自动控制原理 第3版 课件 陶洪峰 02 控制系统数学模型

第2章控制系统的数学模型2.1线性微分方程的建立及求解2.2传递函数定义、性质、典型元件及典型环节传函2.3控制系统的结构图及信号流图组成、绘制、梅逊公式

2.4控制系统的传递函数开环传函、闭环传函引言

要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。数学表达式：代数方程、微分方程静态数学模型：系统变量之间与时间无关的静态关系动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性控制系统数学模型的类型时域（t）模型微分方程z域（z）模型脉冲传函频域（ω）模型频率特性复域（s）模型传递函数§2.1.1

建模方法：分析法、实验法§2.1控制系统的微分方程黑匣子输入（充分激励）输出（测量结果）

具体方法：最小二乘(曲线拟合)法、神经元网络法、模糊模型法等。模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。

实验法（黑箱法、辨识法、逼近法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。

分析法－根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，推导系统输入输出之间数学关系。

建模（微分方程）步骤：第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描述系统输出、输入关系的微分方程。第三步：标准化。左“出”=右“入”，且各微分项均按降幂排列。见P19公式（2-8）所示。第一步：明确系统输入、输出量，列写各组成环节输出与输入的数学表达式。根据系统遵循的物理定律——如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。解：明确输入量，输出量第一步：环节数学表达式第二步：消去中间变量i＋－urucRC图2.1RC滤波电路该电路为一阶系统[例2.1]

如图2.1所示，写出RC滤波电路的微分方程。【例2.2】如图2.2所示，写出RLC振荡器电路的微分方程。解：＋－urucRC图2.2RLC振荡器电路Li解方程组得RLC振荡器电路的微分方程为：该电路为二阶系统§2.1.1线性定常微分方程的求解

一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法，如下图所示。数学工具——拉普拉斯变换与反变换⑴拉氏变换定义设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0②t>0时，f(t)连续，则f(t)的拉氏变换存在，表示为：拉氏变换函数（象函数）原函数衰减因子，其中：τ-时间常数s=-σ+jω为拉氏变换算子，其中：σ-衰减系数ω-振荡频率（rad/s）⑵拉氏变换基本定理

线性定理

位移定理延迟定理终值定理

微积分定理d/dts将F(s)化成下列因式分解形式：⑶拉氏反变换定义表达式：f（t）=L-1[F(s)]方法：简单函数-直接查表；复杂函数-部分分式展开，再查表。◆F(s)含有共扼复数极点时，可展开为◆F(s)中具有不同的极点时，可展开为待定系数◆F(s)含有多重极点时，可展开为§2.2非线性数学模型的线性化

——微小偏差法（略）2.3.1传递函数的定义和主要性质

定义：零初始条件下，系统（元件、环节）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设n阶线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：定义表达式为：C(s)=G(s)R(s)§2.3传递函数※

三种表达式

(1)一般表达式式中：c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量；各系数均是常数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，可得到系统传函的一般表达式：

(2)时间常数表达式K*—零、极点（根轨迹）增益；-zi、-pl—零点和极点值。K—增益；τi、Tl—对应环节时间常数。

(3)零极点（根轨迹）表达式

基本性质：性质1传递函数的概念只适于线性定常系统。性质2传递函数是一种动态数学模型，取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关，也不反映系统内部的任何信息

。性质3G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，这就是系统的相似性。传递函数是在零初始条件下定义的，因此不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。

若系统传递函数为G(s)，r(t)=δ(t)，即：R（s）=1

则：C(s)=G(s)R(s)=G(s)=L[g(t)]传递函数是复变量的有理真分式，即n≥m，具有复变函数的所有性质。对于实际系统来说，且所有系数均为实数。这是因为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的缘故。性质7系统传递函数G(s)是其单位脉冲响应g(t)的拉氏变换

单位脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲输入δ(t)时的输出响应。2.2.2

典型环节的传递函数

任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的；而环节则是由各种不同的元件组成。

常用的电路元件如下：-z2/z1运放A1/Cs电容CLs电感LR电阻R传递函数微分方程常用元件为元件对应的复阻抗比例环节滞后环节一阶微分环节（m个）积分环节（ν个）惯性环节（q个）振荡环节（n-v-q）个1.比例环节(P调节器)特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。实例：线性电位器、运算放大器、传动齿轮、线性传感器等。K—比例系数（增益）2.积分环节（I调节器）特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能，一般用于改善系统的稳态性能，提高控制精度。实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。3.微分环节理想微分（D调节器）：一阶微分（比例微分或PD调节器）：特点：输出量正比于输入量变化的速度，具有超前控制的作用，一般用于改善系统的动态性能。4.惯性环节式中，T-时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，即有延迟。实例：RC滤波电路网络，一阶水槽(流水)，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。可控硅直流闭环调速系统也是一个二阶振荡环节。5.振荡环节式中ζ——阻尼比；T——时间常数

ωn——无阻尼自然振荡角频率（rad/s）6.延时（滞后）环节特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。式中：τ——延迟时间常数说明：实际的控制系统都含有滞后环节，只是一般延迟时间常数较小，可忽略不计。常见的典型电路§2.3控制系统结构图及系统传函2.3.1控制系统结构图的组成（2）比较点（汇合点、综合点、运算点）：“”两个或两个以上的输入信号进行加减运算的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。（1）传函方框：表示输入到输出单向传输间的函数关系。传函方框+比较点+引出点G(s)R(s)C(s)(3)引出点（分支点、测量点）：表示信号测量或引出的位置图2.7引出点示意图)X(s)X(s)R(s)C(s)(1sG)(2sG注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。X1X1+X2X2图2.6比较点示意图示意图X1X1-X2+X2-X3X3注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。2.3.2控制系统的传递函数(1)前向通道：E(s)→C(s)

前向通道传函：G1(s)G2(s)H(s)C(s)图2.8

典型的控制系统结构图控制对象控制器C(s)R(s)B(s)E(s)D(s)典型控制系统结构图定义几个重要概念及传函以R(s)单独作用（D(s)=0）为例。(2)

反馈通道：C(s)→B(s)

反馈通道传函：Ｈ(ｓ)＝１时称为单位反馈。（3）开环通道：E(s)→B(s)

开环通道传函（简称开环传函）：（4）闭环传函

——两种输入信号对输出响应的传函G(s)H(s)Cr(s)R(s)B(s)E(s)典型控制系统结构图可简化为其中：G(s)=G1(s)G2(s)=前向通道传函１+开环传函

控制传函：假定D(s)=0，

R(s)

Cr(s)

典型控制系统结构图可等效为G２(s)H(s)Cd(s)Ｄ(s)G1(s)其中：G(s)=G1(s)G2(s)系统总相应为：C(s)=Cr(s)+Cd(s)

扰动传函：假定Ｒ(s)=0，D(s)

Cd(s)

本节结束！2.3.3

控制系统结构图的绘制一般步骤确定系统的输入、输出变量由输入到输出列写各组成环节（元件）的微分方程根据信号流向由输入到输出连接各环节（元件）的传函方框图列写各环节（元件）的拉氏变换方程并绘制对应的传函方框图方程中的“加、减”运算对应“比较环节”；乘法运算对应传函方框[例1]

绘制双RC滤波器电路的结构图。＋－Ui(s)Uo(s)R11/C2s图2.11RC滤波电路R21/C1sAI1I2解：网络复阻抗方程如下：据此绘制双RC滤波器电路的结构图如下：1Ui(s)UA(s)Uo(s)I1(s)UA(s)I2(s)图2.12双RC滤波器电路结构图23I2(s)Uo(s)ABC§2.4结构图的等效变换及简化计算等效变换原则：在变换前后，被变换的支路或回路传函乘积保持不变。

关键：解除交叉的回路。

方法：通过移动比较点或引出点，使系统结构变成大环套小环或环路并列的形式；移动时，通过在被变换的支路上乘或除某个传函来保持等效。

注意：只能将相同的“点”移到一起，然后通过换位解除交叉。必须注意，比较点和引出点之间不能换位。

简化：根据环节方框的连接方式（串联、并联和反馈）进行简化计算。结构图中传函方框的三种连接形式及其计算串联并联反馈用方块图的等效法则，求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)。解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统。求解方法是：先移动比较点或引出点解开交叉，然后逐步计算。【例2.2】【例2.3】将双RC串联滤波电路的结构图简化。§2.5信号流图及梅森公式定义：信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网路。是结构图的简化表达形式。

组成：节点+支路+增益（1）节点：代表系统中的变量。分三类：

源点：输入节点，只有输出。

汇点（阱点）：输出节点，只有输入。

混合节点：有输入也有输出。（2）支路：连接两个节点的定向线段。表示输出信号对输入信号的函数关系，相当于一个乘法器。（3）增益：表示相邻两个节点变量之间的关系。信号流图与结构图的对应关系源点阱点混合节点支路增益输入变量R(s)输出变量C(s)比较点、引出点和中间变量传函方框带极性的传函信号流图结构图P28：术语（1）~（4）；性质（1）~（4）值得注意：（1）不接触回路——回路之间没有任何公共部分，即去掉一个回路，另一个将不闭合。（2）混合节点——可通过引出单位传输（增益为1）的支路变成输出节点。（3）对于给定的系统，信号流图不唯一。

绘制（由结构图绘制）

【P30例2.7】123456123456【P30例2.7】

梅森公式其中：G(s)—

系统总传输增益（闭环传函）特征多项式△=1-∑L1+∑L2-∑L3+……L1—各单独回路增益L2—所有两两互不接触回路增益乘积L3—所有三个互不接触回路增益乘积回路传函乘积没有共同的部分（传函和信号线）求法:去掉第k条前向通路后所求的△Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通道增益△k

—第k条前向通道的余子式在△中，去掉与第k条前向通道相接触的回路对应的项后剩余的部分。梅森公式例1R(s)C(s)L1=–G1

H1L2=–G3

H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)Δ=1-(L1+L2+L3+L4+L5）+(L1L2+L3L4)L1L2=(G1H1)(-G

2H2)L1=G1H1L2