X)；

.・.一%一时-i=2k一时-1；

|-x-m\=\x-m|；

(-x-m)2=(x-m)2；

.\m=0；

-V(X)=2W-b

•V(x)在［0,+oo)上单调递增，并且〃=/(|log()53D=f(log23),

b=f(log25),c=f(2)；

V0<log23<2<log25；

a<c<b.

故选民

【点睛】

本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间［0,+00)

上，根据单调性去比较函数值大小.

12、A

【解析】

因为/(x+2e)=—/(%),所以/(x+4e)=/(x),即周期为4,因为/(九)为奇函数，所以可作一个周期［-2e,2e］

示意图，如图/(%)在(0,1)单调递增，因为52<25;.5.<25,23<32,25<33.,.0<。<。<。<1，因此

/(/?)>/(«)>/(c),选A.

点睛：函数对称性代数表示

(1)函数/■⑺为奇函数O/(%)=-/(—X),函数Ax)为偶函数0/(X)=/(—%)(定义域关于原点对称)；

(2)函数/(X)关于点3〃)对称0/(%)+f(-x+2a)=2b,函数/(x)关于直线x=相对称o/(x)=f(-x+2m),

⑶函数周期为T,则/⑴=f(x+T)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

c乃

13、2cos--

2n+1

【解析】

通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第〃个等式即可.

【详解】

解：因为：A/2=2cos—,5/2+A/2=2cos—,12+J'2+&=2cos2,

4816

1TC

等式的右边系数是2,且角是等比数列，公比为一，则角满足：第〃个等式中的角f，

22

所以J2+...+J2+/=2c°s券;

〃个2

一、冗

故答案为：2cos2“+i.

【点睛】

本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题.

14、(f4]

【解析】

___________/+5

由三%eR,/?—。在11+5<0为假，可知VxeR,尤2—”,尤2+1+5<。为真,所以对任意实数x恒

%2+5%2+5

成立，求出I的最小值，令〃<（/）min即可・

V%+iG+i

【详解】

因为Hr。eR,5?—a«^7i+5<0为假，则其否定为真,

%2+5+5

即VxeR,炉—ajf+1+520为真，所以

『对任意实数x恒成立，所以a<(,-)min.

V%_+1Vx+1

%2+5r-;~74，4「

又「—=V%+1+^^=>4,7=^下，即*=±括时，等号成立，所以aW4.

Jx2+1%2+

故答案为：（—8,4］.

【点睛】

本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.

15、2

9

【解析】

总事件数为6义6=36,

目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6,具体事件有

（1,3）,（1,6）,（2,3）,（2,6）,（4,3）,（4,6）,（5,3）,（5,6）,共8种；

当第一颗骰子为3,6,则第二颗骰子随便都可以，则有2x6=12种；

205

所以目标事件共20中，所以「二二二X。

369

16、121

【解析】

在所给的等式中令x=l,丁=1,令％=1,y=-l可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.

【详解】

令x=1,y=1得（1—2）=a。+q+/+/+4+。5=，令元=［，y=-］得

（1+2）=—q+a,—%+%—。5=243,两式相加，得2（%）+/+%）=242,所以a。+a?+%=121.

故答案为：121.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，考查学生分析问题的能力，属于基础题，难度较易.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3兀，八/兀\、g,/的最小值为竽.（3）e=W时，面积s取最小值为

17、⑴/=n2/3l7^-^-Tsin3=

sinOcos91124)

【解析】

(1)ZENM=ZMNB=0,ZEMA=2。,利用三角函数定义分别表示A®,MB,ME,AM,且AM+MB=6,即可得到

3

BN=——-——<12

sin9cos6

3

/关于。的解析式；BN<12,BM<6,^\BM=——<6，即可得到。的范围;

cos0

O<0<-

2

（2）由（1），若求，的最小值即求sinOcos?。的最大值,即可求sidecos%的最大值，设为/2（e）=sin20cos4。,令

2

x=cos0，则/（6）=（1—%）一,即可设g（x）=（l-%）一,利用导函数判断函数的单调性，即可求得g（%）的最大值，进而

求解;

191

(3)由题,S=万79sin6cos6=^2x'—外停吟，则八81x1

4sin20cos60"

t=cos2春ve<=（1—f）/，利用导函数求得力（。的最大值，即可求得S的最小值.

【详解】

解：(1)ZENM=ZMNB=0,ZEMA=20,

故NB=/cos0,MB=ME=Isin0,AM=MEcos20=Isin6,cos26).

因为AM+MB=6,所以/sinecos28+/sin(9=6,,

63

所以；

sin9(cos20+1)sin0cos20'

3

BN=------------<12

sincos

37T7T

又3N<12,即/<6,则<BM=一0<6，所以

cos3124

0<0<-

2

3

所以/二—<e<—

sinOcos之外124

(2)记/(e)=sin8cos2aA

则尸(0=si/。cose,

5,「12+6],99

设X=以九2氏％£―-一，则/(0)=(l-x)x,

记g(%)=(1一%)犬2，贝!I，(%)=2%—3x2,

21

令g'(%)=0,则％=-

一12122+\13

当.253时，当代§，——时,g4x)<0,

~12~\22+/3

所以g(x)在-,j上单调递增，在上单调递减，

故当x=cos2e=2时/取最小值，此时sine=且，/的最小值为述.

332

19](TCTC

(3)AEW的面积SM7LsinecosdM7x=二~y--<9<—

22smOcos。1124

所以T]，设…"卧耳，则苧,

sin2^cos60

设立«)=(1—/)/，则"⑴=3产—4/,令"⑺=o"=：eg,白

所以当Ze|,|时,〃(，)>0；当fe}2子时,〃(/)<0,

所以可。在上13单调递增，在43，方2-4-J」3上单调递减，

37T

故当f==cos20,^0=-时，面积S取最小值为86

46

【点睛】

本题考查三角函数定义的应用，考查利用导函数求最值，考查运算能力.

18、（1）多2350人；（2）有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.

【解析】

（1）根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小

爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案；

(2)根据列联表和给出的公式，求出K?，与临界值比较，即可得出结论.

【详解】

解：(1)由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人,

由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，

估计购买“小爱同学”的女性有/^x55=7150人.

估计购买“天猫精灵”的女性有一鹊x40=4800人.

贝(17150—4800=2350,

...估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.

⑵由题可知，—0x(45x40—60x55)15n>3.841，

105x95x100x100

...有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.

【点睛】

本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.

19、(1)有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；(2)详见解析.

【解析】

(1)计算得到左＞6.635,由此可得结论;

(2)根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X的所有可能取值所对应的概率，由此

得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.

【详解】

⑴•・•。的观测值叫160x(60x40-40x20)2=%

~10.667>6.635，

80x80x100x603

,有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关.

32

(2)根据分层抽样方法得：男生有10x1=6人，女生有10义《=4人,

，选取的10人中，男生有6人，女生有4人.

则X的可能取值有0』,2,3,

-pfx-ol-c^-20-1prx-n-^-60-1

尸"=2）=管嗯磊，尸8A管/心

X的分布列为:

X0123

1j_31

P

621030

.•.E（X）=0x-+lx-+2x—+3x—=-

'/6210305

【点睛】

本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分

布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.

20、（1）见解析；（2）B

3

【解析】

（1）取CD的中点连接EM,SM,由SE=S5=2,进而由SC=S£>,得SMLCD.进而

平面进而结论可得证（2）（方法一）过//点作CD的平行线GH交于点G,以点〃为坐标原点，

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系”-孙z,求得平面SBC,平面S3E的

法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中点N,上的点P,使BP=2PC,连接HN,PN,PH,得

HNLBS,HP工BE,得二面角C—S5—E的平面角为NPNH,再求解即可

【详解】

（1）证明：取CD的中点"，连接胸，SM,由已知得AE=A3=2,所以SE=SB=2,又点H是BE的中

点，所以SHLBE.

因为SC=SD,点〃是线段CD的中点，

所以SMLCD.

又因为所以从而CD,平面SHM,

所以CE>，S〃，又CD,跖不平行，

所以SH，平面3CDE.

（2）（方法一）由（1）知，过H点作CD的平行线GH交于点G,以点”为坐标原点，所在直线

分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系”一孙z,则点3（1,—LO）,C（l,2,0）,E（-l,l,0）,

S（0,0,0）,

所以BC=(0,3,0),BE=(-2,2,0),BS=(-1,1,72).

设平面SBE的法向量为m=(%，x，zj,

由《，得｛r令弘=1,得加=(u,o).

BS=0[一芯+y1+，24=0

同理，设平面SBC的法向量为〃=(%，%，Z2)，

n-BC=0%=°

由