与圆有关的最值问题课件高二上学期数学人教A版选择性

高二—人教版—数学选择性必修第一册—第二章与圆有关的最值问题一、学习目标：

认识圆的代数特征和几何特征，能利用这些特征解决一些与圆有关的最值问题，提高直观想象和逻辑推理核心素养．解题思路与策略圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．圆的核心要素是圆心、半径．与圆有关的最值问题主要涉及一些几何量，例如距离、面积、角度等；我们应该如何研究呢？从最基本的几何元素入手研究以下两种关系：(1)点点关系；(2)点线关系．二、学习与探究问题(1)则｜OQ｜的最大值为____，最小值为_______．解：如图，Q在圆上运动，可以发现，当OQ所在直线经过圆心C时，

Q的两个不同位置分别使｜OQ｜取到最大值和最小值．圆的半径r为2,所以，｜OQ｜最大值为｜OC｜+r=3+2=5,

｜OQ｜最小值为｜OC｜-r=3-2=1．点点关系问题改变点点关系中的点的位置，你还能提出什么问题？例题已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．答案：5，1．例题已知圆C：

，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．变式1：求圆上的动点到圆内的一定点的距离的最值问题；（圆“外”改为圆“内”）变式2：求圆上的动点到圆外的定直线的距离的最值问题；（“定点”改为“定直线”）(留给同学们课后思考）点线关系问题例题已知圆C：，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．问题(2)若直线m:3x-4y+12=0，则Q到直线m的距离的最小值____．解：过Q作QP垂直于直线m，垂足是P，则所求为|PQ|.d为圆心C到直线m的距离．

所以｜PQ｜的最小值是d-r=．你会求｜PQ｜的最大值吗？答案：｜PQ｜的最大值是．答案例题已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．如果让直线上的点和圆上的点都动起来，就得到以下的问题(3)．例题已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．问题(3)若P在直线m:3x-4y+12=0上，则|PQ|的最小值是

．

分析：P是直线上的动点，Q是圆上的动点，如何解决双动点问题呢？双动点问题单动点问题化归例题已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．问题(3)若P在直线m:3x-4y+12=0上，则|PQ|的最小值是____．

方法一：P固定，Q运动；d为圆心C到直线m的距离．｜PQ｜|PC|-r=|PC|-2

d-2=

≥≥答案：．例题已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．问题(3)若P在直线m:3x-4y+12=0上，则|PQ|的最小值是____．

方法二：先固定Q，P运动；d为圆心C到直线m的距离,h为Q到直线m的距离．｜PQ｜h

d-r=d-2=

≥≥答案：．变式已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．

P(１,3),H(0,t),当|PH|+|HQ|取最小值时，求t的值．分析：H、Q都是动点，属于双动点问题；先让哪一个动点固定呢？其实让H或者Q先固定都可以解决．解：先固定H，当Q运动时，|PH|是常数，|PH|+|HQ|最小值为|PH|+|HC|-2；在这种规律下，再让点H运动起来，问题转化为H在哪个位置，|PH|+|HC|有最小值的问题；这个问题就是指，在y轴上找一点H，使到|PH|+|HC|取最小值的问题，其中点P、C都是定点．这时，就可以用“将军饮马”模型来解决．取P点关于y轴对称点G(-1,3),

则|PH|+|HC|=|GH|+|HC|，当且仅当G、H、C三点共线时，|GH|+|HC|有最小值，此时，由G、C的坐标可得直线GC的方程：

GC与y轴的交点为（0，），所以，t=．例题已知圆C：，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．把双动点改为双动直线，就能得到以下的新问题．双动点问题单动点问题化归例题已知圆C：

，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．问题(4)若P在直线m:3x-4y+12=0上，过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB面积的最小值为______．△PAC≌△PBC∠PAC为直角解：连接PC，则△PAC≌△PBC.因为∠PAC为直角，所以|PC|最小值为，代入上式得，四边形PACB的面积的最小值为．

答案：．例题已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．如果让P固定下来，Q在圆上运动，你能提出除距离、面积以外的其他问题吗？例题已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．问题(5)若P（0，3），则当∠OPQ取最大值和最小值时，PQ的斜率分别是____，______．例题已知圆C：，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．问题(5)若P（0，3），则当∠OPQ取最大值和最小值时，PQ的斜率分别是____，______．分析：由图可知，当且仅当PQ是圆C的切线时，∠OPQ取到最值．解：设直线PQ的方程为y=kx+3,当直线PQ与圆C相切时，∠OPQ取到最值．由解得．答案：．例题已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．除距离、面积、角度这些有明显几何意义的问题外，有时也会碰到以下问题：例题已知圆C：

，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．问题(6)设Q（x,y）,则

的最大值和最小值分别是___，___．分析：与前面的题不同，本题不是求距离、面积、角度等几何量，该如何解决呢？其实，所求式的结构就是我们学过的斜率公式；表示的是圆上的点Q（x,y）和点H（-2，-2）连线的斜率．例题已知圆C：，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．问题(6)设Q（x,y）,则

的最大值和最小值分别是

，

．解：

则k表示的是圆上的点Q（x,y）和点H（-2，-2）连线的斜率．由图可知，当直线HQ与圆C相切时，得到的两条切线对应的斜率分别为k的最大值和最小值．直线HQ的方程为：y+2=k(x+2)，由圆心C到直线HQ的距离等于半径，即解得k=或k=0．

答案：．例题已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．问题(6)

设Q（x,y）,则

的最大值和最小值分别是是

__，

．本例中，利用所求式的代数结构特征，把代数式看成有特殊几何意义的量，再利用数形结合解决问题．还有没有其他类似的式子也可以这样解决呢？例题已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．思考：如何求或者y-x的最值？l:y=x+b,b可看作直线l在y轴上的截距．可看作圆上的点Q（x,y）和点H（-2，-2）连线的斜率．可看作Q到原点O的距离．斜率公式距离公式直线方程令b=y-x例题已知圆C：

，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．问题(7)设Q（x,y），则y-x的最大值为___，最小值为____．解：设所求为b,则b=y-x，得到直线l:y=x+b，b理解为直线l与圆C相交或相切时在y轴上的截距，当直线l与圆C相切时，截距有最值．由圆心C到直线l的距离等于半径得：由得或．答案：．赋给一些代数式子几何意义，可以方便我们用数形结合的方法来解决问题．小结一般地：（1）形如

的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（