2024年贵州省贵阳市观山湖区中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年贵州省贵阳市观山湖区中考数学二模试卷一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（）A． B． C． D．3．（3分）2023年5月开赛的“村超”，由榕江当地村民以村为单位组建了20支球队，踢出了全网超过数百亿次浏览量的“现象级”赛事．据悉，“村超”系列赛事举办期间，当地累计接待游客超5190000人次，数据5190000用科学记数法表示为（）A．0.519×107 B．5.19×106 C．5.19×107 D．51.9×1054．（3分）小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：平均数中位数众数方差8.58.38.10.15如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差5．（3分）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE，若∠C＝20°，∠CED＝120°，则∠A的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°6．（3分）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，为了测量一个池塘的宽BC，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D，E，若小明测得DE的长是20米，则池塘宽BC的长度为（）米．A．25 B．30 C．35 D．408．（3分）若P1（3，y1），P2（1，y2）是函数图象上的两点，下列结论正确的是（）A．0＜y1＜y2 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜09．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°10．（3分）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，可列方程（）A． B． C． D．11．（3分）如图，把Rt△ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB＝30°，点B的坐标为（0，1），将△ABO沿斜边AB翻折后得到△ABC，则点C的坐标是（）A． B． C． D．12．（3分）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，将抛物线y1沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线y2，则当y2＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜1 C．﹣1＜x＜3 D．1＜x＜3二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）因式分解：5y﹣y2＝．14．（4分）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB、AC于D、E，则图中⊙A的半径长是．15．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．16．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，点P是正方形ABCD内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，点M是BC上的一个动点，连接PM，MD，则PM+MD的最小值是．三、解答题（满分98分）17．（12分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中a＝3．18．（10分）目前人们的支付方式日益增多，主要有：某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：（1）本次一共调查了多少名消费者？（2）补全条形统计图，在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为多少度？（3）该超市本周内约有2000名消费者，估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和．19．（10分）贵阳黔灵山公园自从2024年1月1日免费开放以来，公园内的大熊猫馆人气火爆，其中国宝“海浜”“星宝”憨态可掬，获得不少市民喜爱，公园的文创超市售有相应的熊猫抱枕和熊猫挂件．已知每个熊猫抱枕的成本为30元，每个熊猫挂件成本为7元，每个熊猫抱枕售价比熊猫挂件售价贵30元，购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元．（1）求熊猫抱枕和熊猫挂件的单价分别为多少元？（2）为了迎接暑假，该超市准备投入成本不超过16200元购进熊猫抱枕和熊猫挂件共1000个．如果最后全部售完，则该超市应该购进多少个熊猫抱枕，才可以获得最大利润？最大利润是多少？20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的面积．（计算结果保留根号）21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣6，1），直线y＝ax﹣2经过点B（﹣2，2）．（1）求k，a的值；（2）过第二象限的点P（﹣1，4）作平行于x轴的直线，交直线y＝ax﹣2于点C，交函数的图象于点D．判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由．22．（10分）杨老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小文同学所在小组的任务是测量观山湖公园一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是小文同学制订了测量方案进行实地测量，得出如下的测量报告：课题测量大树的高度测量工具平面镜、测倾器和皮尺测量示意图及说明说明：①D、C、B、F四点共线，DE、AB均垂直于DF②光线EC经点C处平面镜反射后的光线是CA③平面镜大小忽略④测倾器高度忽略测量数据小文眼睛与地面高度DE＝1.6米，小文到平面镜的距离CD＝2米，平面镜到测倾器的距离为CF＝33米，∠AFB＝53°参考数据sin，cos53°≈，请你根据以上测量报告，求大树AB的高度．23．（12分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝6，，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，若F是AB的中点，求CE•CF的值．24．（12分）在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在的水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，AC为着陆坡，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作BE⊥y轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其关系式为．（1）c的值为，B点的坐标是．（2）进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行4s后着陆．求x关于t的函数关系式．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？25．（12分）小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转α（0＜α＜180°）得到矩形EFGC．[探究1]如图①，当α＝30°时，点E在AD上，连接BE，求∠AEB的度数；[探究2]如图②，连结BD，FC，过点E作EM∥FC交BD于点M．证明：BM＝EM；[探究3]在探究2的条件下，射线BD分别交EC，FC于点P，N，如图③，探究线段BN，MN，PN之间的数量关系．参考答案与试题解析一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．故选：A．2．（3分）如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看，是一个三角形．故选：A．3．（3分）2023年5月开赛的“村超”，由榕江当地村民以村为单位组建了20支球队，踢出了全网超过数百亿次浏览量的“现象级”赛事．据悉，“村超”系列赛事举办期间，当地累计接待游客超5190000人次，数据5190000用科学记数法表示为（）A．0.519×107 B．5.19×106 C．5.19×107 D．51.9×105【解答】解：5190000＝5.19×106．故选：B．4．（3分）小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：平均数中位数众数方差8.58.38.10.15如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数不发生变化；故选：C．5．（3分）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE，若∠C＝20°，∠CED＝120°，则∠A的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【解答】解：∵∠C＝20°，∠CED＝120°，∴∠D＝180°﹣20°﹣120°＝40°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝40°．故选：D．6．（3分）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是：＝，故选：C．7．（3分）如图，为了测量一个池塘的宽BC，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D，E，若小明测得DE的长是20米，则池塘宽BC的长度为（）米．A．25 B．30 C．35 D．40【解答】解：∵线段AB，AC的中点为D，E，∴DE＝BC，∵DE＝20米，∴BC＝40米，故选：D．8．（3分）若P1（3，y1），P2（1，y2）是函数图象上的两点，下列结论正确的是（）A．0＜y1＜y2 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0【解答】解：∵反比例函数中，k＝2＞0，∴此函数图象的两个分支在一、三象限，∵3＞1＞0，∴P1（3，y1），P2（1，y2）都在第一象限，∵在第一象限内y的值随x的增大而减小，∴0＜y1＜y2．故选：A．9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°【解答】解：由作法得CG⊥AB，∵AC＝BC，∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BCG＝∠ACB＝50°．故选：C．10．（3分）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，可列方程（）A． B． C． D．【解答】解：可列方程：．故选：A．11．（3分）如图，把Rt△ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB＝30°，点B的坐标为（0，1），将△ABO沿斜边AB翻折后得到△ABC，则点C的坐标是（）A． B． C． D．【解答】解：∵将△ABO沿斜边AB翻折后得到△ABC，∴OB＝BC＝2，∠CBA＝∠OBA＝60°，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，则∠DCB＝30°．∴DB＝BC＝，DC＝BC＝．∴C（，）．故选：D．12．（3分）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，将抛物线y1沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线y2，则当y2＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜1 C．﹣1＜x＜3 D．1＜x＜3【解答】解：由题意，∵y1与x轴时的一个交点为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴与x轴的另一个交点为（﹣1+2，0），即（1，0）．抛物线的开口向上，∴当y1＜0时，﹣3＜x＜1．将抛物线y1沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线y2，∴抛物线y2与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．∴当y2＜0时，﹣1＜x＜3．故选：C．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）因式分解：5y﹣y2＝y（5﹣y）．【解答】解：原式＝y（5﹣y），故答案为：y（5﹣y）．14．（4分）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB、AC于D、E，则图中⊙A的半径长是．【解答】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，设切点为F，连接AF，则AF⊥BC，等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，AF＝＝，∴⊙A的半径长是．故答案为：．15．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜2且k≠1．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，解得k＜2且k≠1，所以k的取值范围是k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．16．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，点P是正方形ABCD内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，点M是BC上的一个动点，连接PM，MD，则PM+MD的最小值是．【解答】解：∵点P是正方形ABCD内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，∴∠PAB+∠PBA＝∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB中点O为圆心，AB为直径的圆周上，延长DC到D'，使CD'＝CD＝2，连接MD'，连接OD'交⊙O于点P'，过点O作OE⊥CD于点E，则MD'＝MD，OP'＝OA＝1，四边形AOED和四边形BCEO都是矩形，∴PM+MD＝PM+MD'≥P'M+MD'≥P'D'＝OD'﹣OP'＝OD'﹣1，∴PM+MD的最小值是OD'﹣1，在Rt△OD'E中，OE＝AD＝2，D'E＝CD'+CE＝2+1＝3，∴由勾股定理，得OD'＝＝＝，∴PM+MD的最小值是﹣1，故答案为：．三、解答题（满分98分）17．（12分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中a＝3．【解答】解：（1）＝1+3﹣1＝3；（2）＝•﹣＝﹣＝＝，当a＝3时，原式＝＝＝2．18．（10分）目前人们的支付方式日益增多，主要有：某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：（1）本次一共调查了多少名消费者？（2）补全条形统计图，在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为多少度？（3）该超市本周内约有2000名消费者，估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和．【解答】解：（1）本次调查的总人数为68÷34%＝200（名），故答案为：200；（2）A支付方式的人数为200×40%＝80（名），D支付方式的人数为200﹣（80+68+32）＝20（名），补全图形如下：在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为360°×＝144°，（3）2000×＝1480（名），答：估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数为1480名．19．（10分）贵阳黔灵山公园自从2024年1月1日免费开放以来，公园内的大熊猫馆人气火爆，其中国宝“海浜”“星宝”憨态可掬，获得不少市民喜爱，公园的文创超市售有相应的熊猫抱枕和熊猫挂件．已知每个熊猫抱枕的成本为30元，每个熊猫挂件成本为7元，每个熊猫抱枕售价比熊猫挂件售价贵30元，购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元．（1）求熊猫抱枕和熊猫挂件的单价分别为多少元？（2）为了迎接暑假，该超市准备投入成本不超过16200元购进熊猫抱枕和熊猫挂件共1000个．如果最后全部售完，则该超市应该购进多少个熊猫抱枕，才可以获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）设熊猫抱枕的单价为x元，熊猫挂件的单价为y元，由题意得：，解得：，答：熊猫抱枕的单价为40元，熊猫挂件的单价为10元；（2）设购进熊猫抱枕m个，则购进熊猫挂件（1000﹣m）个，由题意得：30m+7（1000﹣m）≤16200，解得：m≤400，∵m为正整数，∴m的最大值为400，设获得利润为w元，由题意得：（40﹣30）m+（10﹣7）（1000﹣m）＝7m+3000，∵7＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝400时，w有最大值＝7×400+3000＝5800，答：该超市应该购进400个熊猫抱枕，才可以获得最大利润，最大利润是5800元．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的面积．（计算结果保留根号）【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠BDC＝60°，又∵CD＝BC＝6，在Rt△CDF中，DF＝CDsin60°＝6×＝3，∴菱形ADCE的面积为6×3＝18．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣6，1），直线y＝ax﹣2经过点B（﹣2，2）．（1）求k，a的值；（2）过第二象限的点P（﹣1，4）作平行于x轴的直线，交直线y＝ax﹣2于点C，交函数的图象于点D．判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵函数的图象经过点A（﹣6，1），∴k＝﹣6×1＝﹣6；∴直线y＝ax﹣2经过点B（﹣2，2），∴﹣2a﹣2＝2，∴a＝﹣2；（2）把y＝4代入y＝﹣2x﹣2，解得x＝﹣3，∴C（﹣3，4），把y＝4代入y＝﹣，解得x＝﹣，∴PC＝﹣1﹣（﹣3）＝2，PD＝﹣1﹣（﹣）＝，∴PC＝4PD．22．（10分）杨老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小文同学所在小组的任务是测量观山湖公园一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是小文同学制订了测量方案进行实地测量，得出如下的测量报告：课题测量大树的高度测量工具平面镜、测倾器和皮尺测量示意图及说明说明：①D、C、B、F四点共线，DE、AB均垂直于DF②光线EC经点C处平面镜反射后的光线是CA③平面镜大小忽略④测倾器高度忽略测量数据小文眼睛与地面高度DE＝1.6米，小文到平面镜的距离CD＝2米，平面镜到测倾器的距离为CF＝33米，∠AFB＝53°参考数据sin，cos53°≈，请你根据以上测量报告，求大树AB的高度．【解答】解：设AB＝x米，在Rt△ABF中，∠AFB＝53°，∵tan∠AFB＝，∴BF＝≈＝x（米），∴BC＝（33﹣x）米，∵∠EDC＝∠ABC＝90°，∠ECD＝∠ACB，∴△EDC∽△ABC，∴＝，即＝，解得：x＝16.5，答：大树AB的高度约为16.5米．23．（12分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝6，，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，若F是AB的中点，求CE•CF的值．【解答】（1）证明：连OD，在△AOC和△AOD中，，∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠ACO＝∠ADO，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∴∠ACO＝90°，∴OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O切线；（2）解：连接OD，∵cosB＝＝，BC＝6，∴AB＝10，∴AC＝＝＝8，∴AD＝AC＝8，∴BD＝2，∵cosB＝＝，∴OB＝，∴OC＝BC﹣OB＝，∴⊙O半径为；（3）解：∵F为AB的中点，∠ACB＝90°，∴AF＝CF＝BF，∴∠FCB＝∠FBC，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OEC＝∠FBC，∴△OCE∽△FCB，∴，∴，∴CE•CF＝OE•BC＝×6＝16．24．（12分）在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在的水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，AC为着陆坡，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作BE⊥y轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其关系式为．（1）c的值为65，B点的坐标是（40，25）．（2）进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空