专题25 三角函数（真题训练）-2020-2021学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

◎◎◎◎◎◎高考真题◎◎◎◎◎◎1．（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0【答案】D【解析】α为第四象限角，则-π2+2kπ＜α＜2kπ，则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．2．（2020•新课标Ⅲ）已知2tanθ﹣tan（θ+π4）＝7，则tanA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】D【解析】由2tanθ﹣tan（θ+π4）＝7，得2tanθ即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，即（tanθ﹣2）2＝0，则tanθ＝2，故选：D．3．（2020•新课标Ⅲ）已知sinθ+sin（θ+π3）＝1，则sin（θA．12 B．33 C．23【答案】B【解析】∵sinθ+sin（θ+π3）＝1，∴sinθ+12sinθ即32sinθ+32cosθ＝1，得3（12cosθ即3sin（θ+π6）＝1，得sin（θ+π6）4．（2020•新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．53 B．23 C．13【答案】A【解析】由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cosα=-2∵α∈（0，π），∴α∈（π2，π），则sinα=1-cos5．（2020•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝cos（ωx+π6）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（A．10π9 B．7π6 C．4π3【答案】C【解析】由图象可得最小正周期小于π﹣（-4π9）=13π9，大于2×（π-4π9）由图象可得f（-4π9）＝cos（-4π即为-4π9ω+π6=kπ若选B，即有ω=2π7π6=127，由-4π9若选C，即有ω=2π4π3=32，由-4π96．（2019•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sinαA．15 B．55 C．33【答案】B【解析】∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，π2），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα=55．故选：7．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以π2为最小正周期且在区间（π4，A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x| D．f（x）＝sin|x|【答案】A【解析】f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；f（x）＝|sin2x|在π4处取得最大值，不可能在区间（π4，π2）单调递增，可排除B8．（2019•北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ【答案】B【解析】由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为12•2β•4＝4β，△ABQ的面积为12（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β-12•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin故选：B．9．（2020•海南）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（）A．sin（x+π3） B．sin（π3-C．cos（2x+π6） D．cos（5π6【答案】BC【解析】由图象知函数的周期T＝2×（2π3-π6）＝π，即2π由五点对应法得2×π6+φ＝π，得则f（x）＝sin（2x+2π3）＝cos（π2-2x-2π3）＝cos（﹣2x-π6）＝cos（2x+π610．（2020•北京）若函数f（x）＝sin（x+φ）+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为π2【答案】π【解析】f（x）＝sin（x+φ）+cosx＝sinxcosφ+cosxsinφ+cosx＝sinxcosφ+（1+sinφ）cosx=cos2φ+(1+sinφ)2sin（x+θ），其中cos所以f（x）最大值为cos2φ+(1+sinφ)2=2，所以cos2即2+2sinφ＝4，所以sinφ＝1，所以φ=π2+2kπ，k∈Z时φ故可选k＝0时，φ=π2．故答案为：11．（2020•新课标Ⅱ）若sinx=-23，则cos2x＝1【答案】1【解析】∵sinx=-23，∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（-23）212．（2020•浙江）已知tanθ＝2，则cos2θ＝-35，tan（θ-π4）＝【答案】-35【解析】tanθ＝2，则cos2θ=cotan（θ-π4）=tanθ-tanπ413．（2020•江苏）将函数y＝3sin（2x+π4）的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x【答案】x=-【解析】：因为函数y＝3sin（2x+π4）的图象向右平移g（x）＝f（x-π6）＝3sin（2x-π3则y＝g（x）的对称轴为2x-π12=π2+即x=7π24+kπ2，k∈Z，当k＝0时，x=7π所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=-5π故答案为：x=-5π14．（2019•新课标Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x+3π2）﹣3cosx的最小值