直线与圆锥曲线的位置关系(1)教学设计-高二上学期数学人教A版选择性

课题第39课时直线与圆锥曲线的位置关系1课型新授课一、教材内容及其解析1.内容类比直线与圆的关系，探究直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的弦长问题，与双曲线有关的中点弦问题，与抛物线有关的最值问题.2.内容解析直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线知识应用的重点内容，本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系，圆锥曲线的方程和简单的几何性质的基础上，进一步研究直线与圆锥曲线的位置关系，让学生感悟数形结合及方程思想的运用.学生可以类比直线与圆的三种位置关系的探究过程，学习从代数的角度归纳直线与圆锥曲线位置关系.弦长公式的推导使用了两点间距离公式，从公式本身可以发现弦长与交点的确定坐标无关，因此可以大大简化计算.中点弦问题考查的内容较为综合，点差法是学生需重点掌握的方法.与弦长有关的问题，从不同的角度体现了根的判别式、根与系数关系、点差法等知识在判断位置关系中的作用.坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁，集中地体现了数形结合的数学思想，这种思想贯穿了整个“圆锥曲线的方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法.通过本节的学习，学生可以巩固前面所学的圆锥曲线的性质以及直线的基本知识，从而培养逻辑思维能力、运算能力、分析和解决问题的能力等.知识的上下位关系：育人价值：类比直线与圆的位置关系，学习直线与圆锥曲线位置关系的判断方法，培养学生发现规律、寻求方法、总结结论的思维路线，增强学生的概括能力.经历弦长公式，中点弦问题的研究过程，进一步体会坐标法的基本步骤，数形结合思想，方程思想，转化与化归思想的运用，发展学生直观想象、数学运算等核心素养.教学重点：直线与圆锥曲线位置关系的判断，弦长公式，中点弦问题中利用点差法求直线斜率.二、教学目标及其解析目标目标解析掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法，掌握求弦长的两种方法，理解弦长公式的推导过程会联立直线与圆锥曲线的方程，根据判别式的情况求交点个数，判断位置关系；会比较双曲线渐近线的斜率和直线斜率，判断交点个数及交点位置.能解方程求出交点坐标，利用两点间距离公式求弦长；能利用根与系数关系求出两根之和，两根之积，直接使用弦长公式掌握利用“点差法”解决中点弦问题的步骤能联立直线与圆锥曲线，利用根与系数关系和中点坐标求直线斜率；学会使用“点差法”，利用交点在曲线上，满足曲线方程，作差构造出中点坐标与斜率的关系，进一步体会“坐标法”研究平面解析几何问题掌握直线与抛物线相离时的最值问题会平移已知直线到与抛物线相切的位置，转化为求两直线间距离三、教学问题诊断分析1.学生已有经验从学生的认知基础看，学生已学过直线和圆的方程，掌握了位置关系的判断方法，学习了圆锥曲线的方程及简单性质，并且对它们的图像特征也有所了解，但还不能做到熟练综合运用圆锥曲线方程的性质解决相关问题.已经学习了使用“坐标法”解决平面解析几何的步骤，两点间距离公式，也反复使用了根与系数的关系解决一些综合性问题，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括能力和语言转换能力.2.教学存在问题双曲线和抛物线由于图形不是封闭的，学生容易完全借鉴直线与圆的位置关系，认为有一个交点就是相切.直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系对交点个数的影响，学生容易讨论不完全或斜率范围取错.中点弦问题中，学生在已知信息中只能发现中点坐标与斜率的一部分关系，难以建立它们之间的联系.3.问题解决策略通过改变直线斜率，直观感受它对直线与双曲线位置关系的影响；中点弦的问题中，设置层层递进的问题串，带领学生挖掘题目中的隐含信息，发现交点、中点、斜率彼此之间的关系.4.教学难点点差法求中点弦问题，体会直线斜率和中点坐标的内在联系.四、教学支持条件分析使用GGB软件作图，展示直线斜率对交点个数的影响五、课堂活动设计【本课时教学流程图】类比直线与圆的位置关系从数类比直线与圆的位置关系从数和形的角度探究直线与双曲线的位置关系探究求弦长的两种方法探究中点弦问题，体会“点差法”探究抛物线的最值问题【一】复习回顾【引言】前面我们学习了直线的方程、圆的方程，并且探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，那么判断直线与圆的位置关系的方法有什么？【教师引导，学生回忆】生：几何法，利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系.生：代数法，将直线方程与圆方程联立，通过判别式化为方程组的解的问题.生：利用几何性质，当直线过定点，定点在圆的内部，此时直线与圆一定相交.请你回忆并补充下表：位置关系公共点个数图形判断方法（几何）判断方法（代数）相交2相切1相离0师：在初中，我们判断直线与圆的位置关系是看公共点的个数，这种判定是直观地定性描述，当直线与圆无限接近时，从图形上我们无法判断，因此我们无法做到严格地定量刻画.现在我们应用了方程思想和数形结合的思想通过判别式的情况来判断直线与圆的位置关系，它们是否可以推广应用到直线与圆锥曲线的位置关系中，我们继续来研究下面的例题.设计意图：设计意图：复习判断直线与圆的位置关系的方法，再一次明确位置关系可以从几何和代数两个角度判断，提出直线与圆锥曲线位置关系的判定问题.直线与圆锥曲线也有相应的位置关系，是不是一样可以从数和形的角度来判断呢？来看下面的例题.【二】例题导学任务一：探究直线与圆锥曲线的位置关系【例1】判断双曲线与过其右焦点，倾斜角为的直线的位置关系.问题1：如何判断二者的位置关系，说说你的想法.师：如果此时直线的斜率是，你有什么发现？生：直线与双曲线只有一个交点.师：前面我们知道了，与双曲线渐近线平行的直线和双曲线只交与一点.若此时直线的倾斜角变为，斜率为，你能从图形上说说这一变化吗？生：直线倾斜角变小，又经过右焦点，所以与双曲线左右两支各交于1点.追问1：当直线仍过右焦点，请你结合图像，讨论直线斜率与交点个数的关系？（GGB演示）2个交点：当时，与右支双曲线有2交点；当时，与两支各有1交点；②1个交点：当时；追问2：除了图形这一角度，从代数上你能验证这样的位置关系吗？生：类似与直线与圆，将直线方程与双曲线方程联立，转化为通过判别式的情况来判断方程组解的个数.【学生自主解题，教师巡视】解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，因为直线的倾斜角是，且直线经过右焦点，所以直线的方程为由消去，得.判别式，方程有两个不相等的实根，可知原方程组有两组不同的实数解，此时，直线与双曲线有两个交点.思考：可以发现，所以与双曲线左右两支各交于一点，我们再一次从“数”的角度验证了这一位置关系.请你结合根与系数的关系，总结交点位置的判断方法.（预设）①，则与左右两支各交于1点；②若，则与右支交于2点；③，则与左支交于2点.设计意图：让学生通过方程组的解与曲线交点的位置关系，加深对“点在曲线上”的充要条件是“点的坐标满足对应的方程”这一认识设计意图：让学生通过方程组的解与曲线交点的位置关系，加深对“点在曲线上”的充要条件是“点的坐标满足对应的方程”这一认识.基本步骤是联立方程组，把直线方程带入曲线方程，通过消元得到关于x或y的一元二次方程，将交点个数转化成判断方程解的个数.用具体的例子让学生体会判断直线与双曲线有无公共点的一般方法.问题2：若联立消元后得到的方程中二次项系数为零，此时直线与双曲线的位置关系如何？【学生根据一般方程，联立整理】追问1：当二次项系数为零时，能得出什么结论？生：设直线方程为，双曲线方程为，联立消元得.当二次项系数为0时，此时.追问2：这时直线的斜率会对位置关系产生什么影响？生：直线斜率与双曲线渐近线的斜率相等，因此直线与双曲线只有一个公共点.师：需要注意，直线与圆，直线与椭圆只有一个公共点时是相切的位置关系.当直线与双曲线渐近线平行时，有一个公共点，此时我们叫做直线与双曲线相交.追问3：你能说说判断直线与圆锥曲线的位置关系一般方法吗？需要特别注意什么？师生共同总结：判断位置关系，既可以从代数角度：联立方程组→判断Δ与0的关系→公共点的个数→直线与圆锥曲线的位置关系.特别需要注意，当二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.还可以数形结合，当直线过定点时，根据定点位置和直线斜率和双曲线渐近线斜率的大小关系确定其位置关系.课下思考题：探究直线与抛物线的位置关系.当直线和圆锥曲线相交于两点时，就有了弦，那么如何来求弦长呢？任务二：探究弦长公式,体会“设而不求”【例2】如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线两点，求.问题3：当直线与双曲线相交时，如何求两点间的弦长？【教师引导学生思考、交流，学生动手实践】生：直接求出交点坐标，利用两点间距离公式进行求解.方法一：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，因为直线的倾斜角是，且直线经过右焦点，所以直线的方程为由消去，得.解方程，得将的值分别带入直线方程，得于是两点的坐标分别为所以设计意图：设计意图：通过具体点的坐标运算，让学生体会弦长的本质就是两点间距离公式的变形.追问：若设交点坐标，观察距离公式，你认为求弦长一定要求出交点确定的坐标吗？（预设）不一定非要求出交点坐标.根据两点间距离公式，结果只与有关，而与交点确切的坐标无关.师：是方程根的关系，可以用根与系数关系进行转化.而直线方程则给出了的关系.因此我们有弦长公式（课下尝试推导），请利用弦长公式再次解决这个问题.【教师引导学生思考，学生独立做题，教师巡视给予个别指导】方法二：设，由消去，得.由韦达定理可知，根据弦长公式，因此.师：方法二中我们设了两点的坐标，但是解题过程中并没有实际求出，这种方法通常成为“设而不求”.当两交点坐标不便求出时，可以使用弦长公式，可以简化很多计算量.所以在解决数学问题时，希望同学们多注意观察和思考，用最简便的方式解决问题.与弦长有关的还有这样一种特殊形式，弦被某一点平分，这样的弦一定存在吗？我们来看看下面的例题.任务三：中点弦问题，体会“点差法”【例3】已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在的直线方程.问题4：分析题目，你能发现已知信息中隐含了哪些关系？（学生思考交流讨论，教师引导）生：弦被点平分，可以用中点坐标公式,生：弦所在的直线与双曲线交于2点.生：点在弦上，三点共线，直线的斜率可用点的坐标表示.师：因此，①若设，则而是根与系数的关系.②直线与双曲线联立，.因而我们其实有了中点坐标和交点坐标的关系，根据这些关系请你试着从根于系数的角度去解决这道题目.（学生独立完成，教师巡视指导,之后请学生汇报解题步骤，教师板演）解法一（利用根与系数的关系）：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为，即.由消去，整理得设，.为MN的中点，.当时，满足,符合题意.故所求直线方程为师：（若学生没想到，教师适当引导）③弦MN被点平分，所以三点共线，直线的斜率可用我们发现交点的坐标既与中点坐标有关，又与斜率有关，因此我们在中点坐标和斜率之间找到了联系.追问：若设交点，能得出什么？将两式作差，请你整理出与有关的式子，并说说你的发现.生：，再次验证了斜率只与交点对应坐标的和有关，即与中点坐标有关.请你试着从这一角度再次解决这道题.（学生小组合作解决，之后教师板演点差法的步骤）解法二（点差法）：设，均在双曲线上，，两式相减，得，经验证，该直线存在.故所求直线方程为师：我们又一次发现，虽然设了交点坐标，但并没有解出它们，而是在它们与我们需要的直线斜率之间搭了一个桥梁，“设而不求”解决中点弦问题.像这样设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点带入圆锥曲线方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”.设计意图：本题主要考查了直线与双曲线的综合问题，解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.，在学生相互交流讨论，师生的互动交流中，感受点差法“设而不求”的巧妙，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来相互转化，体会数学的严谨性，使学生综合问题的解决能力得到训练.设计意图：本题主要考查了直线与双曲线的综合问题，解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.，在学生相互交流讨论，师生的互动交流中，感受点差法“设而不求”的巧妙，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来相互转化，体会数学的严谨性，使学生综合问题的解决能力得到训练.存在中点弦的区域：事实上，如图，双曲线和渐近线将平面直角坐标系分成如下3个区域，若点M在区域①内，不存在以该点为中点的弦；若点M在区域②或③，存在以该点为中点的弦.因此对本题而言，如图，当时，渐近线上，双曲线上，因此点在双曲线右支内部，存在以M为中点的弦.思考题.已知双曲线过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？解:假设存在过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且点P是线段AB的中点.设过的直线方程为，A，B两点的坐标分别为，则①②得.由P为AB的中点，则则，即直线AB的方程为，即，代入双曲线，可得检验判别式，方程无解.故不存在过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且点P是线段AB的中点.设计意图：点差法来解决中点弦问题时计算量较少，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，因此需要用判别式加以检验.设计意图：点差法来解决中点弦问题时计算量较少，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，因此需要用判别式加以检验.拓展：（1）证明在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率,（P不是坐标原点）.（2）证明在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率.（3）证明在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.直线与圆锥曲线相交时，可以求与弦有关的问题，直线与圆锥曲线相切时，可以求切线方程，当直线与圆锥曲线相离时，有这样一类的问题。任务四：与抛物线有关的最值问题【例4】在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短，并求最短距离.师：点P在抛物线上，可以得出什么？点P到直线的距离如何表示？问题如何转化？（学生尝试解决，应该可以想到用点到直线距离公式求解.教师带领学生分析，点在曲线上，点的坐标满足曲线方程）解法一：设为抛物线上的点，则，点到直线的距离当时，取最小值，此时点.问题6：该直线与抛物线有怎样的位置关系？什么时候抛物线上的点到直线距离最短？生：相离.当直线平移后与抛物线相切时，切点到直线的距离即为抛物线上点到直线的最短距离.师：那么问题可以如何转化？生：可转化为求一条平行于的直线与抛物线相切，可以求出切点，利用点到直线距离公式求解.或利用两平行直线间的距离公式.（学生尝试自己解决）解法二：与平行且与抛物线相切的直线可设为，联立方程，得，令故，所以.最短距离为.设计意图：从设计意图：从两种解法中，引导学生发现解决最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到含参量的代数式，转化为求函数最值；二是借助图形的直观性，数形结合进行距离的转化.【三】梳理归纳基础知识层面问题1：判断直线与圆锥曲线位置关系的一般方法是什么？在这个过程中特别需要注意的是什么？问题2：如何通过直线斜率得到直线与双曲线的位置关系？问题3：弦长公式什么？使用弦长公式必须有哪些量？问题4：在中点弦问题中要特别注意哪些量之间的联系，分别可以使用什么方法解决问题？问题5：当直线与